Conjuntos numéricos naturales, enteros y reales

Universidad Politécnica Estatal del Carchi

Universidad Politécnica Estatal del
Carchi

ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

Módulo de Álgebra

PORTAFOLIO
Verónica Alexandra Benavides Bravo

Primero “A”
Ing. Oscar Lomas

05/02/2014

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 1


CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 3
OBJETIVOS ................................................................................................................................... 5
OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. 5
OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................................................... 5
SILABO ......................................................................................................................................... 6
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ....................................................................................... 7
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................... 8
EXPONENTES Y RADICALES.......................................................................................................... 9
EXPONENTES ........................................................................................................................... 9
RADICALES ............................................................................................................................. 10
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... 11
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?..................................................................................................... 12
PARTES DE UNA ECUACION................................................................................................... 13
¡Exponente! ......................................................................................................................... 13
PRODUCTOS NOTABLES ............................................................................................................ 14
Binomio de resta al cubo....................................................................................................... 15
Trinomio al cuadrado ............................................................................................................ 15
Diferencia de cubos ............................................................................................................... 15
Producto de dos binomios que tienen un término común ................................................... 15
FACTORIZACIÓN ........................................................................................................................ 16
Factorización por factor común. ........................................................................................... 16
Factorización de una diferencia de cuadros. ........................................................................ 16
Factorización de un cuadrado perfecto ................................................................................ 16
Factorización de una suma o diferencia de cubos ................................................................ 16
Factorización de cubos perfectos de binomios. .................................................................... 16
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................... 17
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO .......................................................................... 18
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................................ 18
TRANSFORMACIONES LINEALES............................................................................................ 20
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO .............................................................. 22

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 2

INECUACIONES .......................................................................................................................... 24
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ...................................................... 25
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA .................................................. 27
PROGRAMACIÓN LINEAL ........................................................................................................... 31
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: ....................................................................... 36
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL............................................................................................. 39
IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL: ...................................................................... 42
V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO.................................................................. 47
VII. Bibliografía. ........................................................................................................................ 52

INTRODUCCIÓN
MÓDULO DE ALGEBRA

Página 3

El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que
emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples
operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual,
a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español
como “reducción” o “cotejo”.
Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las
relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como
álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones
aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la
aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto
permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos
(incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis
correspondiente a su resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes
que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones
aritméticas.
Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa,
tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).
Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la
multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL
Recopilar la información otorgada por el docente referente al
cronograma de estudio en el módulo de algebra, para tener constancia
del trabajo realizado en el transcurso de todo el semestre y que esta
información nos sirva como guía de estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Construir el portafolio estudiantil.
Comprender

la

información

obtenida

para

adquirir

nuevos

conocimientos referentes a cada uno de los temas.
Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea
productivo.

MÓDULO DE ALGEBRA

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SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN

MISIÓN – ESCUELA

“Formar
profesionales
humanistas, emprendedores y
competentes, poseedores de
conocimientos científicos y
tecnológicos; comprometida
con la investigación y la
solución de problemas del
entorno para contribuir con el
desarrollo y la integración
fronteriza”

La
Escuela
de
Desarrollo
Integral
Agropecuario
contribuye
al
desarrollo
Provincial, Regional y Nacional, entregando
profesionales que participan en la producción,
transformación, investigación y dinamización
del sector agropecuario y agroindustrial,
vinculados con la comunidad, todo esto con
criterios de eficiencia y calidad

UPEC – VISIÓN

VISIÓN – ESCUELA

Ser
una
Universidad
Politécnica acreditada por su
calidad y posicionamiento
regional

Liderar a nivel regional el proceso de
formación y lograr la excelencia académica
generando profesionales competentes en
Desarrollo Integral Agropecuario, con un
sólido apoyo basado en el profesionalismo y
actualización de los docentes, en la
investigación, criticidad y creatividad de los
estudiantes, con una moderna infraestructura
que incorpore los últimos adelantos
tecnológicos, pedagógicos y que implique un
ejercicio profesional caracterizado por la
explotación racional de los recursos
naturales, producción limpia, principios de
equidad, participación, ancestralidad, que den
seguridad y consigan la soberanía alimentaria

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Página 6

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1, 2,3
y así sucesivamente, forman el conjunto de los números enteros positivos o
números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……
forman el conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como

y , que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un
numero racional es aquél que puede escribirse como

donde p y q son

enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo
entero es racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que
terminan se conocen como números irracionales. Los números

y

son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los
números irracionales forman el conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros
se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a
la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas

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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales entre sí.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número
real.

