1. Funciones Logarítmicas Ing. Luis Pedro Rico Hernández
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Logaritmo
En matemáticas, el logaritmo de un número –en una base determinada– es el exponente al cual
hay que elevar la base para obtener dicho número. Es la función matemática inversa de la función
exponencial
Logaritmación es la operación aritmética donde dando un número resultante y una base de
potenciación, se tiene que hallar el exponente al que hay que elevar la base para conseguir el
mencionado resultado. Así como la suma y multiplicación tienen como operaciones opuestas la
resta y la división respectivamente, la logaritmación es la operación inversa a la exponenciación
El logaritmo de un numero positivo M en base b, donde b es > 0 y b ≠ 1, es el exponente x al que
hay que elevar dicha base para obtener un número M. Es decir:
bx
= M equivale a X= Logb M
Los logaritmos son números reales que tienen una parte entera, llamada característica, y otro
decimal, denominada mantisa. Existen tablas impresas y calculadoras que se utilizan para estimar
el logaritmo de un número positivo.
Cabe señalar que los logaritmos que más se usan son los de base 10, llamados también logaritmos
comunes, y los de base e, denominados logaritmos naturales o neperianos, en memoria de John
Napier, su creador.
Cuando no se escribe la base de una expresión logarítmica se sobre entiende que esta es igual a
10.
Ejemplo:
Log 46= Log10 46
Los logaritmos comunes de números reales mayores que cero se pueden determinar con
calculadora que contenga la tecla Log.
Procedimiento
1. Se oprime primero la o las teclas que representan el número cuyo logaritmo se desea
obtener.
2. Se oprime la tecla log. De inmediato aparece el logaritmo del número en pantalla.
Nota: en algunos casos hay que invertir los pasos 1 y 2.
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Ejercicio:
Determine el logaritmo de 936.
R= 2.9836
Antilogaritmo
El antilogaritmo de un número es el correspondiente a un logaritmo dado, es decir, si log. x = y,
entonces x es el antilogaritmo de y.
Ejemplo:
Si log 1000 = 3, entonces el antilogaritmo de 3 es 1000, ya que 103
=1000
Obtención del antilogaritmo de un número
1. Se oprime las teclas de los dígitos del logaritmo cuyo antilogaritmo se desea obtener.
2. Se oprime la tecla de la segunda función 2nd
, la tecla de inverso Inv. O la tecla shift, según
el tipo de calculadora. (si se usa la calculadora científica de una computadora hay que
activar la casilla Inv.)
3. Se oprime la tecla log. en la pantalla se mostrara el antilogaritmo.
Nota: sobre la tecla log aparece la expresión 10x
,así el antilogaritmo de un logaritmo común es el
valor de 10x
, donde x es el valor que representa dicho logaritmo.
Ejercicio:
Encuentra el antilogaritmo de 3.539
1. 3.539 = shift log =3,459.3937 103.539
= 3
2. Shift log 3.539 =3,459.3937 103.539
= 3
Ejercicio:
Encuentra el antilogaritmo de 2.8
1. 2.8 = shift log = 630.96
2. Shift log 2.8 = 630.96
3.
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Grafica de una función logarítmica
Dado que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre si, la grafica de una
función logarítmica Y= loga x, es la reflexión con respecto a la recta y = x de la grafica de la función
exponencial y= ax
como se muestra a continuación.
Hechos inherentes a la gráfica de de una función logarítmica
1. La intersección de la gráfica con el eje x es 1. No existe intersección con el eje y.
2. El eje y es una asíntota vertical de la gráfica.
3. Una función logarítmica es decreciente si 0 < a < 1 y creciente si a > 1.
4. L a gráfica es suave y continua, sin esquinas ni saltos.
Si la base de una función logarítmica es el número e, entonces tenemos la función logaritmo
natural. Esta función se presenta con tal frecuencia en las aplicaciones que tienen asignado un
símbolo especial, ln (del latin logarithmus naturalis). Así
Y= ln x si y sólo si, x = ey
Como y = ln x y la función exponencial y= ex
son funciones inversas podemos obtener la grafica de
y = ln x reflejando la gráfica de y = ex
con respecto a la recta y = x.
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Ejercicio:
Haga la gráfica de y= ex
y y = ln x en un mismo plano cartesiano. ¿ve usted la simetría de las dos
graficas con respecto a y = x ?
Ejercicio: haga la gráfica de y = - ln x a partir de la gráfica y = ln x. obtenemos la grafica mediante
una reflexión con respecto del eje x. de la gráfica de y = ln x.
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Graficaciones de funciones que son, en esencia, logarítmicas mediante
corrimientos, reflexiones y semejanzas.
Ejercicio: Haga la gráfica y = ln (x+2)
Solución: el dominio consta de las x tales que:
x + 2 > 0 ó x > -2
Obtenemos la gráfica aplicando un corrimiento horizontal a la izquierda en 2 unidades. Como se
muestra a continuación. Observe que la recta x = -2 es una asíntota vertical.
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Dominio y rango de la función logarítmica
La función logarítmica y = loga x es la inversa de la función exponencial y = ax
. Es decir, si f(x)= ax
,
entonces f-1
(x)=loga x. según el análisis de las funciones inversas, sabemos que para una f y su
inversa f-1
.
Dominio f-1
= rango de f y Rango de f-1
= Dominio de f
Dominio de la función logarítmica = Rango de la función exponencial = (0, ∞)
Rango de la función logarítmica = Dominio de la función exponencial = (-∞, ∞)
Observe que el dominio de la función logarítmica consta de los números reales positivos.
Cambios de base
