1. O documento apresenta um trabalho sobre a Teoria dos Conjuntos no Ensino Médio, abordando noções básicas como conjuntos, subconjuntos, operações com conjuntos (união, interseção, diferença), e conjuntos numéricos fundamentais. 2. É dividido em seções de Introdução, Desenvolvimento e Conclusão, com explicações detalhadas dos principais conceitos da Teoria dos Conjuntos. 3. A seção Desenvolvimento define termos como conjunto, subconjunto, relação de pertinência, operações com conjuntos e

1. ENSINO MÉDIO
TRABALHO DE MATEMÁTICA
“TEORIA DOS CONJUNTOS”
Por
Wanderson Joner Silva Cruz
Brasilia
Maio de 2012
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2. TRABALHO DE MATEMÁTICA
“TEORIA DOS CONJUNTOS”
Trabalho apresentado à
d i s c i p l i n a : M a t e m á t i c a , do Prof.
Por:
Wanderson Joner Silva Cruz
Série: Ensino Médio
Nota:_____
Assinatura do Professor (a):
________________________________
Brasilia
Maio de 2012
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3. SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO ................................................................................. 04
2 – DESENVOLVIMENTO ............................................................ 05 à 16
2.1 - Noções.................................................................................. 05 à 11
2.2 – Representações.................................................................... 11 à 15
2.3 - Relação de pertinência...................................................................15
2.4 - Relação de inclusão........................................................................16
2.5 - Relação de igualdade.....................................................................16
3 – CONCLUSÃO ................................................................... .................17
4 – BIBLIOGRAFIA .................................................................................18
5 – ANEXOS ..............................................................................................19
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4. 1 - INTRODUÇÃO
Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações
entre muitos pesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único
artigo em 1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade característica de
todos os números algébricos reais".
Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que
são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um
conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são
relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas
definições de quase todos os elementos matemáticos.
O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor
e Richard Dedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos
conjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início do século XX, dos
quais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais
conhecidos.
Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de
matemática nos Estados Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação de
conjuntos são frequentemente ensinados na escola primária, junto com diagramas de
Venn, diagramas de Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção de
conjunto. Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são uma
parte padrão do currículo de matemática de graduação.
A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema
precursor da matemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-
Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos
conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa
ativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção
de temas, variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de grandes
cardinais.
A lógica de classes, que pode ser considerada um pequeno fragmento da
teoria dos conjuntos com importância histórica é isomorfa à lógica proposicional
clássica e à álgebra booleana, e como tal, os teoremas de uma das teorias possuem
análogos nas outras duas.
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5. 2 – DESENVOLVIMENTO
2.1 - NOÇÕES
NOÇÕES DE CONJUNTO
A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872
pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século
XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf
Fraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos von
Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.
O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em
alguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos,
base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise
combinatória, probabilidades, etc
Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus
elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser
representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento
qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
Relação de pertinência:
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,
onde o símbolo Î significa "pertence a".
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse
fato com a notação y Ï A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e
representado pela letra grega fi: f .
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o
conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo,
representado pelo símbolo U.
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6. Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.
Subconjunto
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B,
então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.
Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é
denominado
conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c},
{d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos
são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados
conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Nota: é evidente que N Ì Z.
Conjunto dos números racionais
Q = {x | x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. (o símbolo | lê-se como "tal que").
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma
de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de
zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000,
0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.
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7. Notas:
a) é evidente que N Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever
uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9
Conjunto dos números irracionais
Q' = {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | lê-se como "tal que").
Exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e
o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
Conjunto dos números reais
R = { x | x é racional ou x é irracional }.
Notas:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R
b) Q' Ì R
c) um número real é racional ou irracional; não existe outra hipótese!
Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de
todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os
números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude
do intervalo.