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales
que para todo número real a.

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número
real denotado poa –a

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número
da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después
sumar todos los productos.

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EXPONENTES Y RADICALES
EXPONENTES
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va
a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a
la derecha del valor base. Por ejemplo:
b es el valor base y -5 es el exponente
-2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes

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RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado
“x”.

n = índice
x = radicando
y = raíz
=signo radical
Leyes radicales

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se
llaman Polinomios.

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Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.
Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los
términos semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se
separan los productos parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad
"=", por ejemplo:
X

+

2

=

6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo
que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

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PARTES DE UNA ECUACION
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las
diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una
ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un número
que todavía no conocemos. Normalmente es
una letra como x o y.
Un número solo se llama una constante.
Un coeficiente es un número que está
multiplicando a una variable (4x significa 4
por x, así que 4 es un coeficiente)
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc)
que representa una operación (es decir, algo
que quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o variable
solo, o números y variables multiplicados
juntos.
Una expresión es un grupo de términos (los
términos están separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o
"el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el
coeficiente es 4?"
¡Exponente!
Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el
valor en una multiplicación.
Ejemplos:
82 = 8 × 8 = 64
y3 = y × y × y
y2z = y × y × z
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PRODUCTOS NOTABLES
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado
segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer
término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el
cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
MÓDULO DE ALGEBRA

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Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el
cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del
segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el
segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo
por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6

MÓDULO DE ALGEBRA

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FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama
factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto
de polinomios simples.

Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor,
se dice que se

le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes
que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor
común.

Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que:

; por lo tanto una diferencia de

cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.

Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido
identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz
cuadrada al primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces
por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al
cuadrado:

Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que:

Factorización de cubos perfectos de binomios.
MÓDULO DE ALGEBRA

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FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor
común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar
Comenzamos con la siguiente situación:
Cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la
factorización total de la expresión.

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA

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ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer
grado y resuelve ecuaciones lineales por medio de propiedades. También
resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una
incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y
cómo traducirlas al lenguaje simbólico.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que
podemos escribir de forma tradicional así:

Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij
son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son
números reales, llamados términos independientes del sistema, las
incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un
conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las
incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las
"m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta
forma:

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Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada
por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.
Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos
independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se
obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna
de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Ax = b,
DondeA es una matrizm por n, x es un vector columna de longitud n y b es
otro vector columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de
eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea
el cuerpo del que provengan los coeficientes.
Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos),
entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:
el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema
está sobre determinado o que es incompatible)
el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible
determinado)
el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es
compatible indeterminado).
La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente
sólo tiene una
solución.

La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus
soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que
se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.
La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus
soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que
se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras
dos.
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En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que
hacen verdadera la igualdad [1]
Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación
se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina
ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda.
Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la
ecuación es una identidad.

TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan
sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con
vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro
de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario
transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente.
Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo
que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada
superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos,
por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a
un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas
operaciones forman una transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda
aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan
las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de
V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v
pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

MÓDULO DE ALGEBRA

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Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas,
las cuales podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar
una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran
variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso
puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse
demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales
para tener como resultado escalares.

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ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación
polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la
expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se
expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto
de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta
ecuación donde
n = 2 se conoce como ecuación cuadrática
Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al
menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.
Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que
en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:
3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las
ecuaciones de segundo grado para resolverlas.
En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede
simplificar, lo cual es muy conveniente.

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EJEMPLOS:
1.

2.

3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

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INECUACIONES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos
miembros se relacionan por uno de estos signos:

<
≤

2x − 1 <
7

menor que
menor

o

igual

2x − 1 ≤

que

7

>

mayor que

2x − 1 >
7

≥

mayor
que

o

igual

2x − 1 ≥
7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable
que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8

x<4

(-∞, 4)

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INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Para
resolverlassesiguenlosmismospasosqueenlasecuacionesdeprimergradoconu
na incógnita:
Quitar paréntesis.
Quitar denominadores.
Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.
Despejar la incógnita.
En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las
desigualdades: “Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por
un número negativo cambiael sentido de la misma”.

