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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-I
TRIGONOMETRÍA
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Semana 2.2

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  1. 1. 1 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2015-I TRIGONOMETRÍA “Sector Circular” SECTOR CIRCULAR Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia De la figura se obtiene: A0B Sector Circular Longitud de Arco (l); Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia. Deducción: Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente: Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene: Longitud de Arco Ángulo Central l  rad. r 1 rad. De donde se obtiene l =  . r . Donde: l : longitud de arco  : Número de radianes del ángulo central r: radio de la circunferencia Ejemplo: Del gráfico mostrado, calcular la longitud de arco (l), siendo 0: centro. Solución: l = 6  . 18 l = 3 cm PROPIEDAD:    2 1 2 1 L L A A (Radio constante) Área Del Sector Circular: El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos. Deducción: Comparando (por regla de tres simple) Área de un Sector Circular Ángulo Central  r2 2 rad. Semana Nº 2
  2. 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo S  rad. Resolviendo se obtiene: 2 2 r S   también: 2 rl S  2 2 l S Ejemplo: Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. 0: centro. Solución: 2 6 . 3 2  S S = 6 cm2 Área del Trapecio Circular: d LL S         2 21 AOBCOD SSS  Valor numérico del ángulo central = d LL 21  ; (0 <  < 2 ) NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de vueltas que da una rueda de radio “r” al desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante el cociente de la longitud que describe el centro de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la rueda). En esta figura el número de vueltas que da la rueda de radio (r) al desplazarse desde “A” hasta “B” se calcula: r n c v 2 l  ; r L g  ;   2 g n  (lc : longitud descrita por el centro de la rueda). (*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre una superficie curva.   r rR n   2     r rR n   2   (*) Ruedas unidas por una faja o en contacto. Se cumple: 1r1 = 2r2 n1r1 = n2r2 L1 = L2 (*) Ruedas unidades por sus centros. Se cumple: 1 = 2 n1 = n2 2 2 1 1 r L r L 
  3. 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo Propiedad PROBLEMA RESUELTOS 1) Halle el área sombreada: a)  b) 2  c) 3  d) 4  e) 5  RESOLUCIÓN Sx = SAOB  SCOD x x x x x S a² b² 2 2 S a² b² 2 1 S 6² 2 6 36 S 12 S 3                       RPTA.: C 2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando la rueda menor gira º la mayor gira g . ¿En qué relación se encuentra los radios? a) 3 7 b) 8 13 c) 9 10 d) 3 10 e) 9 4 RESOLUCIÓN Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda menor y mayor respectivamente. En una bicicleta se cumple que: 1R1 = 2R2 ºR1 = (g )R2  1 2 1 2 9 ºR º R 10 R 9 R 10           RPTA.: C 3) Se tienen dos ruedas conectadas por una faja; si hacemos girar la faja, se observa que las ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas si sus radios miden 3 m y 5 m a) 1 3 b) 1 8 c) 1 9 d) 1 4 e) 1 10 RESOLUCIÓN 1 + 2 = 144º  L1 = L2  1R1 = 2R2 1 2 1 2 1 2 R V 5 R V 3      1 2 144 1 2 2 180 2         0 R S R R R R R R R 3S 5S 7S 5 3 g  º R1 R2 30ºo C D B A 6 30ºo C D B A 6 a b
  4. 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo 1 2 1 2 1 2 2 2 V V 8k V V 2k 5 5 1 1 k V V 2 20 20 1 10            RPTA.: E 4) Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A hasta la posición B. a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11 RESOLUCIÓN RECORRIDA #V 2 r   Sabemos: r = () (21) = 21  # vueltas =   21 2 1   #v = 10,5 RPTA.: D 5) De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie de radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la curva, si: m AOB = 120º, r = 18u? a)24  b) 24,1 c)24,2 d) 24,3 e) 24,4 RESOLUCIÓN AB L =  240º 18u 24 180    De la figura: L 24 241r 240r   L = 24,1  RPTA.: B 6) En la figura, el trapecio circular ABCD y el sector circular COD tienen igual área. Halle: m n a) 2 2 b) 1 2 c) 2 d) 2 e) 1 RESOLUCIÓN m² menor : S 2 n² mayor : 2S 2 1 m² 2 n² 1 m m 2 n n 22             RPTA.: A r o rBoA 20 A r B B A240 r A r B B 240 r L nmo D A B C n mrad S S
  5. 5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 5 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo 7) Se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser: A)1 rad B) 2 rad C) 1 rad 2 D)4rad E) 1 4 rad RESOLUCIÓN Condiciones: i) S = S  L R a² 2   R.L = 2a² ii) Perímetro = Perímetro  2R + L = 4a  (2R+L)²=16a²(2R+L)² = 8(2a²)  4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)  4R²  4R.L +L² = 0  (2RL)² = 0  2R  L = 0  2R = L  2R =  R   = 2 RPTA.: B PROBLEMA DE CLASE 1) De la figura mostrada calcule: 1 32 .11 2 L LL  , si L1 , L 2 y L 3 son longitudes de arcos y AB = BC = CD y “K” es el área del sector circular JAH A) 4 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2 2) La medida del ángulo central de un sector circular de radio R es 24º y se desea disminuirlo en 18º de tal manera que el área no varié si aumentamos el radio una longitud “x” .determinar “x” A) R B) 2R C) R/2 D) R/3 E) 3R 3) De la figura mostrada, Siendo O centro del sector circular AOB y COD, xBDAC  , 1 xLCD , 1 xLAB , entonces el valor de x. , es: A) 1 B) 1,5 C)2 D) 2,5 E) 3 4) De la figura mostrada si AOB, COD y EOF son sectores circulares, además; CDLOBOA  , ABLDFCE  ; EFLBDAC  . Calcule:      1 1 3 M A) ½ B) ¼ C)1 D) 2 E) 4 5) La figura adjunta es una semicircunferencia donde O es el punto medio de AD. Si el área de la región sombreada es  y m<BOC = 90º, determine el área de la región triangular BDC. A) 2  B) 2 2   C) 2  D) 2 2   E) 2 2     6) En la figura mostrada, Se muestra dos circunferencias de radios r1 y r2 (r1 < r2) y L1 , L2 son las longitudes de arco de los S a a a a
