1. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik suatu fungsi dan sumbu-sumbu koordinat. Luas tersebut dihitung dengan membagi interval menjadi bagian-bagian kecil dan menjumlahkan luas masing-masing bagian.
1. INTEGRAL TERTENTU
1. Integral Tertentu sebagai Luas Daerah di bidang Datar
Perhatikan gambar sebuah kurva tertutup dibawah ini !
Luas daerah kurva tertutup dapat
dicari dengan menutupi daerah
kurva dengan persegi-persegi
sebagai berikut :
Jumlah persegi yang ada di dalam
kurva ada 21, sedangkan jumlah
persegi yang menutupi seluruh kurva
ada 46. misalkan luas kurva adalah
L maka 21 < L < 46. jika ukuran
persegi diperkecil maka akan
diperoleh perhitungan luas L yang
lebih teliti.
next
next
next
2. Kita dapat menggunakan teknik di atas untuk menghitung luas daerah
tertutup yang dibatasi sumbu X, garis x =a, garis x = b, dan grafik y = f(x).
Perhatikan gambar berikut :
X
Y y = f(x)
a b
Luas daerah yang di arsir (L)
dapat dihitung dengan membuat
n persegi panjang dengan lebar
sama pada interval [ a,b ], Sbb :
Δx
Sehingga
n
ab
x
−
=∆
Misalkan banyak persegi
panjang di dalam daerah arsiran
ada K dan yang menutupi daerah
arsiran ada M maka K < L < M
next
next
next
3. Ambil sebuah persegi panjang , seperti gambar dibawah ini :
X
Y y = f(x)
a=xo b=xn
Δx
xixi - 1
f(x1)
f(xi – 1)
A B
CD
f(xi – 1)
f(x1)
FE
Misalkan luas ABFE = Ki, luas
ABCD = Mi dan luas ABCE = Li.
next
next
next
Maka Ki = f(xi).Δx dan Mi = f(xi + 1). Δx
,jika f(xi) – f(xi – 1) = di maka :
M – K < d1.Δx+d2.Δx+d3 .Δx+...+dn.Δx
Sebanyak n suku
next
∑=
∆<−⇔
n
i
i xdKM
1
Jika n di perbesar (n→∞) maka Δx mendekati nol dan di juga
mendekati nol, sehingga diperoleh :
( ) KMatauKM
xxx 000
limlim....0lim
→∆→∆→∆
==−
Oleh karena K< L< M , maka KML
xx 00
limlim
→∆→∆
==
4. nextOleh karena K< L< M , maka KML
xx 00
limlim
→∆→∆
==
( ) ( ) xxfxxfL
n
i
i
x
n
i
i
x
∆=∆= ∑∑ =
→∆
=
→∆
limlim
1
0
1
0
Bentuk limit jumlah ( ) xxfL
n
i
i
x
∆= ∑=
→∆
lim
1
0
ditulis dalam bentuk integral :
( ) dxxfL
b
a
∫= ( dibaca luas L sama dengan integral f(x) terhdap x
dari a hingga b )
Keterangan :
K = K1 + K2 + K3 +...+Kn = ( ) xxfK
n
i
i
n
i
i ∆= ∑∑ =
−
= 1
1
1
M = M1 + M2 + M3 +...+ Mn = ( ) xxfM
n
i
i
n
i
i ∆= ∑∑ == 11
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxfxfxxfxfxxfxfKM ii ∆−++∆−+∆−=− −... 11201
Jika di → 0, maka : f ( xi ) – f (xi – 1) → 0 ↔ f( xi ) → f (xi – 1)
next
next
5. next2. Menghitung Integral Tertentu
Jika F(x) integral dari f(x) dan f(x) adalah fungsi dalam interval [a,b]
maka :
( ) ( )[ ] ( ) ( )bFaFxFdxxf
b
a −==∫
b
a
Sifat-sifat Integral Tertentu :
next
( ) 0.1
a
a
=∫ dxxf
( ) ( ) ( ) dxxfdxxfdxxf
c
a
c
b
∫∫∫ =+.2
b
a
( ) ( ) dxxfdxxf
a
b
.3
b
a
∫∫ −=
( ) ( ) dxxfkdxxfk
a
b
.4
b
a
∫∫ =
( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫ ±=±
bb
a
b
a
dxxgdxxfdxxg
a
xf.5
next
next
next
next