La soluciónde una inecuación de este tipo puede ser:
Un conjuntode números reales quese suele expresar en forma de
intervalo.
Cualquier número real.
Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.
La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación
resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos
puntos.
x = 0;

2 · 0 + y = 3; y = 3;

(0, 3)

x = 1;

2 · 1 + y = 3; y = 1;

(1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

MÓDULO DE ALGEBRA

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4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la
desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se
encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2·0+0≤3

0≤3

Sí

0>3

No

2x + y > 3
2·0+0>3

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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las
siguientes formas:
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0
ax 2 + bx + c < 0
ax 2 + bx + c ≤ 0

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos
números, una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar
multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad..
Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:
2x2−x<2x−1
Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático,
característico de las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no
estuviera, tendríamos una inecuación de primer grado.
Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método
compuesto por una serie de pasos a seguir.
Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de
resolución de ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:
Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen
dadas por la fórmula:
x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac√2a
Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor
de b2−4ac√ (para más información consultar el tema de ecuaciones de
segundo grado).
Método a seguir para la resolución:
Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en
uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión del
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tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales
que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y a es un valor positivo.
En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la
inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los
demás términos y el orden de la desigualdad).
Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la
inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.
Puede ser que tengamos tres opciones:
Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:
Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números
cumplen la inecuación.
Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la
inecuación no tiene solución.
Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje
X, ya que la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor
de a positivo, toda la gráfica se encuentra por encima del eje X, con
valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene signo mayor que (o
mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si tiene
signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:
ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0
⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1
Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos
números es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.
Así que la solución de la inecuación serán los x que

Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.

MÓDULO DE ALGEBRA

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En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ aparte de las
0,
mismas soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y
el resultado sería tener como región solución toda la recta real.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos:
ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución
Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos
exigiendo que sea negativo.
En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ sí tendríamos
0,
una solución: justamente la solución de la ecuación x1.
Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2,
haremos el siguiente procedimiento:
(Recordemos que el valor de a siempre es positivo)
Si ax2+bx+c>0:
ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒
⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0
⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2
Y como hemos supuesto
desigualdades x<x2 y x<x1.
Si ax2+bx+c<0:

que x1<x2,

nos

quedamos

con

las

quedamos

con

las

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒
⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0
⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2
y como hemos supuesto
desigualdades x<x2 y x<x1.

que x1<x2,

nos

Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya
hemos terminado.

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 29

Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado
desigualdades estrictas (menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento
sirve para desigualdades del tipo mayor o igual que y menor o igual que.

EJEMPLOS
x2+x+2>−1−x
Resolución:
x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir,
todos los puntos menos −1.
x2+2<−1−2x
Resolución:
x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.
−x(x−1)−x<−1
Resolución:
−x(x−1)−x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1
Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las
indicaciones) es x<−1 y x>1.

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 30

PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y
de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables
en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de
variables.
El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas
de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa 'realizar
planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el
despliegue de las unidades de combate'.
Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en
1776, se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó
en su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939)
y la desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942).
Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus
aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos.
La investigación de operaciones en general y la programación lineal en
particular recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de
momentos más importantes fue la aparición del método del simplex. Este
método, desarrollado por G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de
un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo teniendo en cuenta
las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices de la región
factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función
objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista
que parte del vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo aumenta. se
llega a otro vértice.
El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función
objetivo en cada etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se
encuentra en un vértice del que no parta ninguna arista a lo largo de la cual
la función objetivo aumente.

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 31

Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente
usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en
ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y
organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.
La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar
o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones,
que llamaremos restricciones.
Función objetivo
La programación
lineal consiste
en optimizar
(maximizar
o
minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.
Restricciones
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas
por inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
...

...

...

anx + bny ≤cn
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 32

Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las
restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre
de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones
factibles básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se
llama solución máxima (o mínima según el caso).

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 33

Valor del programa lineal
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se
llama valor del programa lineal.

