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vauzelle

Chapitre 3 - 1S

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CHAPITRE 3 : Second degré (partie 2)
I ) Trinôme du second degré et factorisation
1) Discriminant d'un trinôme du second degré :
Définition :
Soit f, une fonction polynôme du second degré définie sur ℝpar f(x) = ax² + bx +
c avec a≠0 . On appelle discriminant de f le réel, noté  (delta), défini par :
= b² - 4ac
Remarque : La forme canonique de f(x) est : f(x) = a
[(x +
b
2 a)
2
–
(b
2
−4ac
4a
2 )]
ce qui revient à écrire : f(x) = a
[(x +
b
2 a)
2
–

4a
2 ]
Exemple : Soit f(x) = -2x² + 3x – 1
On a : a = -2 ; b = 3 et c = -1. Donc  = b² – 4ac = 3
2
–4×(−2)×(−1)=9–8=1
Et alors f(x) = −2
[(x−
3
4)
2
–
1
16 ]
2) Factorisation :
Théorème :
Soit f(x) = ax² + bx + c, a≠0 , un trinôme du second degré.
• Si  > 0, alors f(x) = a(x−x1
)( x−x2
) , où x1
=
−b+√Δ
2a
et x2
=
−b−√Δ
2a
• Si  = 0, alors f(x) = a(x−xS
)
2
, où xS
=
−b
2a
• Si  < 0, alors f(x) ne se factorise pas.
Démonstration : voir livre page 25 démonstration 2.2 (savoir la refaire)
Exemple : Soit f(x) = -2x² + 3x – 1.
On a : f(x) = −2
[(x−
3
4)
2
–
1
16 ] avec  = 1. Comme  > 0, on a :
x1
=
−b+√Δ
2a
=
−3+√1
2×(−2)
=
−3+1
−4
=
1
2
et x2
=
−b−√Δ
2a
=
−3−√1
2×(−2)
=
−3−1
−4
=
−4
−4
=1
Donc f (x )=−2(x−x1
)( x−x2
)=−2
(x−
1
2)(x−1)
1S Chapitre 3 – page 1/3
II ) Équations du second degré, signe d'un trinôme du second degré
1) Résolution d'équations du second degré :
Théorèmes et définitions
Une équation du second degré est une équation de la forme ax²+bx+c = 0 où
a, b, c sont trois réels et a≠0 . Résoudre l'équation dans ℝconsiste à trouver
l'ensemble des solutions réelles.
• Si  > 0, alors l'équation admet deux solutions : x1
=
−b+√Δ
2a
et x2
=
−b−√Δ
2a
• Si  = 0, alors l'équation admet une unique solution x0
=
−b
2a
• Si  < 0, alors l'équation n'admet pas de solution réelle.
Les solutions de l'équation ax²+bx+c = 0, si elles existent, sont les racines du
trinôme ax²+bx+c
Remarque : Ce théorème est une conséquence immédiate de la factorisation du
trinôme du 2nd
degré.
Interprétation graphique :
 > 0  = 0  < 0
a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0
La parabole coupe l'axe
des abscisses en deux
points distincts
La parabole coupe l'axe
des abscisses en un
unique point
La parabole ne coupe pas
l'axe des abscisses
1S Chapitre 3 – page 2/3
2) Signe d'un trinôme du second degré :
Théorème :
• Si  < 0, alors f(x) est du signe de a.
• Si  = 0, alors f(x) s'annule en son unique racine x0 et est du signe de a
sur ℝ{x0}.
• Si  > 0, alors f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de
-a à l'intérieur des racines.
Démonstration : f(x) = a
[(x +
b
2 a)
2
–

4a
2 ]
• Si  < 0, (x+
b
2 a)
2
– Δ
4a2 est positif et donc f est du signe de a
• Si  = 0, f(x) = a
(x+
b
2a)
2
et comme un carré est toujours positif ou nul,
f(x) est du signe de a et nul pour x=
−b
2a
=xo
• Si  > 0, alors f(x) = a(x−x1
)( x−x2
) et on a le tableau de signes suivant :
◦ Si a>0 :
◦ Si a < 0 :
Exemple : Soit f(x) = -2x² + 3x – 1. Étudier son signe
Comme  = 1, on a  >0 et donc f(x) est du signe de -2, donc est négatif
sur ] −∞;
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1S Chapitre 3 – page 3/3

