3. cálculo dos esforços em vigas

Cálculo dos Esforços em Vigas
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Conceitos gerais
• Conceito de momento
É importante lembrar que momento é um esforço que
provoca giro.
À primeira vista a palavra momento não apresenta
qualquer relação com a palavra giro. No entanto, elas estão
ligadas por um fato histórico: na antiguidade, o tempo
(momento) era medido com relógios de sol, instrumento
constituído por uma haste vertical que, projetando sua
sombra num plano, indica a altura do Sol e as horas do dia.
Assim o tempo (momento) era medido pelo giro aparente
do Sol em tomo da Terra.

Conceitos gerais
Para ocorrer um giro ou momento físico é necessário
que existam duas forças iguais, de mesma direção, de
sentidos contrários e não colineares, o que se
denomina binário.

Conceitos gerais
Quanto mais afastadas estiverem as forças maior será a
intensidade de giro. Isso é fácil perceber quando se tira
o parafuso da roda do carro. Quanto maior for o braço
da ferramenta menor será a força necessária para
provocar o giro do parafuso.

Conceitos gerais
Matematicamente, pode-se traduzir esse fenômeno
pela relação:
Exemplo: Seja determinar
o valor do momento da
força F1=2,0 tf em
relação ao ponto P1.

Conceitos gerais
Denomina-se distância da força ao ponto à menor
distância entre a linha de ação da força e o ponto.
Suponha o valor de d = 4m, logo o
momento de F1 em relação a P1 será:

Esforços nas vigas isostáticas
Quando carregadas por uma ou mais forças, as vigas
isostáticas deformam-se de maneira que suas seções,
antes paralelas, giram umas em relação às outras, de
forma que se afastam em uma das faces e se
aproximam em outra.

Em todas essas situações, as vigas se deformam de
maneira que em relação ao eixo reto original aparecem
flechas.

Este fenômeno é por isso denominado de flexão e o
esforço que provoca o giro das seções e o
aparecimento de flechas ao longo da viga, de momento
fletor. Sempre que o momento fletor varia de uma
seção para outra, o que é mais frequente, aparece na
viga a tendência de escorregamentos transversal e
longitudinal entre as seções verticais e horizontais da
viga.

Ao esforço que tende a provocar o escorregarnento das fatias
longitudinais e transversais dá-se o nome de força cortante.

Para comprovar que a força cortante sempre aparece
quando há variação do momento fletor, tome-se nas
mãos um maço de folhas de papel (umas 50 folhas).
Aplique-se em uma das extremidades um giro
(momento), deixando livre o outro extremo.

Observe como as folhas escorregam.

Esse fenômeno pode também ser observado na
ilustração:

Em seguida, provoque concomitantemente giros de
mesma intensidade nas duas extremidades.
Observe que neste caso não há mais escorregamento das
tiras, pois o momento não varia de uma extremidade à
outra.

Para dimensionar uma viga a flexão deve-se determinar os
valores de momento fletor e da força cortante de maneira
que se determine a largura e altura de sua seção, para que o
material do qual é feita possa resistir às tensões de tração e
de compressão provocadas pelo momento fletor e às
tensões tangenciais ou de cisalhamento provocadas pelas
forças cortantes.
Como se verá mais adiante, as tensões de cisalhamento
provocam também tensões de tração e de compressão em
planos inclinados em relação a seção transversal da viga.

Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
• Vigas bi apoiadas sem balanços
O equilíbrio externo das vigas depende das cargas que
atuam sobre as vigas e das reações a essas cargas
provocadas pelos vínculos, denominadas reações de apoio.
As primeiras cargas são denominadas cargas externas
ativas e as segundas, reativas.
Em uma viga, as cargas externas ativas são: cargas
distribuídas decorrentes do peso próprio da viga; as cargas
aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as cargas concentradas
devidas a outras vigas que nela se apoiam.

