Pl enset-cpa

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  1. 1. ENCG 2011-20121
  2. 2. ENCG 2011-2012 INTRODUCTION A LA PROGRAMMATION LINEAIREOn appelle Programmation Linéaire, le problème mathématique qui consiste à optimiser(maximiser ou minimiser) une fonction linéaire de plusieurs variables qui sont reliées par desrelations linéaires appelées contraintes.1) RESOLUTION GRAPHIQUECette méthode nest applicable que dans le cas où il ny a que deux variables. Son avantage estde pouvoir comprendre ce que fait la méthode générale du Simplexe, sans entrer dans latechnique purement mathématique.Soit à résoudre le problème suivant:Maximiser la fonction objectif z = 1200 x1 + 1000 x2sous les contraintes économiques 3 x1 + 4 x2 ≤ 160 6 x1 + 3 x2 ≤ 180et les contraintes de signe x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0les inconnues x1 et x2 sont appelées variables dactivitéLes contraintes économiques et de signe sont représentées graphiquement par des demi-plansdont lintersection est un ensemble convexe (c.à.d. tout segment de droite dont les extrémitésappartiennent à lensemble est entièrement inclus dans cet ensemble). Les solutions, si ellesexistent appartiennent donc à cet ensemble appelé région des solutions admissibles. 2
  3. 3. ENCG 2011-2012Il sagit donc de chercher à lintérieur de ce domaine, le couple (x1 , x2) maximisant lafonction objectif.Or léquation 1200 x1 + 1000 x2 = z0 est représentée par une droite de pente constante (-1,2)dont tous les points (x1 , x2) fournissent la même valeur z0 pour la fonction économique.En particulier, la droite 1200 x1 + 1000 x2 = 0 passe par lorigine et donne une valeur nulle àla fonction économique.Pour augmenter la valeur de z0 et donc la fonction économique, il suffit déloigner de lorigine(dans le quart de plan x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0) la droite de pente -1,2Pour respecter les contraintes, cette droite sera déplacée jusquà lextrême limite où il ny auraplus quun point dintersection (éventuellement un segment) avec la région des solutionsadmissibles.On remarquera que la solution optimale se trouve nécessairement sur le pourtour de la régiondes solutions admissibles.La solution se trouvant sur les deux droites déquation3 x1 + 4 x2 = 1606 x1 + 3 x2 = 180la résolution de ce système conduit à la solution x1 =16 , x2 = 28, doù z = 47200.2) METHODE DU SIMPLEXEa) Forme canonique dun Programme LinéaireMax z = c1 x1 + c2 x2 + .......... +cn xn a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn ≤ b2 3
  4. 4. ENCG 2011-2012 ............................................................................ am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn ≤ bm x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; .........; xn ≥ 0b) Forme standard dun Programme LinéaireOn transforme les inégalités des contraintes économiques en égalités par introduction devariables supplémentaires positives ou nulles appelées variables décart.ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn ≤ bi devient ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn + ti = bidoù la forme standardMax z = c1 x1 + c2 x2 + ..........+ cn xn a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn + t1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn + t2 = b2 ............................................................................ am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn + tm = bm x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; .........; xn ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0 ; .........; tm ≥ 0c) RésolutionAfin de comparer avec la résolution graphique, nous pouvons considérer que nous sommesdans un espace à n dimensions (nombre de variables dactivité). Les contraintes délimitent unpolyèdre convexe, région des solutions admissibles; la fonction objectif est un hyperplan quelon va déplacer le plus loin possible de lorigine, jusquà lextrême limite où il ny aura plusquun point dintersection (éventuellement un segment, un plan...) avec la région des solutionsadmissibles.La solution se trouvant forcément sur le pourtour du polyèdre admissible, la méthode dusimplexe consiste en itérations qui font passer dun sommet du polyèdre à un autre ensélectionnant le sommet adjacent maximisant la fonction objectif.Pour démarrer lalgorithme, il est nécessaire davoir une solution initiale. Dans le cas simple,lorigine est solution, c.à.d. que la première solution est x1 = 0 ; x2 = 0 ; .........; xn = 0 ; t1 =b1 ; t2 = b2 ; .........; tm = bm (ceci suppose que les bi ne soient pas négatifs pour satisfaire lescontraintes de signe)Lalgorithme, basé sur la méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmesdéquations linéaires, est présenté sous forme de tableau.Soit à résoudre le programme linéaire suivant sous sa forme canonique 3 x1 + 4 x2 ≤ 160 6 x1 + 3 x2 ≤ 180Max z = 1200 x1 + 1000 x2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0* Forme standard 3 x1 + 4 x2 + 1 t1 + 0 t2 = 160 6 x1 + 3 x2 + 0 t1 + 1 t2 = 180Max z = 1200 x1 + 1000 x2 + 0 t1 + 0 t2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0 4
  5. 5. ENCG 2011-2012* Tableau 0en ne conservant que les coefficients des équations ci-dessus, on obtient le tableau de départ HB x1 x2 t1 t2 C B t1 3 4 1 0 160 t2 6 3 0 1 180 ∆ 1200 1000 0 0 0Ce tableau nous donne la première solution admissible:- Les variables Hors Base (HB) sont nulles: x1 = 0 ; x2 = 0 (t1 et t2 en rouge ne sont pas horsbase; elles ne sont présentes que pour rappeler quil sagit des colonnes des coefficients de cesdeux variables)- Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C: t1 = 160 et t2 =180- La dernière cellule (intersection de C et ∆) donne la valeur de -z : -z = 0 donc z = 0- La ligne ∆ donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles sinterprètentde la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de x1 feraitaccroître la fonction objectif de 1200, et une augmentation de 1 unité de x2 ferait accroître lafonction objectif de 1000.* Tableau 1On augmente la fonction objectif en faisant entrer une variable dans la base, prenant la placedune variable qui va sortir de la base.Critère de sélection de la variable entrant dans la base:On sélectionne la variable HB ayant le plus grand coefficient positif dans la ligne ∆ . x1 entre donc dans la basePour sélectionner la variable sortant de la base, il est nécessaire de rajouter une colonne R autableau, obtenue en faisant le rapport membre à membre de la colonne C et de la colonne de lavariable entrant dans la base (x1)Remarques sur la colonne R:- Un 0 dans la colonne C est remplacé par un infiniment petit positif ε pour effectuer le calculde R- Dans la colonne R on ne tient pas compte des valeurs négatives ou indéterminées HB x1 x2 t1 t2 C R B t1 3 4 1 0 160 160/3 t2 6 3 0 1 180 30 ∆ 1200 1000 0 0 0Critère de sélection de la variable sortant de la base:On sélectionne la variable dans la Base ayant le plus petit coefficient positif dans la 5
