随机变量的联合概率分布

1. 多元随机变量的分布
@IMSRCH
1

2. §1 二维随机变量的联合概率分布
到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其
分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，
而需要用几个随机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是由一
对随机变量(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由
三个随机变量(三个坐标）来确定
的等等.
2

3. 一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随机
向量.
由于从二维推广到多维一般无实质性
的困难，为简单起见，我们重点讨论二维
随机变量 .
请注意与一维情形的对照 .
3

4. 一、二维离散型随机变量的联合分布律
1. 联合分布
对 二 维 离 散 型 随 机 向 量 ( X , Y ) , X 的 可 能 取 值 为 x1 , x2 ,  ，
Y 的 可 能 取 值 为 y1 , y2 , ， 如 果
P{ X  xi , Y  y j }  pi j ， X Y y1 y2  y j 
i , j  1,2, x p11 p12  p1 j 
1
则称二维表 x2 p21 p22  p2 j 
为(X,Y)的联合分    
布律。 xi p i 1 pi 2  p i j 
   
4

5. X
Y y1 y2  y j 
x1 p11 p12  p1 j 
x2 p21 p22  p2 j 
   
xi p i 1 pi 2  p i j 
   
显 然 ， pi j 必 须 满 足 以 下 两 个 性 质:
( 1) 非 负 性 pi j  0 , i , j  1,2, 
( 2) 规 范 性  p
i j
ij 1.
5

6. 例1 袋中有2只白球3只黑球，还原摸球两次，定义
X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，
求(X,Y)的联合分布律。
解 Y 0 1
X
32 9 3 2 6
0 2
 2

5 25 5 25
2 3 6 22 4

1  2
5 2
25 5 25
6

7. 例1 袋中有2只白球3只黑球，还原摸球两次，定义
X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，
求(X,Y)的联合分布律。
解 Y 0 1
X
9 6
0 25 25
6 4
1 25 25
7

8. 例2 设 A, B 为随机事件, 且 P( A)  1 , P( B A)  1 , P( A B )  1 ,
4 3 2
1, A发生, 1, B发生,
令 X  Y 
0, A不发生; 0, B不发生.
求二维随机变量( X , Y ) 的联合概率分布。
1 P( AB ) 1
解 由于 P( AB )  P( A)P( B A)  , P( B)   ,
12 P( A B) 6
1
所以 P{ X  1, Y  1}  P( AB )  ,
12
1
P{ X  1, Y  0}  P( AB )  P( A)  P( AB )  ,
6
1
P{ X  0, Y  1}  P( A B )  P( B )  P( AB )  ,
12
8

9. 1 1
P{ X  1, Y  1}  , P{ X  1, Y  0}  ,
12 6
1
P{ X  0, Y  1}  , P{ X  0, Y  0}  P( A B )
12
2
 1  P( A  B)  1  P( A)  P( B )  P( AB )  ,
3
故(X,Y)的联合概率分布为
Y 0 1
X
2 1
0 3 12
1 1
1 6 12
9

10. 2. 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为一个整体, 用联合分布来
刻画. 而X和Y都是一维随机变量, 各有自己的分布,
称为边缘分布.
设( X,Y )是离散型二维随机变量，联合分布律为
P{ X  x i , Y  y j } p i j , i , j  1, 2 , 
则边缘分布为 记作
P{ X  x i }   P{ X  xi , Y  y j }   pi j  pi  , i  1, 2 , 
j j
P{Y  y j }   P{ X  x i , Y  y j }   pi j  p j , j  1, 2 , 
i i
10

11. 例3 袋中有2只白球3只 X
Y 0 1
黑球，还原摸球两次， 9 6 3
定义X为第一次摸得的白 0 25 25 5
球数，Y为第二次摸得的 6 4 2
1 25 25 5
白球数，则(X,Y)的联合
分布律为 3 2
Y的边缘分布 5 5
X的
所以的边缘分布律分别为 边缘
分布
X 0 1 Y 0 1
3 2 3 2
P P
5 5 5 5
11

