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2Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso DirectoSolución:l =6π. 18l = 3π cmPROPIEDAD:θα==2121LLAA(Radio constante)Á...
3Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo( )rrRnπα2+=( )rrRnπα2−=(*) Ruedas unidas por una faja o en contact...
4Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedastienen por radios R1 y R2 (R1...
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7Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo10) Una bicicleta avanza barriendo la rueda mayorun ángulo de 360º,...
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9Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso DirectoD) 2( 3 )cm+ πE) 2( 3 )cm+ π12) Del gráfico mostrado, calcular la s...
9Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso DirectoD) 2( 3 )cm+ πE) 2( 3 )cm+ π12) Del gráfico mostrado, calcular la s...
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Semana 2 .1

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  1. 1. 1Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso DirectoUNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTACEPUNSCiclo 2014-ITRIGONOMETRÍA“Sector Circular”Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.Objetivos: Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolverproblemas con sector circular. Aplica fórmulas al resolver problemas de sector circular. Aplica fórmulas al resolverproblemas de sector circular.SECTOR CIRCULAREs aquella porción de círculo limitado por dosradios y un arco de circunferenciaDe la figura se obtiene:A0B Sector CircularLongitud de Arco (l); Es aquella en unidades delongitud de un arco de circunferencia, se calculamediante el producto del número de radianesdel ángulo central y el radio de lacircunferencia.Deducción: Sea la circunferencia concentro en “0” y radio “r” comparando lalongitud de arco y el ángulo central comose muestra en la figura siguiente:Teniendo en cuenta el significadogeométrico de 1rad. se tiene:Longitud de Arco Ángulo Centrall θ rad.r 1 rad.De donde se obtiene l = θ . r .Donde:l : longitud de arcoθ : Número de radianes del ángulocentralr: radio de la circunferenciaEjemplo:Del gráfico mostrado, calcular la longitudde arco (l), siendo 0: centro.Semana Nº 2
  2. 2. 2Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso DirectoSolución:l =6π. 18l = 3π cmPROPIEDAD:θα==2121LLAA(Radio constante)Área Del Sector Circular: El área de unSector Circular se calcula mediante el productodel número de radianes del ángulo con el radiode la circunferencia elevado al cuadradodividido entre dos.Deducción:Comparando (por regla de tres simple)Área de un Sector Circular Ángulo Centralπ r22π rad.S θ rad.Resolviendo se obtiene:22rSθ= también:2rlS =θ22l=SEjemplo:Del gráfico mostrado, calcular el área delsector A0B. 0: centro.Solución:26.32π=SS = 6π cm2Área del Trapecio Circular:dLLS  +=221AOBCOD SSS −=Valor numérico del ángulo centralθ=dLL 21 −; (0 < θ < 2 π)NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número devueltas que da una rueda de radio “r” aldesplazarse (sin resbalar) se calcula medianteel cociente de la longitud que describe el centrode la rueda dividido entre 2πr. (perímetro de larueda).En esta figura el número de vueltas que da larueda de radio (r) al desplazarse desde “A”hasta “B” se calcula:rn cvπ2l= ;rLg =θ ;πθ2gn =(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobreuna superficie curva.
  3. 3. 3Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo( )rrRnπα2+=( )rrRnπα2−=(*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.Se cumple:θ1r1 = θ2r2n1r1 = n2r2L1 = L2(*) Ruedas unidades por sus centros.Se cumple: θ1 = θ2 n1 = n22211rLrL=PropiedadPROBLEMARESUELTOS1) Halle el área sombreada:a) πb) 2 πc) 3 πd) 4 πe) 5 πRESOLUCIÓNSx = S∆AOB − S∆CODxxxxxS a² b²2 2S a² b²21S 6²2 636S12S 3θ θ= −θ= −  π =    ÷ π== πRPTA.: C0RSR R RRRRR3S5S7S30ºoCDBA630ºoCDBA6ab