  6. 6. ENCG 2011-2012colonne R . t2 sort donc de la base HB x1 x2 t1 t2 C RBt1 3 4 1 0 160 160/3t2 6 3 0 1 180 30 variable sortant∆ 1200 1000 0 0 0 variable entrantOn appelle pivot (égal à 6) lintersection de la variable entrante et de la variable sortantePour obtenir le tableau 1, on applique les règles suivantes:- Le pivot est égal à 1- Les coefficients de la ligne du pivot sont divisés par le pivot- Les coefficients de la colonne du pivot sont nuls- Les autres coefficients sont obtenus par la règle du rectangleLa règle du rectangle est la suivante:Remarque importante: d = d ⇔ c b = 0 ⇔ b = 0 ou c = 0En conséquence, si dans la colonne (resp. ligne) du pivot il y a un 0, toute la ligne (resp.colonne) correspondante reste inchangée.En appliquant ces règles on obtient le tableau 1: 6
  7. 7. ENCG 2011-2012 HB x1 x2 t1 t2 C B t1 0 5/2 1 -1/2 70 x1 1 1/2 0 1/6 30 ∆ 0 400 0 -200 -36000Ce tableau nous donne la deuxième solution admissible:- Les variables Hors Base (HB) sont nulles: x2 = 0 ; t2 = 0 (x1 et t1 en rouge ne sont pas horsbase; elles ne sont présentes que pour rappeler quil sagit des colonnes des coefficients de cesdeux variables)- Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C: t1 = 70 et x1 =30- La dernière cellule (intersection de C et ∆) donne la valeur de -z : -z = -36000 donc z =36000- La ligne ∆ donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles sinterprètentde la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de x2 feraitaccroître la fonction objectif de 400, et une augmentation de 1 unité de t2 ferait diminuer lafonction objectif de 200 (il est à noter quune augmentation de 1 unité de la variable décart t2revient à diminuer le second membre de léquation correspondante de 1 unité).* Tableau 2: HB x1 x2 t1 t2 C RBt1 0 5/2 1 -1/2 70 28 variable sortantx1 1 1/2 0 1/6 30 60∆ 0 400 0 -200 - 36000 variable entrantdoù le tableau 2 HB x1 x2 t1 t2 C B x2 0 1 2/5 -1/5 28 x1 1 0 -1/5 4/15 16 ∆ 0 0 -160 -120 - 47200Ce tableau nous donne la troisième solution admissible:- Les variables Hors Base (HB) sont nulles: t1 = 0 ; t2 = 0 (x1 et x2 en rouge ne sont pas horsbase; elles ne sont présentes que pour rappeler quil sagit des colonnes des coefficients de cesdeux variables) 7
  8. 8. ENCG 2011-2012- Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C: x2 = 28 et x1 =16- La dernière cellule (intersection de C et ∆) donne la valeur de -z : -z = - 47200 donc z =47200- La ligne ∆ donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles sinterprètentde la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de t1 feraitdiminuer la fonction objectif de 160, et une augmentation de 1 unité de t2 ferait diminuer lafonction objectif de 120 (il est à noter quune augmentation de 1 unité dune variable décartrevient à diminuer le second membre de léquation correspondante de 1 unité).Critère darrêt des itérations:Si tous les coefficients de la ligne ∆, relatifs aux variables HB, sont négatifs ou nuls, lasolution trouvée est optimale. Nous avons donc ici atteint la solution optimale.Remarques importantes:- Sil existe une variable HB ayant un coefficient positif dans la ligne ∆ et telle que tous lescoefficients correspondants dans le tableau soient nuls ou négatifs, alors la solution est infinie.