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8. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o
intervalo é dito aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO
INTERVALO FECHADO [p;q] = {x Î R; p £ x £ inclui os limites p e q
q}
INTERVALO ABERTO (p;q) = { x Î R; p < x < exclui os limites p e q
q}
INTERVALO FECHADO [p;q) = { x Î R; p £ x < inclui p e exclui q
A ESQUERDA q}
INTERVALO FECHADO (p;q] = {x Î R; p < x £ exclui p e inclui q
À DIREITA q}
INTERVALO SEMI- [p;¥ ) = {x Î R; x ³ p} valores maiores ou iguais a p.
FECHADO
INTERVALO SEMI- (- ¥ ; q] = { x Î R; x £ valores menores ou iguais a q.
FECHADO q}
INTERVALO SEMI- (-¥ ; q) = { x Î R; x < valores menores do que q.
ABERTO q}
INTERVALO SEMI- (p; ¥ ) = { x > p } valores maiores do que p.
ABERTO
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser
representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).
Operações com conjuntos
União ( È )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A
ou x Î B}.
Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união
contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
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9. Propriedades imediatas:
a) A È A = A
b) A È f = A
c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.
Interseção ( Ç )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x
Î A e x Î B}.
Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção
contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A Ç A = A
b) A Ç Æ = Æ
c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)
Observação: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao
primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - f = A
b) f - A = f
c) A - A = Æ
d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é
, que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A – B
chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
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10. Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo
U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por
todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:
a) B Ç B' = f
b) B È B' = U
c) f' = U
d) U' = f
Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e
representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A
(representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes
condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto
vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} Ç {3, 5} = Ø
c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A
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11. Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma
partição do conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2},
{5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é
uma partição do conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7,
...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z
Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja
n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do
conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B)
e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte
fórmula:
n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)
2.2 - REPRESENTAÇÕES
Representações de Conjuntos
a) Extensão ou Enumeração
Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de
seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-
vírgula.
Exemplos:
Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro,
novembro};
Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22:
{10; 12; 14; 16; 18; 20}.
Observações:
1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos
como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais:
{2;3;4} e {2,3;4};
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12. 3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se
evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no
final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um
grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.
b) Propriedade dos Elementos
Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade
característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:
A = {x | x tem a Propriedade P}
e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.
Exemplos:
A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a)
acima;
C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.
c) Diagrama de Euler-Venn
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não
entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada
indicam os elementos do conjunto.
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de
pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com
apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer
elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é
logicamente falsa.
Exemplos de Conjuntos Unitários:
Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
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13. Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.
Exemplos de Conjuntos Vazios:
{x | x > 0 e x < 0} = Ø;
Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
{x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.
Conjunto Universo
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um
determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do
segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos
interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse
caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma
propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B
e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:
Observações:
1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere
na igualdade de conjuntos;
3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não
pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.
Subconjunto
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente
se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:
onde a notação significa “A é subconjunto de
B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido
inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica
sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado
como:
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14. Exemplos:
{1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Ø C {a, b};
{a, b} C {a, b};
{a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o
elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.
Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que
todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B
está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos
provar que:
Propriedades da Inclusão
Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes
propriedades:
1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é
subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro
(propriedade Transitiva).
Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é
bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D,
então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no
conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é
sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.
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15. Conjunto das Partes
Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto
formado por todos os subconjuntos de E:
Exemplos:
Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.
Observações:
1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são
conjuntos;
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não
pertence) e contido (não contido);
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de
P(A);
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então
n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e
n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21.
A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será
feita oportunamente.
Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua
opinião nos comentários, ela é muito importante.
2.3 - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Cada aluno da classe tem uma mesma propriedade: estar na sala de aula.
Assim, ao falarmos neste conjunto estabelecemos a possibilidade de averiguar se uma
pessoa pertence ou não a ele. O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de
pertinência representada pelo símbolo Є. As letras minúsculas designam os elementos
de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é: V =
{a, e, i, o, u}
→ A relação de pertinência é expressa por: a Î V, pois o elemento a pertence ao
conjunto V.
→ A relação de não-pertinência é expressa por: b Ï V, pois o elemento b não pertence
ao conjunto V.
