Movimiento Armónico Simple

1. Reseña histórica:
El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano
GalileoGalilei (1564-1642), quien estableció que el periodo de la oscilación de un
péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es
decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No
obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo sí depende de ella).
Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la
medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la
gravedad, su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad es
más o menos intensa según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo
dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite
determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.

2. Movimiento Armónico Simple
Concepto:
Un tipo de movimiento particularocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza
que es directamente proporcionalal desplazamiento del cuerpo desde su posición de
equilibrio. Si dichafuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del
cuerpo, seproducirá un movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por eso
aestas fuerzas se les da el nombre de fuerzas de restitución, porque tratan siemprede
restituir o llevar al cuerpo a su posición original de equilibrio. El movimientoque se
produce es un ejemplo de lo que se llama movimiento periódicou oscilatorio.
El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de
equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los
cuales la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable,
pequeños desplazamientos darán lugar a la aparición de una fuerza que tenderá a llevar
a la partícula de vuelta hacia el punto de equilibrio. Tal fuerza se denomina fuerza
restauradora.
Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada aun
resorte, el movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de uninstrumento
musical, la rotación de la Tierra, las ondas electromagnéticas talescomo ondas de luz y
de radio, la corriente eléctrica en los circuitos de corrientealterna y muchísimos otros
más.
Un tipo particular es el movimiento armónico simple. En este tipo de
movimiento,un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales sinperder
energía mecánica. Pero en los sistemas mecánicos reales, siempre seencuentran presente
fuerzas de rozamiento, que disminuyen la energía mecánicaa medida que transcurre el
tiempo, en este caso las oscilaciones se llamanamortiguadas. Si se agrega una fuerza
externa impulsora de tal manera que lapérdida de energía se equilibre con la energía de
entrada, el movimiento sellama oscilación forzada.
En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable son los
mínimos locales de la misma, y el movimiento oscilatorio tiene lugar en un entorno de
un mínimo local.
Desde el punto de vista matemático un movimiento es oscilatorio si la ecuación
diferencial que describe su movimiento es de la forma:
d 2x 2
0 .x 0 [1]
dt

3. Con solución dada por:
x(t ) A.sen( 0 t )
o bien,
x(t ) A. cos( 0 t )
Ambas soluciones son validas por la relación: sen x cos( x )
2
Luego:
x(t ) A.sen( 0 t ) A. cos( 0 t ) A. cos( 0 t ´' ) donde: '
2 2
Se Trabajara solo con la primera de estas, el trabajo con la segunda es análogo.
De esta manera, tenemos:
Posición: x(t ) A.sen( 0 t )
Velocidad: v(t ) 0 A. cos( 0 t ) 0 A2 x(t ) 2
2 2
Aceleración: a(t ) 0 A.sen( 0t ) 0 .x(t )
Energía:
1 1 2
Cinética: K m.v 2 0 . A 2 . cos2 ( 0 t )
2 2
1 2
Potencial: U 0 . A 2 .sen 2 ( 0 t )
2
1 2
Mecánica: E K U 0 .A2
2
Definición de algunos términos básicos:
Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.
Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.
Elongación, x(t): posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio (x=0).
Amplitud (A): máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la posición de
equilibrio.
2
Frecuencia angular ( ): 2 .f
T
Fase ( t )
Fase inicial ( )
Se puede notar que cualquier movimiento armónico simple esta, bien definido cuando
conocemos, su frecuencia o el periodo. De esta manera:

4. Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme.
Supongamos un móvil efectuando un movimiento armónico sobre el eje OX con
amplitud A, mientras otro describe un movimiento circular de radio A. Los dos parten
simultáneamente de la misma posición indicada en la figura y ambos tienen el mismo
periodo:
Para el móvil que describe el movimiento armónico simple, obtendremos:
x(t ) A.sen( 0 t )
v( t ) 0 A. cos( 0 t )
2
a(t ) 0 A.sen( 0t )
Para el móvil que describe el movimiento circular uniforme, si nos fijamos en un punto
cualquiera de su trayectoria, vendrá definido por un vector posición r(t):

r (t ) x(t )i y (t ) ˆ
ˆ j
Y obtendremos:
 ˆ
r (t ) A. cos( 0t )i A.sen( 0t ) ˆ
j

5.  ˆ
v (t ) 0 A..sen( 0t )i 0 A. cos( 0t ) ˆ
j
 ˆ A.sen( 0t ) ˆ
2 2
a(t ) 0 A..cos( 0t )i 0 j
Vemos que las componentes X de estas magnitudes coinciden con las propias
del movimiento armónico: el movimiento armónico simple puede considerarse como
una proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro de la misma
circunferencia.
Relación entre el movimiento armónico simple y el péndulo simple.
Supongamos que de un hilo de longitud l suspendemos una bolita de masa m, lo
colgamos del techo y lo hacemos oscilar ligeramente respecto a su posición de
equilibrio:
La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja a la bolita hacia la posición
de equilibrio) es la componente tangencial del peso:
F mgsen
x
Si el ángulo que forma el hilo con la vertical es muy pequeño: sen
l
x
En este caso podremos escribir: ma mg.sen mg mg ;de donde:
l
x g d 2x g 2 g
ma mg a x x 0 0 de la ecuación [1]
l l dt 2 l l