- Si, à la fin des itérations, une variable est HB avec un coefficient nul dans la ligne ∆, alorson a une arête (plan,...) optimale. Les autres sommets solutions sont obtenus en faisant rentrercette variable dans la base.3) DUALA tout programme linéaire appelé PRIMAL correspond un programme linéaire appelé DUALobtenu de la manière suivante: PRIMAL DUAL m contraintes dinfériorité n contraintes de supériorité n variables dactivité n variables décart m variables décart m variables dactivité écriture en ligne écriture en colonne exemple PRIMAL DUAL 3 x1 + 4 x2 ≤ 160 3 y1 + 6 y2 ≥ 1200 6 x1 + 3 x2 ≤ 180 4 y1 + 3 y2 ≥ 1000 Max z = 1200 x1 + 1000 x2 Min w = 160 y1 + 180 y2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 y1 ≥ 0 ; y2 ≥ 0A loptimum, le primal et le dual sont liés par les règles suivantes:- les fonctions objectifs z et w ont la même valeur optimale- la valeur marginale dune variable dans un programme est égale à lopposé de la valeuroptimale de la variable associée dans lautre programme et réciproquement. exemple 8
  9. 9. ENCG 2011-2012 z = 47200 x1 x2 t1 t2 valeurs optimales 16 28 0 0 PRIMAL valeurs marginales 0 0 -160 -120 w = 47200 u1 u2 y1 y2 valeurs optimales 0 0 160 120 DUAL valeurs marginales -16 -28 0 0B) FORME USUELLE DUN PROGRAMME LINEAIREConsidérons la forme usuelle dun Programme Linéaire:Max ou Min z = c1 x1 + c2 x2 + .......... + cn xn a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn ≤ b2 ............................................................................ am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn ≤ bm x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; .........; xn ≥ 0La résolution du problème à Maximum a été vue précédemment. La résolution du problème àMinimum ne pose pas de difficulté; il suffit, dans le critère de sélection de la variable entrantdans la base, de remplacer "plus grand coefficient positif "par "plus grand coefficient négatif"et dans le critère darrêt des itérations de remplacer "coefficients négatifs ou nuls " par"coefficients positifs ou nuls".C) FORME NON USUELLE DUN PROGRAMME LINEAIRELa résolution du problème précédent nécessite les assertions suivantes: • Les seconds membres sont non-négatifs: bi ≥ 0 (nécessaire pour avoir une solution initiale) • Les variables dactivité sont non-négatives : xi ≥ 0 • Les contraintes sont de type " ≤ "Que peut-on faire lorsque ces conditions ne sont pas respectées?a) Un second membre est négatifIl suffit de multiplier la contrainte par -1. Ceci a pour effet de changer le sens de linégalité[voir c)]b) Une variable dactivité nest pas contrainte à la non-négativité 9
