Universidad Técnica Particular de Loja Ciencias de la Computación Cálculo II II Bimestre Abril-Agosto 2007 Ponente: Ing. Pablo Ramón

1. ESCUELA : PONENTE : BIMESTRE : CÁLCULO II CICLO : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN II BIMESTRE Ing. Pablo Ramón ABRIL – AGOSTO 2007

2. OBJETIVO GENERAL Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el CI, las EDO y las Series. En resumen: Desarrollar la habilidad del razonamiento matemático, para aplicar correctamente las herramientas del Cálculo a la resolución de problemas y construcción de modelos.

6. Capítulo 5 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

7. 5.1 INTEGRACIÓN POR PARTES Método que surge de la formula de la derivada de un producto:

8. Ejemplo 1:

10. Ejemplo 3:

11. Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:

12. Caso Especial: Doble integración por partes Ejemplo 4: (1)

13. (2)

14. Reemplazando (2) en (1), se tiene:

16. Ejemplo: Donde:

17. Caso 2: , Grado P(x) < Grado Q(x) Se hace la descomposición: Donde constantes reales.

18. Ejemplo 1: Igualando numeradores:

19. Se forma un sistema de ecuaciones lineales: Resolviendo se obtiene:

20. Caso 2’: Q(x) tiene raíces repetidas Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

21. Caso 2’’: Q(x) tiene raíces complejas distintas. Q(x) posee factores cuadráticos de la forma: Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

22. Luego: Se obtiene:

24. Tres casos fundamentales: a: constante real. Ejemplo 1: Resolver la integral (1) (2) (3)

26. Ejemplo 2: Resolver la integral Utilizando la identidad:

27. Puesto que: =

28. Capítulo 6 INTEGRALES IMPROPIAS

29. 6.1 LÍMITES INFINITOS ¿Qué significan las siguientes expresiones? X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.) f(x): toma valores positivos muy grandes X: toma grandes f(x): se aproxima a 5

30. Gráfica de Límites Infinitos

31. Algunos Ejemplos Ejemplo 1:

32. Ejemplo 2:

33. Ejemplo 3:

34. Ejemplo 4:

35. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene asíntotas verticales)

36. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO

37. CASO 2: FUNCIÓN NO ACOTADA

39. NÚMERO FINITO DE SINGULARIDADES Asíntota = Singularidad

40. Algunos Ejemplos Ejemplo 1: Esquematizar la región.

41. Ejemplo 2:

42. Ejemplo 3:

43. Ejemplo 4:

44. Ejemplo 5:

45. Capítulo 7 SERIES INFINITAS

46. 7.1 SUCESIONES Aplicaciones de los naturales en los reales: a: N  R n  a n Ejemplo: número e ¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!

47. Sucesiones Monótonas Ejemplo: Analizar la monotonía de la sucesión Paso 1 Paso 2  La sucesión es monótona

48. 7.2 SERIES INFINITAS Sumas parciales N-ésima suma parcial ¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límite la serie converge !!!

49. 7.3 CONVERGENCIA EJEMPLOS Serie armónica divergente Serie geométrica

50. PROPIEDADES CRITERIOS DE CV Adición: Producto por escalar:

51. Criterio del cociente

52. Criterio de la raíz

53. Criterio de la INTEGRAL

54. 7.4 SERIE DE TAYLOR Polinomio de Taylor: Residuo de Taylor: La serie de Taylor se rebautizará &quot;serie de Maclaurin&quot; para x = 0 Brook Taylor

55. ALGUNAS SERIES BÁSICAS de Maclaurin

56. 7.5 SERIE DE FOURIER