Para determinação das cargas externas reativas, é
necessário conhecer-se as forças de reação que cada
vínculo é capaz de admitir.
Assim, um apoio articulado móvel, que permite giro e
deslocamento horizontal, só reage a forças verticais.
Portanto, esse vínculo só admite reação vertical. O vínculo
articulado fixo, por impedir deslocamento vertical e
horizontal, admite reações vertical e horizontal. O vínculo
engastado, que impede rotação e deslocamentos, admite
reação vertical, horizontal e momento.

Se, sob a ação das cargas externas ativas e reativas, a viga
estiver em equilíbrio estático valem as condições de
estabilidade já enunciadas, ou seja, não anda na horizontal,
não anda na vertical e não gira. Essas condições podem ser
traduzidas matematicamente pelas chamadas equações da
estática, ou seja:
- não anda na horizontal  𝐹𝐻 = 0
- não anda na vertical  𝐹𝑉 = 0
- não gira  𝑀 = 0

Não andar na horizontal significa que a soma de todas as
forças na horizontal (incluindo as projeções horizontais
das forças inclinadas) deve resultar nula.
O mesmo para as forças verticais. Não girar significa que
os giros (momentos) que as forças ativas e reativas tendem
a provocar em relação a um ponto qualquer,
preestabelecido, são nulos.

Exemplo: determinar as reações de apoio da viga da figura
abaixo.

Denominem-se de A e B os apoios. Colocando a seguir as
reações possíveis em cada tipo de vínculo, tem-se:

Em seguida apliquem-se as três equações da estática:
𝐹𝐻 = 0, 𝐹𝑉 = 0 e 𝑀 = 0
Usando a primeira equação e convencionando um sinal
para as forças, ou seja, se a força horizontal tiver o sentido
da esquerda pra a direita será positiva, caso contrário
negativa. Essa convenção pode ser oposta a esta sem que
os resultados sofram qualquer alteração. Assim:

Como não existe nenhuma força horizontal atuando na
viga, a equação resulta no óbvio, ou seja, a reação
horizontal no apoio B é zero, não existe.
Aplicando a segunda
equação e também
convencionando que as
forças com sentido de
baixo para cima são
positivas e as de sentido
contrário negativas, tem-se:

Deve-se aplicar, ainda, a terceira equação, a que se refere
ao giro, convencionando-se que se a força tender a fazer a
viga girar no sentido horário, em relação a um ponto
qualquer escolhido, ela será positiva, caso contrário
negativa. Antes de aplicar essa terceira equação é
necessário escolher um ponto qualquer, mas qualquer
mesmo, para se tomar os momentos das forças ativas e
reativas que atuam na viga.

Para tomar o resultado mais rápido, recomenda-se que o
ponto escolhido (também denominado polo de momento)
para considerar os momentos das forças, seja um dos
apoios.
Seja, neste exemplo, o ponto B0 polo dos momentos.
Assim:

Considere-se o momento de
cada força, desconsiderando,
em princípio, as demais, ou
seja:

Portanto, tem-se:

Como M = F x d, no primeiro caso tem-se como força a
reação VA, cuja distância ao polo B é 5m. Sua tendência
de giro em relação a B é no sentido horário. Soma-se a esse
momento o momento da força de 2,0 tf, cuja distância ao
polo B é de 2 m e cujo sentido de giro em relação a B é
anti-horário.
No terceiro caso, a linha de ação da reação VB passa pelo
ponto B, logo sua distância a B é zero, o que resulta em um
momento nulo.

Completando-se a equação
2, tem-se:
Para determinar VB,
substitui-se o valor de VA
na equação 1:

Exercício: Calcular as reações de apoio para a viga da figura a
seguir.

Para simplificar o cálculo, pode-se generalizar os
resultados, usando uma força P qualquer atuando sobre a
viga de vão l qualquer e distante a e b dos apoios A e B,
respectivamente.