Pasos para resolver un problema de programación lineal
1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente
las restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles
(si son pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver
en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el
problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si
el recinto no está acotado).
Ejemplo de programación lineal
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas
deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000
m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de
poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de
poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 34

3 .Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
pantalones chaquetas disponible
algodón 1

1,5

750

poliéster 2

1

1000

x + 1.5y ≤ 750

2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales,
tendremos dos restricciones más:
x≥0
y≥0

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 35

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
CÓDIGO
DOCENTE:

NIVEL

PRIMERO

Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO:

0986054587

062-932310

e-mail:

oscar.lomas@upec.edu.ec
oscarlomasreyes@yahoo.es

CRÉDITOS T

1

CRÉDITOS P

2

TOTAL CRÉDITOS

HORAS T

16

HORAS P

32

TOTAL HORAS

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)

3
48

CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)

MÓDULO DE ALGEBRA

CÓDIGOS

Página 36

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre)

PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color

Agrícola

y un nombre)

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 37

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento
matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía,
al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 38

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver
problemas del entorno.

LOGROS DE APRENDIZAJE
NIVELES DE LOGRO
PROCESO
COGNITIVO

DIMENSIÓN

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 39

1.

2.

TEÓRICO
BÁSICO
RECORDAR
MLP

TEÓRICO
AVANZADO
ENTENDER

Identificar los términos básicos utilizados
durante el desarrollo del pensamiento lógico
matemático.

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

Diferenciar los conceptos básicos utilizados
para el desarrollo de pensamiento lógico
matemático.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3.

PRÁCTICO
BÁSICO
APLICAR

4.

PRÁCTICO
AVANZADO
ANALIZAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para
el desarrollo del razonamiento lógico
matemático.

Argumentar el planteamiento que
solución a los problemas planteados.
5.

Plantear alternativas mediante la aplicación de
la matemática que permitan dar solución a los
problemas planteados

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

dará

TEÓRICO
PRÁCTICO
BÁSICO
EVALUAR




6.

TEÓRICO
PRÁCTICO
AVANZADO
CREAR

Construir
expresiones
algebraicas
que
contribuyan a la solución de problemas del
entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo
QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 40


3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios
para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN
GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 41

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS
LOGROS ESPERADOS

ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

Identificar
los
términos
básicos utilizados durante el
desarrollo del pensamiento
lógico matemático.

COGNITIVOS

PROCEDIMENTALES

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Qué TIENEquesaber?

El estudiante será capaz de

¿Saber cómo
TIENEqueaplicar el
conocimiento?

T

P

2

4

¿Saber qué y cómo TIENEactuar
axiológicamente?

Sistema de Números
Reales

Utilizar organizadores gráficos
para identificar las clases de
números reales que existe

Demostrar comprensión sobre los tipos
de números reales

Recta de números Reales

Potenciación y
Radicación

Utilizar organizadores gráficos
para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística
Identificar los diferentes
propiedades en potenciación y
radicación

DEMOSTRAR.
1.

Disposición para trabajar en equipo

Operaciones Binarias

MÓDULO DE ALGEBRA

Estrategias, métodos y
técnicas

HOR
AS
CLA
SE

Utilizar una actitud reflexiva y critica
sobre la importancia de la matemática
básica
Aceptar opiniones diferentes
Potenciar el clima positivo

Caracterizar los
números reales para
la demostración
2. Seleccionar los
argumentos y hechos
que corroboraron los
números reales.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.

Determinación del
problema.

Página 42

Propiedades
fundamentales
Aplicaciones

Diferenciar los conceptos
básicos utilizados para el
desarrollo de pensamiento

Hacer síntesis gráfica
Repasar
los
conocimientos
adquiridos y aplicarlos a la vida
del profesional Turístico

Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con
Polinomios: adición, resta,
multiplicación y división.
Productos notables.
Descomposición Factorial

Aceptar errores y elevar el autoestima
para que pueda actuar de manera
autónoma y eficiente

2.

Aplicar operaciones mentales

Aceptar opiniones divergentes

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

Identificar los diferentes tipos
polinomios

Destacar la solidaridad en los
ambientes de trabajo

INDUCTIVO

Aplicar operaciones mentales en
la resolución de un sistema de
ecuaciones.

Potenciar la resolución de problemas

3.

Dialogo mediante
preguntas.
Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.