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16. 2.4 - RELAÇÃO DE INCLUSÃO
A relação de inclusão possui 3 propriedades:
→ Propriedade reflexiva: A Ì A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.
→ Propriedade anti-simétrica: se A Ì B e B Ì A, então A = B.
→ Propriedade transitiva: se A Ì B e B Ì C, então A Ì C.
2.5 – RELAÇÃO DE IGUALDADE
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos
elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada
elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Observação
Se o conjunto A está contido em B (A B) e B está contido em A (B A), podemos
afirmar que A = B.
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17. 3 - CONCLUSÃO
Teoria dos Conjuntos Muitas das ciências hoje em dia, tem sua pedra
fundamental na teoria dos conjuntos, que foi formulada no final do século XIX, foi
estabelecida pelo matemático russo Geord Ferdinand Ludwig Philip Cantor ( 1845-
1918). Nascido em S. Petersburgo, Rússia, concentrou seus estudos em Filosofia, Física
e Matemática. Doutourou-se em Berlim, na Alemanha, em 1867, com uma tese sobre a
Teoria dos Números. No princípio, a reação dos círculos matemáticos não foi muito
favorável às concepções de Cantor, mas, no fim do século XIX, as idéias dele já eram
bem aceitas.
Essa é considerada a primeira fase da Teoria dos Conjuntos. A segunda
fase iniciou-se nos primeiros anos do século XX, quando descobriu-se que a teoria
cantoriana conduzia a contradições – os chamados paradoxos da Teoria dos Conjuntos.
Em meados do século XX, a Teoria dos Conjuntos exerceu efeitos profundos sobre o
ensino da matemática. Cantor estava entre os matemáticos mais notáveis e originais de
sua época. No entanto, nunca consegui uma posição de destaque, passando a maior parte
da sua carreira na Universidade de Halle. Apesar de não se poder definir o conjunto,
entenderemos que ele seja um ente primitivo, isto é, uma coleção ou uma lista bem
definida de objetos, símbolos, etc. Qualquer agrupamento pode ser chamado de
conjunto. Assim, pois, dentro de um conjunto estão constituídos os elementos.
Uma das formas de simbolizar o conjunto e seus elementos é representar
o conjunto por uma letra maiúscula e seus elementos separados por vírgula e entre
chaves. A representação em extensão pode ser usada para conjuntos finitos ou infinitos,
mesmo que o número de elementos seja muito grande. Também podemos representar
um conjunto por meio de uma figura chamada Diagrama de Venn ( John Venn, lógico
inglês,1834-1923). Fazemos notar, ainda, que contrariamente ao que se considera
normalmente nesta teoria, admite-se a existência de conjuntos com um só elemento
(Conjunto Unitário) e conjuntos sem elementos (Conjuntos Vazios), notamos, ainda,
que um conjunto pode ter um número Finito ou Infinito de Elementos. A partir do
século VIII, os árabes introduziram na Europa o sistema de numeração com dez
símbolos criados pelos hindus. Esse sistema possuía inúmeras vantagens sobre os que
eram normalmente utilizados, principalmente por facilitar a escrita e os cálculos. Ficou
conhecido como sistema de numeração indo-arábico. Sofreu várias modificações e
somente no século XIV os símbolos adquiriram o formato que utilizamos hoje.
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18. 4 - BIBLIOGRAFIA
http://www.paulomarques.com.br/arq1-1.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntos
http://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/
http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/conjuntos.asp
http://www.eumed.net/libros/2009a/499/FUNDAMENTOS%20DA%20MATEMA
TICA%20CONJUNTOS.htm
http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/itc.html
http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
http://www.youtube.com/watch?v=EKTw4Cr2AI8
http://pt.wikibooks.org/wiki/Teoria_dos_conjuntos
http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_5TeoriaDosConjuntos.pdf
http://www.cin.ufpe.br/~ruy/conjuntos/aula1.pdf
18

19. 5- ANEXOS
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