  4. 4. 4Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedastienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuandola rueda menor gira αº la mayor gira αg.¿En qué relación se encuentra los radios?a)37b)813c)910d)310e)94RESOLUCIÓNSi θ1 y θ2 son los ángulos que giran la ruedamenor y mayor respectivamente.En una bicicleta se cumple que:θ1R1 = θ2R2αºR1 = (αg)R2( )1 2129ºR º R10R 9R 10 α = α  ÷ =RPTA.: C3) Se tienen dos ruedas conectadas por unafaja; si hacemos girar la faja, se observaque las ruedas giran ángulos que suman144º. Determine la diferencia de losnúmeros de vueltas que dan estas ruedassi sus radios miden 3 m y 5 ma)13b)18c)19d)14e)110RESOLUCIÓNθ1 + θ2 = 144º→ L1 = L2 → θ1R1 = θ2R21 2 12 1 2R V 5R V 3θ= ⇒ =θ1 2 144 12 2 180 2θ θ π+ =π π πg1 2 1 21 22 2V V 8k V V 2k5 51 1k V V 220 20110+ = ⇒ = ⇒ − == − ==gRPTA.: E4) Halle el número de vueltas que da larueda de radio (r = 1) al ir de la posición Ahasta la posición B.a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11RESOLUCIÓNRECORRIDA# V2 r=πlSabemos: lr = (π) (21) = 21π⇒ # vueltas =( )212 1ππ#v = 10,5RPTA.: D5) De la figura mostrada, la rueda de radior, gira sin resbalar sobre la superficie deradio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorridapor el centro de la rueda hasta que el puntoB este en contacto con la superficie de lacurva, si: m S AOB = 120º, r = 18u?a)24 π b) 24,1π c)24,2π d) 24,3π e) 24,4πRESOLUCIÓN»ABL = ( )240º 18u 24180π= πr orBoA20ArBBA240 r53gαºαR1R2
  5. 5. 5Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso DirectoDe la figura:L 24241r 240rπ=L = 24,1 πRPTA.: B6) En la figura, el trapecio circular ABCD yel sector circular COD tienen igual área.Halle:mna)22b)12c) 2d) 2e) 1RESOLUCIÓNm²menor : S2n²mayor : 2S21 m²2 n²1 m m 2n n 22= θ÷=θ== → =RPTA.: A7) Se tiene un sector circular y uncuadrado, con equivalente área e igualperímetro; luego la medida, en radianes, desu ángulo central correspondiente resultaser:A)1 rad B) 2 rad C)1rad2D)4rad E)14radRESOLUCIÓNCondiciones:i) S = S →L Ra²2=g→ R.L = 2a²ii) Perímetro = Perímetro→ 2R + L = 4a→ (2R+L)²=16a²→(2R+L)² = 8(2a²)→ 4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)→ 4R² − 4R.L +L² = 0→ (2R−L)² = 0 → 2R − L = 0→ 2R = L → 2R = θ R → θ = 2RPTA.: BPROBLEMA DE CLASE1) Calcule:2 31S SMS+=Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regionessombreadasθS2S1S32θA)127B)132C)112D) 5π + 2 E) 5π − 22) Del gráfico, determinarNMPBALLSi AOB es sector circular.ArBB240rLnmradθ S SnmoDABCSaaaa
  6. 6. 6Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directoa) ½ b) ¾ c) 2/3 d) ¼ e) 13) Se tienen dos circunferencias concéntricas, enlas que se inscribe un ángulo centraldeterminando longitudes de arco sobre dichascircunferencias de 80cm y 45cm respectivamente.Calcule;rF 16 2R= −siendo r y R los radios delas circunferencias (r<R).a) 7 b)8 c) 9 d)10 e) 114) Se tiene un sector circular cuya longitud dearco es numéricamente igual a la mitad del áreade un cuadrado, cuyo lado es igual al radio delsector. ¿Cuánto mide la longitud de arco delsector, si la medida del ángulo central expresadoen radianes, toma su mayor valor entero posible?.a)12 b)24 c) 48 d)72 e) 1445) En la figura se muestran las A1, A2 y A3, queestán en progresión aritmética, ademásEFL a=,CDL b=yABL c=Calcular:2 22b ac−.ECAFDBA 1A 3a) ½ b) 2/3 c)2 d) 3 e) 3–16) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá elángulo (en radianes) que se debe girar para quelos centros de las esferas A y B se encuentrena la misma altura si inicialmente dichadiferencia de alturas es de 14 unidades?.AB2 u5 ua) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,57) De la figura obtener la relación correcta:A) a2 + b2 = 1 B)a b1b a+ =C)b a1a b− =D) ab + 1 = a E)a2 - b2 = 18) Calcular el área de la región sombreada siOT OS 4 3m= =  TP PQ QS= =A) 2 m2π B) 3 m2π C) 4 m2πD) 6 m2π E) 8 m2π9) A partir del gráfico, halle el área del sector circularAOB.A) 5a2 B) 8a2 C)a32πD) 2πa2 E)9a22
