1. 3.3
Đặc tính tần số và Hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số Tuyến Tính Bất
Biến Nhân Quả
3.3.1 Đặc tính tần số và hàm truyền đạt phức H(ejω )
Đặc tính tần số H(ejω) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến đổi
Fourier của đặc tính xung h(n) :
3.3.1a Định nghĩa :
H (e jω) = FT [ h( n )] =
∞
h
∑ (n). e
−jω n
.
[3.3-1]
n= ∞
−
Đặc tính tần số H(ejω) cho biết tính chất tần số của hệ xử lý số TTBBNQ.
Xét hệ xử lý số có đặc tính xung h(n), tác động x(n), phản ứng y(n).
Đặc tính tần số của hệ :
H (e jω ) = FT [ h( n)]
Phổ của tác động :
Phổ của phản ứng :
Y (e
jω
X (e
jω
) = FT [ x ( n)]
) = FT [ y ( n)] = FT [ x ( n) * h( n)]
Theo tính chất tích chập của biến đổi Fourier nhận được :
jω
Y (e
) = X (e jω ).H (e jω )
H (e jω ) =
Suy ra :
[3.3-2]
Y (e jω )
[3.3-3]
X (e jω )
Như vậy, đặc tính tần số H(ejω) của hệ xử lý số TTBBNQ bằng tỷ số giữa hàm
phổ của phản ứng Y(ejω) và hàm phổ của tác động X(ejω), vì thế H(ejω) cũng chính là
hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ.
Có thể tìm được đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số từ đặc tính tần số H(ejω)
bằng biến đổi Fourier ngược :
h( n) = IFT [ H (e jω )] =
1
2π
π
∫ H (e
π
jω
).e jω.n dω
[3.3-4]
−
3.3.1b Đặc tính biên độ tần số và đặc tính pha tần số
H ( e jω) =
Từ [3.3-3] có :
Y (e
jω
X (e
jω
)
[3.3-5]
)
Arg  (e jω  =Arg  (e jω  − Arg  (e jω 
H
)
Y
)
X
)
và :










[3.3-6]


jω
Vậy, mô đun hàm truyền đạt phức H(e ) của hệ xử lý số bằng tỷ số giữa phổ
biên độ của phản ứng và phổ biên độ của tác động, còn argumen của hàm truyền đạt
phức Arg[H(ejω)] bằng hiệu phổ pha của phản ứng và phổ pha của tác động.
Về ý nghĩ vật lý, mô đun hàm truyền đạt phức H(ejω) đặc trưng cho tính
chất chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế H(ejω) còn
được gọi là đặc tính biên độ tần số.
Còn argumen của hàm truyền đạt phức ϕ(ω) cho biết sự dịch pha của các thành
phần tần số tín hiệu khác nhau khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế ϕ(ω) =
Arg[H(ejω)] còn được gọi là đặc tính pha tần số.
Để tín hiệu số không bị méo phổ khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ thì đặc
tính biên độ tần số của hệ xử lý số phải đảm bảo cho qua tất cả các thành phần
tần số của tín hiệu với hệ số truyền đạt như nhau. Tức là, về lý tưởng hệ xử lý
số phải có đặc tính biên độ tần số dạng hình chữ nhật như ở hình 3.7a. Tuy nhiên,
các hệ xử lý số thực tế có đặc tính biên độ tần số với sự nhấp nhô và hai sườn
dốc, ví dụ như ở hình 3.7b.
H(ejω)