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Courschapitre3complete trinome2nddegre

  • 1. CHAPITRE 3 : Second degré (partie 2) I ) Trinôme du second degré et factorisation 1) Discriminant d'un trinôme du second degré : Définition : Soit f, une fonction polynôme du second degré définie sur ℝpar f(x) = ax² + bx + c avec a≠0 . On appelle discriminant de f le réel, noté  (delta), défini par : = b² - 4ac Remarque : La forme canonique de f(x) est : f(x) = a [(x + b 2 a) 2 – (b 2 −4ac 4a 2 )] ce qui revient à écrire : f(x) = a [(x + b 2 a) 2 –  4a 2 ] Exemple : Soit f(x) = -2x² + 3x – 1 On a : a = -2 ; b = 3 et c = -1. Donc  = b² – 4ac = 3 2 –4×(−2)×(−1)=9–8=1 Et alors f(x) = −2 [(x− 3 4) 2 – 1 16 ] 2) Factorisation : Théorème : Soit f(x) = ax² + bx + c, a≠0 , un trinôme du second degré. • Si  > 0, alors f(x) = a(x−x1 )( x−x2 ) , où x1 = −b+√Δ 2a et x2 = −b−√Δ 2a • Si  = 0, alors f(x) = a(x−xS ) 2 , où xS = −b 2a • Si  < 0, alors f(x) ne se factorise pas. Démonstration : voir livre page 25 démonstration 2.2 (savoir la refaire) Exemple : Soit f(x) = -2x² + 3x – 1. On a : f(x) = −2 [(x− 3 4) 2 – 1 16 ] avec  = 1. Comme  > 0, on a : x1 = −b+√Δ 2a = −3+√1 2×(−2) = −3+1 −4 = 1 2 et x2 = −b−√Δ 2a = −3−√1 2×(−2) = −3−1 −4 = −4 −4 =1 Donc f (x )=−2(x−x1 )( x−x2 )=−2 (x− 1 2)(x−1) 1S Chapitre 3 – page 1/3
  • 2. II ) Équations du second degré, signe d'un trinôme du second degré 1) Résolution d'équations du second degré : Théorèmes et définitions Une équation du second degré est une équation de la forme ax²+bx+c = 0 où a, b, c sont trois réels et a≠0 . Résoudre l'équation dans ℝconsiste à trouver l'ensemble des solutions réelles. • Si  > 0, alors l'équation admet deux solutions : x1 = −b+√Δ 2a et x2 = −b−√Δ 2a • Si  = 0, alors l'équation admet une unique solution x0 = −b 2a • Si  < 0, alors l'équation n'admet pas de solution réelle. Les solutions de l'équation ax²+bx+c = 0, si elles existent, sont les racines du trinôme ax²+bx+c Remarque : Ce théorème est une conséquence immédiate de la factorisation du trinôme du 2nd degré. Interprétation graphique :  > 0  = 0  < 0 a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0 La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points distincts La parabole coupe l'axe des abscisses en un unique point La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses 1S Chapitre 3 – page 2/3
  • 3. 2) Signe d'un trinôme du second degré : Théorème : • Si  < 0, alors f(x) est du signe de a. • Si  = 0, alors f(x) s'annule en son unique racine x0 et est du signe de a sur ℝ{x0}. • Si  > 0, alors f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines. Démonstration : f(x) = a [(x + b 2 a) 2 –  4a 2 ] • Si  < 0, (x+ b 2 a) 2 – Δ 4a2 est positif et donc f est du signe de a • Si  = 0, f(x) = a (x+ b 2a) 2 et comme un carré est toujours positif ou nul, f(x) est du signe de a et nul pour x= −b 2a =xo • Si  > 0, alors f(x) = a(x−x1 )( x−x2 ) et on a le tableau de signes suivant : ◦ Si a>0 : ◦ Si a < 0 : Exemple : Soit f(x) = -2x² + 3x – 1. Étudier son signe Comme  = 1, on a  >0 et donc f(x) est du signe de -2, donc est négatif sur ] −∞; 1 2 [∪]1;+∞[ . 1S Chapitre 3 – page 3/3