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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
              FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS,HUMANIDADES
              Y CURSOS COMPLEMENTARIOS




                  CÁLCULO DIFERENCIAL


                                        Wilfredo García Rodas
I UNIDAD




CONSIDERACIONES GENERALES
ORIENTACIONES GENERALES

◦ Estimado estudiante:

◦ A continuación ponemos a su disposición, las
  siguientes diapositivas con la finalidad de
  reforzar el aprendizaje de la unidad.

◦ ¡ MUCHOS ÉXITOS !
CONTENIDOS DE LA I UNIDAD

                   LÍMITES DE FUNCIONES


SEMANA N° 1
      1.1       Vecindad, entorno. Punto de acumulación.
                Punto aislado. Aplicaciones.
       1.2      Definición de límite. Límite de una suma,
                producto, cociente de funciones.
       1.3      Límites laterales. Teoremas sobre límites.
       1.4      Existencia y unicidad del límite. Límites
                trigonométricos.
SEMANA N° 2
     1.5    Límite de la función compuesta y de la función
             inversa.
     1.6    Límites al infinito y límites infinitos.
     1.7    Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas.
            Ejercicios y problemas
LÍMITES DE FUNCIONES

Veamos primero el comportamiento de una
función real f de variable real, con regla de
correspondencia y=f(x) , en la cercanía de
                    x=2.




                                                x2  x  2
                                                lim
                                                          3
                                            x2   x2
LÍMITES DE FUNCIONES




                              limx2  x  2
                                           3
                             x2   x2




f ( x)  x  1,   x 2
Definiciones previas
   1.Vecindad de centro xO y radio  ,    0
Definiciones previas
   1.Vecindad de centro xO y radio  ,                  0




        V ( xO )   x  R / xO    x  xO     

        V ( xO )  xO   ; xO   
Definiciones previas

   2.Vecindad reducida de centro xO y radio                    
      0



V ´ ( xO )   x  R / xO    x  xO v xO  x  xO     
V ´ ( xO )  xO   ; xO  v  xO ; xO   
Definiciones previas
3.Entorno del punto xO
Definiciones previas
  3.Entorno del punto xO




Ejemplo: xO = 2   tiene por entorno a   I  0 ; 3 
V

4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A,

  A  R, A  

  si   A  V ´  xo)  
4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A

Ejemplo: Sea xO = 1 y   A  1; 3 

 ¿Xo es punto de acumulación de A?
4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A

Ejemplo: Sea xO = 1 y     A  1; 3 
 Solución:
Hallamos A  V ´  xo)
              1; 3  [ 1   ,1    1;1   ]
               1; 3    1   ,1   1; 3    1;1   
4.Punto de acumulación: xO es punto de
 acumulación del conjunto A

 Ejemplo: Sea xO = 1 y   A  1; 3 

Hallamos A  V ´  xo) 
            1; 3  [ 1   ,1    1;1   ]
             1; 3    1   ,1   1; 3    1;1   

               1,   /   mínimo3;1   
         xO  1      es punto de acumulación de A.
DEFINICIÓN:

Sea f una función real de variable real
cuyo dominio es Df. Sea x0 un punto de
acumulación del dominio de f, xO puede
no pertenecer a Df, el límite de la función f
cuando x se aproxima al valor de xO (x
tiende a “xO”) y toma el valor L, se denota
y define por:

lim f  L    0 ;   0 / x  D f  x  xO    f ( x)  L   
x  xO
GRÁFICA:

   Caso extremo, se puede tomar    1
                  0   1
Oservaciones :
INDETERMINACIONES:
PROPIEDADES
PROPIEDADES
LÍMITES LATERALES
Aplicaciones:
Solución:
Solución:
LÍMITES AL INFINITO:
LÍMITES INFINITOS
El número Irracional (e)

   Es conocido como el número de Euler o la constante de Neper por
    ser la base del logaritmo neperiano (logaritmo natural).
Valor de e
Gráfica
a x 1
 L  lim           ln a , a  0
     x 0      x

