U.T.P,L. Carrera: Ciencias de la computación Materia: Fundamentos Matematicos Periodo: Abril - Agosto 2010 Ponente: Ing. Ricardo Blacio

1. ESCUELA : NOMBRES: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS FECHA : Ciencias de la Computación Ing. Ricardo Blacio ABRIL - AGOSTO 2010

2. 3. Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1 ,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 y x II I III IV El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1 , y 2 +y 1 2 2

6. Intersección con x Intersección con y

7. Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: x 2 + y 2 = r 2

8. Encuentre el centro y radio de la circunferencia x 2 + y 2 -10x +18 = 0 (x 2 – 10 x + _ _ )+ y 2 = -18 (x 2 – 10 x + 25 )+ y 2 = -18 +25 (x – 5) 2 + y 2 = 7 (x – h) 2 + (y - k) 2 = r 2 h=5 y k = 0 Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7

13. Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica

14. Sea I un intervalo del dominio de una función f: f es creciente en I si f (x1) < f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es decreciente en I si f (x1) > f (x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I. f es constante en I si f (x1) = f (x2) para toda x1 y x2. Función creciente, decreciente o constante

15. Al reemplazar la variable x por –x: Si f (-x) = f (x) la función es par Si f (-x) = - f (x) la función es impar Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y. Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen. Paridad de una función

16. Encuentre el dominio y la imagen de f si: Dominio: todos los reales excepto cuando x = -3 Imagen: El intervalo abierto (0,+∞) Creciente : (- ∞, -3 ) Decreciente: (-3 , +∞) Dominio Imagen x y 0 1/9 1 1/16 2 1/25 -1 1/4 -2 1 -3 No existe --- ---

17. Tipos de Funciones Funciones Lineales Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0 Se llaman así porque su gráfica es una línea recta Funciones Cuadráticas Del tipo f(x) = ax 2 + bx + c a ≠0 Su gráfica es una parábola

18. Traza la gráfica de f f(x) = (x - 3) 2 - 2 Intersección con x hacer y = 0 0 = (x - 3) 2 - 2 x 2 - 6x + 9 – 2 = 0 x 2 - 6x + 7 = 0

19. Intersección con y hacer x = 0 y = (0 - 3) 2 - 2 y = 9 - 2 y = 7 Intersección con x Intersección con y y = x 2 - 6x + 7 Centro de la parábola -b/2a -(-6)/2(1) = 3 y = (3) 2 – 6(3) + 7 = 0 y = -2 Por lo tanto C(3,-2) x y 1 2 2 -1 3 -2 -1 14 --- ---

20. f(x) = (x - 3) 2 - 2 Traslación vertical y = f(x) – c ; c unidades hacia abajo. Traslación horizontal y = y f(x - c) ; c unidades a la derecha 2 3 Translaciones verticales de las curvas (c > 0) Translaciones horizontales de las curvas (c > 0) Translaciones verticales de las curvas (c > 0) Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x) y = f(x) - c c unidades hacia abajo y = f(x) + c c unidades hacia arriba Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x) y = f(x - c) c unidades a la derecha y = f(xc) c unidades a la izquierda

21. Operaciones con funciones Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división

22. La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x)) Composición de funciones Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones