Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.
Le shéma suivant présente les différentes étapes de la chaîne 
d'acquisition et de traitement des données : 
Hydrologie ur...
Les données sont homogènes - Une série de données est réputée 
non homogène lorsque: 
 elle provient de la mesure d'un ph...
le test de Wilcoxon et le test de de Mann-Whitney 
non-paramétriques 
Pour cela on les appel des tests : 
Hydrologie urbai...
1-Test de Wilcoxon 
Nous formons le tableau suivant pour faciliter les calculs. On 
commence par diviser notre série pluvi...
On calcule ensuite les valeurs de : 
- Wx = ΣRang x 
- des deux bornes Wmax et Wmin, données 
par les formules suivantes: ...
2- Test de Man-Whitney 
on divise notre échantillon en deux sous-ensembles de tailles 
respectives N1 et N2 avec: N1 < N2....
K est la somme des nombres de dépassements de chaque 
élément du second échantillon par ceux du premier échantillon. 
S es...
avec la variable normale centrée réduite ayant une probabilité 
de dépassement α /2. Si T < z1-α/2 on accepte H0 
On forme...
La colonne 9 indique les valeurs du sous-ensemble 1 triées. 
La colonne 10 donne le nombre de fois que chaque élément du 
...
퐾 = 푆 = 
푁1×푁2 
2 
et 푆푘 = 푆푠 = 
푁1×푁2 
12 
× 푁1 + 푁2 + 1 et 푇 = 
퐾−퐾 
푠푘 
Pour  = 95 % on a =1,96 > T Ce qui veut dire q...
Exemple 
** Vérifier l’homogénéité de la série des pluies annuelles de 
la station pluviométrique de l’Oued FODDA (série 
...
Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
Méthode des doubles cumuls 
Elle permet de détecter la non-homogénéité d'une série de 
mesures et de la corriger. La métho...
Application de la méthode à la série P1 : On commence donc 
par établir le tableau ci-dessous: Dans les trois premières 
c...
On voit sur le graphique que les points s’alignent sur un seul 
segment de droite, ce qui est interprété comme quoi la sér...
Application de la méthode à la série P2 : On commence donc 
par établir le tableau ci-dessous: Dans les trois premières 
c...
On voit sur le graphique que les points s’alignent sur deux 
segments de droite différents, c’est-à-dire qu’il y a une cas...
La décision de corriger ou non les données de l’année1979 est 
prise après une connaissance détaillée des circonstances de...
푚1 = 
22 109 − 12 078 
21 428 − 12 522 
= 
10 031 
8 906 
= 1,1263 
푚2 = 
12 078 − 764 
12 522 − 806 
= 
11314 
11716 
= 0...
Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
L’on voit que les points s’alignent sur une droite sans cassure; 
notre série a donc été rendue homogène. Si l’on constate...
Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
Teste d'homogeniete
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Teste d'homogeniete

824 vues

Publié le

le test de Wilcoxon et le test de de Mann-Whitney
Méthode des doubles cumuls 
avec exemple traite
inspire de TD USTHB

