05.do

548 vues

Publié le

  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

05.do

  1. 1. CHAPITRE VIII Le champ magnétiqueI Les aimants I-1 Les aimants sources de champ magnétique On distingue deux types de sources de champ magnétique: les aimants et lescircuits électriques parcourus par des courants. Un aimant est caractérisé par un pôle nord et un pôle sud. Les lignes de champmagnétique B se dirigent du pôle nord vers le pôle sud. S N Les pôles dun aimant sont indissociables. Laimant brisé produit deux aimantsavec chacun son pôle nord et son pôle sud. Cest une différence fondamentale aveclélectrostatique. On ne peut isoler et manipuler indépendamment des entités qui seraientde type plus et des entités qui seraient du type moins. N S N S N S I-2 Interaction entre les aimants Des pôles de naturse différentes sattirent alors que des pôles de même nature serepoussent. De façon générale un aimant soriente dans un champ magnétique de telle sorteque la direction sud-nord de cet aimant soit dans la direction du champ magnétique localet donc des lignes de champ créées par les autres aimants. Où le pôle nord magnétique de la terre se trouve-t-il?2/05/03 95
  2. 2. II Champ magnétique créé par les courants: loi de Biot et Savart II-1 Loi de Biot et Savart Nous avons vu en électrostatique que la loi de Coulomb permettait de calculer enun point M les éléments de champ électrique dE créés par les éléments de charge dqdistribués dans lespace. La loi équivalente de la magnétostatique doit nous permettre de déterminer enchaque point M de lespace les éléments de champ magnétique dB créés par les élémentsde courant dI distribués dans tout lespace. Cest la loi de Biot et Savart. Dans un cas comme dans lautre, le champ total est obtenu en effectuant parintégration la somme des éléments de champ. Considérons au voisinage du point P un élément de circuit dl parcouru par uncourant I. Le vecteur dl est orienté dans le sens de circulation du courant. Soit r ladistance séparant lélément dl du point M où lon cherche à déterminer le champmagnétique. Soit uPM le vecteur unitaire parallèle au vecteur PM. dl I P r dB uPM M La loi de Biot et Savart nous enseigne que lélément de champ magnétique dB crééau point M par lélément de fil dl parcouru par le courant I sécrit: µ0 I dl ∧ uPM dB = 4 π r2 En vertu du principe de superposition des champs magnétiques, le champ total créépar lensemble des circuits contenus dans lespace sécrit: µ0 I dl ∧ u B = 4 π r2 Circuits Une telle écriture vectorielle est formelle. Elle est équivalente à trois relationssemblables, une par composante. Si dx, dy et dz sont les composantes de dl, et ux, uy, et uz celles de u, Bx prend laforme: µ0 I uz dy - uy dz Bx = 4 π r2 Circuits Il sagit dune intégration le long de circuits, ce qui implique que dy et dz ne sontpas indépendants. Le calcul nécessite donc un paramétrage que lon effectuera cas par cas,au vu des symétries du problème.2/05/03 96
  3. 3. II-2 Champ magnétique créé par un fil rectiligne l+dl dl P α l d 0 β M r dB u I Considérons un fil rectiligne vertical parcouru par un courant I. Soit un élément de fil dl situé autour du point P entre les cotes l et l+dl. Cet élément, comme toute autre partie du fil, crée en M un élément de champdB tangentiel au cercle de rayon 0M. Cela signifie que dans un repère cylindrique lescomposantes totales Br et Bz de B sont nulles. Seule la composante Bθ est différente de 0. Soit: µ0 I dl cos β dBθ = 4 π d2 (en effet sin α = cos β) Pour sommer tous les éléments de champ, il faut tenir compte du fait que l et β nesont pas indépendants mais sont liés par la relation: l = r tanβ soit dl = r dβ cos2 β Puisque r2 = d2 cos 2β , on arrive à: µ0 I cos β dβ d Bθ = 4πr Pour un fil infini, on intègre β de - π/2 à + π/2: β = + π/2 µ0 I cos β dβ µ I β = + π/2 µ0 I Bθ = = 0 sin β β = - π/2 = 4πr 4πr 2πr β = - π/2 On retrouve ainsi lexpression du champ magnétique créé par un fil rectiligne quevous avez rencontré en classe de terminale. Nous pouvons déterminer par la même méthode, en modifiant seulement lesbornes dintégration, le champ magnétique crée par un fil linéaire de longueur finie. II-3 Autre façon de calculer le champ magnétique créé par un fil Nous allons maintenant déterminer le champ magnétique créé par un fil delongueur finie en utilisant lexpression cartésienne de la loi de Biot et Savart.2/05/03 97
