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Wilder ejercicios unidad 5
1.
República bolivariana de
Venezuela Ministerio del poder popular para educación superior Instituto universitario de tecnología Antonio José de sucre Barquisimeto Ejercicios unidad 5 Alumno Wilder gallardo CI:24.668.002
2.
1/ Hallar el
área de la región encerradas por los gráficos a) 푓(푥) = 푥2 − 4, 푔(푥) = 푥 − 4 y y= x2 - 4 1 x Y= x- 4 퐼푛푡푒푟푠푒푐푐푖표푛: 푥2 − 4 = 푋 − 4 → 푋2 − 푋 = 0 푋(푋 − 1) = 0 푋 = 0 ; 푋 = 1 1 퐴 = ∫ (푥 − 4) − ( 푥2 0 1 − 4) 푑푥 = ∫ 푋 − 4 − 푥2 + 4 푑푥 0 1 퐴 = ∫ 푋 − 푋2 0 푑푥 = 푥2 2 − 푋3 3 ⃒ 푑푒 표 푎 1 퐴 = 12 2 − 13 3 − [ 표2 2 − 표3 3 ] 퐴 = 1 6 푈2
3.
b) 푦 =
푥 3, 푦 = 4푥 푋3 = 4푋 푋3 − 4푋 = 0 푋 (푋2 − 4) = 0 푋 (푋 + 2)(푋 − 2) = 0 푋 = 0 ; 푋 = 2 ; 푋 = −2 Y=x3 Y=4x -2 2 Y= Solución: 퐴 푇 = 2 퐴1 퐴1 → 0 ≤ 푋 ≤ 2; 푋3 ≤ 푌 ≤ 4푋 2 퐴1 = ∫ 4푋 − 푋3 푑푥 0 Integrando 퐴1 = 4 푋2 2 − 푋4 4 ⃒ de 0 a 2 퐴1 = 2 (2)2 − 24 4 = 4 푢2
4.
퐴 푇 =
2 ∗ 4 푢2 ; 퐴 푇 = 8 푢2 c) 푥 = 12 푦 , 푥 = 0, 푦 = 1, 푦 = 푒2 푋 = 12 푌 ; 푋 = 0 ; 푌 = 0 ; 푌 = 푒2 Y X=12/y y=e2 y=1 x Tipo II 퐴 = 1 ≤ 푌 ≤ 푒2 ; 0 ≤ 푋 ≤ 12 푌 퐴 = ∫ 12 푦 푒2 1 푑푦 = 12 ln〈푌〉 ⃒ 푑푒 1 푎 푒2 퐴 = 12 [푙푛 푒2 − ln(1)] 퐴 = 12 ∗ 2 퐴 = 24 푢2
5.
d) 푓(푥) =
tan 푥 2 , 푒푙 푒푗푒 푥 푦 푙푎푠 푟푒푐푡푎푠 푥 = 0, 푥 = 1 2 휋 A: Tipo I 0 ≤ 푋 ≤ 휋 2 ; 0 ≤ 푌 ≤ 푡푎푛 푋 2 y y=tan(x/2) x=π/2 x 퐴 = ∫ 푡푎푛 푋 2 휋 2 0 푑푥 ; 퐶표푚표 ∫ 푇푎푛 퐾푥푑푥 = 1 퐾 ln 푆푒푐 퐾 푋 + 퐶 퐴 = 1 1 2 퐿푛 |푆푒푐 1 2 푥| ⃒ 푑푒 0 푎 휋 2 1 cos 퐴 = 2 [퐿푛 | 휋 4 | − Ln | 1 cos(0) |] 퐴 = 2 퐿푛 | 1 √2 2 2 = 퐿푛 (2) 푢2 | = 2 퐿푛 2 = 퐿푛 √2
6.