Desta maneira, basta aplicar diretamente essas relações
genéricas, sem necessidade de se determinar os valores das
reações usando, toda vez, as equações da estática.
Se houver mais de uma carga na viga, faz-se o cálculo das
reações parciais para cada carga, somando-se ao final esses
valores parciais para obter a reação total em cada apoio.

Exemplo:

A viga deste exemplo pode ser decomposta em três vigas,
carregada cada uma com uma carga concentrada.
Calculam-se os valores das reações para cada viga e
somam-se esses valores parciais para obter o valor final.
Exemplo:

Somando-se os valores parciais,
tem-se:

No caso de cargas uniformemente distribuídas sobre a
viga, tais como seu peso próprio, laje e alvenaria, usa-se o
artifício de substituir a carga distribuída pela sua resultante.

Como a carga distribuída é de 2,0 tf/m e o seu
comprimento é de 4 m, sua resultante é de P = 2,0 tf/m
x 4 m = 8,0 tf, aplicada no meio, ou seja:

Usando as equações da estática, desconsiderando a que
se refere a forças horizontais, já que só existem cargas
verticais atuando sobre a viga, tem-se:

Resultados que eram de se esperar: já que a carga é
uniformemente distribuída sobre toda a extensão da viga,
metade de seu valor vai para cada apoio. Generalizando,
considerando a carga distribuída q e o vão l, tem-se:

Exemplo: Calcular as reações de apoio da viga da figura.
Carga distribuída:

1ª carga concentrada:

2ª carga concentrada:

• Vigas em balanço
Como foi visto, uma viga em balanço é aquela em que uma
das extremidades é totalmente livre de apoio e a outra
apresenta um apoio engastado.

Como o vínculo engastado não admite deslocamentos
horizontal e vertical e nem o giro da barra, ele é capaz de
absorver reações horizontais, verticais e momento.

Lembrar que a linha de ação da reação
VA passa pelo ponto A, escolhido como
polo dos momentos. Já o momento
reativo MA, apesar de estar atuando no
polo A, não se anula, porque ele já é um
momento e não uma força, por isso não
é multiplicado por qualquer distância.

O resultado é esperado, pois o momento de P em relação ao apoio é o seu
valor P multiplicado pela sua distância ao apoio, bo, portanto P x bo .
Esse resultado pode ser generalizado para qualquer quantidade de cargas
concentradas.
Assim:

Exemplo: Calcular as reações de apoio para o balanço da figura.

A viga da figura da página anterior pode ser decomposta em
três outras:

Somando todas as reações intermediárias, tem-se:

No caso de carga distribuída, usa-se o mesmo artifício já usado
anteriormente: substitui-se a carga distribuída pela sua resultante. Assim:

As vigas biapoiadas, já estudadas, também podem
apresentar balanços, o que não altera os procedimentos
vistos.
Suponha-se a situação da figura, onde só existe a carga
P concentrada aplicada no extremo do balanço:

O resultado negativo para a reação VA indica que está ocorrendo um
arrancamento no apoio. Esse efeito que o momento do balanço causa nas
reações de apoio, aliviando o apoio oposto e sobrecarregando o apoio do
balanço é denominado efeito de alavanca. Pois, nessa situação, a viga se
comporta como uma alavanca, usada para levantar pesos.
Uma outra maneira de encaminhar a solução e que pode agilizar os
cálculos é considerar o vão independente do balanço, calcular o balanço
independentemente e aplicar o resultado ao vão.

Assim:

Repare que os resultados são os mesmos. Prestando mais
atenção aos valores obtidos, pode-se notar que:
Sendo P x bo o momento devido ao balanço, tem-se que a
reação VA é o momento do balanço dividido pelo vão, ou seja:

Como P é a carga no balanço, tem-se que a reação VB é igual
às cargas existentes no balanço somadas ao momento do
balanço (P x bo), dividido pelo vão central, ou seja:

Considere-se a situação apresentada na figura a seguir:

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