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS,HUMANIDADES Y CURSOS COMPLEMENTARIOS CÁLCULO DIFERENCIAL Wilfredo García Rodas
  • 3. ORIENTACIONES GENERALES ◦ Estimado estudiante: ◦ A continuación ponemos a su disposición, las siguientes diapositivas con la finalidad de reforzar el aprendizaje de la unidad. ◦ ¡ MUCHOS ÉXITOS !
  • 4. CONTENIDOS DE LA I UNIDAD LÍMITES DE FUNCIONES SEMANA N° 1 1.1 Vecindad, entorno. Punto de acumulación. Punto aislado. Aplicaciones. 1.2 Definición de límite. Límite de una suma, producto, cociente de funciones. 1.3 Límites laterales. Teoremas sobre límites. 1.4 Existencia y unicidad del límite. Límites trigonométricos. SEMANA N° 2 1.5 Límite de la función compuesta y de la función inversa. 1.6 Límites al infinito y límites infinitos. 1.7 Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas. Ejercicios y problemas
  • 5. LÍMITES DE FUNCIONES Veamos primero el comportamiento de una función real f de variable real, con regla de correspondencia y=f(x) , en la cercanía de x=2. x2  x  2 lim  3 x2 x2
  • 6. LÍMITES DE FUNCIONES limx2  x  2  3 x2 x2 f ( x)  x  1, x 2
  • 7. Definiciones previas  1.Vecindad de centro xO y radio  ,  0
  • 8. Definiciones previas  1.Vecindad de centro xO y radio  ,  0 V ( xO )   x  R / xO    x  xO    V ( xO )  xO   ; xO   
  • 9. Definiciones previas  2.Vecindad reducida de centro xO y radio   0 V ´ ( xO )   x  R / xO    x  xO v xO  x  xO    V ´ ( xO )  xO   ; xO  v  xO ; xO   
  • 11. Definiciones previas 3.Entorno del punto xO Ejemplo: xO = 2 tiene por entorno a I  0 ; 3 
  • 12. V 4.Punto de acumulación: xO es punto de acumulación del conjunto A, A  R, A   si A  V ´  xo)  
  • 13. 4.Punto de acumulación: xO es punto de acumulación del conjunto A Ejemplo: Sea xO = 1 y A  1; 3  ¿Xo es punto de acumulación de A?
  • 14. 4.Punto de acumulación: xO es punto de acumulación del conjunto A Ejemplo: Sea xO = 1 y A  1; 3  Solución: Hallamos A  V ´  xo)  1; 3  [ 1   ,1    1;1   ]   1; 3    1   ,1   1; 3    1;1   
  • 15. 4.Punto de acumulación: xO es punto de acumulación del conjunto A Ejemplo: Sea xO = 1 y A  1; 3  Hallamos A  V ´  xo)   1; 3  [ 1   ,1    1;1   ]   1; 3    1   ,1   1; 3    1;1        1,   /   mínimo3;1     xO  1 es punto de acumulación de A.
  • 16. DEFINICIÓN: Sea f una función real de variable real cuyo dominio es Df. Sea x0 un punto de acumulación del dominio de f, xO puede no pertenecer a Df, el límite de la función f cuando x se aproxima al valor de xO (x tiende a “xO”) y toma el valor L, se denota y define por: lim f  L    0 ;   0 / x  D f  x  xO    f ( x)  L    x  xO
  • 17. GRÁFICA:  Caso extremo, se puede tomar  1 0   1
  • 22.
  • 24.
  • 25.
  • 27.
  • 28.
  • 29.
  • 32.
  • 33.
  • 34.
  • 35.
  • 36.
  • 37.
  • 38.
  • 39.
  • 40.
  • 41.
  • 44. El número Irracional (e)  Es conocido como el número de Euler o la constante de Neper por ser la base del logaritmo neperiano (logaritmo natural).
  • 47.
  • 48.
  • 49.
  • 50.
  • 51.
  • 52.
  • 53.
  • 54.
  • 55. a x 1  L  lim  ln a , a  0 x 0 x