Soal integral dan pembahasan

Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK 1
SOAL INTEGRAL
A. Integral Tak Tentu
1. Soal Buku Mandiri Matematika XII
Jika f(x) = x3n , untuk setiap n dan n ≠ −
1
3
, maka ∫f (x) dx adalah ...
a.
1
3n
x3n + C
b.
1
4n
x4n + C
c. x3n + 1 + C
d.
1
n + 1
xn + 1 + C
e.
1
3n + 1
x3n + 1 + C
Penyelesaian :
Substitusikan f(x) = x3n ke dalam ∫f (x) dx = ∫x3n dx
∫ x3n dx =
1
3n + 1
x3n + 1 + C
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah
1
3n + 1
x3n + 1 + C (e)
∫ 3x2 + 2x + 4 dx = ...
a. x3 + 2x2 + 4x + C
b. x3 + x2 + 4x + C
c. x3 − 2x2 + 4x + C
d. x3 − x2 + 4x + C
e. x3 + x2 − 4x + C
Penyelesaian :
∫ 3x2 + 2x + 4 dx =
3
3
x3 +
2
2
x2 + 4x + C
= x3 + x2 + 4x + C
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah x3 + x2 + 4x + C (b)
∫
1
2x √x
dx = ...
a. −
1
√x
+ C
b. −
1
x√x
+ C
c.
1
√x
+ C
d. −
2
√x
+ C
e. −
1
2√x
+ C

2 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
Penyelesaian :
∫
1
2x √x
dx = ∫
1
2x
3
2
dx
= ∫
1
2
x−
3
2 dx
=
1
2
∫x−
3
2 dx
=
1
2
.
1
−
3
2
+
2
2
x−
3
2
+
2
2 + C
=
1
2
.
1
−
1
2
x−
1
2 + C
=
1
2
.−2 .x−
1
2 + C
= − x−
1
2 + C
= −
1
√x
+ C
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −
1
√x
+ C (a)
∫ 3x2 − 6x + 7 dx = ...
a. 6x3 − 6x2 + 6x + C
b. x3 − 3x2 + 7x + C
c. 3x3 + 2x2 − x + C
d. 3x3 − 2x2 + x + C
e. 3x3 − 3x2 + x + C
Penyelesaian :
∫ 3x2 − 6x + 7 dx =
3
3
x3 −
6
2
x2 + 7x + C
= x3 − 3x2 + 7x + C
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah x3 − 3x2 + 7x + C (b)
∫{x3 + sin (5x + 1)} dx = ...
a.
1
2
x2 −
1
5
cos(5x − 1) + C
b.
1
2
x2 +
1
5
cos(5x − 1) + C
c.
1
4
𝑥2 −
1
5
cos(5𝑥 − 1) + 𝐶
d.
1
4
𝑥2 +
1
5
cos(5𝑥 − 1) + 𝐶
e. 3𝑥2 −
1
5
cos(5𝑥 − 1) + 𝐶
Penyelesaian :
∫{x3 + sin (5x + 1)} dx =
1
4
x4 +
1
5
. −cos(5x − 1)2 + C
=
1
4
x4 −
1
5
cos(5x − 1)2 + C

1
4
x4 −
1
5
cos(5x − 1)2 + C (c)
∫{sin3x − cos3x} dx = ...
a. −
1
3
(cos3x + sin 3x) + C
b. −cos3x .sin x + C
c. −cos3𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶
d. −
1
3
sin 3x + cosx + C
e.
1
3
sin 3x + cosx + C
Penyelesaian :
∫{sin3x − cos3x} dx = −
1
3
cos3x −
1
3
sin 3x + C
= −
1
3
(cos3x + sin 3x) + C
1
3
(cos3x + sin 3x) + C (a)
∫ sin2 2x dx = ...
a.
1
3
sin3 2x + C
b.
1
3
cos3 2x + C
c. −
1
3
cos32x + C
d.
1
2
x −
1
8
sin 4x + C
e.
1
2
x −
1
8
cos4x + C
Penyelesaian :
∫ sin2 2x dx = ∫
1
2
(1 − cos 4x) dx
=
1
2
∫(1 − cos 4x) dx
=
1
2
(x −
1
4
sin 4x) + C
=
1
2
x −
1
8
sin 4x + C
1
2
x −
1
8
sin 4x + C (d)
Jika f(x) = ∫(
1
3
x2 − 2x + 5) dx dan f(0) = 5 , maka f(x) = ...
a.
1
9
x3 − x2 + 5x + C
b.
2
3
x3 − x2 + 5x + 9
c.
2
3
x3 − 2x2 + 5x + 5

d.
1
9
x3 − 2x2 + 5x + 3
e.
1
9
x3 − x2 + 5x + 5
Penyelesaian :
f(x) = ∫(
1
3
x2 − 2x + 5) dx =
1
9
x3 −
2
2
x2 + 5x + C
=
1
9
x3 − x2 + 5x + C
Melalui f(0) = 5 dapat ditentukan berapa nilai C dengan
f(0) = 5  𝑓( 𝑥) =
1
9
x3 − x2 + 5x + C
𝑓(0) =
1
9
. 03 − 02 + 5.0 + C
5 =
1
9
. 03 − 02 + 5.0 + C
5 = C
Masukkan nilai C ke dalam fung si f(x)
𝑓( 𝑥) =
1
9
x3 − x2 + 5x + C
𝑓( 𝑥) =
1
9
x3 − x2 + 5x + 5
1
9
x3 − x2 + 5x + 5 (e)
Jika F(x) = 3 ∫√x dx = f(x) + C dengan f′(x) = 3√x , agar F(4) = 19 , maka nilai C
= ...
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Penyelesaian :
F(x) = 3 ∫√x dx = f(x) + C
= 3 ∫x
1
2 dx
= 3 (
1
1
2
+
2
2
x
1
2
+
2
2) + C
= 3 (
2
3
x
3
2) + C
= 2𝑥√ 𝑥 + C
Melalui F(4) = 19 dapat ditentukan berapa nilai C dengan
F(4) = 19  𝐹( 𝑥) = 2𝑥√ 𝑥 + C
𝐹(4) = 2.4√4 + C

19 = 16 + C
3 = C
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3 (d)
Jika F′(x) = 1 − 2x dan F(3) = 4 , maka F(x) = ...
a. 2x2 − x + 11
b. x2 + 2x + 11
c. −2x2 + x + 11
d. −x2 + x + 11
e. −x2 + x + 11
Penyelesaian :
F(x) = ∫F′(x) dx =∫1 − 2x dx
= x −
2
2
x2 + C
= x − x2 + C
Melalui F(3) = 4 dapat ditentukan berapa nilai C dengan
F(3) = 4  𝐹( 𝑥) = x − x2 + C
𝐹(3) = 3 − 32 + C
4 = −6 + C
10 = C
Masukkan nilai C ke dalam fung si F(x)
𝐹( 𝑥) = x − x2 + C
𝐹( 𝑥) = x − x2 + 10
𝐹( 𝑥) = −x2 + x + 10
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −x2 + x + 10 (e)
B. Integral Tentu
Nilai dari ∫ 4𝑥3 𝑑𝑥
3
2 adalah ...
a. -65
b. 4
c. 65
d. 76
e. 260
Penyelesaian :
∫ 4𝑥3 𝑑𝑥
3
2 = [
4
4
𝑥4]
= [ 𝑥4]
= (34) − (24)
= 81 – 16

= 65
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 65 (c)
∫ (2𝑥2 + 4𝑥 − 5) 𝑑𝑥
2
1 = ...
a. -4
b. -2
c. 6
d. 8
e. 13
Penyelesaian :
∫ (3𝑥2 + 4𝑥 − 5) 𝑑𝑥
2
1 = [
3
3
𝑥3 +
4
2
𝑥2 − 5𝑥]
= [ 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥]
= [(23 + 2. 22 − 5.2) − (13 + 2. 12 − 5.1)]
= [(8 + 8 − 10) − (1 + 2 − 5)]
= 8 + 8 − 10 − 1 − 2 + 5
= 8
∫ (𝑥√ 𝑥 + 𝑥2) 𝑑𝑥
1
0 = ...
a.
1
3
b.
2
5
c.
11
15
d. 3
1
2
e. 5
1
2
Penyelesaian :
∫ (𝑥√ 𝑥 + 𝑥2) 𝑑𝑥
1
0 = ∫ (𝑥
3
2 + 𝑥2) 𝑑𝑥
1
0
= [
2
5
𝑥
3
2 +
1
3
𝑥3]
= [(
2
5
.1
3
2 +
1
3
.13) − (
2
5
.0
3
2 +
1
3
. 03)]
= [(
2
5
+
1
3
) − 0]
=
6
15
+
5
15
=
11
15
11
15
(c)

∫
𝑥−1
𝑥3
𝑑𝑥
2
1 = ...
a. 1
19
20
b.
1
8
c.
7
8
d. 1
e.
3
2
Penyelesaian :
∫
𝑥−1
𝑥3
𝑑𝑥
2
1 = ∫ 𝑥−3(𝑥− 1) 𝑑𝑥
2
1
= ∫ (𝑥−2 − 𝑥−3) 𝑑𝑥
2
1
= [
1
−1
𝑥−1 −
1
−2
𝑥−2]
= [−
1
𝑥
+
1
2𝑥2
]
= [(−
1
2
+
1
2.22
) − (−
1
1
+
1
2.12
)]
= [(−
1
2
+
1
8
) − (−
1
1
+
1
2
)]
= −
4
8
+
1
8
+
8
8
−
4
8
=
1
8
1
8
(b)
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎 = ...
a.
𝑎−𝑏
𝑎𝑏
b.
𝑎𝑏
𝑎−𝑏
c.
𝑏−𝑎
𝑎𝑏
d.
𝑎𝑏
𝑏−𝑎
e.
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
Penyelesaian :
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎 = ∫ 𝑥−2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= [
1
−1
𝑥−1]
= [−
1
𝑥
]
= [(−
1
𝑏
) − (−
1
𝑎
)]
= −
1
𝑏
+
1
𝑎

=
𝑏−𝑎
𝑎𝑏
𝑏−𝑎
𝑎𝑏
(c)
∫ (𝑥 + 4 −
1
2
𝑥2) 𝑑𝑥
4
−2 = ...
a. 2
b. 18
c. 20
1
3
d. 22
e. 24
1
3
Penyelesaian :
∫ (𝑥 + 4 −
1
2
𝑥2) 𝑑𝑥
4
−2 = [
1
2
𝑥2 + 4𝑥 −
1
6
𝑥3]
= [(
1
2
.42 + 4.4 −
1
6
.43) − (
1
2
. (−2)2 + 4.(−2) −
1
6
. (−2)3)]
= [(8 + 16 −
64
6
) − (2 − 8 +
8
6
)]
= [(24 −
64
6
) − (−6 +
8
6
)]
= −
64
6
−
8
6
+
180
6
=
108
6
= 18
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 18 (b)
∫ (2𝑥3 − cos 𝑥) 𝑑𝑥
1
2
𝜋
−
1
2
𝜋
= ...
a. −2
b. 0
c.
1
2
d. 1
e. 2
Penyelesaian :
∫ (2𝑥3 − cos 𝑥) 𝑑𝑥
1
2
𝜋
−
1
2
𝜋
= [
2
4
𝑥4 − sin 𝑥]
= [(
2
4
. 904 − sin 90) − (
2
4
. −904 − sin −90)]
= [(
2
4
. 904 − sin 90) − (
2
4
. (−90)4 − sin 90]
= − sin 90 − sin 90
= −1 − 1