Publié dans : Ingénierie
  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

Teste d'homogeniete

  1. 1. Le shéma suivant présente les différentes étapes de la chaîne d'acquisition et de traitement des données : Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  2. 2. Les données sont homogènes - Une série de données est réputée non homogène lorsque:  elle provient de la mesure d'un phénomène dont les caractéristiques évoluent durant la période de mesure; le phénomène est alors dit non-stationnaire (par exemple: variations climatiques, variations du régime des débits dues à une déforestation ou un reboisement). Il est également possible d'observer des signes d'une non stationnarité apparente lorsque l'électronique intégrée à l'équipement de mesure présente une dérive temporelle ou lors du changement de l'observateur.  elle reflète deux ou plusieurs phénomènes différents. Le régime d'une rivière à l'aval de la confluence de deux sous bassins dont le comportement hydrologique est très contrasté constitue un bon exemple de ce défaut d'homogénéité. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  3. 3. le test de Wilcoxon et le test de de Mann-Whitney non-paramétriques Pour cela on les appel des tests : Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  4. 4. 1-Test de Wilcoxon Nous formons le tableau suivant pour faciliter les calculs. On commence par diviser notre série pluviométrique en deux échantillons de longueurs respectives N1 = 10 valeurs et N2 = 14 valeurs (N = N1 + N2 = 10 + 14 = 24). Dans la première colonne on porte les dates des mesures de pluie, dans la seconde colonne on porte les données brutes, dans la troisième colonne on porte le premier échantillon X, dans la quatrième colonne on porte le deuxième échantillon Y, dans la cinquième et la sixième colonnes on porte respectivement les rangs et les valeurs classées de la série originale, dans la septième colonne l’origine de la valeur de la série, c’est à dire on note si elle provient de l’échantillon X ou de l’échantillon Y et dans la huitième colonne on inscrit le rang de la valeur qui provient de la série X. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  5. 5. On calcule ensuite les valeurs de : - Wx = ΣRang x - des deux bornes Wmax et Wmin, données par les formules suivantes: ( 1) 1 1 2 1 2 ( 1) 12 2 1 / 2 1 2 1 min         N N N N U N N N W max 1 2 1 min W  (N  N 1)N W représente la valeur de la variable centrée réduite de la loi normale correspondant à 1- α/ 2 (au seuil de 95 %, nous avons =1,96). 1/ 2 U 1/ 2 z On vérifie l’inégalité: on conclue que notre série est homogène Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  6. 6. 2- Test de Man-Whitney on divise notre échantillon en deux sous-ensembles de tailles respectives N1 et N2 avec: N1 < N2. x1, x2, ........................... xi...................................xN1 y1, y2, ............................ yi...................................xN2 La taille de l'échantillon original est N = N1+ N2. On classe ensuite nos valeurs par ordre croissant de 1 à N et l'on note les rangs R(xi) des éléments du premier sous-ensemble et R(yi) ceux des éléments du second sous-ensemble dans l'échantillon original. On définit K et S comme suit:퐾 = 퐿 − 푁1×(푁1+1) 2 et 푆 = 푁1 × 푁2 − 퐾 ; avec ; 퐿 c'est à dire la somme des rangs des éléments de l'échantillon 1 dans l'échantillon original. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  7. 7. K est la somme des nombres de dépassements de chaque élément du second échantillon par ceux du premier échantillon. S est la somme des nombres de dépassements des éléments du premier sous-ensemble (ou échantillon) par ceux du second. On montre que lorsque N > 20, N1 > 3 et N2 > 3; K et S sont distribués selon une loi normale ayant : - une moyenne égale à: 퐾 = 푆 = 푁1×푁2 2 - et un écart-type égal à: 푆푘= 푆푠 = 푁1×푁2 12 × (푁1 + 푁2 + 1) On peut alors tester l’hypothèse H0 que les deux sous-ensembles proviennent de la même population, au niveau de signification α, en comparant la grandeur: Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  8. 8. avec la variable normale centrée réduite ayant une probabilité de dépassement α /2. Si T < z1-α/2 on accepte H0 On forme le tableau suivant pour faciliter la compréhension : La colonne 1 donne les années. La colonne 2 donne les pluies dans l’ordre où elles ont été relevées. La colonne 3 indique les pluies triées par ordre croissant. La colonne 4 donne rangs des données triées. La colonne 5 donne les N1 valeurs de l'échantillon 1 la somme des éléments de cette colonne est égale à L La colonne 6 indique le rang de chaque valeur du sous-ensemble 1 dans l'échantillon original de N valeurs classées. La colonne 7 donne les N2 valeurs de l'échantillon 2. La colonne 8 donne le rang de chaque valeur du sous-ensemble 2 dans l'échantillon original de N valeurs classées. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  9. 9. La colonne 9 indique les valeurs du sous-ensemble 1 triées. La colonne 10 donne le nombre de fois que chaque élément du sous ensemble 1 est dépassé par les éléments du sous-ensemble 2, la somme des éléments de cette colonne est égale à S . La colonne 11 donne les valeurs du sous-ensemble 2 triées. La colonne 12, enfin, donne le nombre de fois que chaque élément du sous-ensemble 2 est dépassé par les éléments du sous-ensemble 1, la somme des valeurs de cette colonne est égale à K . On trouve : L , K et S ; les équations et le tableau donnent respectivement les mêmes valeurs pour K et L. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  10. 10. 퐾 = 푆 = 푁1×푁2 2 et 푆푘 = 푆푠 = 푁1×푁2 12 × 푁1 + 푁2 + 1 et 푇 = 퐾−퐾 푠푘 Pour  = 95 % on a =1,96 > T Ce qui veut dire qu’on peut accepter l’hypothèse H0 que les deux sous-ensembles proviennent de la même population et que notre série pluviométrique est homogène. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  11. 11. Exemple ** Vérifier l’homogénéité de la série des pluies annuelles de la station pluviométrique de l’Oued FODDA (série précédente) pour un risque de 5% en utilisant : le test de Wilcoxon, le test de Mann-Whitney Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  12. 12. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  13. 13. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  14. 14. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  15. 15. Méthode des doubles cumuls Elle permet de détecter la non-homogénéité d'une série de mesures et de la corriger. La méthode consiste à comparer les pluies (ou toute autre variable) cumulées d'une station B, à propos de laquelle on éprouve des doutes quant à son homogénéité, avec les pluies cumulées d'une station A dont les mesures sont jugées homogènes. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  16. 16. Application de la méthode à la série P1 : On commence donc par établir le tableau ci-dessous: Dans les trois premières colonnes on porte respectivement les années et les précipitations mesurées aux stations A et B. Dans les quatrième et cinquième colonnes on calcule les cumuls respectifs des pluies aux stations A et B. Ensuite on porte ces valeurs sur du papier millimétré, avec les valeurs de A en abscisses et les valeurs de B en ordonnées Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  17. 17. On voit sur le graphique que les points s’alignent sur un seul segment de droite, ce qui est interprété comme quoi la série B (P1) est homogène. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  18. 18. Application de la méthode à la série P2 : On commence donc par établir le tableau ci-dessous: Dans les trois premières colonnes on porte respectivement les années et les précipitations mesurées aux stations A et C. Dans les quatrième et cinquième colonnes on calcule les cumuls respectifs des pluies aux stations A et C. Ensuite on porte ces valeurs sur du papier millimétré, avec les valeurs de A en abscisses et les valeurs de C en ordonnées. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  19. 19. On voit sur le graphique que les points s’alignent sur deux segments de droite différents, c’est-à-dire qu’il y a une cassure sur la droite au cours de l’année 1979. On suppose que le déplacement (ou autre cause d'erreur) s'est produit en 1979. Les données mesurées après 1979 sont jugées bonnes et on ne doit corriger que les données précédentes (1979 à 1971). Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  20. 20. La décision de corriger ou non les données de l’année1979 est prise après une connaissance détaillée des circonstances de “ l’accident ” au cours de cette année. On calcule les pentes m1 du segment de droite qui contient les données de 1990 à 1979 ( D1) , et m2 du segment de droite qui contient les données de 1979 à 1971 (D2). Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  21. 21. 푚1 = 22 109 − 12 078 21 428 − 12 522 = 10 031 8 906 = 1,1263 푚2 = 12 078 − 764 12 522 − 806 = 11314 11716 = 0,9657 On calcule le rapport des pentes m2/m1 avec lequel on va multiplier les données des années 1979 à 1971 pour les corriger. 푚2 푚1 = 0.9657 1,1263 = 0,765 On porte ces valeurs sur la dernière colonne du tableau. Une fois ces données corrigées, on refait l’opération. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  22. 22. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  23. 23. L’on voit que les points s’alignent sur une droite sans cassure; notre série a donc été rendue homogène. Si l’on constate une autre cassure, on recommence l’opération. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  24. 24. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  25. 25. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement
  26. 26. Hydrologie urbain Contrôle et critique des données Assainissement

×