  7. 7. 7Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo10) Una bicicleta avanza barriendo la rueda mayorun ángulo de 360º, en ese instante qué ángulohabrá girado la rueda menor si la relación de susradios es de 1 a 4.a) 720º b) 1080º c)1440º d)450º e) 90º11) A partir del gráfico, calcular la longitudrecorrida por la esferita, hasta impactar en CD. SiAB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m.a) 5π mb) 5/2 π mc) 2π md) 3π/2 me) 8π m12) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , ademásO es el centro del sector circular AOB, entonces elperímetro de la región sombreada es:a) 2π b)311πc)35πd)37πe)3π13) El ángulo central que subtiende un arco deradio 81, mide cº. Si se disminuye dicho ángulohasta que mida Sº, ¿Cuánto debe aumentar elradio para que la longitud de dicho arco novaríe? (S y C son lo convencional)a) 5 b) 15 c) 19 d) 23 e) 3114) Determine el número de vueltas que da larueda de ir de A hacia B. Si AC = CD = 9πr/2 ,R = 9ra) 6 b) 5 c) 3 d) 8 e) 915) ¿Cuánto deben girar las poleas mostradaspara que la esferita baje 3m y cuánto debe ser elradio r, Si R = 2m ?a) rad32y 2m b) rad23y 2m c)rad31y 1md) radπ y 2m e) rad23ym2316) Hallar el área de la región sombreada si AOBy COD son sectores circulares, donde29πθ =yBC 3m= .OACB Dθa) π / 3 b)π / 4 c)π / 6 d)π / 2 e)π17) Calcule la altura en términos de R, a la quese encontrará el punto A de la rueda, cuandoéste gire un ángulo de 1305º, desplazándosesobre una pista horizontal.RAa)( )2 1 R+b)1 2 2R2 +    c)1 2 2R2 +   d)2 2R2 +    e)2 2 1R2 + −   PROBLEMA DE REPASO
  8. 8. 8Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo1) En la figura adjunta calcule el número deradianes que gira la esfera de radio r al radar deA hacia B, sobre la superficie curva de radioR(R=29r), six6π=.RA Bxrra)rad6πb)6 πrad c)2,5 π rad d)5 πrad e)rad5π2) La longitud de una circunferencia es(7x + 3) m, un ángulo central de xπ rad,subtiende un arco de (4x + 1) m, calcular elvalor de “x”a) 1 b) 2 c) 2/7 d) 7/2 e) 1/63) Determinar el valor de “L”a) 3 b)6 c) 12 d) 15 e) 104) En la figura, ABC es un triángulo equiláterode 18cm de perímetro. Hallar la longitud de lacurva que une los puntos D,E,F, y B, sabiendoque BAF, FCE y EBD son sectores circulares.a) 12πcm b)16π cm c)18πcm d)24π cm e) 30π cm5) Dado un trapecio circular cuyo perímetromide 20cm. Halle el valor máximo, en cm2, de suárea.a) 12cm2b) 16cm2c) 20cm2d) 25cm2e) 30cm26) Del gráfico adjunto, calcular el áreasombreada, si se sabe que: MN=4ma) 2πm2b) πm2c) 4πm2d)2πm2e) 3πm27) Los radios de las ruedas de una bicicleta, sonentre sí como 3 es a 4. Calcular el número devueltas que da la rueda mayor cuando la ruedamenor gire 8π radianes.a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 88) Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radiosestán en la relación de 2 a 5. Determinar el ánguloque girará la rueda menor, cuando la rueda mayorde 4 vueltas.a) 4π b) 5π c) 10π d) 20π e) 40π9) Un péndulo se mueve como indica en lafigura. Calcular la longitud del péndulo, si suextremo recorre 3π m.a) 5mb) 6mc) 7md) 8me) 9m10) De la figura mostrada determinar el númerode vueltas que da la rueda de radio “r” en surecorrido de A hasta B (R=7r).a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 611) Calcular la longitud de la correa, si los tres discostienen igual radio de longitud 2cm.A) 2(3 )cm+ πB) 4(3 )cm+ πC) 8(3 )cm+ π45ºNM4m50gπ/12135ºRRAB rr
  9. 9. 9Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso DirectoD) 2( 3 )cm+ πE) 2( 3 )cm+ π12) Del gráfico mostrado, calcular la suma ilimitada:S = L1 + L2 + L3 + ....A) rθ B) 2 rθ C) 4 rθ D)r2θE)r4θ13) Del esquema mostrado, calcule el valor de:1 31 2L LEL L+=+A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 514) Del gráfico, calcular el perímetro de la regiónsombreada, si A, B y C son centros y ABC es untriángulo equiláteroA) 2π+B)4 13π−C)5 23π+D) 2 1π+E)7 23π+15) Si la cuerda envuelve exactamente al triángulotrasladándose la esfera hasta el punto A, hallar elrecorrido de la esfera. ABC es un triánguloequilátero de lado 4m.A) 3 mπ B) 9 mπ C) 12 mπ D) 16 mπ E) 18 mπ
  10. 10. 9Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso DirectoD) 2( 3 )cm+ πE) 2( 3 )cm+ π12) Del gráfico mostrado, calcular la suma ilimitada:S = L1 + L2 + L3 + ....A) rθ B) 2 rθ C) 4 rθ D)r2θE)r4θ13) Del esquema mostrado, calcule el valor de:1 31 2L LEL L+=+A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 514) Del gráfico, calcular el perímetro de la regiónsombreada, si A, B y C son centros y ABC es untriángulo equiláteroA) 2π+B)4 13π−C)5 23π+D) 2 1π+E)7 23π+15) Si la cuerda envuelve exactamente al triángulotrasladándose la esfera hasta el punto A, hallar elrecorrido de la esfera. ABC es un triánguloequilátero de lado 4m.A) 3 mπ B) 9 mπ C) 12 mπ D) 16 mπ E) 18 mπ

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