  10. 10. ENCG 2011-2012Tout nombre, positif ou négatif, peut toujours être écrit comme la différence de deux nombresnon-négatifs (par exemple, - 4 = 6 - 10). Il suffit donc de remplacer la variable dactivité par ladifférence de deux nouvelles variables dactivité non-négatives (le nombre de variablesdactivité augmente de 1).c) Une contrainte nest pas du type " ≤ "Nous distinguons deux cas: la contrainte est du type " ≥ " ou du type " = "- Contrainte du type " ≥ "Il suffit de rajouter une variable décart non-négativeai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn ≥ bi devient ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn - ti = biIl est à noter quil ny a plus de solution initiale évidente: en effet pour x1 = 0 ; x2 = 0 ; .........;xn = 0, ti = -bi, ce qui nest pas une solution admissible car ti doit être non-négative. Tout sepasse comme si cette variable décart était une variable dactivité et que nous étions enprésence dune contrainte de type " = " que nous allons traiter maintenant.- Contrainte du type " = "Dans le cas usuel les variables décart introduites étaient représentatives des contraintes.Suivant le même principe, nous rajoutons une variable non-négative, dite variable artificielle,qui sera représentative de la contrainte dans la base.ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn = bi devient ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn + ei = biIl est clair que pour que la contrainte dégalité soit respectée il faut que ei = 0. La solutioninitiale étant x1 = 0 ; x2 = 0 ; .........; xn = 0, ei = bi, lalgorithme doit permettre de mettre horsbase cette variable artificielle afin quelle soit nulle lorquon atteindra la solution optimale. Siceci nest pas possible, le problème naura alors pas de solution.Exemple de forme non-usuelle (1) 3 x1 + 4 x2 - 2 x3 ≤ 10 (2) 6 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 20 (3) -2 x1 + 5 x2 - 4 x3 ≤ -5 (4) x1 ≥ 0 ; x3 ≥ 0Max z = 12 x1 + 10 x2 + 8 x3(1) On rajoute une variable décart t1 3 x1 + 4 x2 - 2 x3 + t1 = 10(2) On rajoute une variable artificielle e2 6 x1 + 3 x2 + 5 x3 + e2 = 20(3) On multiplie par -1 2 x1 - 5 x2 + 4 x3 ≥ 5 On rajoute une variable décart t3 et une variable artificielle e3 2 x1 - 5 x2 + 4 x3 - t3 + e3 = 5(4) x2 nest pas contrainte à la non-négativité x2 = x2 - x2 10
  11. 11. ENCG 2011-2012Finalement le problème se ramène à la forme standard suivante3 x1 + 4 x2 - 4 x2 - 2 x3 + t1 = 106 x1 + 3 x2 - 3 x2 + 5 x3 + e2 = 202 x1 - 5 x2 + 5 x2 + 4 x3 - t3 + e3 = 5x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; t1 ≥ 0; t3 ≥ 0; e2 ≥ 0; e3 ≥ 0Max z = 12 x1 + 10 x2 - 10 x2 + 8 x33) METHODE DES PENALITES ( ou du grand M)Cette méthode permet de tenir compte des variables artificielles. On les pénalise en leuraffectant un coefficient de valeur très élevée dans la fonction économique (- M pour unproblème à maximum, + M pour un problème à minimum). Les pénalités ont pour objet deprovoquer lélimination des variables artificielles au fil des itérations. Normalement, àloptimum (sil existe) les variables artificielles sont hors base. Si celles-ci sont à loptimumdans la base, avec une valeur non nulle, le programme na pas de solution.Soit à résoudre le programme linéaire suivant sous sa forme canonique 5 x1 + 6 x2 ≥ 10 2 x1 + 7 x2 ≥ 14Min z = 3 x1 + 10 x2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0* Forme standard 5 x1 + 6 x2 - 1 t1 + 0 t2 + 1 e1 + 0 e2 = 10 2 x1 + 7 x2 + 0 t1 - 1 t2 + 0 e1 + 1 e2 = 14Min z = 3 x1 + 10 x2 + 0 t1 + 0 t2 + M e1 + M e2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0; e1 ≥ 0 ; e2 ≥ 0* Tableau 0 HB x1 x2 t1 t2 e1 e2 C B e1 5 6 -1 0 1 0 10 e2 2 7 0 -1 0 1 14 ∆ 3 10 0 0 M M 0La ligne ∆ donne les coefficients de la fonction économique, mais pas les valeurs marginalesdes variables HB; de plus les variables artificielles sont dans la base et devraient donc avoirdes valeurs marginales nulles.De manière générale, dans tout tableau du simplexe, si on note ck les coefficients de lafonction économique et aik les coefficients du tableau,* les valeurs marginales mj sont - nulles pour les variables dans la base - égales à cj - Σ aik ck pour les variables hors base, la sommation étant faite sur toutes les 11
