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实验四 用Mathematica软件作导数应用

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实验四 用Mathematica软件作导数应用

  1. 1. 实验四 用 Mathematica 软件作导数应用 实验目的: 1. 掌握用 Mathematica 软件作求函数极大值和极小值的语句和方法。 2. 熟悉软件在建模中应用 实验过程与要求: 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容: 一、求函数的极小值 在 Mathematica 系统中用 FindMinimum 函数求函数的极小值,基本格式为: FindMinimum [f[x],{x,x0}] 其中 x0 为初始值,表示求出的是 f[x]在 x0 附近的极小值.因此,一般需借 助于 Plot 函数先作出函数的图像,由图像确定初始值,再利用 FindMinimum 求 出 f[x]在 x0 附近的极小值. −x 实验 1 求y=e 2 sin x 的极小值. 解 In[1]:= y=Exp[-x/2]Sin[x] Plot[y,{x,-5,6}] FindMinimum[y,{x,-3}] 图像如图 5 4 3 2 1 -4 -2 2 4 6 -1 -2 二、求函数的极大值 因为函数 f[x]的图像与函数-f[x]的图像关于 x 轴是对称的,f[x]取得极大 值时,-f[x]正好取得极小值,因此仍用 FindMinimum 函数求函数的极大值,基 本格式为: FindMinimum [-f[x],{x,x0}] 其中 x0 为初始值,表示求出的是-f[x]在 x0 附近的极小值,设为 W,实际 上间接地求出了 f[x]在 x0 附近的极大值,为-W.
  2. 2. 3x 实验 2 求 y = 1 + x 2 的极值. 解 In[4]:= y=3x/(1+x^2) Plot[y,{x,-2,2}] FindMinimum[y,{x,0}] In[7]:=FindMinimum[-y,{x,0}] 图像如图 1.5 1 0.5 -2 -1 1 2 -0.5 -1 -1.5 实验一 求下列函数的极值: 1. y = x 3 + 2 x 2 − 3 2. y = ( x 2 − 1) 2 − 1 1 3. y = 2 x − x 2 4. y = 5 − 2( x + 1) 3 建模与实验 1、 问题 一幢楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸 入花园宽 2 ,高 ,温室正上方是楼房的窗台,清洁工打扫窗台周围,他得用 m 3m 梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上,因为温室是不能承受梯子 压力的,所以梯子太短是不行的,现清洁工只有一架 长的梯子,你认为它能达 7m 到要求吗?能满足要求的梯子的最短长度为多少? 二、实验目的 掌握求一元函数极值的驻点法,掌握 求极小值的命令 Mathematica 并会用它解决一些实际问题。 FindMinimum
  3. 3. 三、预备知识 1.一元函数的极值及最值的求法。 2. 求极小值命令提示 Mathematica [ f , {x, xo}] f ( x) FindMinimum 在选取的初始点 xo 附近求 的极小值; [ f , {x, xo, x1}] f ( x) FindMinimum 在选取的两个不同的初始点 x0 与 x1 附近求 的 f 极小值,当 的微分符号形式求不出时,必须用这种命令命令形式。 四、实验要求 1.动态观测梯子长度随倾角变化的变化。 2.设温室宽为 ,高为 ,梯子倾斜的角度为 ,当梯子与温室顶端 A 处 a b x L( x ) 恰好接触时,梯子的长度 L 只与 x 有关。试写出函数 及其定义域。 Clear [ x ] L( x ) 3. 在 Mathematicca 环境,先用命令 清除 x 的值,再定义函数 , 并求导。 a ,b L( x ) 4.将 赋值,画出 的图形。注意自变量 x 的范围选取。 L ′( x ) = 0 5.求驻点,即求方程 的根,用语句。 L( x ) 6.用语句 FindMinumum 直接求 的极小值并与(5)的结果比较。 a = , b = .8 2 2 7.取 ,重新运行程序,结果如何? 五、实验内容与步骤 1.问题分析与建立模型 问题很容易转化为数学模型: a b  π π L( x ) = +  0,  0< x< cos x sin x  2 2 即: 求函数 在区间 的最小值。因 ,所以 b x = arctan 3 a 可用手算得唯一稳定点 从而得梯子的最小长度为: Lmin = ( 3 a 2 +3 b 2 ) 3 2 a, b 然而代入 的值,却使我们无法用手算得到数值结果,故宜上机计算 2.运行以下 Mathematica 程序 clear [a, b, x ] In[1]:= L[x −] := / cos[ x ] + / sin[ x ] a b ; diff =D[L[ x ], x ] ; a = , b = 2 3 ; Plot [ L (x ) 7} { ,0.7,1 , Axesorigin − { .7,7} { , , x } >0 ] 3.程序运行结果 4.结果分析 a =2, b =3 Lmin ≈ .02348 7 (x ≈ .852771) 0 当 时,输出表明 。 7 米长的梯子是 即 不行的。 a = , b = .8 2 2 {6.75659, {x → .84136} 0 } 当 时,运行结果为 。即 7 米长的梯子 已足够。
  4. 4. 练习与思考 1. 梯子长度问题思考 a =1.8 (1)取 ,在只用 6.5 长梯子的情况下,温室最多能修建多高? m (2)一条 1 宽的通道与另一条 2 宽的通道相交成直角,一个梯子需要水平绕 m m 过拐角,试问梯子的最大长度是多少? 1 f ( x) = ,1 ≤ x ≤ 2 x4 2. 作函数 的图形,并验证是否满足拉格朗日定理条件。 y =2 x 3 − x 6 2 − + 18 1 3. 求 极值。

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