12. 若改为非还原摸球，则(X,Y)的联合分布律为
Y 0 1 P32 3 3 2 3
X  
2 2
3 3 3 P5 10 P5 10
0 10 10 5
2 3 3 P22 1
3 1 2  2

1 P52
10 P5 10
10 10 5
3 2
5 5
边缘分布为
12

13. 若改为非还原摸球，则(X,Y)的联合分布律为
Y 0 1 Y 0 1
X X
3 3 3 9 6 3
0 10 10 5 0 25 25 5
3 1 2 6 4 2
1 10 10
1 25 25 5
5
3 2 3 2
5 5 5 5
边缘分布为
与还原的情况比较，两者的联合分布完全不同，
但边缘分布却完全相同。
13

14. 说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边
缘分布一般不能唯一确定联合分布。也即，二维
随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质
来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了
研究多维随机向量的作用。
14

15. 3. 条件分布
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .
在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P ( AB )
P( A | B ) 
P( B )
推广到随机变量
设有两个随机变量X,Y ，在给定Y取某个或某
些值的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是条件分布.
15

16. 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，
若P(Y=yj)>0，则称
P{ X  x i , Y  y j } pi j
P{ X  x i Y  y j }   ，i  1, 2 , 
P{Y  y j } p j
为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.
类似地，对于固定的 i，若P(X=xi)>0，则称
P{ X  x i , Y  y j } pi j
P{Y  y j X  x i }   ，  1, 2 , 
j
P{ X  x i } pi 
为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.
16

17. 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的
一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的
一切性质.
例如： P { X  x i | Y  y j }  0 , i  1, 2 , 
 P{ X  x
i
i |Y  yj}  1 .
17

18. 例4 设(X,Y )的联合分布律为 X Y 1 2 3
求在给定Y=2下随机变量X的 1 1
0 12 0 4
条件分布律和在给定X=1下随
1 1 1
机变量Y的条件分布律。 1 6 12 12
1
解 因为 P{Y  2}  , 1 1
6 2 4 12 0
所以在给定Y=2下随机变量X的条件分布律为
P{ X  0, Y  2}
P{ X  0 Y  2}  0,
P{Y  2}
1 1
P{ X  1 Y  2}  , P{ X  2 Y  2}  ,
2 2
18

19. Y 1 2 3
或写为 X
1 1
X k 0 1 2 0 12 0 4
1 1 1 1 1
P{ X  k Y  2} 0 1 6 12 12
2 2
1 1
2 4 12 0
19

20. Y 1 2 3
或写为 X
1 1
X k 0 1 2 0 12 0 4
1 1 1 1 1
P{ X  k Y  2} 0 1 6 12 12
2 2
1 1
1 2 0
P{ X  1}  , 4 12
3
所以在给定X=1下随机变量Y的条件分布律为
Y k 1 2 3
1 1 1
P{Y  k X  1}
2 4 4
20

21. 例5 一射手迚行射击, 击中目标的概率为 p, (0<p<1)，
射击迚行到击中目标两次为止. 以X 表示首次击中目
标所迚行的射击次数，以Y 表示总共迚行的射击次数.
试求X和Y的联合分布及条件分布.
解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标,
且在前n-1次射击中有一次击中目标.
{X=m}表示首次击中目标时射击了m次,
1 2 ………………. n-1 n
m
n次射击 击中 击中
21

22. 1 2 ………………. n-1 n
m
n次射击 击中 击中
X和Y的联合概率函数为
P{ X  m , Y  n }  p 2 q n  2 ，其中 q  1  p .
n  2,3,；m  1,2,, n  1 .
再求边缘分布.  
P{ X  m }   P{ X  m , Y  n } 
n m 1
pq
n m 1
2 n 2
m  1 2
q m 1
 p 2
 pq ，m  1,2, .
1 q 22

23. P{ X  m , Y  n }  p q 2 n 2
，
n  2,3,；m  1,2,, n  1 .
P { X  m }  pq m  1 ， m  1,2, .
n 1
P {Y  n }   P{ X  m , Y  n}
m 1
n 1
  p 2 q n  2  ( n  1) p 2 q n  2 , n  2,3, .
m 1
再求条件分布. 当 n  2,3, 时
P{ X  m , Y  n }
P { X  m | Y  n }
P{Y  n}
23