1.Observación

Identificar los diferentes tipos de
productos notables
Resolver ejercicios

2. Experimentación.
Valorar las participaciones de los
demás

3. Información (oral,
escrita, gráfica, etc.)

Demostrar grado por lo que hacemos
4. Dramatización.
5. Resolución de
problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial
temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 43

2

4

11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1.

Máximo común divisor de
polinomios.
Demostrar la utilidad de las
matemáticas
para
el
desarrollo del razonamiento

Resolver ejercicios con polinomios
sencillos y complejos

Utilizar una actitud crítica y reflexiva
sobre el tema.

Mínimo común múltiplos
de polinomios.

Aplicar procesos de resolución
adecuados para resolver
problemas.

Cooperar en el desarrollo del
conocimiento.

Operaciones con
fracciones.
Aplicaciones

Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar criterios,
hurgar la ciencia,
discutir la ciencia,
búsqueda individual
de la solución,
socializar la solución.
RAZONAR
1.

Resolver ejercicios aplicando en
forma conjunta los máximos y los
mínimos
Distinguir los componentes de las
expresiones racionales

Demostrar confianza en el desarrollo
del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución
de funciones.

Determinar las
premisas.
2. Encontrar la relación
de inferencia entre las
premisas a través del
término medio.
3. Elaborar las
conclusiones.
RELACIONAR.
1.

2.

MÓDULO DE ALGEBRA

Analizar de manera
independiente los
objetos a relacionar.
Determinar los
criterios de relación
entre los objetos

Página 44

3

6

Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
los problemas planteados

Plantear ecuaciones lineales.

Ecuaciones lineales,
resolución
Sistemas lineales y
clasificación.
Resolución de ecuaciones
lineales.

Identificar los sistemas líneas y su
clasificación
Elaborar modelos matemáticos en
la solución de problemas de la
carrera

Definición y clasificación.

Nombrar la definición de
ecuaciones cuadráticas

Utilizar creatividad y capacidad de
análisis y síntesis respetando los
criterios del grupo.

Ecuaciones reducibles a
cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas
las expresiones cuadráticas
Resolver ejercicios sobre
expresiones cuadráticas

Resolución por
completación de un
trinomio cuadrado.

MÓDULO DE ALGEBRA

Respetar las opiniones del grupo y
fuera de él.
Expresar coherencia en las soluciones
propuestas valorando las iniciativas de
cada participante.

Resolución de ecuaciones
cuadráticas por factoreo.

Construir
expresiones
algebraicas que contribuyan a
la solución de problemas del

Demostrar interés en el trabajo
individual y de equipo

Implementar procesos de
resolución adecuados en
problemas reales.

Aplicaciones

Argumentar el planteamiento
que dará solución a los
problemas planteados.

Trabajar con eficiencia y eficacia
respetando los criterios en la resolución
de problemas.

Ejercitar las operaciones con
polinomios incompletos.

Fórmula general para
resolver ecuaciones
cuadráticas.

Aplicar la fórmula general para la
resolución de ecuaciones
cuadráticas

EXPOSICION
PROBLEMICA.
Determinar el
problema.
2. Realizar el encuadre
del problema.
3. Comunicar el
conocimiento.
4. Formulación de la
hipótesis.
5. Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
6. Encontrar solución
(fuentes, argumentos,
búsqueda,
contradicciones)
EXPOSICIÓN
PROBLEMICA

2.
3.

4.

Valorar la creatividad de los demás

6

3

6

3

6

1.

1.
Demostrar razonamiento crítico y
reflexivo cooperando en la obtención
de resultados

3

1.

Respetar el criterio del grupo.
2.

Determinar el
problema
Realizar el encuadre
del problema
Comunicar el
conocimiento
(conferencia ,video )
Formulación de la
hipótesis ( interacción
de las partes)

Determinar los
procedimientos para
resolver problemas.
Encontrar la solución

Página 45

entorno.

MÓDULO DE ALGEBRA

Aplicaciones de la
ecuación cuadrática.