  12. 12. ENCG 2011-2012variables de la base (les lignes du tableau)* la valeur de la fonction économique est égale à - Σ aik ckdoù le tableau 0 (les calculs annexes ont été rajoutés) cj 3 10 0 0 M M aik ck HB x1 x2 t1 t2 e1 e2 C ck x1 x2 t1 t2 CBe1 5 6 -1 0 1 0 10 M 5M 6M -M 0 10Me2 2 7 0 -1 0 1 14 M 2M 7M 0 -M 14M∆ 3-7M 10- M M 0 -24 Σ aik 7M 13M -M -M 13M 0 M 24M ck* Tableau 1Puisquon recherche un minimum, la variable entrante est celle qui a le plus grand coefficientnégatif, c.à.d. x2. En fait il suffit de regarder le coefficient de M car M est très grand; lecoefficient indépendant de M nintervient que dans le cas où plusieurs variables ont le mêmecoefficient pour M. HB x1 x2 t1 t2 e1 e2 CBe1 5 6 -1 0 1 0 10 variable sortante2 2 7 0 -1 0 1 14∆ 3-7M 10-13M M M 0 0 -24M variable entrantla variable artificielle sortant de la base, va se trouver dans la ligne ∆ avec un fort coefficientpositif et ne pourra donc plus y entrer; on peut donc supprimer la colonne correspondantedans la suite des itérations, doù le tableau 1 HB x1 x2 t1 t2 e2 C B x2 5/6 1 -1/6 0 0 5/3 e2 -23/6 0 7/6 -1 1 7/3 ∆ -16/3+(23/6)M 0 5/3-(7/6)M M 0 -50/3-(7/3)M* Tableau 2 12
  13. 13. ENCG 2011-2012 HB x1 x2 t1 t2 e2 CBx2 5/6 1 -1/6 0 0 5/3e2 -23/6 0 7/6 -1 1 7/3 variable sortant∆ -16/3+(23/6)M 0 5/3-(7/6)M M 0 -50/3-(7/3)M variable entrantdoù le tableau 2 HB x1 x2 t1 t2 C B x2 6/21 1 0 -1/7 2 t1 -23/7 0 1 -6/7 2 ∆ 1/7 0 0 30/21 -20On a atteint la solution optimale qui est x1 = 0; x2 = 2; t1 = 2; t2 = 0; z = 20.Remarque: dans le cas particulier de cet exemple qui était sous forme standard, il aurait étéplus rapide de traiter le problème dual et den déduire la solution du problème primal initial.4) METHODE DES DEUX PHASESCette méthode permet de tenir compte des variables artificielles. Dans une première phase onrend nulles les variables artificielles : pour cela on minimise la somme des variablesartificielles sous les contraintes du programme initial. Comme les variables artificielles sontforcément positives ou nulles le minimum est atteint quand elles sont nulles (si ce nest pas lecas, cest quil ny a pas de solution). Une fois les variables artificielles annulées, on a unesolution de base admissible qui nous permet dans une seconde phase de résoudre leprogramme initial.Soit à résoudre le programme linéaire suivant x1 + x2 ≥ 6 x1 ≥ 4 x2 ≤ 3Max z = 5 x1 + 7 x2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0PHASE 1* Forme standard 1 x1 + 1 x2 - 1 t1 + 0 t2 + 0 t3 + 1 e1 + 0 e2 = 6 1 x1 + 0 x2 + 0 t1 - 1 t2 + 0 t3 + 0 e1 + 1 e2 = 4 0 x1 + 1 x2 + 0 t1 + 0 t2 +1 t3 + 0 e1 + 0 e2 = 3 13