-ω
c
2∆ω
ω
ω
c
a. Hệ xử lý số lý tưởng.
b. Hệ xử lý số thực tế.
136

2. Hình 3.7 : Đặc tính biên độ tần số H(ejω) của hệ xử lý số.
Khái niệm về dải thông và dải chặn : Dải thông là dải tần số mà hệ xử lý
số cho tín hiệu số đi qua, dải chặn là dải tần số mà hệ xử lý số không cho
tín hiệu số đi qua.
- Đối với hệ xử lý số lý tưởng : Do hai biên tần có dạng dốc đứng nên dải
thông 2∆ω là vùng tần số mà đặc tính biên độ tần số H(ejω)= 1, còn dải chặn là
vùng tần số mà đặc tính biên độ tần số H(ejω)= 0 . Tần số giới hạn giữa dải
thông và dải chặn gọi là tần số cắt và thường được ký hiệu là ωc.(hình 3.7a)
- Đối với hệ xử lý số thực tế : Do hai biên tần có dạng sườn dốc, nên người
ta quy ước tần số giới hạn của dải thông là ωc , tần số giới hạn của dải chặn là
ωp , giữa dải thông và dải chặn tồn tại dải quá độ ∆ωp = |ωp - ωc| (hình 3.4b).
Nếu độ rộng dải quá độ ∆ωp càng nhỏ thì độ dốc hai biên tần của đặc tính biên độ
tần số H(ejω) càng lớn, làm cho khả năng chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử
lý số càng tốt.
Các tín hiệu số có phổ nằm trọn trong dải thông của đặc tính biên độ tần số
sẽ đi qua được hệ xử lý số và không bị méo dạng phổ. Các tín hiệu số có bề rộng
phổ lớn hơn dải thông sẽ bị mất các thành phần phổ nằm ngoài dải thông. Các tín
hiệu số có phổ nằm ngoài dải thông của hệ xử lý số sẽ hầu như bị suy giảm hoàn
toàn khi đi qua hệ xử lý số. Từ các hiệu ứng đó, người ta xây dựng các hệ xử lý
số có tính chất chọn lọc tín hiệu số theo tần số, đó là các bộ lọc số.
Ví dụ 3.14 : Hệ xử lý số có phản ứng
−n
y(n) = 6.2 u(n − 1) − 2δ (n − 1)
ứng với
tác động x ( n)
= 2 −n u ( n)
. Hãy xác định hàm truyền đạt phức H(ejω), đặc tính xung h(n), đặc tính biên độ
tần số H(ejω) và đặc tính pha tần số ϕ(ω) của hệ.
Có : X (e
Giải :
Vì :
Nên :
−n
jω
) = FT [2 − n u (n)] =
(1 n−−− 1)
y(n) = 6.2 u(n 1)−− 2δ (n 1) =− 6. 22 u(n 1)−− 2δ (n− 1)
jω
− 1 − (n− 1)
Y(e ) = FT[6.2 2 u(n − 1) − 2δ (n − 1)] =
3.e
− jω
− jω
(1− 0,5e )
− 2e
− jω
3.e− jω − 2e− jω + e− j2ω e− jω + e− j2ω
jω
Y(e ) = − jω = − jω
(1− 0,5e ) (1− 0,5e )
Theo [3.3-3] có :
137
1
(1 − 0,5e − jω )

3. Y (e jω ) (e− jω + e− j 2ω )(1 − 0,5e− jω )
H ( e jω ) = jω =
X (e )
(1 − 0,5e− jω )
Hàm truyền đạt phức : H (e jω ) = e − jω + e − j 2ω
h(n) = IFT [ H (e jω )] = δ (n − 1) + δ (n − 2) = rect 2 (n − 1)
Đặc tính xung :
Để tìm đặc tính biên độ tần số và pha tần số, biến đổi H(ejω) như sau :
H (e
jω
) = e − jω + e − j 2ω = e − j1, 5ω (e j 0, 5ω + e − j 0,.5ω )
Vậy hàm truyền đạt phức là :
H (e
Đặc tính biên độ tần số :
jω
H (e
) = 2. cos(0,5ω)e − j1,5ω
) =2. cos(0,5ω
)
jω
ϕ(ω) = −1,5ω
Đặc tính pha tần số :
Ví dụ 3.15 : Cho hệ xử lý số có đặc tính xung
h(n) = rect 2 (n − 1)
và tác động
ω
x ( n) = 2 −n u ( n) , hãy tìm hàm phổ Y(ej ) và phản ứng y(n).
Giải :
Đây là bài toán ngược của ví dụ 3.13, trước hết cần xác định :
Hàm truyền đạt phức : H (e jω ) = FT [ h( n)] =
∞
∑ rect
2 (n
− 1)e − jωn
n = −∞
H ( e jω ) =
Hay :
2
∑e
− jω n
= e − jω + e − j 2ω
n =1
X (e jω ) = FT [ 2 − n u ( n)] =
Phổ của tác động :
1
(1 − 0,5e − jω )
Theo biểu thức [3-51] tìm được phổ của phản ứng :
jω
jω
Y (e ) = X (e ).H (e ) =
Y ( e jω ) = e − jω
1
jω
(1 − 0,5e− jω )
.(e− jω + e− j2ω )
1
(1 − 0,5e − jω )
jω
(n− 1)
+ e − j 2ω
1
(1 − 0,5e − jω )
(n− )2
y(n) = IFT[Y(e )] = 0,5 u(n − 1) + 0,5 u(n − 2)
Phản ứng :
−n
2 −n
y(n) = 2.2 u(n − 1) + 2 2 [u(n − 1) − δ (n − 1)]
−n −n −n
y(n) = 2. (nu 1) +− 4.2 u(n 1)−− 4.2 δ (n− 1)
138

