1. El documento describe los procedimientos para reducir ángulos a su equivalente en el primer cuadrante, incluyendo ángulos mayores a 360°, menores que 0° y relacionados. 2. Se explican casos como descomponer ángulos entre 90° y 360° en la suma o resta de un ángulo cuadrante y uno agudo, o dividir ángulos mayores que 360° por ese valor. 3. También se definen las identidades trigonométricas para ángulos complementarios, suplementarios y de medida negativa que son útiles para real

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
).(T.RCo
220
90
R
).(T.R
360
180
R
)(RT





















UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“Reducción al Primer Cuadrante”
Definición:
Es el procedimiento mediante el cual se determinan
las razones trigonométricas de un ángulo que no es
agudo, en función de otro que sí lo sea.
La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de
un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un
ángulo del primer cuadrante se llama:”reducción al
primer cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un ángulo
significa encontrar los valores de las RT de cualquier
ángulo en forma directa mediante reglas prácticas.
Casos:
I. Ángulos cuyas medidas están en
<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α"
se descompone como la suma o resta de un ángulo
cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo
que sea agudo; para luego aplicar :
Donde el signo (±) que deberá anteponerse al
resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca
el ángulo original " α "
Por ejemplo; calculemos:
*
*
*
*
II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
En este caso, se procede de la siguiente manera:
Por ejemplo, calculemos:
Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se
procede de la siguiente manera:
*
Es decir, si fuese:
Se divide:
R.T.( ) R.T.( )
: no es agudo : sí es agudo
).(T.RCo
220
90
R
).(T.R
360
180
R
)(RT





















2
3
º30Cos)30º90(Senº120Sen
)(



2
1
º60Cos)º60º180(Cosº120Cos
)(



3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan
)(



2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc
)(



R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º  
q
Residuo
2
3
º60Senº2580Sen  * Tan 3285º = Tan
2580º 360º
2520º 7
60º
3285º 360º
3240º 9
45º
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
1
2
1Sen
2
Sen133  Co
3
127Cos 
*
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
1
2
1Sen
2
Sen133 
2
1
3
1Cos
3
127Cos 
*
2ba;
b
a.T.R 




 
a 2b
q
r este residuo reemplaza al numerador "a"
Semana Nº 6

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
*
III. Ángulos de medida negativa: Se
procede de la siguiente manera:
Por ejemplo, calculemos:
*
*
IV. Ángulos relacionados:
1.
2.
Por ejemplo, calculemos:
En esta expresión note que:
Luego:
Reduciendo, quedaría C = 0
PROBLEMA DE CLASE
1. ¿Cuál es el valor de m para que se cumpla
la siguiente igualdad?
𝑚𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
2
+ 𝑥) + 𝑐𝑜𝑡(𝜋 + 𝑥) = 3𝑐𝑜𝑡𝑥
A) – 4 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 1
2. Calcule el valor de
𝑡𝑎𝑛300º+2𝑡𝑎𝑛120º
𝑡𝑎𝑛150º
A) – 9 B) – 3 C) 3D)3√3 E) 9
3. Si se cumple que
𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
2
+ 𝑥) − 𝑐𝑜𝑡 (
3𝜋
2
− 𝑥) = −3 ,
calcule 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2
𝑥
A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 12
4. Calcule el valor de
𝑡𝑎𝑛(
𝜋
2
+
5𝜋
4
)−𝑐𝑜𝑡(𝜋+
5𝜋
4
)
𝑐𝑜𝑠(
5𝜋
4
)
A)−2√2 B) −√2 C) √2 D) 2√2 E) 4
5. Calcule el valor de
𝑡𝑎𝑛
𝜋
12
− 𝑡𝑎𝑛
7𝜋
12
+ 𝑡𝑎𝑛
5𝜋
12
− 𝑡𝑎𝑛
11𝜋
12
A) – 4 B) 4 C) – 6 D) 6 E) 8
6. Si A y B son ángulos complementarios,
simplifique la expresión
𝑠𝑒𝑛(𝐴+2𝐵)𝑡𝑎𝑛(2𝐴+3𝐵)
𝑐𝑜𝑠(2𝐴+𝐵 )𝑡𝑎𝑛(4𝐴+3𝐵 )
A) 1 B) – 1 C) ½ D) 2 E) – ½
7. Si 𝑚𝑠𝑒𝑛 (
55𝜋
2
− 𝜃) 𝑐𝑜𝑠 (
77𝜋
2
+ 𝜃) ,
calcule 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 en términos de m.
A) 𝑚2
B) –𝑚2
C) 2m D)– m E) m
8. Calcule el valor de la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑛
7𝜋
12
cos
𝜋
12
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
12
cos
7𝜋
12
A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2
1315 8
51 164
35
3
1345
3
1345Sen 
*
4
3Tan
4
1315Tan 
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
2
2
º45Sen)º45(Sen 
2
1º60Cos)º60(Cos 
3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan
)(












TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180ºyx:Si










TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx:Si
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
3Cos
7
2Cos
7
CosC 
7
6Cos
7
Cos
7
6
7

7
5Cos
7
2Cos
7
5
7
2 
7
4Cos
7
3Cos
7
4
7
3 
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
4Cos
7
5Cos
7
6CosC 

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
9. Simplifique la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑛2 𝑥−𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠(
37𝜋
2
+𝑥)+ 𝑐𝑜𝑠(35𝜋+𝑥)
A) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 B) 𝑠𝑒𝑛𝑥 – 𝑐𝑜𝑠𝑥
C) 𝑐𝑜𝑠𝑥 – 𝑠𝑒𝑛𝑥 D) – (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
E) cosx
10. Calcule el valor de
𝑠𝑒𝑛(
𝜋
4
+𝑥)+𝑠𝑒𝑛(
5𝜋
4
+𝑥)+𝑠𝑒𝑛(
7𝜋
4
+𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥
A)−
√2
2
B) −√2 C)
√2
2
D) √2 E) 2
11. De acuerdo con el gráfico, reduzca la
expresión
𝑡𝑎𝑛𝜃 +𝑡𝑎𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑡𝛼
A) 𝑡𝑎𝑛2
𝜃 B) –𝑡𝑎𝑛 𝜃 C) 0
D) 𝑐𝑜𝑡2
𝜃 E) –𝑐𝑜𝑡2
𝜃
12. Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =
𝜋
2
y 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = – 𝑠𝑒𝑛𝑐,
¿cuál de los siguientes resultados es correcto?
A)cos (
2𝜋−4𝑐
4
) = 0 B) cos (
−𝜋+4𝑐
4
) = 0
C) cos (
𝜋−4𝑐
2
) = 0 D) cos (
𝜋+4𝑐
4
) = 0
E) cos (
𝜋+3𝑐
4
) = 0
13. Si 𝛼 es la medida de un ángulo agudo, tal
que 𝑐𝑜𝑠1996º =– 𝑠𝑒𝑛𝛼. Calcule el valor de
𝑐𝑠𝑐15𝛼 – 𝑠𝑒𝑛15𝛼.
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3
14. Si se sabe que 𝑀 = tan (𝑘𝜋 +
𝜋
2
+ 𝛼) ; 𝑘 ∈
𝑍 , 𝑁 = Csc(𝑛𝜋 + (−1) 𝑛
𝛼) ; 𝑛 ∈ 𝑍 , calcule
𝐸 =
𝑀2−𝑁2
𝑀𝑁
A) 𝑡𝑎𝑛𝛼𝑠𝑒𝑛𝛼 B) – 𝑡𝑎𝑛𝛼𝑠𝑒𝑛𝛼
C) 𝑐𝑜𝑡𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 D) – 𝑐𝑜𝑡𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 E) – 1
15. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas (V) o falsas (F)?
I. 𝑡𝑎𝑛 (1283
𝜋
4
) = −1
II. 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) + 𝑠𝑒𝑐(𝑛𝜋) = (– 1) 𝑛
; ∀ 𝑛 ∈ 𝑍
III. Si √𝑠𝑒𝑛𝜃
3
√𝑡𝑎𝑛𝜃 < 0 , entonces 𝜃
pertenece al tercer cuadrante.
A) FFV B) FVV C) VVV D) VFF E) VVF
16.Simplificando la expresión
𝐾 = (
− 𝑇𝑔343° − 𝑇𝑔107°
𝑇𝑔197° + 𝑇𝑔73°
) 𝑇𝑔163°
Se obtiene
A) – tan17º B) cot17º C) tan34º
D) tan51º E) cot34º
17.26. Simplifique la siguiente expresión
𝑐𝑜𝑡 (
𝜋
2
− 𝑥) 𝑐𝑠𝑐(2𝜋 − 𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
3𝜋
2
+ 𝑥)
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −
3𝜋
2
) 𝑡𝑎𝑛 (
𝜋
2
+ 𝑥) 𝐶𝑠𝑐(𝑥 − 𝜋)
A) cotx B) – tanx C) 1
D) tanx E) – cotx
18.27. Si 13𝑆𝑒𝑐 (
9𝜋
2
− 𝑥) + 12𝐶𝑡𝑔(3𝜋 +
𝑥) = 5 , calcule cscx+cotx.
A) 5 B) 1/5 C) 13
D) 12 E) 7/13
19.Reduzca la expresión, si ABCD es un
cuadrilátero
[
𝑆𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) + 𝐶𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)
𝑇𝑔(𝐴 + 𝐵)𝐶𝑡𝑔(𝐶 + 𝐷)
] 𝑥
𝐶𝑜𝑠 (
7(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷)
8
)
A) 2𝑆𝑒𝑛 (𝐷 −
𝜋
4
)
B) 𝐶𝑜𝑠 (𝐷 −
𝜋
4
)
C) 𝑆𝑒𝑛 (
𝜋
4
− 𝐷)
D) 2𝐶𝑜𝑠 (
𝜋
3
+ 𝐷)
E) √2𝑆𝑒𝑛 (𝐷 −
𝜋
4
)

