Este documento contiene 8 problemas sobre sistemas de control. Los problemas cubren temas como el lugar de raíces, estabilidad, errores estáticos y diseño de controladores. El documento proporciona ejemplos y gráficos para ilustrar los conceptos de sistemas de control discutidos.

1. SISTEMAS DE CONTROL
ALUMNO CARLOS VALENCIA
6 DE ENERO DE 2016
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE
SISTEMAS DE CONTROL

2. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
1
PROBLEMAS SISTEMAS DE CONTROL - SEGUNDO PARCIAL
1) Bosqueje el lugar de raíces de un sistema en lazo cerrado de
segundo orden, con un comportamiento de: a) Mp=10%, b)
wn=4 [rad/s] y c) Mp=10% y wn=4[rad/s]

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MAURICIO RODRÍGUEZ 3CARLOS VALENCIA
2) a) Rellene la siguiente tabla hallando las constantes y los errores
estáticos de posición, velocidad y aceleración. b) Para los casos donde
exista un error estático constante, ilustre dicha situación con un
gráfico.
3
𝐺1(𝑠) =
𝑠 + 2
3
𝐺2(𝑠) =
𝑠(𝑠 + 2)
3
𝐺3(𝑠) =
𝑠2(𝑠 + 2)
Error estático
ante escalón
2
𝑒 𝑠𝑠 =
5
3
𝑘 𝑝 =
2
𝑒 𝑠𝑠 = 0
𝑘 𝑝 = ∞
𝑒 𝑠𝑠 = 0
𝑘 𝑝 = ∞
Error estático
ante rampa
𝑒 𝑠𝑠 = ∞
𝑘 𝑣 = 0
2
𝑒 𝑠𝑠 =
3
3
𝑘 𝑣 =
2
𝑒 𝑠𝑠 = 0
𝑘 𝑣 = ∞
Error estático
ante parábola
𝑒 𝑠𝑠 = ∞
𝑘 𝑎 = 0
𝑒 𝑠𝑠 = ∞
𝑘 𝑎 = 0
2
𝑒 𝑠𝑠 =
3
3
𝑘 𝑎 =
2

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3) Sea un sistema de control 𝑮(𝒔) =
� 𝟔
en lazo abierto. Si el
sistema� 𝒔� +𝟔𝒔+𝟗
G(s), se realimenta tal como se muestra en la figura.
Obtener:
a) El gráfico de la respuesta temporal del sistema en lazo cerrado C(s)/R(s)
ante entrada escalón y haga constar en el dibujo, los tiempos, tr, ts, tp, y
el período de oscilación subamortiguada, el sobrepico Mp, el valor de
estado estable y el valor pico calculados.
b) El Error estático ante escalón, rampa y parábola con sus tres respectivos
gráficos (del sistema en lazo cerrado).
c) El Lugar geométrico de las raíces de G.
d) La Estabilidad absoluta del sistema en lazo cerrado C(s)/R(s).
Compruebe con un mapa de ceros y polos en el plano S y utilizando el
Criterio de Routh-Hurwitz.
e) La ganancia necesaria para que el sistema en lazo cerrado C(s)/R(s)
tenga una frecuencia natural de 8 rad/s.

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4) Halle un sistema equivalente de menor orden para el siguiente
sistema:
36(𝑠 + 20)
𝐺(𝑠) =
(𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)
Con la ayude Matlab encontramos los polos y ceros del sistema, y graficamos
el Lugar de las Raíces correspondiente:

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𝐺(𝑠) =
36𝑠 + 720
3𝑠3 + 69𝑠2 + 135𝑠 + 189
gs=tf([36 720],[3 69 135 189])
polos=roots(gs.den{1})
zeros=roots(gs.num{1})
rlocus(gs)
Polo y cero
despreciable
Más
dominantes

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Como se puede observar en el lugar de las raíces del sistema, existe un polo
y un cero que se encuentran muy alejados del origen del plano S, el cero en
-20 y el polo en 21, por lo que se los puede despreciar ya que los polos
imaginarios que se encuentran más cercanos al origen del plano S son más
predominantes.
Al despreciar ese polo y cero que se encuentran muy lejos del origen,
encontramos un sistema equivalente de menor orden al sistema que tenías
anteriormente.
Entonces, si eliminamos ese polo y cero, tendríamos el siguiente sistema
equivalente:
36( 𝑠 + 20) 36
𝐺(𝑠) =
( 𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)
≅
3𝑠2 + 6𝑠 + 9
Comprobamos esto con la ayuda de Matlab. Encontramos primero el lugar de
las raíces:
gs=tf([36],[3 6 9])
polos=roots(gs.den{1})
zeros=roots(gs.num{1})
rlocus(gs)

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Y ahora graficamos los 2 sistemas con la ayuda de Simulink, para observar y
verificar si en efecto el sistema que encontramos es un sistema equivalente
al que teníamos en un comienzo:

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Como se observa en la gráfica, en efecto hemos encontrado un sistema
equivalente de menor orden al expuesto en el enunciado.
5) Determine el valor de K para que el sistema siguiente sea estable.
Utilice el Criterio de Routh-Hurwitz.
𝐺(𝑠) =
1
𝑠3 + 3𝐾𝑠2 + (𝐾 + 2)𝑠 + 4

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6) Diga de la estabilidad de los siguientes sistemas:
6.1
36(𝑠 + 20)
(𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)
Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:

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Donde determinamos que el sistema es ESTABLE debido a que todos los
polos y ceros del sistema se encuentran al lado izquierdo del eje imaginario
del plano S.
6.2
2
(𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)
Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:

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Donde determinamos que el sistema es ESTABLE debido a que todos los
polos del sistema se encuentran al lado izquierdo del eje imaginario del plano
S.
6.3
2(𝑠 − 5)
(𝑠 + 2)2(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)
Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:
Donde determinamos que el sistema es INESTABLE debido a que un cero
se encuentra al lado derecho del eje imaginario del plano S.
6.4
3
(𝑠2 + 16)2(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)
Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:

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Donde determinamos que el sistema es INESTABLE debido a que existen
polos múltiples que se encuentran sobre el eje imaginario del plano S.
6.5
3
(𝑠2 + 16)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9)
Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:

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Donde determinamos que el sistema es MARGINALMENTE ESTABLE O
MARGINALMENTE INESTABLE debido a que existen polos que se
encuentran sobre el eje imaginario del plano S.
6.6
3( 𝑠 − 7)
(𝑠 + 3)(𝑠 + 2)
Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:
Donde determinamos que el sistema es INESTABLE debido a que existe un
cero en el lado derecho del eje imaginario del plano S.
7) Bosqueje aplicando las reglas aprendidas, el lugar de las raíces de los
siguientes sistemas:

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8) Diseñe un control proporcional k para que el sistema en lazo cerrado
de la figura, tenga:
𝐺(𝑠) =
4
0.3𝑠2 + 0.4𝑠 + 1
8.1) error de estado estable ante entrada escalón menor al 10%
8.2) tiempo pico sea 1.27 segundos

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