= −2
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −2 (a)
∫ ( 𝑥 − 2) 𝑑𝑥
𝑎
2 = 4
1
2
. Nilai 𝑎 = ...
a. 1 atau 5
b. -1 atau -5
c. -1 atau 5
d. 2 atau -4
e. -1 atau 4
Penyelesaian :
∫ ( 𝑥 − 2) 𝑑𝑥
𝑎
2 = [
1
2
. 𝑥2 − 2𝑥]
9
2
= [(
1
2
. 𝑎2 − 2𝑎) − (
1
2
. 22 − 2.2)]
9
2
= [(
1
2
. 𝑎2 − 2𝑎) − (−2)]
9
2
= [(
1
2
. 𝑎2 − 2𝑎) +
4
2
]
9
2
−
4
2
=
1
2
. 𝑎2 − 2𝑎
5
2
=
1
2
. 𝑎2 − 2𝑎
0=
1
2
. 𝑎2 − 2𝑎 −
5
2
0= 𝑎2 − 4𝑎 − 5
0= ( 𝑎 − 5)(𝑎 + 1)
𝑎 = 5 atau 𝑎 = -1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -1 atau 5 (c)
∫ ( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
𝑎
−1 =
5
2
. Nilai 𝑎 = ...
a. 4
b. 2,5
c. 2
d. 1
e. -1
Penyelesaian :
∫ ( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
𝑎
−1 = [
1
2
. 𝑥2 − 𝑥]
5
2
= [(
1
2
. 𝑎2 − 𝑎) − (
1
2
. 12 − 1)]
5
2
= [(
1
2
. 𝑎2 − 𝑎) − (
3
2
)]
5
2
= [(
1
2
. 𝑎2 − 𝑎) −
3
2
]

5
2
+
3
2
=
1
2
. 𝑎2 − 𝑎
8
2
=
1
2
. 𝑎2 − 𝑎
0=
1
2
. 𝑎2 − 𝑎 −
8
2
0= 𝑎2 − 2𝑎 − 8
0= ( 𝑎 − 4)(𝑎 + 2)
𝑎 = 4 atau 𝑎 = -2
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 (a)
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
1
𝑝 = −4, maka selisih nilai 𝑝 = ...
a. -6
b. -4
c. -1
d. 1
e. 5
Penyelesaian :
∫ (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
1
𝑝 = [
2
2
. 𝑥2 + 𝑥]
−4 = [(12 + 1) − ( 𝑝2 + 𝑝)]
−4 = [2 − 𝑝2 − 𝑝]
0 = 2 − 𝑝2 − 𝑝 + 4
0 = −𝑝2 − 𝑝 + 6
0 = 𝑝2 + 𝑝 − 6
0 = ( 𝑝 + 3)(𝑝 − 2)
𝑝 = -3 atau 𝑝 = 2
Selisih nilai 𝑝 = 2 – (-3) = 5
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 5 (e)
C. Integral Substitusi
∫(𝑥3 + 2)2 . 3𝑥2 𝑑𝑥 = ...
a.
1
3
(x3 + 2)3 + C
b.
1
2
(x2 + 2)2 + C
c.
1
3
(x3 + 2)2 + C
d.
1
2
(x3 + 2)3 + C
e. 2(x3 + 2)3 + C
Penyelesaian :
Misal 𝑈 = 𝑥3 + 2

𝑑𝑈 = 3𝑥2 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
3𝑥2
∫(𝑥3 + 2)2 . 3𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑈2 . 3𝑥2 𝑑𝑈
3𝑥2
=∫ 𝑈2 𝑑𝑈
=
1
3
𝑈3 + 𝐶
=
1
3
(𝑥3 + 2)3 + 𝐶
1
3
(𝑥3 + 2)3 + 𝐶 (a)
∫
8𝑥2
(x3+2)3
𝑑𝑥 = ...
a. -
4
(x3+2)2
+ C
b. -
4
3(x3+2)2
+ C
c.
4
3(x3+2)2
+ C
d.
4
(x3+2)2
+ C
e.
3
4(x3+2)2
+ C
Penyelesaian :
Misal 𝑈 = 𝑥3 + 2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
3𝑥2
∫
8𝑥2
(x3+2)3
𝑑𝑥 = ∫
8𝑥2
U3
.
𝑑𝑈
3𝑥2
=
8
3
∫ 𝑈−3 𝑑𝑈
=
8
3
.
1
−2
𝑈−2 + 𝐶
= -
4
3
𝑈−2 + 𝐶
= −
4
3(𝑥3+2)2
+ 𝐶
4
3(𝑥3+2)2
+ 𝐶 (b)
∫ 3𝑥√1 − 2𝑥2 𝑑𝑥 = ...
a.
1
2
(1 − 2𝑥2)
3
2 + C
b.
1
2
(1 − 2𝑥2)
2
3 + C
c. −
1
2
(1 − 2𝑥2)
2
3 + C

d. −
1
2
(1 − 2𝑥2)
3
2 + C
e.
2
3
(1 − 2𝑥2)
3
2 + C
Penyelesaian :
Misal 𝑈 = 1 − 2𝑥2
𝑑𝑈 = −4𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
−4𝑥
∫ 3𝑥√1 − 2𝑥2 𝑑𝑥 = ∫3𝑥√ 𝑈
𝑑𝑈
−4𝑥
= −
3
4
∫ 𝑈
1
2 𝑑𝑈
= −
3
4
.
1
3
2
𝑈
3
2 + 𝐶
= −
3
4
.
2
3
𝑈
3
2 + 𝐶
= −
1
2
𝑈
3
2 + 𝐶
= −
1
2
(1 − 2𝑥2)
3
2 + 𝐶
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -
1
2
(1 − 2𝑥2)
3
2 + 𝐶 (d)
∫ 𝑥√9 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ...
a.
1
3
(9 − x2)√9 − x2 + C
b. -
1
4
(9 − x2)√9 − x2 + C
c.
1
4
(9 − x2)√9 − x2 + C
d. −
1
3
(9 − x2)√9− x2 + C
e.
1
5
(9 − x2)√9 − x2 + C
Penyelesaian :
Misal 𝑈 = 9 − x2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
−2𝑥
∫ 𝑥√9 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥√ 𝑈
𝑑𝑈
−2𝑥
= −
1
2
∫ 𝑈
1
2 𝑑𝑈
= −
1
2
.
1
3
2
𝑈
3
2 + 𝐶
= −
1
2
.
2
3
𝑈
3
2 + 𝐶
= −
1
3
𝑈
3
2 + 𝐶

= −
1
3
(9 − 𝑥2)
3
2 + 𝐶
= −
1
3
(9 − 𝑥2)√9 − 𝑥2 + 𝐶
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah - −
1
3
(9 − 𝑥2)√9 − 𝑥2 + 𝐶 (d)
∫
9𝑥2
√x3+8
𝑑𝑥 = ...
a.
1
6
√𝑥3 + 8 + 𝐶
b.
3
2
√𝑥3 + 8 + 𝐶
c. -
3
2
√𝑥3 + 8 + 𝐶
d. 6 √𝑥3 + 8 + 𝐶
e. 18 √𝑥3 + 8 + 𝐶
Penyelesaian :
Misal 𝑈 = x3 + 8
𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
3𝑥2
∫
9𝑥2
√x3+8
𝑑𝑥 = ∫
9𝑥2
√U
.
𝑑𝑈
3𝑥2
= 3∫ 𝑈−
1
2 𝑑𝑈
= 3.
1
1
2
𝑈
1
2 + 𝐶
= 6 𝑈
1
2 + 𝐶
= 6 √x3 + 8 + 𝐶
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 6 √x3 + 8 + 𝐶 (d)
∫ cos(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ...
a.
1
4
cos(4𝑥 + 1) + 𝐶
b.
1
4
sin(4𝑥 + 1) + 𝐶
c. −
1
4
cos(4𝑥 + 1) + 𝐶
d. −
1
4
sin(4𝑥 + 1) + 𝐶
e. 4 sin(4𝑥 + 1) + 𝐶
Penyelesaian :
Misal 𝑈 = 4𝑥 + 1
𝑑𝑈 = 4 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
4

∫ cos(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫cos 𝑈
𝑑𝑈
4
=
1
4
sin 𝑈 + 𝐶
=
1
4
sin(4𝑥 + 1) + 𝐶
1
4
sin(4𝑥 + 1) + 𝐶 (b)
∫ 𝑥 sin 𝑥2 𝑑𝑥 = ...
a.
1
2
cos 𝑥2 + 𝐶
b. −
1
2
cos 𝑥2 + 𝐶
c. −
1
2
sin 𝑥2 + 𝐶
d. 2 cos 𝑥2 + 𝐶
e. 2 sin 𝑥2 + 𝐶
Penyelesaian :
Misal 𝑈 = 𝑥2
𝑑𝑈 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
2𝑥
∫ 𝑥 sin 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 sin 𝑈
𝑑𝑈
2𝑥
=
1
2
.− cos 𝑈 + 𝐶
= −
1
2
cos 𝑥2 + 𝐶
1
2
cos 𝑥2 + 𝐶 (b)
∫ 𝑠𝑖𝑛4 𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 = ...
a.
1
5
𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝐶
b.
1
5
𝑠𝑖𝑛5 𝑥cos 𝑥 + 𝐶
c.
1
5
𝑐𝑜𝑠5 𝑥 + 𝐶
d.
1
5
𝑐𝑜𝑠5 𝑥sin 𝑥 + 𝐶
e.
1
5
𝑠𝑖𝑛5 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥+ 𝐶
Penyelesaian :
Misal 𝑈 = sin 𝑥
𝑑𝑈 = cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
cos 𝑥
∫ 𝑠𝑖𝑛4 𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑈4 cos 𝑥
𝑑𝑈
cos𝑥

= ∫ 𝑈4 𝑑𝑈
=
1
5
𝑈5 + 𝐶
=
1
5
1
5
𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝐶 (a)
∫
tan 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑑𝑥 = ...
a.
1
2
𝑐𝑜𝑡2 𝑥+ 𝐶
b.
1
2
𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝐶
c.
1
2
𝑠𝑒𝑐2 𝑥+ 𝐶
d.
1
2
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 + 𝐶
e.
1
2
Penyelesaian :
∫
tan 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
sin𝑥
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
𝑑𝑥
Misal 𝑈 = cos 𝑥
𝑑𝑈 = − sin 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
−sin 𝑥
∫
sin 𝑥
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
sin𝑥
𝑈3
𝑑𝑈
−sin 𝑥
= −∫ 𝑈−3 𝑑𝑈
= −
1
−2
𝑈−2 + 𝐶
=
1
2
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
+ 𝐶
=
1
2
𝑠𝑒𝑐2 𝑥+ 𝐶
1
2
𝑠𝑒𝑐2 𝑥 + 𝐶 (c)
∫ 2𝑥√5 − 𝑥2 𝑑𝑥
2
1 = ...
a.
11
3
b.
12
3
c.
13
3
d.
14
3
e.
15
3
Penyelesaian :
Misal 𝑈 = 5 − x2

𝑑𝑥 =
𝑑𝑈
−2𝑥
∫ 2𝑥√5 − 𝑥2 𝑑𝑥
2
1 = ∫ 2𝑥√ 𝑈
𝑑𝑈
−2𝑥
2
1
= − ∫ 𝑈
1
2 𝑑𝑈
2
1
= − [
1
3
2
𝑈
3
2]
= − [
2
3
(5 − 𝑥2)
3
2]
= − [(
2
3
(5 − 22)
3
2) − (
2
3
(5 − 12)
3
2)]
= − [
2
3
−
16
3
]
=
14
3
14
3
(d)
D. Integral Parsial
∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ...
a. −𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C
b. −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C
c. 𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C
d. −𝑥 sin 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
e. −𝑥 sin 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
Penyelesaian :
Diferensial Integral
+ 𝑥 sin 𝑥
- 1 −cos 𝑥 −𝑥 cos 𝑥
+ 0 −sin 𝑥 sin 𝑥
∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑠𝑖𝑛𝑥+ 𝐶
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 (b)
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ...
a. 𝑥 sin 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
b. 𝑥 sin 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
c. 𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C
d. 𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C
e. −𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C
Penyelesaian :