Distinguir los componentes de las
expresiones racionales

( fuentes ,argumentos,
búsqueda
,contradicciones)

Página 46

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados


DIMENSIÓN

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

(Elija el grado de
complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el
logro)

INDICADORES DE LOGRO
DE INGENIERIA
descripción

10%

Reactivos

50%

Documento

10%

Deberes

Documento

10%

Trabajos

Documento

10%

Consultas

Documento

10%

Participación virtual

Chat-Foro

10%

Pruebas

Reactivos

50%

Portafolio

MÓDULO DE ALGEBRA

Chat-Foro

Documento

SUPLETORI
O

10%

Portafolio
Interpretar la información.

Documento

3°
PARCIA
L

10%

Pruebas

CONCEPTUAL.

Documento

2°
PARCIA
L

10%


Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de
pensamiento lógico matemático.

Documento

Trabajos

FACTUAL.

Deberes

Consultas

Identificar
los
términos
básicos
utilizados durante el desarrollo del

Interpretar información.

TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN

1°
PARCIA
L

10%

Página 47

Deberes

Documento

10%

Trabajos

Documento

10%

Consultas

Documento

10%


Chat-Foro

10%

Pruebas

Reactivos

50%

Portafolio

Documento

10%

Deberes

Documento

10%

Trabajos

Documento

10%

Consultas

Documento

10%


Chat-Foro

10%

Pruebas

Reactivos

50%

Portafolio

Documento

10%

Deberes

Documento

5%

Trabajos

Documento

5%

Consultas

Documento

5%


Chat-Foro

5%

Pruebas

Reactivos

25%

Portafolio

CONCEPTUAL.

Modelar, simular sistemas
complejos.

Documento

5%

Interpretar información.

Deberes

Documento

5%

Modelar, simular sistemas

Trabajos

Documento

5%

Demostrar
la
utilidad
de
las
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.

Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los problemas
planteados

Argumentar el planteamiento que dará
solución a los problemas planteados.

Construir expresiones algebraicas que
contribuyan a la solución de problemas

MÓDULO DE ALGEBRA

PROCESAL

CONCEPTUAL

FACTUAL.

Analizar problemas y sistemas
complejos.

Desarrollar una estrategia
para el diseño.

100%

100%

Página 48

CONCEPTUAL.

complejos.

Consultas

Documento

5%

PROCESAL

Analizar problemas y sistemas
complejos.


Chat-Foro

5%

Pruebas

Reactivos

25%

Portafolio

del entorno.

Documento

5%

METACOGNITIVO

ESCALA DE VALORACIÓN
Nivel ponderado de aspiración y
alcance

MÓDULO DE ALGEBRA

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio

7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio

100%

4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

Página 49

VI.

GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS

COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)

Identificar los términos básicos
utilizados durante el desarrollo del

HORAS
AUTÓNO
MAS

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

T
INSTRUCCIONES

Consulte información en el
internet
y
textos
especializados
los
conceptos de números
reales,
presentar
en
organizadores gráficos.

RECURSOS

Libros.
Copias

P

PRODUCTO

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números
reales.

2

4

Identifica los tipos de polinomios

2

4

Distinguir plenamente entre expresiones racionales
e irracionales

3

6

Documentos en pdf.
Descarga de documentos de
la web.

Prueba
Diferenciar los conceptos básicos
utilizados para el desarrollo de

Consulta sobre la definición
de
un
monomio
y
polinomio.
Grado de un polinomio y su
ordenamiento

Demostrar la utilidad de las
matemáticas para el desarrollo del
razonamiento lógico matemático.

MÓDULO DE ALGEBRA

Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.

Distinguir
plenamente Libros.
entre
expresiones
Copias
racionales e irracionales
Documentos en pdf.
la web.

Página 50

Plantear alternativas mediante la
aplicación de la matemática que
permitan dar solución a los
problemas planteados

Dar solución a ecuaciones
de primer grado

Libros.
Copias
Documentos en pdf.
la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado

3

6

Argumentar el planteamiento que
dará solución a los problemas
planteados.

Identificar los tipos de
soluciones que pueden
presentarse en la solución
de
expresiones
cuadráticas.

Libros.

Identificar los tipos de soluciones que pueden
presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3

6

Construir expresiones algebraicas
que contribuyan a la solución de
problemas del entorno.

3

6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

16

32

1

2

Copias
Documentos en pdf.
la web.