24. P{ X  m , Y  n }  p q 2 n 2
，
n  2,3,；m  1,2,, n  1 .
P { X  m }  pq m  1 ， m  1,2, .
n 2
P {Y  n }  ( n  1) p q
2
, n  2,3, .
当 n  2,3, 时
P{ X  m , Y  n }
P{ X  m | Y  n } 
P{Y  n}
p 2q n 2 1
 2 n 2  ,
( n  1) p q n1
m  1,2,, n  1 . 离散均匀分布
24

25. P{ X  m , Y  n }  p q 2 n 2
，
n  2,3,；m  1,2,, n  1 .
P { X  m }  pq m  1 ， m  1,2, .
n 2
P {Y  n }  ( n  1) p q
2
, n  2,3, .
当 m  1,2, 时
P{ X  m , Y  n }
P {Y  n | X  m } 
P{ X  m }
2 n 2
pq
 m 1  pq n  m  1 ,
pq
n  m  1，m  2, . 25

26. 二、二维随机变量的(联合)分布函数
二维随机变量（X,Y） 一维随机变量X
X和Y的联合分布函数 X的分布函数
F ( x , y )  P{ X  x , Y  y } F ( x )  P{ X  x }
   x, y   y  x
( x, y )
O x
26

27. y y
( x, y ) d (a , d ) ( b, d )
c
(a , c ) ( b, c )
O x
a b x
O
设 a  b, c  d , 则有
P{a  X  b, c  Y  d }
 F (b, d )  F (b, c )  F (a, d )  F (a, c ) .
27

28. 二维随机变量分布函数的基本性质
F ( x , y )  P{ X  x , Y  y }
( 1) 0  F ( x, y)  1 ；
( 2) F ( x, y) 关 于 变 量 x 或 y 单 调 不 减 ；
( 3) F ( x , y ) 关 于 变 量 x 或 y 都 是 右 连 续 的 ；
( 4) F (, y )  0 , F ( x,  )  0 ，
F (,  )  0 ，
F (,  )  1 .
28

29. 三、二维连续型随机变量的联合概率密度
1. 联合分布
设 F ( x , y ) 是 二 维 随 机 向 量( X, Y ) 的 联 合 分 布
函 数 ，如 果 存 在 一 个 非 负 可 积 函 数 f ( x , y ) ，使 得 对
任 意 的 实 数 x, y ， 有
 
x y
F ( x, y)  f ( u, v ) dudv
 
则 称 ( X, Y ) 是 二 维 连 续 型 随 机 变 量 ，称 f ( x , y ) 为 二 维
连 续 型 随 机 变 量 ( X, Y ) 的 联 合 概 率 密 度 函 数 。
29

30.  
x y
F ( x, y)  f ( u, v ) dudv
 
联 合 密 度 函 数 f ( x, y) 具 有 以 下 性 质 ：
( 1) 非 负 性 ： f ( x, y )  0 . F (,  )  1 .
 
( 2) 规 范 性 ：  
 
f ( x , y ) dx d y  1 .
 F ( x, y)2
( 3) 若 f ( x , y ) 连 续 ， 则  f ( x, y) .
x y
( 4) P{( X , Y )  D}   f ( x, y) dx d y ,
D
其 中 D 为平面
上的一个区域.
30

31. 例6 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
 Ae  ( 2 x  y ) , x  0, y  0
f ( x, y )  
 0, 其它
( 1) 求系数 A ； 2) 求 分 布 函 数 F ( x, y ) ；
(
( 3) 求概率 P{Y  X } .
解 (1) 由规范性
   