+ 𝑥 cos 𝑥
- 1 sin 𝑥 𝑥sin 𝑥
+ 0 −cos 𝑥 cos 𝑥
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 (a)
∫ 𝑥2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ...
a. 𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥− 2 𝑠𝑖𝑛𝑥+ C
b. 𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 2 𝑠𝑖𝑛𝑥+ C
c. 𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥− 2 𝑠𝑖𝑛𝑥+ C
d. 𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 2 𝑠𝑖𝑛𝑥+ C
e. 𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
Penyelesaian :
+ 𝑥2 cos 𝑥
- 2𝑥 sin 𝑥 𝑥2 sin 𝑥
+ 2 −cos 𝑥 2x cos 𝑥
- 0 −sin 𝑥 −2 sin 𝑥
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥+ 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥− 2 𝑠𝑖𝑛𝑥+ 𝐶 (a)
∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = ...
a.
1
2
𝑥cos2𝑥 +
1
4
𝑠𝑖𝑛2𝑥+ C
b.
1
2
𝑥cos2 −
1
4
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + C
c. −
1
2
𝑥 cos2𝑥 +
1
4
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + C
d.
1
2
𝑥cos2𝑥 +
1
4
𝑠𝑖𝑛2𝑥+ C
e.
1
2
𝑥sin 2 −
1
4
𝑐𝑜𝑠2𝑥+ C
Penyelesaian :
+ 𝑥 sin 2𝑥
-
1
−
1
2
cos2𝑥 −
1
2
cos2𝑥
+ 0 −
1
2
.
1
2
sin 2𝑥
1
4
sin 2𝑥

∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = −
1
2
cos2𝑥 +
1
4
sin 2x+ C
1
2
𝑥 cos2𝑥 +
1
4
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + C (c)
∫(3𝑥 + 2)𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ...
a. (3𝑥 + 2) sinx +3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
b. (3𝑥 + 2) sinx −3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
c. (3𝑥 + 2) cosx+5 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
d. (3𝑥 + 2) cosx−5 𝑠𝑖𝑛𝑥+ C
e. (3𝑥 + 2) cosx− 5 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
Penyelesaian :
+ (3𝑥 + 2) 𝑐𝑜𝑠𝑥
- 3 𝑠𝑖𝑛𝑥 (3𝑥 + 2) sin 𝑥
+ 0 −𝑐𝑜𝑠𝑥 3 𝑐𝑜𝑠𝑥
∫(3𝑥 + 2)𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = (3𝑥 + 2) sinx +3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (3𝑥 + 2) sinx +3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C (a)
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ...
a. – 𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) +
1
2
cos(2𝑥 + 1) + C
b. –
1
2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1)+
1
4
cos (2 𝑥 + 1) + C
c.
1
2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) +
1
4
cos (2 𝑥 + 1) + C
d.
1
2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) −
1
4
cos (2 𝑥 + 1) + C
e. –
1
2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1)−
1
4
cos (2 𝑥 + 1) + C
Penyelesaian :
+ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1)
-
1 1
2
cos(2𝑥 + 1)
1
2
𝑥 cos(2𝑥 + 1)
+ 0 −
1
2
.
1
2
cos(2𝑥 + 1) −
1
4
cos(2𝑥 + 1)
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
1
2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) +
1
4
cos (2 𝑥 + 1) + C
1
2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) +
1
4
cos (2 𝑥 + 1) + C (c)
∫(𝑥 + 1) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ...

a. 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 1)
b. 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 − 1) + (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 1)
c. 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 1)
d. 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 1) + (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 1)
e. 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 − 1)
Penyelesaian :
+ (𝑥 + 1) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 1)
- 1 − 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 1) − ( 𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 1)
+ 0 −sin(𝑥 − 1) sin(𝑥 − 1)
∫(𝑥 + 1) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 1)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 − 1) (a)
∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 = ...
a.
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2 −
4
15
(1 + 𝑥)
5
2 + 𝐶
b.
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2 −
5
15
(1 + 𝑥)
5
2 + 𝐶
c.
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2 −
6
15
(1 + 𝑥)
5
2 + 𝐶
d.
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2 −
7
15
(1 + 𝑥)
5
2 + 𝐶
e.
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2 −
8
15
(1 + 𝑥)
5
2 + 𝐶
Penyelesaian :
+ 𝑥
(1 + 𝑥)
1
2
-
1 2
3
(1 + 𝑥)
3
2
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2
+ 0
2
3
.
2
5
(1 + 𝑥)
5
2 −
4
15
𝑥 (1 + 𝑥)
5
2
∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2 −
4
15
(1 + 𝑥)
5
2 + 𝐶
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2 −
4
15
(1 + 𝑥)
5
2 + 𝐶 (a)
∫ 𝑥 (𝑥 − 2)3 𝑑𝑥 = ...
a.
1
4
𝑥 (𝑥 − 2)4 +
1
20
(𝑥 − 2)5 + 𝐶
b.
1
4
𝑥 (𝑥 − 2)4 −
1
20
(𝑥 − 2)5 + 𝐶
c.
1
5
𝑥 (𝑥 − 2)5 +
1
20
(𝑥 − 2)6 + 𝐶
d.
1
5
𝑥 (𝑥 − 2)5 −
1
20
(𝑥 − 2)6 + 𝐶

e.
1
5
𝑥 (𝑥 − 2)5 −
1
20
(𝑥 − 2)6 + 𝐶
Penyelesaian :
+ 𝑥 (𝑥 − 2)3
-
1 1
4
(𝑥 − 2)4
1
4
𝑥 (𝑥 − 2)4
+ 0
1
4
.
1
5
(𝑥 − 2)5 −
1
20
(𝑥 − 2)5
∫ 𝑥 (𝑥 − 2)3 𝑑𝑥 =
1
4
𝑥 (𝑥 − 2)4 −
1
20
(𝑥 − 2)5 + 𝐶
1
4
𝑥 (𝑥 − 2)4 −
1
20
(𝑥 − 2)5 + 𝐶 (b)
∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥
3
0 = ...
a. 3
b. 6
1
15
c. 7
11
15
d. 15
e. 8
Penyelesaian :
+ 𝑥
(1 + 𝑥)
1
2
-
1 2
3
(1 + 𝑥)
3
2
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2
+ 0
2
3
.
2
5
(1 + 𝑥)
5
2 −
4
15
𝑥 (1 + 𝑥)
5
2
∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 =
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2 −
4
15
(1 + 𝑥)
5
2 + 𝐶
∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥
3
0 = [
2
3
𝑥 (1 + 𝑥)
3
2 −
4
15
(1 + 𝑥)
5
2]
= [
2
3
. 3 (1 + 3)
3
2 −
4
15
(1 + 3)
5
2] - [
2
3
. 0 (1 + 0)
3
2 −
4
15
(1 + 0)
5
2]
= [ 2 (8) −
4
15
(32)] - [ −
4
15
]
= [ 16 −
128
15
+
4
15
]
= [
240
15
−
128
15
+
4
15
]
=
116
15
= 7
11
15
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 7
11
15
(c)

E. Integral Substitusi Trigonometri
∫ √9 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ...
a.
9
2
arc sin
𝑥
3
+
1
2
𝑥 √9 − 𝑥2 + C
b.
9
2
arc cos
𝑥
3
+
1
2
𝑥 √9 − 𝑥2 + C
c.
9
2
arc sin
𝑥
2
+
1
2
𝑥 √9 − 𝑥2 + C
d.
9
2
arc cos
𝑥
2
+
1
2
𝑥 √9 − 𝑥2 + C
e.
9
2
arc cos
𝑥
2
+
1
3
𝑥 √9 − 𝑥2 + C
Penyelesaian :
(i) 𝑥 = 3 sin 𝑡
𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥
3
𝑑𝑥 = 3cos 𝑡 𝑑𝑡
√9 − 𝑥2 = √32 − 𝑥2
= √32 − 32 sin2 𝑡
= √32(1 − sin2 𝑡)
= √32 cos2 𝑡
= 3 cos 𝑡
(ii) ∫√9 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫3 cos 𝑡 .3 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡
= ∫9𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡
= 9 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡
= 9 ∫
1
2
(1 + cos2𝑡) 𝑑𝑡
=
9
2
∫(1 + cos2𝑡) 𝑑𝑡
=
9
2
(𝑡 +
1
2
sin 2𝑡) + 𝐶
=
9
2
(𝑡 +
1
2
.2 sin 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝐶
=
9
2
(𝑡 + sin 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝐶
=
9
2
( 𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥
3
+
𝑥
3
.
√9−𝑥2
3
) + 𝐶
=
9
2
𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥
3
+
1
2
𝑥 √9 − 𝑥2 + 𝐶
Catatan!
√ 𝑎2 − 𝑥2, 𝑥 = 𝑎 sin 𝑡
√ 𝑎2 + 𝑥2, 𝑥 = 𝑎 tan 𝑡
√ 𝑥2 − 𝑎2, 𝑥 = 𝑎 sec 𝑡
√9 − 𝑥2
𝑥
3

9
2
𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥
3
+
1
2
𝑥 √9 − 𝑥2 + 𝐶 (a)
∫
𝑑𝑥
𝑥2 √4+𝑥2
= ...
a.
4x
√4+𝑥2
+ C
b. −
x
4√4+𝑥2
+ C
c. −
√4+𝑥2
4x
+ C
d.
√4+𝑥2
4x
+ C
e. −√4 + 𝑥2 + C
Penyelesaian :
(i) 𝑥 = 2 tan 𝑡
𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 tan
𝑥
2
𝑑𝑥 = 2sec2 𝑡 𝑑𝑡
√4 + 𝑥2 = √22 + 𝑥2
= √22 + 22 tan2 𝑡
= √2(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑡
= √22 𝑠𝑒𝑐2 𝑡
= 2 sec 𝑡
(ii) ∫
𝑑𝑥
𝑥2 √4+𝑥2
= ∫
2sec2 𝑡 𝑑𝑡
(2tan 𝑡)2 .2sec 𝑡
= ∫
sec 𝑡
4 𝑡𝑎𝑛2 𝑡
𝑑𝑡
= ∫
1
cos𝑡
4.
𝑠𝑖𝑛2 𝑡
𝑐𝑜𝑠2 𝑡
𝑑𝑡
=
1
4
∫
1
𝑠𝑖𝑛2 𝑡
cos𝑡
𝑑𝑡
=
1
4
∫
cos𝑡
𝑠𝑖𝑛2 𝑡
𝑑𝑡
=
1
4
∫
cos𝑡
sin𝑡
.
1
sin𝑡
𝑑𝑡
=
1
4
∫cot 𝑡 . 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡
=
1
4
. −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝐶
= −
1
4
. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝐶
= −
1
4
.
𝑥
√4+𝑥2
+ 𝐶
= −
𝑥
4√4+𝑥2
+ 𝐶
𝑥
4√4+𝑥2
+ 𝐶 (b)
√4 + 𝑥2
𝑥
2

∫
𝑑𝑥
𝑥2 √9−𝑥2
= ...
a.
√9−𝑥2
9x
+ C
b. −
√9−𝑥2
9x
+ C
c.
9𝑥
√9−𝑥2
+ C
d. −√9 −+ C
e. √9 − 𝑥2 + C
Penyelesaian :
𝑥
3
√9 − 𝑥2 = √32 − 𝑥2
= √32 − 32 sin2 𝑡
= √32(1 − sin2 𝑡)
= √32 cos2 𝑡
= 3 cos 𝑡
(ii) ∫
𝑑𝑥
𝑥2 √4+𝑥2
= ∫
3 cos𝑡 𝑑𝑡
(3sin 𝑡)2 .3 cos𝑡
=∫
1
9 𝑠𝑖𝑛2 𝑡
𝑑𝑡
=
1
9
∫
1
𝑠𝑖𝑛2 𝑡
𝑑𝑡
=
1
9
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑡 𝑑𝑡
=
1
9
. −cot 𝑡 + 𝐶
= −
1
9
.cot 𝑡 + 𝐶
= −
1
9
.
√9−𝑥2
𝑥
+ 𝐶
= −
√9−𝑥2
9𝑥
+ 𝐶
√9−𝑥2
9𝑥
+ 𝐶 (b)
∫ √25 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ...
a.
25
2
arc sin
𝑥
5
+
1
2
𝑥 √25 − 𝑥2 + C
b.
25
2
arc cos
𝑥
5
−
1
2
𝑥 √25 − 𝑥2 + C
c.
25
2
arc sin
𝑥
2
+
1
5
𝑥 √25 − 𝑥2 + C
d.
25
2
arc cos
𝑥
2
−
1
5
𝑥 √25 − 𝑥2 + C
e.
25
2
arc cos
𝑥
5
+
1
5
𝑥 √25 − 𝑥2 + C
√9 − 𝑥2
𝑥
3