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
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20.Simplifique la expresión
𝑆𝑒𝑛 (
11𝜋
4
+ 𝑥) 𝑆𝑒𝑛 (
33𝜋
4
+ 𝑦)
− 𝐶𝑜𝑠 (
55𝜋
4
+ 𝑥) 𝐶𝑜𝑠 (
77𝜋
4
+ 𝑦)
A) sen(x+y)
B) – sen(x+y)
C) – cos(x+y)
D) cos(x+y)
E) sen(x+y) · cos(x+y)
21. En el gráfico, calcule 𝑡𝑎𝑛𝜃.
A)7/2 B) – 7/2 C) – 5/2 D) 5/2 E) – 3/2
22. Sabiendo que
𝑀 = 𝑇𝑔 (𝑘𝜋 +
𝜋
2
+ 𝛼) , 𝑘 ∈ 𝑍
𝑁 = 𝐶𝑠𝑐(𝑛𝜋 + (−1) 𝑛
𝛼), 𝑘 ∈ 𝑍
Calcule 𝐸 =
𝑀2−𝑁2
𝑀−𝑁
A) tan 𝛼· sen 𝛼
B) – tan 𝛼 sen 𝛼
C) cot 𝛼 · cos 𝛼
D) – cot 𝛼 · cos 𝛼
E) – 1
23.Calcule 𝛼, sabiendo que está en el tercer
cuadrante, es positivo, mayor que una
vuelta, pero menor de dos vueltas.
Sabiendo que 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛
𝜋
11
A)
75𝜋
22
B)
73𝜋
22
C)
71𝜋
22
D)
69𝜋
22
E)
67𝜋
22
24.Calcule el equivalente de la siguiente
expresión 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥
A) 4cos2xcos4xcos6x
B) 4cosxcos3xcos5x
C) 4cosxcos2xcos3x
D) 4cosxcos2xcos4x
E) 4cos2xcos3xcos4x
25.Simplifique la siguiente expresión
𝑠𝑒𝑛6𝜃+𝑠𝑒𝑛4𝜃+𝑠𝑒𝑛5𝜃
𝑐𝑜𝑠6𝜃+𝑐𝑜𝑠4𝜃+𝑐𝑜𝑠5𝜃
A) tanθ B) tan3θ C) cot5θ D) cotθ
E) tan5θ
26.Si 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑀𝑐𝑜𝑠5𝑥, calcule 𝑡𝑎𝑛4𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
A)
𝑀+1
𝑀−1
B)
𝑀−1
𝑀+1
C)
𝑀+2
𝑀
D)
𝑀
𝑀−1
E)
𝑀
𝑀+1
27.En el triángulo ABC, simplifique la
expresión
𝑠𝑒𝑛𝐵+𝑠𝑒𝑛𝐶+𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴+𝑠𝑒𝑛𝐵+𝑠𝑒𝑛𝐶
A) 2 B) – 2 C) – 1 D) 1 E) 0
28.El valor de la expresión
𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
7
) + 𝑐𝑜𝑠 (
4𝜋
7
) + 𝑐𝑜𝑠 (
6𝜋
7
) es
A) – ½ B) 0 C) ½ D) – 1 E) 1
29.De la siguiente identidad
4𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 1 =
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝜃)
𝑠𝑒𝑛𝜃
,
calcule el valor de A.
A) 4 B) 3 C) 6 D) 5 E) 2
30.Calcule el valor de la siguiente expresión
1
2𝑠𝑒𝑛10º
− 2𝑠𝑒𝑛70º
A) – 1 B) 0 C) 1 D)
√2
2
E)
√3
2
31.Calcule el valor de la siguiente expresión
(√3𝑠𝑒𝑐70º − 2)𝑐𝑠𝑐50º ·
A) 2 B)√3 C) 3 D) 1/2 E) 4