 
 
f ( x , y ) dx d y  A 
0
e 2 x
dx 
0
y
e dy
1
 A  1 ， A 2.
2
31

32.  Ae  ( 2 x  y ) , x  0, y  0
f ( x, y )  
 0, 其它
( 2) F ( x , y )   
x y
f ( x , y ) d xd y
 
 2 x e  2 x dx   e  y dy , x  0, y  0
 0 0

 0,
 其它
(1  e 2 x )(1  e  y ) , x  0, y  0

 0, 其它
32

33.  Ae  ( 2 x  y ) , x  0, y  0
f ( x, y )  
 0, 其它

 dx  f ( x , y ) dy
x
( 3) P{Y  X } 
0 0

 2 dx  e  y dy
x
2 x
e
0 0 y

 2 e  2 x (1  e  x )d x
0
O
1
 . x
3
33

34. 2. 边缘分布
边缘分布函数与联合分布函数的关系
FX ( x )  P{ X  x }  P{ X  x, Y  }  F ( x,  ) ,
即 FX ( x )  F ( x ,   ) ,
同理, FY ( x )  F ( , y ) .
34

35. 设( X,Y )是连续型二维随机变量，联合密度函数为
f ( x, y) ,
关于X的边缘密度函数为

f X ( x)   f ( x , y ) dy

关于Y 的边缘密度函数为

fY ( y )   f ( x , y ) dx

35

36. 例7 设(X,Y)的概率密度是
 cy ( 2  x ), 0  x  1, 0  y  x
f ( x, y)  
 0 , 其它
求 (1) c的值；(2) 两个边缘密度； y
( 3) 概 率 P{ X Y  1 } . y x
 
解 (1)   f ( x , y ) d xd y
 
  d x  cy ( 2  x ) d y
1 x
0 1 x
0 0
5 24
 c  1，  c  .
24 5 36

37.  cy ( 2  x ), 0  x  1, 0  y  x
f ( x, y)  
 0 , 其它
 y
(2) f X ( x )     f ( x , y ) dy
y x
24

x
y ( 2  x ) dy
0 5
12 2
 x (2  x ) , 0  x  1 0 1
5 x
所以
 12 2
 x ( 2  x ), 0  x  1
f X ( x)   5
 0,
 其它
37

38.  cy ( 2  x ), 0  x  1, 0  y  x
f ( x, y)  
 0 , 其它
 y
(2) fY ( y )     f ( x , y ) dx
y x
24

1
y ( 2  x ) dx
y 5
24 3 y2
 y(  2 y  ) , 0  y  1 0 1 x
5 2 2
所以
 24 3 y2
 y (  2 y  ), 0  y  1
fY ( y )   5 2 2
 0,
 其它
38

39.  cy ( 2  x ), 0  x  1, 0  y  x
f ( x, y)  
 0 , 其它
y
( 3) P{ X Y  1 } x y1
1 1 y x
( , )
1 2 2
24 1 y

5  dy  y y ( 2  x ) dx
0
2
24 1 3 0 1 x
  0 ( 2 y  3 y  y ) dy
2 2 3
5
24 5 3
   .
5 64 8
39

40. 3. 条件分布
定义 设X和Y的联合概率密度为 f ( x , y ) ,
边缘概率密度为 f X ( x ), f Y ( y ) , 若对固定的x ,
f X ( x)  0 ，则称
f ( x, y)
fY | X ( y | x ) 
f X ( x)
为在X=x的条件下，Y 的条件概率密度;
类似地，对一切使 f Y ( y )  0 的 y, 定义
f ( x, y)
f X |Y ( x | y ) 
fY ( y )
为在 Y=y的条件下，X的条件概率密度 .
40

41. 例8 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为
1
 , x2  y2  1
f ( x, y)   ，求 f Y | X ( y | x ) .
 0 ， 其它
 y
解 X的边缘密度为
y  1  x2

f X ( x)   f ( x , y ) dy x
 0
1 x 2
y   1  x2
1
 dx
 1 x 2

2
 1  x 2 , | x | 1
  .
 0，
 | x | 1 41

42. 1 2
 , x  y 1
2 2
 1  x 2 , | x | 1
f ( x, y)   ，f X ( x )    .
 0 ， 其它

 0，
 | x | 1
x 作为已知变量
所以, 当|x|<1时, 有
f ( x, y) 1 1
fY | X ( y | x )    ,
f X ( x) (2  ) 1  x 2 2 1  x 2
所以当  1  x  1 时 ，
1 2 1  x 2 ,  1  x 2  y  1  x 2

fY | X ( y | x )   .
 0,
 y 取其它值
42

43. END
43