Penyelesaian :
𝑥
5
√25 − 𝑥2 = √52 − 𝑥2
= √52 − 52 sin2 𝑡
= √52(1 − sin2 𝑡)
= √52 cos2 𝑡
= 5 cos 𝑡
(ii) ∫√25 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫5 cos 𝑡 .5 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡
= ∫25 𝑐𝑜𝑠2 𝑡𝑑𝑡
= 25 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑡𝑑𝑡
= 25 ∫
1
2
(1 + cos2𝑡) 𝑑𝑡
=
25
2
∫(1 + cos2𝑡) 𝑑𝑡
=
25
2
(𝑡 +
1
2
sin 2𝑡) + 𝐶
=
25
2
(𝑡 +
1
2
.2 sin 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝐶
=
25
2
(𝑡 + sin 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝐶
=
25
2
( 𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥
5
+
𝑥
5
.
√25−𝑥2
5
) + 𝐶
=
25
2
𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥
5
+
1
2
𝑥 √25 − 𝑥2 + 𝐶
25
2
𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥
5
+
1
2
𝑥 √25 − 𝑥2 + 𝐶 (a)
F. Luas Daerah
Jika L = ∫ 4𝑥3 𝑑𝑥
3
2 , maka L = ...
a. -65
b. 4
c. 65
d. 76
e. 260
Penyelesaian :
L = ∫ 4𝑥3 𝑑𝑥
3
2 = [
4
4
𝑥4]
= [ 𝑥4]
= (34) − (24)
= 81 – 16
= 65
√25 − 𝑥2
𝑥
5

Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10 dan sumbu x, dapat
dinyatakan sebagai ...
a. ∫ ( 𝑥2 − 7𝑥 + 10) 𝑑𝑥
5
0
b. −∫ ( 𝑥2 − 7𝑥 + 10) 𝑑𝑥
5
0
c. −∫ ( 𝑥2 − 7𝑥 + 10) 𝑑𝑥
5
2
d. ∫ ( 𝑥2 − 7𝑥 + 10) 𝑑𝑥
5
2
e. ∫ ( 𝑥2 − 7𝑥 + 10) 𝑑𝑥
2
0
Penyelesaian :
(i) Mencari titik-titiknya
𝑥 = 0  𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10
𝑦 = 02 − 7.0 + 10
𝑦 = 10
Titiknya di (0,10)
𝑦 = 0  𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10
0 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10
0 = ( 𝑥 − 5)(𝑥 − 2)
𝑥 = 5 atau 𝑥 = 2
Titiknya di (5,0) atau (2,0)
(ii) Mencari sumbu simetri
𝑥 =
−𝑏
2𝑎
=
−.−7
2.1
=
7
2
= 3,5
(iii) Mencari batas-batas luas daerah
L = −∫ 𝑥2 − 7𝑥 + 10 𝑑𝑥
5
2
Tanda minus adalah menandakan bahwa daerah berada di bawah sumbu x.
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −∫ 𝑥2 − 7𝑥 + 10 𝑑𝑥
5
2 (c)
Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 − 6 dan garis 𝑦 = 6 , dapat
dinyatakan sebagai ...
a. ∫ ( 𝑥2 − 5𝑥 − 12) 𝑑𝑥
5
0
b. ∫ (−𝑥2 + 5𝑥) 𝑑𝑥
5
0
c. ∫ ( 𝑥2 − 5𝑥) 𝑑𝑥
5
0
d. ∫ (−𝑥2 + 5𝑥 + 12) 𝑑𝑥
5
0
e. ∫ ( 𝑥2 − 5𝑥) 𝑑𝑥
6
−1

Penyelesaian :
𝑥 = 0  𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 − 6
𝑦 = 02 − 5.0 − 6
𝑦 = −6
Titiknya di (0,-6)
𝑦 = 0  𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 − 6
0 = 𝑥2 − 5𝑥 − 6
0 = ( 𝑥 − 6)(𝑥 + 1)
𝑥 = 6 atau 𝑥 = −1
Titiknya di (6,0) atau (-1,0)
(ii) Mencari sumbu simetri
𝑥 =
−𝑏
2𝑎
=
−.−5
2.1
=
5
2
= 2,5
L = ∫ (−6) − ( 𝑥2 − 5𝑥 − 6) 𝑑𝑥
5
0
= ∫ −6 − 𝑥2 + 5𝑥 + 6 𝑑𝑥
5
0
= ∫ (−𝑥2 + 5𝑥) 𝑑𝑥
5
0
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah ∫ (−𝑥2 + 5𝑥) 𝑑𝑥
5
0 (b)
Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥3, garis 𝑥 = 1 dan garis 𝑥 = 2, sama
dengan ... satuan luas.
a.
1
4
b.
5
4
c.
9
4
d.
15
4
e.
17
4
Penyelesaian :
𝑥 = 0  𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 03
𝑦 = 0
Titiknya di (0,0)
𝑥 = 1  𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 13
𝑦 = 1

Titiknya di (1,1)
𝑥 = -1  𝑦 = 𝑥3
𝑦 = (−1)3
𝑦 = −1
Titiknya di (-1,-1)
𝑥 = 2  𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 23
𝑦 = 8
Titiknya di (2,8)
(ii) Mencari titik stasioner
𝑦 = 𝑥3
𝑦′ = 3𝑥2
0 = 3𝑥2
𝑥 = 0
L = ∫ 𝑥3 𝑑𝑥
2
1
= [
1
4
𝑥4]
=[(
1
4
.24) − (
1
4
. 14)] =
15
4
15
4
(d)
Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥2 + 1 dan garis 𝑦 = −𝑥 + 3 , adalah ...
satuan luas.
a. 11
1
2
b. 6
c. 5
1
2
d. 5
e. 4
1
2
Penyelesaian :
(i) Mencari titik potong antara garis dan kurva
𝑥2 + 1 = −𝑥 + 3
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
( 𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 = −2 atau 𝑥 = 1
(ii) Mencari luas daerah

L = ∫ (−𝑥 + 3) − ( 𝑥2 + 1) 𝑑𝑥
1
−2
= ∫ −𝑥 + 3 − 𝑥2 − 1𝑑𝑥
1
−2
= ∫ −𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑑𝑥
1
−2
= [−
1
3
𝑥3 −
1
2
𝑥2 + 2𝑥]
= [−
1
3
13 −
1
2
12 + 2.1] − [−
1
3
(−2)3 −
1
2
(−2)2 + 2(−2)]
= [−
1
3
−
1
2
+ 2] − [
8
3
− 2 − 4]
= 4
1
2
1
2
(e)
G. Volume Benda Putar
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 2𝑥 + 1, garis
𝑥 = 1 dan garis 𝑥 = 3diputar mengelilingi sunbu x adalah ... satuan volume.
a. 50
2
3
𝜋
b. 52𝜋
c. 52
2
3
𝜋
d. 57𝜋
e. 61
1
3
𝜋
Penyelesaian :
(i) Menentukan titik-titiknya
𝑥 = 0  𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = 2.0 + 1
𝑦 = 1
Titiknya di (0,1)
𝑦 = 0  𝑦 = 2𝑥 + 1
0 = 2𝑥 + 1
𝑥 = −
1
2
Titiknya di (-1/2,0)
(ii) Menentukan volume benda putar
V = 𝜋∫ (2𝑥 + 1)2 𝑑𝑥
3
1
= 𝜋∫ (4𝑥2 + 4𝑥 + 1) 𝑑𝑥
3
1
= 𝜋[
4
3
𝑥3 +
4
2
𝑥2 + 𝑥]
= 𝜋[
4
3
33 +
4
2
32 + 3] − 𝜋[
4
3
13 +
4
2
12 + 1]
= 52
2
3
𝜋

2
3
𝜋 (c)
51. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥3,
garis 𝑥 = −1 dan garis 𝑥 = 1 diputar mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volume.
a.
2
4
𝜋
b.
2
5
𝜋
c.
2
6
𝜋
d.
2
7
𝜋
e.
2
8
𝜋
Penyelesaian :
𝑥 = 0  𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 03
𝑦 = 0
Titiknya di (0,0)
𝑥 = 1  𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 13
𝑦 = 1
Titiknya di (1,1)
𝑥 = -1  𝑦 = 𝑥3
𝑦 = (−1)3
𝑦 = −1
Titiknya di (-1,-1)
𝑥 = 2  𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 23
𝑦 = 8
Titiknya di (2,8)
(ii) Mencari titik stasioner
𝑦 = 𝑥3
𝑦′ = 3𝑥2
0 = 3𝑥2
𝑥 = 0
(iii) Mencari volume bendar putar
VI = 𝜋∫ (𝑥3)2 𝑑𝑥
1
0
= 𝜋∫ 𝑥6 𝑑𝑥
1
0
= 𝜋[
1
7
𝑥7]

= 𝜋[
1
7
17] − 𝜋[
1
7
07]
=
1
7
𝜋
VI = VII
Vtotal =
1
7
𝜋 𝑥 2 =
2
7
𝜋
2
7
𝜋 (d)
52. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 − 1, garis
𝑥 = 1 dan garis 𝑥 = −1diputar mengelilingi sunbu x adalah ... satuan volume.
a. 5
16
15
𝜋
b. 2𝜋
c. 2
16
15
𝜋
d. 5𝜋
e.
16
15
𝜋
Penyelesaian :
𝑥 = 0  𝑦 = 𝑥2 − 1
𝑦 = 02 − 1
𝑦 = −1
Titiknya di (0,-1)
𝑦 = 0  𝑦 = 𝑥2 − 1
0 = 𝑥2 − 1
𝑥 = −1 atau 𝑥 = 1
Titiknya di (1,0) atau (-1,0)
(ii) Menentukan sumbu simetri
𝑥 =
−𝑏
2𝑎
=
−0
2.1
=
0
2
= 0
(iii) Menentukan volume benda putar
V = 𝜋∫ (𝑥2 − 1)2 𝑑𝑥
1
−1
= 𝜋 ∫ (𝑥4 − 2𝑥2 + 1) 𝑑𝑥
1
−1
= 𝜋[
1
5
𝑥5 −
2
3
𝑥3 + 𝑥]
= 𝜋 [(
1
5
15 −
2
3
13 + 1) − (
1
5
(−1)5 −
2
3
(−1)3 + (−1))]
= 𝜋 [(
1
5
−
2
3
+ 1) − (−
1
5
+
2
3
− 1)]
= 𝜋 [
1
5
−
2
3
+ 1 +
1
5
−
2
3
+ 1]
= 𝜋 [
3
15
−
10
15
+
15
15
+
3
15
−
10
15
+
15
15
] =
16
15
𝜋
16
15
𝜋 (e)

53. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦2 = 2𝑥, garis 𝑥 =
4 dan sumbu x diputar mengelilingi sunbu x adalah ... satuan volume.
a. 16𝜋
b. 17𝜋
c. 18𝜋
d. 19𝜋
e. 20𝜋
Penyelesaian :
𝑥 = 0  𝑦2 = 2𝑥
𝑦2 = 2.0
𝑦 = 0
Titiknya di (0,0)
𝑦 = 2  𝑦2 = 2𝑥
22 = 2𝑥
4 = 2𝑥
𝑥 = 2
Titiknya di (2,2)
𝑦 = -2  𝑦2 = 2𝑥
(−2)2 = 2𝑥
4 = 2𝑥
𝑥 = 2
Titiknya di (2,-2)
(ii) Menentukan volume benda putar
V = 𝜋∫ 2𝑥 𝑑𝑥
4
0
= 𝜋[ 𝑥2]
= 𝜋[42] − 𝜋[02]
= 16𝜋
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 16𝜋 (a)
Perhatikan gambar di bawah. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir
diputar mengelilingi sumbu y, jika dinyatakan dalam bentuk integral adalah ...
a. 𝜋∫ 𝑦2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
b. 𝜋∫ 𝑥2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
c. 𝜋∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
d. 𝜋∫ 𝑦2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎

e. 𝜋∫ 𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Penyelesaian :
Menentukan volume benda putar
𝑦 = 𝑥2
𝑥 = √ 𝑦
V = 𝜋∫ 𝑥2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝜋∫ (√ 𝑦)2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝜋∫ 𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝜋 ∫ 𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎 (e
SOAL PROGRAM LINEAR

Sistem pertidaksamaan untuk daerah himpunan penyelesaian pada gambar di bawah ini
adalah ...
a. 6𝑥 + 2𝑦 ≥ 12
3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12
𝑥 ≤ 0
𝑦 ≤ 0
b. 6𝑥 + 2𝑦 ≥ 12
3𝑥 + 4𝑦 ≥ 12
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
c. 6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12
3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
d. 6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12
3𝑥 + 4𝑦 ≥ 12
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≤ 0
e. 6𝑥 + 2𝑦 ≥ 12
3𝑥 + 4𝑦 ≥ 12
𝑥 ≤ 0
𝑦 ≤ 0
Penyelesaian :
6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12
3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Membuktikan daerah yang diarsir dengan menggunakan uji 0 (nol)
6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12
6.0 + 2.0 ≤ 12
0 ≤ 12 Benar,berarti yang mengandung 0 (nol) diarsir
3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12
3.0 + 4.0 ≤ 12
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 (c)
3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0

Sistem pertidaksamaan untuk daerah himpunan penyelesaian pada gambar di bawah ini
adalah ...
a. 4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8
2𝑥 + 5𝑦 ≥ 10
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
b. 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 8
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
c. 4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
d. 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 8
2𝑥 + 5𝑦 ≥ 10
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
e. 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 8
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10
𝑥 ≤ 0
𝑦 ≤ 0
Penyelesaian :
4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Membuktikan daerah yang diarsir dengan menggunakan uji 0 (nol)
4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8
4.0 + 2.0 ≥ 8
0 ≥ 8 Salah, berarti yang tidak mengandung 0 (nol) diarsir
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10
2.0 + 5.0 ≤ 10
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8 (c)
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0

Suatu jenis roti (x) memerlukan 300 gram tepung dan 80 gram mentega. Untuk jenis roti
yang lain (y) memerlukan 200 gram tepung dan 40 gram mentega. Persediaan yang ada 4
kg tepung dan 2 kg mentega. Model matematika dari persoalan di atas adalah ...
a. 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 40;2𝑥 + 𝑦 ≥ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
b. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 40;2𝑥 + 𝑦 ≤ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
c. 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 40;2𝑥 + 𝑦 ≥ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
d. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 40;2𝑥 + 𝑦 ≤ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
e. 3𝑥 + 2𝑦 = 40;2𝑥 + 𝑦 = 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≠ 0
Penyelesaian :
Jenis roti Tepung Mentega
X 300 gram 80 gram
Y 200 gram 40 gram
Persediaan 4000 gram 2000 gram
300𝑥 + 200𝑦 ≤ 4000
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 40
80𝑥 + 40𝑦 ≤ 2000
2𝑥 + 𝑦 ≤ 50
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 40; 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 (b)
4. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII
Seorang pengrajin tas akan membuat dua model tas. Tas model I memerlukan 2 unsur A
dan 2 unsur B, sedangkan tas model II memerlukan 2 unsur A dan 1 unsur B. Pengrajin
tersebut mempunyai persediaan 20 unsur A dan 14 unsur B. Jika banyaknya tas model I
dimisalkan x dan model II dimisalkan y, maka model matematika yang sesuaiuntuk
persoalan tersebut adalah ...
a. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 10,2𝑥 + 𝑦 ≤ 14
b. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≥ 10,2𝑥 + 𝑦 ≥ 14
c. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 10, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 14
d. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≥ 10, 𝑥 + 2𝑦 ≥ 14
e. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 14, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10
Penyelesaian :
Model tas Unsur A Unsur B
X (Model I) 2 Unsur 2 Unsur
Y (Model II) 2 Unsur 1 Unsur

Persediaan 20 Unsur 14 Unsur
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 20
𝑥 + 𝑦 ≤ 10
2𝑥 + 𝑦 ≤ 14
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 10,2𝑥 + 𝑦 ≤ 14 (a)
Suatu tukang roti hendak membuat dua jenis roti. Roti A memerlukan 400 g tepung dan
150 g mentega, sedangkan roti B memerlukan 200 g tepung dan 50 g mentega. Tukang roti
tersebut mempunyai persediaan 5 kg tepung dan 3 kg mentega. Jika jumlah roti A
dimisalkan x dan jumlah roti B dimisalkan y, maka model matematika yang sesuai dengan
persoalan tersebut adalah ...
a. 𝑥 + 2𝑦 ≥ 25, 𝑥 + 3𝑦 ≥ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
b. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 25, 𝑥 + 3𝑦 ≤ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
c. 2𝑥 + 𝑦 ≥ 25, 3𝑥 + 𝑦 ≥ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
d. 2𝑥 + 𝑦 ≤ 25, 3𝑥 + 𝑦 ≤ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
e. 2𝑥 + 𝑦 > 25, 3𝑥 + 𝑦 > 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
Penyelesaian :
Jenis roti Tepung Mentega
X (Roti A) 400 gram 150 gram
Y (Roti B) 200 gram 50 gram
Persediaan 5000 gram 3000 gram
400𝑥 + 200𝑦 ≤ 5000
2𝑥 + 𝑦 ≤ 25
150𝑥 + 50𝑦 ≤ 3000
3𝑥 + 𝑦 ≤ 60
2𝑥 + 𝑦 ≤ 25, 3𝑥 + 𝑦 ≤ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (d)
Luas daerah parkir 176 m2
, dengan luas rata-rata untuk mobil sedan 4 m2
dan bus 20 m2
.
Daya muat maksimum hanya 20 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil sedan Rp
1.000,00/jam dan untuk bus Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan
yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ...
a. 𝑅𝑝 20.000,00
b. 𝑅𝑝 26.000,00
c. 𝑅𝑝 30.000,00
d. 𝑅𝑝 24.000,00
e. 𝑅𝑝 44.000,00

Penyelesaian :
(i) Menentukan masalah atau kendala
Jenis Kendaraan Luas Banyak
Mobil 4 m2
X
Bus 20 m2
Y
Persediaan 176 m2
20 Kendaraan
(ii) Menentukan fungsi
𝑓 = 1000𝑥 + 2000𝑦
(iii) Menentukan model matematika
4𝑥 + 20𝑦 ≤ 176
𝑥 + 5𝑦 ≤ 44
𝑥 + 𝑦 ≤ 20
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
(iv) Menentukan daerah yang diarsir pada grafik
𝑥 + 5𝑦 = 44
X 0 44
Y 8,8 0
𝑥 + 𝑦 = 20
X 0 20
Y 20 0
Menentukan daerah yang diarsir pada grafik
dengan menggunakan uji 0 (nol)
𝑥 + 5𝑦 ≤ 44
0 + 5.0 ≤ 44
0 ≤ 44 Benar, yg mengandung 0 diarsir
𝑥 + 𝑦 ≤ 20
0 + 0 ≤ 20
0 ≤ 20 Benar,yg mengandung 0 diarsir
(v) Menentukan titik di A, B, C, dan D
Koordinat titik 𝒇 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒚
A (0, 8,8) 𝑓 = 17600
B (0, 0) 𝑓 = 0
C (20, 0) 𝑓 = 20000
D (14, 6) 𝑓 = 26000
Mencari koordinat titik D dengan mencari perpotongan kedua garis dengan metode
eliminasi:
𝑥 + 5𝑦 = 44 x 1  𝑥 + 5𝑦 = 44
𝑥 + 𝑦 = 20 x 5  5𝑥 + 5𝑦 = 100
−4𝑥 = −56

𝑥 = 14
𝑥 + 𝑦 = 20
14 + 𝑦 = 20
𝑦 = 6
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑅𝑝 26.000,00 (b)
Sebuah butik memiliki 4m kain satin dan 5m kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat
dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2m kain satin dan 1m kain prada, sedangkan baju
pesta II memerlukan 1m kain satin dan 2m kain prada. Jika harga jual baju pesta I sebesar
Rp500.000,00 dan baju pesta II sebesar Rp400.000,00, hasil penjualan maksimum butik
tersebut adalah ...
a. 𝑅𝑝 800.000,00
b. 𝑅𝑝 1000. .000,00
c. 𝑅𝑝 1.300.000,00
d. 𝑅𝑝 1.400.000,00
e. 𝑅𝑝 2.000.000,00
Penyelesaian :
(i) Menentukan masalah atau kendala
Model baju Kain satin Kain prada
Baju I (x) 2m 1m
Baju II (y) 1m 2m
Persediaan 4m 5m
(ii) Menentukan fungsi
𝑓 = 500.000𝑥 + 400.000𝑦
(iii) Menentukan model matematika
2𝑥 + 𝑦 ≤ 4
𝑥 + 2𝑦 ≤ 5
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
(iv) Menentukan daerah yang diarsir pada grafik
2𝑥 + 𝑦 = 4
X 0 2
Y 4 0
𝑥 + 2𝑦 = 5
X 0 5
Y
5
2
0
Menentukan daerah yang diarsir pada grafik
dengan menggunakan uji 0 (nol)
2𝑥 + 𝑦 ≤ 4

2.0 + 0 ≤ 4
𝑥 + 2𝑦 ≤ 5
0 + 2.0 ≤ 5
(v) Menentukan titik di A, B, C, dan D
Koordinat titik 𝒇 = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟒𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒚
A (0, 2,5) 𝑓 = 1.000.000
B (0, 0) 𝑓 = 0
C (2, 0) 𝑓 = 1.000.000
D (1, 2) 𝑓 = 1.300.000
Mencari koordinat titik D dengan mencari perpotongan kedua garis dengan metode
eliminasi:
2𝑥 + 𝑦 = 4 x 2  4𝑥 + 2𝑦 = 8
𝑥 + 2𝑦 = 5 x 1  𝑥 + 2𝑦 = 5
3𝑥 = 3
𝑥 = 1
𝑥 + 2𝑦 = 5
1 + 2𝑦 = 5
𝑦 = 2
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑅𝑝 1.300.000,00 (c)
SOAL MATRIKS
A. Operasi dan Sifat Matriks

Diberikan (
2𝑥 −3
5 −𝑦
) = (
−4 −3
5 −1
). Nilai dari 𝑥2 + 𝑦2 = ...
a. -5
b. -7
c. 5
d. 7
e. 9
Penyelesaian :
(
2𝑥 −3
5 −𝑦
) = (
−4 −3
5 −1
)
2𝑥 = −4
𝑥 = −2
−𝑦 = −1
𝑦 = 1
𝑥2 + 𝑦2 = (−2)2 + 12 = 5
Diberikan (
4 2
5𝑥 + 𝑦 5
) = (
4 2
7 𝑦 + 3
). Maka nilai dari
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
= ...
a. 1
1
2
b. 2
c. 2
1
2
d. 3
e. 3
1
2
Penyelesaian:
(
4 2
5𝑥 + 𝑦 5
) = (
4 2
7 𝑦 + 3
)
5 = 𝑦 + 3
2 = 𝑦
5𝑥 + 𝑦 = 7
5𝑥 + 2 = 7
5𝑥 = 5
𝑥 = 1
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
=
1
2
+
2
1
= 2
1
2
1
2
(c)

Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
41
Diketahui A = (
1 2
3 4
) ; B = (
2 3
0 1
) ; dan C =(
5 2
−1 0
). Bentuk paling sederhana dari (A+B)
- (A+C) = ...
a. (
3 1
1 1
)
b. (
3 1
−1 1
)
c. (
−3 1
1 1
)
d. (
−3 1
−1 1
)
e. (
−3 −1
−1 1
)
Penyelesaian:
(A+B) - (A+C)
[(
1 2
3 4
) + (
2 3
0 1
)] − [(
1 2
3 4
) + (
5 2
−1 0
)]
[(
3 5
3 5
)] − [(
6 4
2 4
)]
(
−3 1
1 1
)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (
−3 1
1 1
) (c)
Diketahui A = (
3 −2
−1 4
) ; B = (
−2 𝑎
𝑏 −1
) ; dan C =(
−1 12
−7 2
). Jika A + 2B = C, maka
nilai dari (a – b) = ...
a. -1
b. 1
c. 10
d. 11
e. 15
Penyelesaian:
A + 2B = C
(
3 −2
−1 4
) + 2(
−2 𝑎
𝑏 −1
) = (
−1 12
−7 2
)
(
3 −2
−1 4
) + (
−4 2𝑎
2𝑏 −2
) = (
−1 12
−7 2
)
(
−1 2𝑎 − 2
2𝑏 − 1 2
) = (
−1 12
−7 2
)
2𝑎 − 2 = 12
2𝑎 = 14
𝑎 = 7
2𝑏 − 1 = −7
2𝑏 = −6

𝑏 = −3
( 𝑎 − 𝑏) = 7—3 = 10
Diberikan (
log 𝑦 log 𝑧
1 log 𝑦
) = (
log 𝑧 2
1
1
2
). Maka nilai dari 𝑥2 = ...
a. √2
b. √3
c. 2
d. 3
e. 5
Penyelesaian:
log 𝑧 = 2
𝑧 = 22
𝑧 = 4
log 𝑦 =
1
2
𝑦 = 3
1
2
𝑦 = √3
log 𝑧 = log 𝑦
log 4 = log√3
1 = log √3
𝑥1 = √3
𝑥 = √3
𝑥2 = 3
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan |
2𝑥 − 1 2
𝑥 + 2 𝑥 + 2
| = 0 adalah ...
a.
1
2
dan 3
b. −
1
2
dan -3
c.
1
2
dan -3
d.
1
3
dan -2
e. −
1
3
dan 2
Penyelesaian:

43
|
2𝑥 − 1 2
𝑥 + 2 𝑥 + 2
| = 0
(2𝑥 − 1)( 𝑥 + 2) − 2(𝑥 + 2) = 0
2𝑥2 + 4𝑥 − 𝑥 − 2 − (2𝑥 + 4) = 0
2𝑥2 + 4𝑥 − 𝑥 − 2 − 2𝑥 − 4 = 0
2𝑥2 + 𝑥 − 6 =0
(2𝑥 − 3)(𝑥 + 2) =0
𝑥 =
3
2
atau 𝑥 = −2
𝑥1 + 𝑥2 =
3
2
−
4
2
= −
1
2
𝑥1 .𝑥2 =
3
2
.−2 = −3
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -5 (a)
Diketahui matriks A = (
1 2
4 3
) dan I =(
1 0
0 1
), x adalah bilangan yang memenuhi persamaan
| 𝐴 − 𝑥𝐼| = 0. Hasil kali dari nilai-nilai x yang mungkin adalah ...
a. -5
b. -4
c. -1
d. 1
e. 5
Penyelesaian:
| 𝐴 − 𝑥𝐼| = 0
|(
1 2
4 3
) − 𝑥 (
1 0
0 1
)| = 0
|(
1 2
4 3
) − (
𝑥 0
0 𝑥
)| = 0
|(
1 − 𝑥 2
4 3 − 𝑥
)| = 0
(1 − 𝑥)(3 − 𝑥) − 2.4 = 0
3 − 𝑥 − 3𝑥 + 𝑥2 − 8 = 0
𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0
( 𝑥 − 5)(𝑥 + 1) =0
𝑥 = 5 atau 𝑥 = −1
𝑥1 .𝑥2 = 5 . −1 = −5
1
2
dan -3 (b)

Jika (
𝑥 − 5 −2
−1 4
) (
3 −2
−1 4
)=(
−1 12
−7 2
), maka ...
a. 𝑦 = 3𝑥
b. 𝑦 = 2𝑥
c. 𝑦 = 𝑥
d. 𝑦 =
𝑥
3
e. 𝑦 =
𝑥
2
Penyelesaian:
A + 2B = C
(
3 −2
−1 4
) + 2(
−2 𝑎
𝑏 −1
) = (
−1 12
−7 2
)
(
3 −2
−1 4
) + (
−4 2𝑎
2𝑏 −2
) = (
−1 12
−7 2
)
(
−1 2𝑎 − 2
2𝑏 − 1 2
) = (
−1 12
−7 2
)
2𝑎 − 2 = 12
2𝑎 = 14
𝑎 = 7
2𝑏 − 1 = −7
2𝑏 = −6
𝑏 = −3
( 𝑎 − 𝑏) = 7—3 = 10
B. Transpose Matriks
3 𝑥
𝑦 −3
) dan B =(
3 −5
6 −3
), jika 𝐴 𝑇 = 𝐵 𝑇 , maka nilai dari
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = ...
a. -4
b. -1
c. 1
d. 4
e. 5
Penyelesaian:
𝐴 𝑇 = 𝐵 𝑇
𝐴 𝑇 = 𝐵 𝑇
(
3 𝑦
𝑥 −3
) = (
3 6
−5 −3
)
𝑦 = 6 dan 𝑥 = −5
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = (−5)2 + 2.6.(−5) + 62 = 1

45
𝑥 + 𝑦 𝑥
𝑦 𝑥 − 𝑦) dan B =(
1 −
1
2
𝑥
−2𝑦 3
), jika 𝐴 𝑇 = 𝐵 , maka nilai dari
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
= ...
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Penyelesaian:
𝐴 𝑇 = 𝐵
(
𝑥 + 𝑦 𝑦
𝑥 𝑥 − 𝑦) = ( 1 −
1
2
𝑥
−2𝑦 3
)
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 − 𝑦 = 3
2𝑦 = −2
𝑦 = −1
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 − 1 = 1
𝑥 = 2
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
=
2+1
2−1
=
3
1
= 3
C. Invers Matriks
2𝑥 𝑥
3 𝑥
) . Jika | 𝑃| = −1, maka nilai-nilai x yang mungkin adalah ...
a. 1 atau −
1
2
b. 1 atau
1
2
c. 2 atau -1
d. 2 atau
1
2
e. 2 atau 1
Penyelesaian:
| 𝑃| = −1
2𝑥. 𝑥 − 3. 𝑥 = −1

2𝑥2 − 3𝑥 = −1
2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0
(2𝑥 − 1)( 𝑥 − 1) = 0
𝑥 =
1
2
dan 𝑥 = 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 1 atau
1
2
(b)
Diketahui matriks C = (
1 + 𝑥 3
5 1 + 2𝑥
) , tidak mempunyai invers. Nilai-nilai x yang
mungkin adalah ...
a. −
5
2
atau 2
b. −
7
2
atau 2
c.
5
2
atau 2
d.
7
2
atau 2
e.
5
2
atau
7
2
Penyelesaian:
Tidak mempunyai invers  determinan = 0
|(
1 + 𝑥 3
5 1 + 2𝑥
)| = 0
(1 + 𝑥)(1 + 2𝑥) − 3.5 = 0
1 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥2 − 15 = 0
2𝑥2 + 3𝑥 − 14 = 0
(2𝑥 + 7)( 𝑥 − 2) = 0
𝑥 = −
7
2
dan 𝑥 = 2
7
2
atau 2 (b)
Diketahui matriks F = (
3 3
4 2
) , jika (F – kI) adalah matriks singular, maka nilai k yang
mungkin adalah ...
a. -3 atau 6
b. -2 atau 6
c. 2 atau -6
d. -1 atau 6
e. 1 atau -6
Penyelesaian:
Matriks singular  tidak mempunyai invers  determinan = 0

47
|(F – k𝐼)| = 0
|(
3 3
4 2
) – k(
1 0
0 1
)| = 0
|(
3 3
4 2
) – (
𝑘 0
0 𝑘
)| = 0
|(
3 − 𝑘 3
4 2 − 𝑘
)| = 0
(3 − 𝑘)(2 − 𝑘) − 12 = 0
6 − 3𝑘 − 2𝑘 + 𝑘2 − 12 = 0
𝑘2 − 5𝑘 − 6 = 0
( 𝑘 − 6)( 𝑥 + 1) = 0
𝑘 = 6 dan 𝑘 = −1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -1 atau 6 (d)
Jika A = (
2 5
1 3
)dan B = (
5 4
1 1
), maka determinan (𝐴𝐵)−1adalah ...
a. -3 atau 6
b. -2 atau 6
c. 2 atau -6
d. -1 atau 6
e. 1 atau -6
Penyelesaian:
Matriks singular  tidak mempunyai invers  determinan = 0
|(𝐴𝐵)−1| = |[(
2 5
1 3
)(
5 4
1 1
)] −1|
= |[(
15 13
8 7
)] −1|
= |
1
105 − 104
(
7 −13
−8 15
)|
= |
1
1
(
7 −13
−8 15
)|
= 7.15—(−8).(−13)
= 105 − 104 = 1
Diketahui matriks (
1 2
3 4
) 𝐴 = (
0 1
1 0
) , maka nilai 2A = ...
a. (
−2 4
−1 −3
)
b. (
2 4
−1 −3
)

c. (
2 −4
1 3
)
d. (
2 4
−1 3
)
e. (
2 −4
−1 3
)
Penyelesaian:
𝐴𝐵 = 𝐶
𝐴 = 𝐵−1 𝐶
𝐴 = (
1 2
3 4
)
−1
(
0 1
1 0
)
𝐴 =
1
−2
(
4 −2
−3 1
)(
0 1
1 0
)
𝐴 =
1
−2
(
−2 4
1 −3
)
2𝐴 = 2.
1
−2
(
−2 4
1 −3
)
2𝐴 = (
2 −4
−1 3
)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (
2 −4
−1 3
) (e)
VEKTOR
A. Operasi Vektor

49
Pada segiempat sembarang OABC,S dan T masing-masing adalah titik tengan OB dan AC,
jika 𝑢⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑣 = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑤⃗⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , maka 𝑆𝑇⃗⃗⃗⃗ = ...
a.
1
2
𝑢⃗ +
1
2
𝑣 +
1
2
𝑤⃗⃗
b.
1
2
𝑢⃗ +
1
2
𝑣 −
1
2
𝑤⃗⃗
c.
1
2
𝑢⃗ −
1
2
𝑣 +
1
2
𝑤⃗⃗
d.
1
2
𝑢⃗ −
1
2
𝑣 −
1
2
𝑤⃗⃗
e. −
1
2
𝑤⃗⃗ +
1
2
𝑣 +
1
2
𝑤⃗⃗
Penyelesaian :
𝑆𝑇⃗⃗⃗⃗ = 𝑆𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗⃗
= −
1
2
𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
𝑎 + 𝑐
2
= −
1
2
𝑣 +
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
2
= −
1
2
𝑣 +
1
2
𝑢⃗ +
1
2
𝑤⃗⃗
=
1
2
𝑢⃗ −
1
2
𝑣 +
1
2
𝑤⃗⃗
1
2
𝑢⃗ −
1
2
𝑣 +
1
2
𝑤⃗⃗ (c)
Diketahui 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,0,1) dan 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1,2). Jika PS⃗⃗⃗⃗ =
1
2
PQ⃗⃗⃗⃗⃗ , maka 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = ...
a. (0,-1,1)
b. (0,1,-1)
c. (0,-1,-1)
d. (0,-1,
3
2
)
e. (0,-1,-
3
2
)
Penyelesaian :
PS⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(
2
0
1
)
PS⃗⃗⃗⃗ = (
1
0
1
2
)
RS⃗⃗⃗⃗ = RP⃗⃗⃗⃗⃗ + PS⃗⃗⃗⃗
RS⃗⃗⃗⃗ = (
−1
−1
−2
) + (
1
0
1
2
) = (
0
−1
−
3
2
)

Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (0,-1,-
3
2
) (e)
Diketahui 𝐴 = (3, 2,−1) , 𝐵 = (1,−2, 1) dan 𝐶 = (7, 𝑝 − 1,−5). terletak segaris. Nilai p = ...
a. 11
b. 9
c. 6
d. 5
e. 2
Penyelesaian :
Jika terletak segaris  AB⃗⃗⃗⃗⃗ = k BC⃗⃗⃗⃗⃗
AB⃗⃗⃗⃗⃗ = k BC⃗⃗⃗⃗⃗
AB⃗⃗⃗⃗⃗ = k BC⃗⃗⃗⃗⃗
(b⃗ − a⃗ ) = k(c − b)⃗⃗⃗⃗
(
1
−2
1
) − (
3
2
−1
) = k[(
7
p − 1
−5
) − (
1
−2
1
)]
(
−2
−4
2
) = k(
6
p + 1
−6
)
−2 = 6k
k = −
1
3
−4 = k(p + 1)
−4 = −
1
3
(p + 1)
−4 = −
1
3
p −
1
3
−
11
3
= −
1
3
p
p = 11
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 11 (a)
Diketahui 𝑎 = −7𝑖 + 8𝑗 , dan 𝑃(1, −2) dan 𝐶 = (7, 𝑝 − 1,−5). Jika | 𝑃𝑄| = | 𝑎| dan PQ⃗⃗⃗⃗⃗
berlawanan arah dengan a⃗ , maka koordinat titik Q adalah ...
a. (6, 10)
b. (6, -10)
c. (6, -6)
d. (8, 10)
e. (8, -10)
Penyelesaian :
Jika dan PQ⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah dengan a⃗  PQ⃗⃗⃗⃗⃗ = −a⃗
PQ⃗⃗⃗⃗⃗ = −a⃗
(q⃗ − p⃗ ) = −a⃗

51
(
a
b
) − (
1
−2
) = − (
−7
8
)
(
a − 1
b + 2
) = (
7
−8
)
a − 1 = 7
a = 8
b + 2 = −8
b = −10
(a, b) = (8, -10)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (8, -10) (e)
Vektor 𝑎 = (
2
−1
𝑥 − 3
) , dan panjang vektor | 𝑎| = 3√6 . Nilai x adalah ...
a. 8 atau -5
b. -8 atau -5
c. -10 atau 4
d. -4 atau 10
e. -4 atau -10
Penyelesaian :
| 𝑎| = 3√6
3√6 = √22 + (−1)2 + (𝑥 − 3)2
3√6 = √4 + 1 + (𝑥2 − 6𝑥 + 9)
3√6 = √ 𝑥2 − 6𝑥 + 14
54 = 𝑥2 − 6𝑥 + 14
0 = 𝑥2 − 6𝑥 − 40
0 = ( 𝑥 − 10)(𝑥 + 4)
x = 10 atau x = −4
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -4 atau 10 (d)
Titik P membagi ruas garis 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ dengan perbandingan AP⃗⃗⃗⃗⃗ : PB⃗⃗⃗⃗⃗ = 1:3. Vektor posisi titik A, B,
dan P masing-masing adalah a⃗ , b⃗ ,dan p⃗ .Maka b⃗ = ...
a.
1
4
(3𝑎 + 𝑝)
b.
1
2
(3𝑎 − 𝑝)
c.
1
3
(3𝑎 + 𝑝)
d. 3a⃗ − 4p⃗

e. 3a⃗ − 4p⃗
Penyelesaian :
p⃗ =
3.a⃗ + 1. b⃗
3 + 1
p⃗ =
3a⃗ + b⃗
4
4p⃗ = 3a⃗ + b⃗
4p⃗ − 3a⃗ = b⃗
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4p⃗ − 3a⃗ (e)
7. Soal Buku Matematika XII
Titik A, B, dan C terletak segaris dengan perbandingan AP⃗⃗⃗⃗⃗ : PB⃗⃗⃗⃗⃗ = 3:−1. Vektor posisi titik A,
B, dan P masing-masing adalah a⃗ , b⃗ ,dan p⃗ .Maka p⃗ = ...
a.
1
2
(3𝑏⃗ + 𝑎)
b.
1
2
(3𝑏⃗ − 𝑎)
c.
1
3
(3𝑏⃗ + 𝑎)
d. 3b⃗ − 4a⃗
e. 3b⃗ − 4b⃗
Penyelesaian :
b⃗ =
1.a⃗ + 2. p⃗
2 + 1
b⃗ =
a⃗ + 2p⃗
3
3b⃗ = a⃗ + 2p⃗
2p⃗ = 3b⃗ − a⃗
p⃗ =
3b⃗ − a⃗
2
1
2
(3𝑏⃗ − 𝑎) (b)
B. Perkalian Skalar Dua Vektor
Sudut antara vektor 𝑎 = −1𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘⃗ dan 𝑏⃗ = 2𝑖 + 4𝑗 + 4𝑘⃗ adalah 𝛼. Nilai sin 𝛼 = ...
a.
7
9
b.
7
18
c.
4
9
√3
d.
4
9
√2

53
e.
5
9
√2
Penyelesaian :
Rumus perkalian dua vektor  𝑎 . 𝑏⃗ = | 𝑎| .| 𝑏⃗ | .cos 𝛼
𝑎 . 𝑏⃗ = | 𝑎| .| 𝑏⃗ | .cos 𝛼
cos 𝛼 =
𝑎 . 𝑏⃗
| 𝑎| .| 𝑏⃗ |
cos 𝛼 =
(
−1
2
2
) . (
2
4
4
)
|(
−1
2
2
)| . |(
2
4
4
)|
cos 𝛼 =
−2 + 8 + 8
√(−1)2 + 22 + 22 .√22 + 42 + 42
cos 𝛼 =
14
3 . 6
cos 𝛼 =
14
18
=
7
9
sin 𝛼 =
√92 − 72
9
=
√32
9
=
4
9
√2
4
9
√2 (d)
Diketahui | 𝑎| = 8 dan | 𝑏⃗ | = 6. Sudut antara vektor 𝑎 dan 𝑏⃗ adalah 1200. Maka panjang
vektor 𝑎 + 2𝑏⃗ = ...
a. 2√7
b. 4√7
c. 6√7
d. 2√33
e. 4√33
Penyelesaian :
Rumus vektor dengan metode jajar genjang  𝑎 + 𝑏⃗ = √( 𝑎)2 + ( 𝑏⃗ )
2
+ 2. 𝑎. 𝑏⃗ .cos 𝛼
𝑎 + 𝑏⃗ = √( 𝑎)2 + ( 𝑏⃗ )
2
+ 2. 𝑎. 𝑏⃗ .cos 𝛼
𝑎 + 2𝑏⃗ = √( 𝑎)2 + (2𝑏⃗ )
2
+ 2. 𝑎. 2𝑏⃗ . cos 𝛼
𝑎 + 2𝑏⃗ = √(8)2 + (2.6)2 + 2.8.2.6 . cos1200
𝑎 + 2𝑏⃗ = √64 + 144 + 192 .−
1
2

𝑎 + 2𝑏⃗ = √112 = 4√7
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4√7 (b)
Jika vektor a⃗ dan vektor b⃗ membentuk sudut 600, | 𝑎| = 4 dan | 𝑏⃗ | = 3, maka | 𝑎 − 𝑏⃗ |
2
= ...
a. 1
b. 13
c. 14
d. 15
e. 16
Penyelesaian :
Rumus vektor dengan metode jajar genjang  𝑎 + 𝑏⃗ = √( 𝑎)2 + ( 𝑏⃗ )
2
+ 2. 𝑎. 𝑏⃗ .cos 𝛼
𝑎 + 𝑏⃗ = √( 𝑎)2 + ( 𝑏⃗ )
2
+ 2. 𝑎. 𝑏⃗ .cos 𝛼
𝑎 + (−𝑏)⃗⃗⃗⃗ = √( 𝑎)2 + (−𝑏⃗ )
2
+ 2. 𝑎.−𝑏⃗ .cos 𝛼
𝑎 − 𝑏⃗ = √(4)2 + (−3)2 + 2.8. −3 .cos600
𝑎 − 𝑏⃗ = √16 + 9 − 48 .
1
2
𝑎 − 𝑏⃗ = √13
| 𝑎 − 𝑏⃗ |
2
= (√13)
2
= 13
Diketahui segitiga PQR dengan P(0,1,4), Q(2,-3,2), dan R(-1,0,2). Besar sudut PRQ = ...
a. 1200
b. 900
c. 600
d. 450
e. 300
Penyelesaian :
Rumus perkalian dua vektor pada segitiga  𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ = | 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ | .| 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ | .cos 𝑃𝑅𝑄
Rumus perkalian dua vektor pada segitiga  𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = | 𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ | .| 𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ | .cos 𝑃𝑅𝑄
𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑝 − 𝑟
𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = (
0
1
4
) − (
−1
0
2
) = (
1
1
2
)

55
𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = (
2
−3
2
) − (
−1
0
2
) = (
3
−3
0
)
𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = | 𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ | .| 𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ | .cos 𝑃𝑅𝑄
cos 𝑃𝑅𝑄 =
(
1
1
2
) .(
3
−3
0
)
|(
1
1
2
)| .|(
3
−3
0
)|
cos 𝑃𝑅𝑄 =
3 − 3 + 0
√12 + 12 + 22 .√32 + (−3) + 02
cos 𝑃𝑅𝑄 =
0
3 √12
= 0
0 = cos900
Diketahui vektor 𝑎 = 𝑝𝑖 + 𝑗 + 4𝑘⃗ , 𝑏⃗ = 2𝑖 − 4𝑗 + 3𝑘⃗ , dan 𝑐 = 𝑖 − 3𝑗 + 3𝑘⃗ . Jika vektor 𝑎
tegak lurus dengan vektor 𝑏⃗ ,maka panjang vektor 𝑎 − 𝑐 = ...
a. −5𝑖 + 4𝑗 + 𝑘⃗
b. −3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘⃗
c. −3𝑖 + 2𝑗 + 𝑘⃗
d. 3𝑖 + 2𝑗 + 𝑘⃗
e. 5𝑖 − 4𝑗 + 𝑘⃗
Penyelesaian :
Rumus dua vektor yang tegak lurus  𝑎 . 𝑏⃗ = 0
𝑎 . 𝑏⃗ = 0
0 = (
𝑝
1
4
) (
2
−4
3
)
0 = 2𝑝 − 4 + 12
0 = 2𝑝 + 8
−8 = 2𝑝
−4 = 𝑝
a⃗ − c = (
−4
1
4
) − (
1
−3
3
) = (
−5
4
1
)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −5𝑖 + 4𝑗 + 𝑘⃗ (a)