  6. 6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 6 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo sectores circulares , AOB y COD respectivamente. calcular L1/L2 A) 1 21.  rr B) 1 12 .  rr C) 21 rr  D) 21.rr E) 21 rr  7) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 = 3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran inicialmente al mismo nivel y la rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la diferencia de alturas (h), después de este giro (en u), es: A) 2.5 B)2 C) 3 D) 3,5 E) 1 8) De la figura mostrada, determinar el número de vueltas que da una rueda de radio r para recorrer el circuito MNP. A) r rR 6 3 B) r rR 6 3 C) r rR 2 3 D) r rR 2 3  E) r rR 6 3  9) Calcule la altura en términos de R, a la que se encontrará el punto A de la rueda, cuando éste gire un ángulo de 1305º, desplazándose sobre una pista horizontal. a) b) c) d) e) 10)Determine el área de un sector circular en función de su perímetro P, si se sabe que dicha área es máxima. A) 2 2 P B) 4 2 P C) 8 2 P D) 16 2 P E) 32 2 P 11)Determine el número de vueltas que da la rueda de ir de A hacia B. Si AC = CD = 9r/2 , R = 9r a) 6 b) 5 c) 3 d) 8 e) 9 12)De la figura mostrada sí 3r ; AM = 6, MB =8. Calcule el número entero de vueltas que da la rueda al ir desde A hasta B sin deslizamiento. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 13)Dos ruedas de radio r y R (r < R), recorren la misma distancia horizontal. Si la suma del número de vueltas de ambas ruedas es igual a 10 veces su diferencia. Entonces, el cociente entre los ángulos barridos, de la rueda menor a la rueda mayor es: A) 11 9 B) 10 9 C) 9 10 D) 9 11 E) 10 11 14) En la figura. Si la rueda “A” gira un ángulo de 300g ¿Qué ángulo girara la rueda D? R A  2 1 R 1 2 2 R 2        1 2 2 R 2        2 2 R 2        2 2 1 R 2        
  7. 7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 7 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo RA = 3, RB = 4, RC = 1, RD =2 A) 1620º B) 1680º C)1690º D) 1720º E) 1800º 15)En la figura mostrada, cmRR BA 2 , cmOO 22'''  , Calcule el área de la región sombreada. A) 22  B) 32  C) 2 7 2  D) 42  E) 52  16)Si el perímetro de la región sombreada es √ , calcule la longitud del lado del cuadrado ABCD. A) ½ B) 1 C) √ D) √ E) 2 PROBLEMA DE REPASO 1) En la circunferencia de la figura mostrada, dos autos A y B parten del punto P en la misma dirección, con velocidades VA y VB respectivamente; después de un tiempo “t” el ángulo central formados por sus posiciones finales mide 90º. Calcule el valor de a (en radianes), si se cumple que VA es a VB como 2 es a 5. A) 6  B) 5  C) 4  D) 3  E) 2  2) En la figura, las áreas de las superficies ABCD y DOC cumplen la relación S ABCD = 2.S DOC .calcule 3 2  n m A)0 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2 3) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de lado 4u. calcule el área de la región sombreada. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el ángulo (en radianes) que se debe girar para que los centros de las esferas A y B se encuentren a la misma altura si inicialmente dicha diferencia de alturas es de 14 unidades? a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5 A B 2u 5u
  8. 8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 8 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo 5) De la figura, calcular 2 1 S S ; siendo S1: Área del sector AOB y S2: Área del sector COD. a) ba a  b) ba a  c) ba a 2 d) ba a 2 e) ba a 2 6) Hallar el área de la región sombreada si AOB y COD son sectores circulares, donde y . a) b)c)d)e) 7) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además O es el centro del sector circular AOB, entonces el perímetro de la región sombreada es: a) 2 b) 3 11 c) 3 5 d) 3 7 e) 3 8) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la curva que une los puntos D,E,F, y B, sabiendo que BAF, FCE y EBD son sectores circulares. a) 12cm b)16 cm c)18cm d)24 cm e) 30 cm 9) De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A hasta B (R=7r). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 10)En la figura mostrada, el extremo “A” del péndulo recorre los arcos L1 y L2 hasta llegar a C . Halle “x” (en m), si L1 + L2 = 8m A) 7 B) 8 C) 8.5 D) 9 E) 9.2 11)En el sistema mostrado, las ruedas A y B están unidas por una faja, y las ruedas B y C están unidas por un eje común. Halle el número de vueltas que da la rueda “C” si la rueda “A” barre un ángulo de 2160º A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2 9    BC 3m O A C B D  135º R R A B r r

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