  14. 14. ENCG 2011-2012Min z = e1 + e2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0; t3 ≥ 0 ; e1 ≥ 0 ; e2 ≥ 0* Tableau 0 HB x1 x2 t1 t2 t3 e1 e2 C B e1 1 1 -1 0 0 1 0 6 e2 1 0 0 -1 0 0 1 4 t3 0 1 0 0 1 0 0 3 ∆ 0 0 0 0 0 1 1 0La ligne ∆ donne les coefficients de la fonction économique, mais pas les valeurs marginalesdes variables HB; de plus les variables artificielles sont dans la base et devraient donc avoirdes valeurs marginales nulles.De manière générale, dans tout tableau du simplexe, si on note ck les coefficients de lafonction économique et aik les coefficients du tableau,les valeurs marginales mj sont - nulles pour les variables dans la base - égales à cj - Σ aik ck , la sommation étant faite sur toutes les variables de la base (leslignes du tableau)la valeur de la fonction économique est égale à - Σ aikdoù le tableau 0 (les calculs annexes ont été rajoutés) cj 0 0 0 0 0 1 1 aik ck HB x1 x2 t1 t2 t3 e1 e2 C ck x1 x2 t1 t2 CBe1 1 1 -1 0 0 1 0 6 1 1 1 -1 0 6e2 1 0 0 -1 0 0 1 4 1 1 0 0 -1 4t3 0 1 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0∆ -2 -1 1 1 0 -10 Σ aik 2 1 -1 -1 10 0 0 ck* Tableau 1Puisquon recherche un minimum, la variable entrante est celle qui a le plus grand coefficientnégatif, c.à.d. x1. 14
  15. 15. ENCG 2011-2012 HB x1 x2 t1 t2 t3 e1 e2 CBe1 1 1 -1 0 0 1 0 6e2 1 0 0 -1 0 0 1 4 variable sortantt3 0 1 0 0 1 0 0 3∆ -2 -1 1 1 0 0 0 -10 variable entrantla variable artificielle sortant de la base, va prendre une valeur nulle, ce que lon désire; il nestdonc pas question de la faire rentrer de nouveau dans la base et on peut donc supprimer lacolonne correspondante dans la suite des itérations, doù le tableau 1* Tableau 2 HB x1 x2 t1 t2 t3 e1 CBe1 0 1 -1 1 0 1 2 variable sortantx1 1 0 0 -1 0 0 4t3 0 1 0 0 1 0 3∆ 0 -1 1 -1 0 0 -2 variable entrantdoù le tableau 2 HB x1 x2 t1 t2 t3 C B x2 0 1 -1 1 0 2 x1 1 0 0 -1 0 4 t3 0 0 1 -1 1 1 ∆ 0 0 0 0 0 0Loptimum est atteint. Une solution de base admissible est donc x1 = 4 ; x2 = 2 ; t1 = 0 ; t2 =0 ; t3 = 1PHASE 2* Tableau 0A partir de cette solution de base admissible, on poursuit les itérations en reprenant lafonction objectif initialeMax z = 5 x1 + 7 x2 15
  16. 16. ENCG 2011-2012La ligne ∆ des valeurs marginales est bien sûr modifiée puisquon na plus la même fonctionéconomique cj 5 7 0 0 0 aik ck HB x1 x2 t1 t2 t3 C ck t1 t2 CBx2 0 1 -1 1 0 2 7 -7 7 14x1 1 0 0 -1 0 4 5 0 -5 20t3 0 0 1 -1 1 1 0 0 0 0∆ 0 0 7 -2 0 -34 Σ aik ck -7 2 34doù le tableau 0 HB x1 x2 t1 t2 t3 CBx2 0 1 -1 1 0 2 -2x1 1 0 0 -1 0 4 + infinit3 0 0 1 -1 1 1 1variable sortant∆ 0 0 7 -2 0 -34 variable entrant* Tableau 1 HB x1 x2 t1 t2 t3 C B x2 0 1 0 0 1 3 x1 1 0 0 -1 0 4 t1 0 0 1 -1 1 1 ∆ 0 0 0 5 -7 -41La solution optimale obtenue est donc infinie puisquune variable HB a une valeur marginalepositive et tous ses coefficients négatifs ou nuls dans le tableau.Il suffit de prendre x1 infini et x2 ≤ 3 16
  17. 17. ENCG 2011-2012La ligne ∆ des valeurs marginales est bien sûr modifiée puisquon na plus la même fonctionéconomique cj 5 7 0 0 0 aik ck HB x1 x2 t1 t2 t3 C ck t1 t2 CBx2 0 1 -1 1 0 2 7 -7 7 14x1 1 0 0 -1 0 4 5 0 -5 20t3 0 0 1 -1 1 1 0 0 0 0∆ 0 0 7 -2 0 -34 Σ aik ck -7 2 34doù le tableau 0 HB x1 x2 t1 t2 t3 CBx2 0 1 -1 1 0 2 -2x1 1 0 0 -1 0 4 + infinit3 0 0 1 -1 1 1 1variable sortant∆ 0 0 7 -2 0 -34 variable entrant* Tableau 1 HB x1 x2 t1 t2 t3 C B x2 0 1 0 0 1 3 x1 1 0 0 -1 0 4 t1 0 0 1 -1 1 1 ∆ 0 0 0 5 -7 -41La solution optimale obtenue est donc infinie puisquune variable HB a une valeur marginalepositive et tous ses coefficients négatifs ou nuls dans le tableau.Il suffit de prendre x1 infini et x2 ≤ 3 16

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