TOTAL

CRÉDITOS

3

MÓDULO DE ALGEBRA

Página 51

VII. Bibliografía.
BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DOCENTES:
Firma:
Nombres y Apellidos

MÓDULO DE ALGEBRA

Oscar Rene Lomas Reyes

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TRABAJOS
AUTÓNOMOS

MÓDULO DE ALGEBRA

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MÓDULO DE ALGEBRA

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MÓDULO DE ALGEBRA

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MÓDULO DE ALGEBRA

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MÓDULO DE ALGEBRA

Página 57


MÓDULO DE ALGEBRA

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
ALGEBRA
ESTUDIANTE: Verónica Benavides
DOCENTE: Ing. Oscar Lomas
CURSO: Primero "A"
FECHA: 20 - 01 - 2014
EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL
1.- Producción para utilidad máxima: Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción
para dos nuevos artículos, camiones y perinolas, con base en la información concerniente a sus tiempos de
ensamblado dados en la tabla que sigue:
Máquina A
Camión

2h

Máquina B
3h

Acabado
5h

Perinola
1h
1h
1h
Por ejemplo: cada camión requiere de 2 horas en la máquina A. Las horas que los empleados tienen
disponibles por semana son: para operación de la maquina A, 80 horas, para la B, 50 horas, para acabado,
70 horas, si las utilidades de cada camión y cada perinola son de $7 y $2, respectivamente ¿Cuántos
juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar de utilidad? ¿Cuál es esta
utilidad máxima?
Máquina A

Máquina B

Horas

Camión

2

1

≤

80

40

Perinola

3

1

≤

50

50

Acabado

5

1

≤

70

70

Costo

7

2

Variables

10

20
Z MAX=

110

Se tiene que producir 10 camiones y 20 perinolas semanales para maximizar las utilidades en $110;
utilizando 40 horas de la Maq A, 50 horas de la Maq B, 70 horas de acabado.

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2.- Producción para utilidad máxima: Un fabricante produce dos tipos de reproductores de DVD Vista y
Xtreme. Para su producción requieren del uso de dos máquinas A y B. El número de horas necesarias para
ambas está indicada en la tabla siguiente:
Máquina A

Máquina B

Vista

1h

2h

Xtreme

3h

2h

Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos Vista y Xtreme son de
$50 y $80, respectivamente ¿Cuántos reproductores de cada tipo deben producirse por día para obtener
una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?
Vista

Xtreme

Horas

Máquina A

1

3

≤

24

24

Máquina B

2

2

≤

24

24

Costo

50

80

Variable

6

6
ZMAX=

780

Se necesita producir 6 DVD vista, y 6 DVD Xtreme, para tener una utilidad de $780.
3.- Formulación de una dieta: Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de
proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2
unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el alimento B $ 0.80
por unidad ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? ¿Cuál es el
costo mínimo?
Alimento A

Alimento B

Carbohidratos

2

2

≥

16

16

Proteínas

4

1

≥

20

20

1,2

0,8

3

8

Costo
Variable

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ZMIN=

10

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Deben comprarse 3 unidades del alimento A y 8 unidades del alimento B para minimizar el costo.

4.- Nutrientes en fertilizantes. Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes A, B y
C. Los requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas
de fertilizantes de gran aceptación en el mercado. La mezcla I cuesta $8 por bolsa, y contiene 2 unidades de
A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $10 por bolsa, con dos unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántos
bolsas de cada tipo debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de
nutrientes?
Requerimientos
Semanales

Mezcla I

Mezcla II

Nutriente A

2

2

≥

80

80

Nutriente B

6

2

≥

120

200

Nutriente C

4

12

≥

240

240

Costo

8

10

Variables

30

10

ZMIN=

340

Se debe comprar 26 bolsas de la mezcla I y 13 bolsas de mezcla II para minimizar el costo y satisfacer los
requerimientos en nutrientes.

5.- Extracción de Minerales: Una compañía extrae minerales de una mina. En la tabla siguiente se indica
el número de libras de los minerales A y B que pueden obtenerse de cada tonelada de la mina I y II junto
con los costos por tonelada.
Mina I

Mina II

Mineral A

100 lb

200 lb

Mineral B

200 lb

50 lb

$50

$60

Costo por tonelada

Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿Cuántas toneladas de cada mina
deben procesarse con el objeto de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?