2/ hallar el
volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por las curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas) a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x Solución Método Disco 0 ≤ 푋 ≤ 휋 4 ; 0 ≤ 푌 ≤ cos 2푌 y y=cos2x x π/4 휋 4 푉 = 휋 ∫ (cos 2푋)2 0 푑푥 = 휋 ∫ [ 1 + cos 4푋 2 ] 휋 4 0 푑푥 푉 = 휋 2 휋 4 ∫ 0 푑푥 + 휋 2 휋 4 ∫ cos 4푋 0 푑푥 = 휋 2 푋 + 휋 2 푠푒푛 4푋 4 ⃒ 푑푒 0 푎 휋 4 휋 2 푉 = [ 휋 4 ( ) + 휋 8 푠푒푛 4 휋 4 ] − [0 + 휋 8 푠푒푛 0] = 휋2 8
7.
b) 푥 =
4푦, 푥 = 3√푦, 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 8 Método Disco y 1/8 -1/8 x=8 4푌 = √푌 3 (4푌)3 = √푌 3 3 64 푌3 = 푌 64 푌3 − 푌 = 0 푌 (64 푌2 − 1) = 0 → (푌 = 0) ; ( 푌 = − 1 8 ) ; ( 푌 = 1 8 ) 푉1 → − 1 8 ≤ 푌 ≤ 0 ; 4푌 ≤ 푋 ≤ √푌 3
8.
0 푉1 =
휋 ∫ (√푌 3 − 8)2 1 8 − − (4푌 − 8)2 푑푦 2 3 0 푉1 = 휋 ∫ 푌 1 8 − 1 3 + 64 − 16 푌2 + 64 푌 − 64 푑푦 − 16 푌 푉1 = 휋 [ 5 3 5 3 푌 − 16 4 3 4 3 푌 − 16 푌3 3 + 64 푌2 2 ] ⃒ 푑푒 − 1 8 푎 0 푉1 = 휋 {[0] − [ 3 5 1 8 − ( ) 5 ⁄3 − 12 (− 1 8 4 ⁄3 ) + 32 (− 1 8 )2] − −1 8 16 ( )3 3 } 푉1= 휋 [ 3 160 + 3 4 − 1 96 − 1 2 ] = 31 120 휋 푉2 → 0 ≤ 푌 ≤ 1 8 ; √푌 3 ≤ 푋 ≤ 4푌 1 8 푉2 = 휋 ∫ (4푌 − 8)2 − (√푌 3 − 8)2 0 푑푦 2 3 1 8 푉2 = 휋 ∫ 16 푌2 − 64 푌 + 64 − 푌 0 1 3 − 64 푑푦 − 16 푌 2 3 1 8 푉2 = 휋 ∫ 16 푌2 − 64 푌 − 푌 0 1 3 푑푦 − 16 푌 푉2 = 휋 [16 푌3 3 − 64 푌2 2 − 5 3 5 3 푌 + 16 4 3 4 3 푌 ] ⃒ 푑푒 0 푎 1 8 푉2 = 휋 { 1 8 16 ( )3 3 1 8 − 32 ( )2 − 3 5 1 8 ( 5 ⁄3 ) 1 8 + 12 ( 4 ⁄3 ) − (0)} 푉2= 휋 [ 1 96 − 1 2 − 3 160 + 3 4 ] = 29 120 휋
9.
푉푇= 31 120
휋 + 29 120 휋 = 휋 2 푢2 c) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje x la elipse 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1 Capa Cilíndricas Por Simetría y b x -a a 푉푇 = 2 푉1 푑표푛푑푒 푉1 푒푠푡푎 푑푎푑표 푝표푟 0 ≤ 푌 ≤ 푏 ; 0 ≤ 푋 ≤ 푎 푏 √푏2 − 푌2 퐷푒푠푝푒푗푎푛푑표 푋: 푋2 푌2 = 1 − 푎2 푏2 푋2 = 푎2 [ 푏2 − 푌2 푏2 ] 푎2 푏2 (푏2 − 푌2 )) = 푋 = √( 푎 푏 √(푏2 − 푌2) 푉1 = 2휋 ∫ 푦 ∗ 푎 푏 푏 0 √푏2 − 푌2 푑푦 = 2 푎 푏 푏 휋 ∫ 푦 0 √푏2 − 푌2 푑푦 Cambio de Variable 푢 = 푏2 − 푌2 ; 푑푢 = −2푌 푑푦 → − 푑푢 2 = 푌푑푦
10.