4. −n
−n
y(n) = 6.2 u(n − 1) − 4.2 δ (n − 1)
Vì δ ( n −1) chỉ có 1 mẫu tại n = 1, nên
4.2 − n δ (n − 1) = 2δ (n − 1) ,
do đó kết quả là :
−n
y(n) = 6.2 u(n − 1) − 2δ (n − 1)
Kết quả nhận được phù hợp với phản ứng y(n) cho ở ví dụ 3.13.
3.3.1c Tìm hàm truyền đạt phức H(ejω ) theo phương trình sai phân
Có thể tìm được hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết phương
trình sai phân của nó. Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai
phân bậc N :
N
∑a
k
y (n − k ) =
k =0
M
∑b
r
x(n − r )
r =0
Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận được :
Y (e j ω )
N
∑
a k e − jωk = X (e jω )
k =0
H (e
jω
)=
∑b e
r
− jωr
r =0
M
suy ra :
M
Y (e
jω
)
=
X (e )
jω
∑b e
− jωr
∑a
− jωk
r
r =0
N
[3.3-7]
ke
k =0
Ví dụ 3.16 : Hãy xác định hàm truyền đạt phức và các đặc tính tần số của hệ xử lý
số có phương trình sai phân y ( n) = x( n) + x( n − 1) + y ( n − 2) .
Giải : Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận được :
Y (e jω ) = X (e jω ) + e − jω X (e jω ) + e − j 2ωY (e jω )
hay :
Y (e jω ).(1 − e − j 2ω ) = X (e jω ).(1 + e − jω )
H (e
jω
)=
)
(1 + e − jω )
1
1
=
=
= − j 0,5ω j 0,5ω
jω
− j 2ω
− jω
X (e )
(1 − e
)
(1 − e
)
e
(e
− e − j 0,5ω )
Y (e
jω
e j 0,5ω
2 sin( 0,5ω)
1
H ( e jω ) =
2 sin(0,5ω
)
H ( e jω ) =
Vậy hàm truyền đạt phức là :
Đặc tính biên độ tần số :
[
]
Arg H (e jω ) = 0,5ω
Đặc tính pha tần số :
3.3.2 Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền đạt phức H(ejω )
3.3.2a Sơ đồ khối, sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số
Theo quan hệ vào ra [3.3-2] :
Y (e
jω
) = X (e jω ).H (e jω )
có thể mô tả hệ xử lý số TTBB bằng sơ đồ khối theo hàm truyền đạt phức như trên
hình 3.8.
X(ejω
)
H(ejω)
Y(ejω
)
Hình 3.8 : Sơ đồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số.
139