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Mina I

Mina II

Mineral A

100

200

≥

3000

3000

Mineral B

200

50

≥

2500

2500

50

60

10

10

Costo por tonelada

Variables

Total

ZMIN=

1100

Se debe producir 10 toneladas en la mina I y II para minimizar el costo a 1100

6.- Programación de Producción: Una compañía petrolera que tiene dos refinerías necesita al menos
8000, 14000 y 5000 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto respectivamente. Cada día, la
refinería 1 produce 2000 barriles de grado bajo, 3000 barriles de grado medio y 1000 barriles de grado
alto en tanto que la refinería 2 produce 1000 barriles de cada uno de los grados alto y bajo y 3000 barriles
de petróleo de grado medio. Si operar la refinería 1 cuesta $25000 por día, y operar la refinería 2 $20000
diarios. ¿Cuántos días debe operar cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un
costo mínimo? Suponga que existe un costo mínimo ¿Cuál es?
Refinería I

Refinería II

Grado Bajo

2000

1000

≥

8000

8000

Grado Medio

3000

3000

≥

14000

15000

Grado Alto

1000

1000

≥

5000

5000

25000

20000

3

2

Costo
Variable

Total

ZMIN=

115000

La refinería 1 debe operarse 3 días y la refinería 2 debe operarse 2 días y así para satisfacer los
requerimientos de producción a un costo mínimo.

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7.- Costo de construcción: Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros
P1 y P2. La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1, y 420
unidades de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de reacción que se
incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600000 y es capaz de producir 10 unidades de P1 y
20 unidades de P2 por día; el tipo B es un diseño más económico cuesta $300000 y es capaz de producir 4
unidades de P1 y 30 unidades de P2 por día. Debido a los costos de operación, es necesario tener al menos
cuatro cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de
construcción y aún así satisfacer el programa de producción requerido? Suponga que existe un costo
mínimo.
Tipo A

Tipo B

Polímero 1

10

4

≥

100

100

Polímero 2

20

30

≥

420

420

600000

300000

6

10

Costo
Variable

Total

ZMIN=

6600000

Se requieren construir 6 cámaras de tipo A y 10 cámaras de tipo B para para minimizar el costo de
construcción y aún así satisfacer el programa de producción requerido.

8.- Control de la contaminación: Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre la contaminación,
una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso que complementa o
remplaza al proceso anterior de fabricación de un producto químico en particular. El proceso anterior
descarga 25 gramos de CO2 y 50 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de producto químico
producido. El nuevo procesa 15 gramos de CO2 y 40 gramos de partículas a la atmosfera por cada litro
producido. La compañía obtiene una utilidad de 40 y 15 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo
respectivamente. Si el gobierno no permite descargar más de 12525 gramos de CO2 si más de 20000
gramos de partículas a la atmosfera por día ¿Cuántos litros de producto químico deben producirse
diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?
Proceso anterior

Proceso nuevo

Gramos de CO2

25

15

≤

12525

10000

Gramos de
partículas

50

40

≤

20000

20000

Utilidades

40

15

Variables

400

0

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Total permitido

ZMAX=

16000
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Deben producirse diariamente 400 litros del proceso anterior y 0 litros del nuevo proceso, para maximizar
la utilidad diaria

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TRABAJOS EN
CLASE

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PRUEBAS

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PRUEBA DE ALGEBRA

Mina A

Mina B

Alta Calidad
Media
Calidad
Baja Calidad

1

2

≥

80

3

2

≥

160

5

2

≥

200

Costos

2000

2000

Variables

40

20
Zmin=

80
160
240

120000

En la mina A se debe trabajar 40 días y en la mina B se debe trabajar 20 días para tener un costo
mínimo

Pantalones

Chaquetas

Algodón

1

1,5

≤

700

700

Poliéster

2

1

≤

1000

1000

Costo

50

40

Variables

400

200
Zmax=

28000

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Se debe suministrar 400 pantalones y 200 chaquetas para que estos consigan una venta máxima

Tipo A

Tipo B

Cobre

10

15

≤

195

180

Titanio

2

1

≤

20

20

Aluminio

1

1

≤

14

14

Costo

1500

1000

Variables

6

8
Zmax=

17000

La empresa A debe fabricar 6 m de cable y la empresa B 8 m de cable para obtener un beneficio
máximo

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