푆푖 푌 =
푏 → 푢 = 0 푆푖 푌 = 0 → 푢 = 푏2 푉1 = 2 푎 푏 1 2 휋 ( ) ∫ 푢 1 2 푑푢 = 0 푏2 − 푎 푏 휋 [ 3 2 3 2 푢 ] 푑푒 푏2 푎 0 푽ퟏ = − 풂 풃 휋 ∗ 2 3 [√03 − √(푏2)3] = − 풂 풃 휋 ∗ 2 3 [−푏3] = 2 3 푎 푏2휋 푽푻 = ퟐ [ ퟐ ퟑ 푎 푏2휋] = 4 3 푎 푏2휋 d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por. 푦 = 4 − 푥 2, 푒푗푒 푥, 푎푙 푔푖푟푎푟 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 3 y x X=3 푆푖 푌 = 0 ; 4 − 푋2 = 0 → 푋2 = 4 → √푋2 = √4 → |푋| = 2 → (푋 = −2); (푋 = 2) Radio 푅(푋) = 3 − 푋 푀é푡표푑표 푑푒 푐표푟푡푒푧푎푠 퐶푖푙푖푛푑푟푖푐푎 푏 푉 = 2 휋 ∫ 푅(푋) 푎 [퐹(푋) − 퐺(푋)] 푑푥 2 푉 = 2 휋 ∫ (3 − 푋) −2 [(4 − 푋2) − 0] 푑푥 2 푉 = 2 휋 ∫ (3 − 푋) (4 − 푋2) −2 푑푥
11.
2 푉 =
2 휋 ∫ 12 − 3푋2 − 4푋 + 푋3 −2 푑푥 푉 = 2 휋 [12푋 − 3 푋3 3 − 4 푋2 2 + 푋4 4 ] 푑푒 − 2 푎 2 푉 = 2 휋 {[12(2) − 23 − 2(2)2 + (2)4 4 ] − [12(−2) − (−2) 3 − 2(−2)2 + (−2)4 4 ] } 푉 = 2 휋 [12 − (−20)] 푉 = 64 휋 푢3 3/ Hallar la longitud de la curva dada a) 푦 = 푥3 6 + 1 2푥 , 푑푒푠푑푒 푥 = 1 ℎ푎푠푡푎 푥 = 3 푏 퐿 = ∫ √1 + 퐹′푥2 푎 푑푥 y 1 2 3 Derivando 푦′ = 3푥2 6 + 1 2 −1 푥2 ) = ( 푥2 2 − 1 2푥2 = 2푥4 − 2 4푥2 2푥4 − 2 4푥2 )2 3 퐿 = ∫ √1 + ( 1 푑푥
12.
퐿 = ∫
√1 + 4푥8 − 8푥4 + 4 16푥4 3 1 푑푥 16푥4 − 4푥8 − 8푥4 + 4 퐿 = ∫ √ 16푥4 3 1 푑푥 퐿 = ∫ √4푥8 + 8푥4 + 4 4푥2 3 1 푑푥 퐿 = ∫ √(2푥4 + 2)2 4푥2 3 1 푑푥 = ∫ 2푥4 + 2 4푥2 3 1 푑푥 퐿 = ∫ 1 2 3 1 푥2 + 1 2 푥−2 푑푥 = 1 2 푥3 3 + 1 2 푥−1 −1 ⃒푑푒 1 푎 3 퐿 = 1 6 푥3 − 1 2푥 ⃒ 푑푒 1 푎 3 퐿 = [ 1 6 33 − 1 2(3) ] − [ 1 6 − 1 2 ] = 14 3 b) 푦 = 푙푛푠푒푐푥, 푑푒푠푑푒 푥 = 0, ℎ푎푠푡푎 푥 = 휋 3 푦 = ln(sec 푥) 퐷푒푠푑푒 푥 = 0 ℎ푎푠푡푎 푥 = 휋 3 y 휋 3 퐿 = ∫ √1 + ((ln sec 푥)′)2 0 푑푥
13.
퐿 = ∫
√1 + [ 1 sec 푥 ∗ (푆푒푐 푥 ∗ 푡푔푥)] 2 휋 3 0 푑푥 휋 3 퐿 = ∫ √1 + 푡푔2푥 0 푑푥 휋 3 퐿 = ∫ √sec 2 푥 0 푑푥 휋 3 퐿 = ∫ sec 2 푥 0 푑푥 = 푙푛|푆푒푐 푥 ∗ 푡푔푥| 푑푒 표 푎 휋 3 1 푐표푠 퐿 = 푙푛 | 휋 3 + 푠푒푛 휋 3 푐표푠 휋 3 | − ln | 1 푐표푠0 + 푠푒푛 0 푐표푠0 | 퐿 = ln | 1 1 2 + √3 21 2 | − ln(1) 퐿 = ln(2 + √3)
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