5. Các hệ xử lý số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ khối gồm nhiều khối,
mỗi khối có hàm truyền đạt phức Hi(ejω). Khi đó, hàm truyền đạt phức H(ejω) của hệ
xử lý số đó cũng có thể được xác định theo các hàm truyền đạt phức Hi(ejω) của các
khối thành phần.
Vì
H (e
jω
) = H ( z ) z =e jω
, nên từ các phần tử cấu trúc và sơ đồ khối theo hàm
hệ thống H(z), ... có thể nhận được các phần tử cấu trúc và sơ đồ khối theo hàm
truyền đạt phức H(ejω) khi thay z =e jω . Do đó, các nguyên tắc xác định hàm truyền
đạt phức H(ejω) theo sơ đồ khối cũng tương tự như cách xác định hàm hệ thống H(z).
Sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số thường được
sử dụng khi phân tích và tổng hợp các bộ lọc số.
Ví dụ 3.17 : Hãy xây dựng sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ
xử lý số cho ở ví dụ 3.16 : y ( n) = x( n) + x( n − 1) + y ( n − 2) .
Giải :
Theo kết quả tìm hàm truyền đạt phức H(ejω) đã được thực hiện ở ví dụ
3.16, có sơ đồ khối của hệ đã cho như trên hình 3.9.
X(e
e j 0,5ω
2 sin(0,5ω )
jω
)
Y(ejω
)
Hình 3.9 : Sơ đồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số ở ví dụ 3.16.
Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình sai phân đã cho, nhận được
quan hệ vào ra :
Y (e
jω
) = X (e jω ) + e − jω X (e jω ) + e − j 2ωY (e jω )
Theo quan hệ vào ra trên, xây dựng được sơ đồ cấu trúc của hệ xử
lý số đã cho như trên hình 3.10.
X(ejω
+
)
Y(ejω)
+
e-jω
e-jω
e-jω
Hình 3.10: Sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số ở ví dụ 3.16.
3.3.2b Xét tính ổn định của hệ xử lý số theo H(ejω)
Theo định nghĩa của biến đổi Fourier, chỉ có các hệ xử lý số có đặc tính
xung h(n) thỏa mãn điều kiện [3.1-1] :
∞
h
∑ ( n)
< ∞
n= ∞
−
thì mới tồn tại hàm truyền đạt phức :
H (e
jω
) =
∞
h
∑ ( n) e
−jω n
.
Điều
kiện
tồn
n= ∞
−
tại biến đổi Fourier [3.1-1] cũng chính là điều kiện ổn định [1.6-10] của hệ xử lý
số. Do đó, hệ xử lý số tồn tại hàm truyền đạt phức H(ejω) thì ổn định, ngược lại
hệ xử lý số không tồn tại hàm truyền đạt phức H(ejω) thì không thỏa mãn điều kiện
ổn định.
140

6. Các hệ xử lý số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ khối gồm nhiều khối,
mỗi khối có hàm truyền đạt phức Hi(ejω). Khi đó, hàm truyền đạt phức H(ejω) của hệ
xử lý số đó cũng có thể được xác định theo các hàm truyền đạt phức Hi(ejω) của các
khối thành phần.
Vì
H (e
jω
) = H ( z ) z =e jω
, nên từ các phần tử cấu trúc và sơ đồ khối theo hàm
hệ thống H(z), ... có thể nhận được các phần tử cấu trúc và sơ đồ khối theo hàm
truyền đạt phức H(ejω) khi thay z =e jω . Do đó, các nguyên tắc xác định hàm truyền
đạt phức H(ejω) theo sơ đồ khối cũng tương tự như cách xác định hàm hệ thống H(z).
Sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số thường được
sử dụng khi phân tích và tổng hợp các bộ lọc số.
Ví dụ 3.17 : Hãy xây dựng sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ
xử lý số cho ở ví dụ 3.16 : y ( n) = x( n) + x( n − 1) + y ( n − 2) .
Giải :
Theo kết quả tìm hàm truyền đạt phức H(ejω) đã được thực hiện ở ví dụ
3.16, có sơ đồ khối của hệ đã cho như trên hình 3.9.
X(e
e j 0,5ω
2 sin(0,5ω )
jω
)
Y(ejω
)
Hình 3.9 : Sơ đồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số ở ví dụ 3.16.
Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình sai phân đã cho, nhận được
quan hệ vào ra :
Y (e
jω
) = X (e jω ) + e − jω X (e jω ) + e − j 2ωY (e jω )
Theo quan hệ vào ra trên, xây dựng được sơ đồ cấu trúc của hệ xử
lý số đã cho như trên hình 3.10.
X(ejω
+
)
Y(ejω)
+
e-jω
e-jω
e-jω
Hình 3.10: Sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số ở ví dụ 3.16.
3.3.2b Xét tính ổn định của hệ xử lý số theo H(ejω)
Theo định nghĩa của biến đổi Fourier, chỉ có các hệ xử lý số có đặc tính
xung h(n) thỏa mãn điều kiện [3.1-1] :
∞
h
∑ ( n)
< ∞
n= ∞
−
thì mới tồn tại hàm truyền đạt phức :
H (e
jω
) =
∞
h
∑ ( n) e
−jω n
.
Điều
kiện
tồn
n= ∞
−
tại biến đổi Fourier [3.1-1] cũng chính là điều kiện ổn định [1.6-10] của hệ xử lý
số. Do đó, hệ xử lý số tồn tại hàm truyền đạt phức H(ejω) thì ổn định, ngược lại
hệ xử lý số không tồn tại hàm truyền đạt phức H(ejω) thì không thỏa mãn điều kiện
ổn định.
140