6. 2 2 2
2 2 2 2 g T l
Como:
T T T l 2 g
T l
2 g
Por lo que se tiene que:
l
T 2
g
Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento de un
resorte.
Supongamos que a un resorte, de constante de elasticidad k,le sujetamos un
objeto de masa m, lo estiramos o comprimimos una distancia x y lo hacemos oscilar
ligeramente respecto a su posición de equilibrio:
La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja al objeto a su posición de
equilibrio):
F kx
Si sumamos las fuerzas a lo largo de la línea de movimiento del resorte sobre la
superficie, podremos escribir:
k d 2x k d 2x k 2 k
ma kx a x x x 0 0 de la
m dt 2 m dt 2 m m
ecuación [1]
2 2 2
2 2 2 2 k T m
Como:
T T T m 2 k
T m
2 k
Por lo que se tiene que:
m
T 2
k
Oscilaciones forzadas y fenómenos de resonancia.
Las oscilaciones forzadas se producen cuando un oscilador está sometido a
fuerzas armónicas.

7. El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa
coincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema, lo que se traduce en un
aumento de la amplitud de la oscilación .
Ejercicios:
1) Cierto resorte cuelga verticalmente. Cuando se suspende de un cuerpo de masa
M = 1.65 kg, su longitud aumenta en 7,33 cm. El resorte se monta luego
horizontalmente,y se une a él un bloque de masa m= 2,43 kg. El bloque tiene la
libertad de deslizarse a 1o largo de una superficie horizontal sin fricción, como
en la figura. (a) ¿Cuál es la constante k de la fuerza del resorte? (b) ¿Que fuerza
horizontal se requiere para estirar al resorte una distancia de 11,6 cm? (c)
Cuando el bloque se desplaza a una distancia de 11,6 cm y luego se suelta, con
qué periodo oscilará?
Solución:
(a) La constante de fuerza kse determina a partir de la fuerza Mgnecesaria para estirar
el resorte en la distancia medida de 7,33 cm. Cuando el cuerpo suspendido está en
equilibrio, la fuerza del resorte k.xequilibra al peso Mg:

8. (b) La magnitud de la fuerza necesaria para estirar el resorte en 11.6 cm se determina a
partir de la ley de Hooke (Ec. 2) utilizando la constante de fuerza k que obtuvimos
en la parte (a):
(c) El periodo es independiente de la amplitud y depende solamente de los valores de la
masa del bloque y de la fuerza constante.
2) La combinación bloque-resorte del problema 1 se estira en dirección positiva x
una distancia de 11,6 cm del equilibrio y luego se suelta.
(a) ¿Cuál es la energía total almacenada en el sistema?
(b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bloque?
(c) ¿Cuál es la aceleración máxima?
(d) Si el bloque se suelta en t = 0, ¿cuáles son su posición, su velocidad, y su
aceleración en t = 0,215 s?
Solución:
(a) La amplitud del movimiento está dada por xm= 0,116 m. La energía total está
dada por:
E=
La energía cinética máxima es numéricamente igual a la energía total; cuando
U = 0, K = Kmax= E. La velocidad máxima es, entonces:
(c) La aceleración máxima ocurre precisamente en el instante en que el bloque se
suelta, cuando la fuerza es máxima:

9. (d) A partir del periodo obtenido en el problema muestra I, podemos hallar la
frecuencia angular:
Puesto que el bloque tiene su desplazamiento máximo de Xm= 0.116 m en t = 0, su
movimiento puede describirse por una función coseno:
un resultado que se deduce haciendo r/J = 0 en la ecuación 6. En t = 0.215 s, hallamos
Nótese que el ángulo wt, cuyo coseno debemos hallar, se expresa en radianes. La
velocidad está dada por la ecuación 11, la cual,
,
Obtenemos
Para hallar la aceleración, usamos de nuevo la ecuación 11 y notamos que, para
toda

10. Conclusiones:
El movimiento que presentan los objetos que oscilan mientras que no hay una
fuerza externa que influya en el sistema, se llama movimiento periódico o bien
movimiento armónico no amortiguado, en el que el periodo depende tanto de la longitud
del hilo como de la aceleración de la gravedad, la aceleración de la gravedad depende de
factores externos como lo es la altura respecto del nivel del mar, para obtener su valor,
solo basta con despejar de la fórmula del periodo.
Cuanto mayor sea la masa del cuerpo mayor será su periodo de oscilación.
Cuanto mayor sea la constante del resorte menor será su periodo de oscilación
El periodo no depende de la amplitud.