C. Proyeksi Vektor pada Vektor Lain
Diketahui 𝑢⃗ = (
1
−2
3
) dan 𝑣 = (
2
3
−1
). Proyeksi skalar vektor (2u⃗ + 3𝑣⃗⃗⃗⃗ ) pada 𝑣 adalah ...
a.
1
2
b.
1
2
√2
c.
1
4
√14
d. 2√14
e.
7
2
√14
Penyelesaian :
Rumus proyeksi skalar vektor 𝑎 pada 𝑏⃗ 
𝑎⃗ .𝑏⃗
| 𝑏⃗ |
𝑎 . 𝑏⃗
| 𝑏⃗ |
(2u⃗ + 3𝑣⃗⃗⃗⃗ ) . 𝑣
| 𝑣|
(2(
1
−2
3
) + 3(
2
3
−1
)) .(
2
3
−1
)
| (
2
3
−1
)|
((
2
−4
6
) + (
6
9
−3
)) .(
2
3
−1
)
√22 + 32 + (−1)2
(
8
5
3
) .(
2
3
−1
)
√4 + 9 + 1
16 + 15 − 3
√14
=
28
√14
= 2√14
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2√14 (d)
Diketahui 𝑢⃗ = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘⃗ , 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗ , dan 𝑤⃗⃗ = 3𝑖⃗⃗⃗ − 𝑘⃗ . Proyeksi ortogonal vektor
(v⃗ + 𝑤⃗⃗ ) pada 𝑢⃗ adalah ...
a.
4
3
𝑖 +
4
3
𝑗 +
4
3
𝑘⃗
b.
4
3
𝑖 + 𝑗 +
4
3
𝑘⃗
c.
4
3
𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗

57
d. 𝑖 − 𝑗 + 𝑘⃗
e. 4𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗
Penyelesaian :
Rumus proyeksi ortogonal 𝑎 pada 𝑏⃗ 
𝑎⃗ .𝑏⃗
| 𝑏⃗ |
2 𝑏⃗
𝑎 . 𝑏⃗
| 𝑏⃗ |
2 𝑏⃗
(v⃗ + 𝑤⃗⃗ ) . 𝑢⃗
| 𝑢⃗ |2 𝑢⃗
((
1
1
1
) + (
3
0
−1
)) .(
1
−1
1
)
| (
1
−1
1
)|
2 (
1
−1
1
)
(
4
1
0
) . (
1
−1
1
)
( √12 + (−1)2 + 12)
2 (
1
−1
1
)
4 − 1
( √3)
2 (
1
−1
1
)
3
3
(
1
−1
1
) = (
1
−1
1
)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑖 − 𝑗 + 𝑘⃗ (d)

TRANSFORMASI GEOMETRI
Titik R(5, -3) dirotasikan oleh [O,180o
]. Bayangan titik R adalah ...
a. (−5, 3)
b. (3, −5)
c. (−3, 5)
d. (−5, −3)
e. (−3, −5)
Penyelesaian :
𝑅(5,−3)
𝑅[ 𝑂,180 𝑜]
→ 𝑅′(𝑥′, 𝑦′)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′
𝑦′
) = (cos180 𝑜 −sin 180 𝑜
sin 180 𝑜 cos180 𝑜 ) (
5
−3
)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
−1 0
0 −1
) (
5
−3
)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
−5
3
)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (−5,3) (a)
Jika jajargenjang ABCD dengan A(-3, 5); B(4, 1); dan C(6, 8) dicerminkan terhadap garis
𝑦 = −𝑥,bayangan titik D adalah ...
a. (1, −12)
b. (−12, 1)
c. (12, −1)
d. (12, −5)
e. (−5,12)
Penyelesaian :
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
𝑏⃗ − 𝑎 = 𝑐 − 𝑑
(
4
1
) − (
−3
5
) = (
6
8
) − (
𝑎
𝑏
)
(
7
−4
) = (
6
8
) − (
𝑎
𝑏
)
(
𝑎
𝑏
) = (
−1
12
)
𝐷(−1, 12)
𝑀 𝑦=−𝑥
→ 𝐷′(𝑥′, 𝑦′)

59
(
𝑥′
𝑦′
) = (
0 −1
−1 0
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
0 −1
−1 0
) (
−1
12
)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
−12
1
)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (−12,1) (b)
Garis 𝑔 mempunyai persamaa 2𝑥 + 3𝑦 = 4 ditranslasikan oleh T(
2
−3
) menghasilkan 𝑔′.
Persamaan garis 𝑔′ adalah ...
a. 2𝑥 + 3𝑦 = −1
b. 2𝑥 + 3𝑦 = −2
c. 3𝑥 + 2𝑦 = −1
d. 3𝑥 + 2𝑦 = 9
e. 2𝑥 + 3𝑦 = 9
Penyelesaian :
𝐴( 𝑥, 𝑦)
𝑇( 2
−3
)
→ 𝐴′(𝑥′,𝑦′)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
𝑥 + 𝑎
𝑦 + 𝑏)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
𝑥 + 2
𝑦 − 3
)
(
𝑥
𝑦) = (
𝑥′ − 2
𝑦′ + 3
)
Substitusikan x dan y ke dalam persamaan 2𝑥 + 3𝑦 = 4
2𝑥 + 3𝑦 = 4
2(𝑥′ − 2) + 3(𝑦′ + 3) = 4
2𝑥′ − 4 + 3𝑦′ + 9 = 4
2𝑥′ + 3𝑦′ = −1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2𝑥 + 3𝑦 = −1 (a)
Garis 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 ditranslasikan dengan matriks (
2 0
−1 1
) . Persamaan garis bayangan
adalah ...
a. 5𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0
b. 5𝑥 + 6𝑦 − 6 = 0
c. 5𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0
d. 2𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0
e. 2𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0

Penyelesaian :
𝐴( 𝑥, 𝑦)
( 2 0
−1 1
)
→ 𝐴′(𝑥′,𝑦′)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
2 0
−1 1
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
2𝑥
−𝑥 + 𝑦
)
(
𝑥
𝑦) = (
𝑥′
2
𝑥′
2
+ 𝑦′
)
Substitusikan x dan y ke dalam persamaan 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
2(
𝑥′
2
)+ 3 (
𝑥′
2
+ 𝑦′) − 6 = 0
2
2
𝑥′ +
3
2
𝑥′ + 3𝑦′ − 6 = 0
2𝑥′ + 3𝑥′ + 6𝑦′ − 12 = 0
5𝑥′ + 6𝑦′ − 12 = 0
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 5𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0 (a)
Bayangan titik P(1,1) karena transformasi (
2 0
0 2
) diteruskan dengan transformasi
(
0 −1
1 0
) adalah ...
a. (−2,2)
b. (−2,−2)
c. (−2,1)
d. (2,0)
e. (−2,0)
Penyelesaian :
𝑃(1, 1)
𝑇(2 0
0 2
)
→ 𝑃′(𝑥′, 𝑦′)
𝑇(0 −1
1 0
)
→ 𝑃′′(𝑥′′,𝑦′′)
(
𝑥′′
𝑦′′
) = (
0 −1
1 0
) (
2 0
0 2
)(
𝑥
𝑦)
(
𝑥′′
𝑦′′
) = (
0 −1
1 0
) (
2 0
0 2
)(
1
1
)
(
𝑥′′
𝑦′′
) = (
0 −2
2 0
) (
1
1
)
(
𝑥′′
𝑦′′
) = (
−2
2
)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (−2, 2) (a)

61
Persamaan bayangan dari garis 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 oleh pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥
dilanjutkan dengan rotasi
1
2
𝜋 terhadap O adalah ...
a. 3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
b. 3𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
c. 3𝑦 − 𝑥 + 2 = 0
d. 𝑦 − 3𝑥 + 2 = 0
e. 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0
Penyelesaian :
𝑃( 𝑥, 𝑦)
𝑀 𝑦=𝑥
→ 𝑃′(𝑥′, 𝑦′)
𝑅[𝑂,900]
→ 𝑃′′(𝑥′′, 𝑦′′)
(
𝑥′′
𝑦′′
) = (cos900 −sin 900
sin 900 cos900 ) (
0 1
1 0
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′′
𝑦′′
) = (
0 −1
1 0
) (
0 1
1 0
)(
𝑥
𝑦)
(
𝑥′′
𝑦′′
) = (
−1 0
0 1
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′′
𝑦′′
) = (
−𝑥
𝑦 )
(
𝑥
𝑦) = (
−𝑥′′
𝑦′′
)
Substitusikan x dan y ke dalam persamaan 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
−3𝑥′′− 𝑦′′ + 2 = 0
3𝑥′′ + 𝑦′′ − 2 = 0
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 (a)
Titik A(n, m) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 2,menghasilkan bayangan A′(0,2).Nilai 𝑛 +
𝑚 = ...
a. -6
b. -4
c. -2
d. 2
e. 6
Penyelesaian :
𝐴( 𝑛,𝑚)
𝑀 𝑥=2
→ 𝐴′(0,2)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
−1 0
0 1
) (
𝑥
𝑦) + (
2ℎ
0
)
(
0
2
) = (
−1 0
0 1
) (
𝑛
𝑚
) + (
4
0
)

(
0
2
) = (
−𝑛
𝑚
) + (
4
0
)
(
𝑛
𝑚
) = (
0
2
) + (
4
0
)
(
𝑛
𝑚
) = (
−0 + 4
2 − 0
)
(
𝑛
𝑚
) = (
4
2
)
𝑛 + 𝑚 = 4 + 2 = 6
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 6 (e)
Titik B(1, −√3) jika dirotasikan pada pusat rotasi O(0, 0) sejauh 600
searah jarum jam, maka
bayangannya adalah ...
a. (2,0)
b. (1,√3)
c. (−√3,1)
d. (−1,√3)
e. (−1,−√3)
Penyelesaian :
𝐵(1,−√3)
𝑅[ 𝑂,60 𝑜]
→ 𝐵′(𝑥′, 𝑦′)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′
𝑦′
) = (cos60 𝑜 −sin 60 𝑜
sin 60 𝑜 cos60 𝑜 ) (
1
−√3
)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
1
2
−
1
2
√3
1
2
√3
1
2
)(
1
−√3
)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
1
2
+
3
2
1
2
√3 −
1
2
√3
)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
2
0
)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (2,0) (a)
Jika titik A(2, −6) didilatasikan pada titik pusat dilatasi O(0, 0) dengan faktor dilatasi k = 2,
maka koordinat bayangannya adalah ...
a. 𝐴′(−4,−12)
b. 𝐴′(−2,−6)
c. 𝐴′(−4,12)

63
d. 𝐴′(4,−12)
e. 𝐴′(1,−3)
Penyelesaian :
𝐴(2,−6)
𝐷[ 𝑂,2]
→ 𝐴′(𝑥′,𝑦′)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
2 0
0 2
) (
𝑥
𝑦)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
2 0
0 2
) (
2
−6
)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
4
−12
)
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝐴′(4,−12) (d)
Sebuah transformasi dilatasi dengan faktor dilatasi −
1
2
memetakan titik A(4, 3) menjadi
A’(10, 6). Koordinat titik pusat dilatasinyadalah ...
a. 𝑃(1, −2)
b. 𝑃(8, 5)
c. 𝑃(−2, 3)
d. 𝑃(5, 2)
e. 𝑃(6, 3)
Penyelesaian :
𝐴(4,3)
𝐷[( 𝑎,𝑏),−
1
2
]
→ 𝐴′(10,6)
(
𝑥′
𝑦′
) = (
−
1
2
0
0 −
1
2
) (
𝑥 − 𝑎
𝑦 − 𝑏) + (
𝑎
𝑏
)
(
10
6
) = (
−
1
2
0
0 −
1
2
) (
4 − 𝑎
3 − 𝑏
) + (
𝑎
𝑏
)
(
10
6
) = (
−2 +
1
2
𝑎
−
3
2
+
1
2
𝑏
) + (
𝑎
𝑏
)
(
10
6
) = (
−2 +
3
2
𝑎
−
3
2
+
3
2
𝑏
)
10 = −2 +
1
2
𝑎
12 =
3
2
𝑎
8 = 𝑎

6 = −
3
2
+
3
2
𝑏
15
2
=
3
2
𝑏
5 = 𝑎
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑃(8,5) (b)

Soal integral dan pembahasan

Soal integral dan pembahasan

Soal integral dan pembahasan

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances(20)

Similaire à Soal integral dan pembahasan

Similaire à Soal integral dan pembahasan(20)

Dernier

Dernier(20)

Soal integral dan pembahasan