  4. 4. z b dl P ( x, y, z ) y θ dB x M x, y,z ) a Les composantes des vecteurs entrant dans cette relation sont: 0 x -ydzdl = uPM = 1 y dl ∧ u PM = 1 0 xdz dz x 2 + y 2 + z 2 -z x 2 + y 2 + z 2 0 Et on a pour la composante de B selon 0x: µ0 I - y dz dBx = 4 π ( x2 + y 2 + z 2 ) 3/2 x et y sont les coordonnées de M, point en lequel on cherche le champ magnétique,ils sont donc fixes avec x2+ y2 = r2. Le seul paramètre est z sur lequel on peut faire porter lintégration de a à b. b µ I - y dz µ0 I z z = b Bx = 0 =-y 4π ( r2 + z 2 ) 3/2 4π r2 r 2 + z 2 z = a a La limite du fil infini est obtenue en faisant tendre a vers - infini et b vers + infinisoit: µ0 I -y µ I µ I x µ0 I Bx = =- 0 sin θ , By = 0 = cos θ , B z = 0 2π r2 2πr 2 π r2 2 π r ce qui montre bien que le champ magnétique est radial.2/05/03 98
  5. 5. III Le potentiel vecteur III-1 Définition Nous avons vu en électrostatique que le champ électrique dérivait dun potentielV(r) par E=-gradV. Nous nous étions fortement réjouis de cette propriété qui nouspermettait de calculer le champ électrique par le biais dune grandeur scalaire souvent plusfacile à déterminer. Nous avons vu ensuite le rôle de cette grandeur dans le calcul dutravail des forces électriques et dans celui de lénergie potentielle. Un tel potentiel scalaire nexiste malheureusement pas en magnétostatique. Il existe par contre un champ de vecteur A(r) à partir duquel le champ magnétiquepeut être déduit par la relation: B = rot A Le champ de vecteur A(r) est appelé potentiel vecteur. III-2 calcul du potentiel vecteur Un élément de fil dl situé au voisinage du point P, parcouru par un courant I,produit au point M un élément de potentiel vecteur dA défini par: µ0 I dl dA = 4π r dl I P r dA M Le potentiel vecteur est obtenu par intégration des éléments dA: µ0 I dl A = r 4π circuit Du point de vue pratique, A semble plus simple à calculer que B puisquelexpression de dA ne contient pas de produit vectoriel. Il faut néanmoins faire suivre lecalcul de A de celui de son rotationnel, ce qui peut être lourd. Le choix entre le calculdirect de B et un calcul indirect via A , se fera en général au vu des difficultésmathématiques rencontrées. Du point de vue physique et en particulier pour ce qui est delénergie, le potentiel vecteur joue un rôle similaire à celui du potentiel scalaire.2/05/03 99
  6. 6. III-3 Application au fil rectiligne Vérifier que le champ de vecteur A(x,y,z) tel que Ax=0, Ay=0 et Az=-µ0 I/4πln(x2+y2) est le potentiel vecteur du champ magnétique créé par un fil rectiligne parcourupar un courant dirigé suivant oz. III-4 La divergence de B Si vous reprenez les définitions de la divergence et du rotationnel, vous vousapercevrez facilement que la divergence du rotationnel dun vecteur est toujours nulle.Puisque B est un rotationnel: B = rot A ⇒ div B = 0 Cest une nouvelle équation locale. Notons que si la divergence de B est toujoursnulle, cest que son flux à travers une surface fermée est nulle (revoir pour cela ladémonstration de la forme locale du théorème de Gauss): div B = 0 ⇒ B dS = 0 Il sensuit quun champ de vecteur ne peut pas représenter un champ magnétique sisa divergence nest pas nulle. III-5 Exemple Vérifier que la divergence du champ magnétique créé par un fil infini est nulle.IV- Champs électriques et champs magnétiques div B = 0 est à rapprocher de: rot E=0. La divergence de B est nulle parce que Bdérive dun potentiel vecteur. Le rotationnel de E est nul parce que E dérive dun potentiel scalaire. On peut résumer les propriétés des champ électriques et magnétiques en relationavec les potentiel dont ils découlent par le tableau ci-dessous: Electrostatique Magnétostatique Relation avec le potentiel E = -grad V B = rot A Equation locale rot E = 0 div B = 0 Forme intégrale E. dl = 0 B. dS = 0 Ce tableau sera complété par une second tableau indiquant les relations dues aufait que les champs décroissent en 1/r2.2/05/03 100

×