1. Activités sur le chapitre 6 – Fonctions de référence
Activité 1 : Comparaison de x , x
2
et √x
1. Un élève affirme : « Sauf pour 0 et 1, le carré d'un nombre est plus grand que ce nombre qui
est, lui, plus grand que la racine carrée de ce nombre. » Qu'en pensez-vous ?
2. Soit f (x)=x ; g( x)=x
2
et h( x)=√x définies sur [0 ; +∞ [.
a. Représenter graphiquement dans un même repère ces trois fonctions.
b. Par lecture graphique, comparer les images d'un réel a par f, g et h pour plusieurs valeurs
de a de l'intervalle [0 ; +∞ [.
c. Cette lecture graphique confirme-t-elle l'affirmation de l'élève ?
3. a. Après avoir étudié le signe de x
2
−x sur l'intervalle [0 ; +∞ [, comparer x
2
et x sur
l'intervalle [0 ; +∞ [.
b. Montrer que x – √x=√x(√x−1) sur l'intervalle [0 ; +∞ [, puis comparer x et √x sur
l'intervalle [0 ; +∞ [.
c. Déduire des questions précédentes la comparaison de x , x
2
et √x selon les valeurs de x
sur l'intervalle [0 ; +∞ [.
Activité 2 : L'inverse d'une fonction
On considère la fonction u définie sur ℝpar u(x)=2 x
2
+3 . Soit f, la fonction définie sur ℝ par
f (x)=
1
u( x)
.
1. A l'aide d'une calculatrice, tracer sur un même écran les courbes représentatives des
fonctions u et f.
2. Quelle remarque peut-on faire quant aux sens de variation des fonctions u et f ?
3. En utilisant le sens de variation de la fonction inverse et de la fonction carré :
a. Montrer que si 0⩽a<b , alors 3⩽u(a)<u(b) .
b. En déduire que la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0 ; +∞ [.
4. Démontrer de la même manière que f est croissante sur l'intervalle ] −∞ ; 0].
5. Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions u et f. Quelle remarque peut-on
faire ?
Activité 3 : Des fonctions associées
On considère les fonctions f, g, h telles que : f (x)=
1
x
2
+1
, g( x)=
1
x
2
+1
+1 et h( x)=
2
x
2
+1
.
Dans toute l'activité, on prendra pour fenêtre d'affichage graphique de la calculatrice x et y tels
que −2,5⩽x⩽2,5 et −0,5⩽y⩽3 .
1. Sur la calculatrice, tracer la courbe représentative de f sur l'intervalle [-2,5 ; 2,5].
2. Déterminer le sens de variations de f sur [-2,5 ; 2,5], en justifiant.
3. a. Tracer la courbe représentative de g sur le même graphique.
b. Exprimer g( x) en fonction de f (x) .
c. Quel est le sens de variation de g sur l'intervalle [-2,5 ; 2,5] ?
4. a. Tracer la courbe représentative de h sur le même graphique.
b. En observant les coordonnées de certains points de cette courbe, expliquer comment elle
se déduit de celle de f. Exprimer alors h(x) en fonction de f(x).
c. Quel est le sens de variation de h sur l'intervalle [-2,5 ; 2,5] ?