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Divisibilité dans Z
Soit a un entier et d un entier non nul.
On dit que d est diviseur de a ou a est divisible par d, s'il existe un entier q tel que a = dq .
Notation : ad ⇔ /Zq ∈∃ a = dq .
••••Si ad alors ad−
Soit a , b deux entiers non nuls et c un entier.
••••Si ba et ab alors a = b ou a = -b.
••••Si ba et cb alors ca
••••Si ba et ca alors ycxba + pour touts Zy,x ∈
Quotient et reste
Soit a et b deux entiers avec b non nul.
On appelle quotient de a par b l'entier q défini de la manière suivante :
••••q est le plus grand entier inférieur ou égale à
b
a
si b >0
••••q est le plus petit entier supérieur ou égale à
b
a
si b <0
••••On appelle reste de a par b l'entier r = a – bq
( ) br0etrbqa/NZr,q! <≤+=×∈∃
••••Le reste de tout entier n dans la division euclidienne par un entier non nul b est un élément de l'ensemble
{ }1b,...,2,1,0 −
Congruence modulo n
Définition et notation:
Soit n un entier naturel non nul et a et b deux entiers .
*)On dit que a est congru à b modulo n ( ou a et b sont congrus modulo n)si a – b est un multiple de n. On note
alors ( )nmodba ≡ ou [ ]nba ≡
*)Pour tout entier a, il existe un unique entier { }1n,...,1,0r −∈ tel que [ ]nra ≡ . On dit que r est le reste’ modulo
n de a .
Propriétés
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et *Nn ∈
[ ]⇔≡ nba ban −
[ ]⇔≡ nba [ ]nra ≡ et [ ]nrb ≡
[ ]naa ≡
Si [ ]nba ≡ alors [ ]nab ≡
Si [ ]nba ≡ et [ ]ncb ≡ alors [ ]nca ≡
Si [ ]nba ≡ et [ ]ndc ≡ alors [ ]ndbca +≡+ , [ ]nbdac ≡ , [ ]nhaha ≡ ( )Zh ∈ et [ ]nba kk
≡ ( )*
Nk ∈
Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier et a un entier naturel alors : aap p
−
Exemple : Montrer que, si 13
n13 alors n13 .
On a : 13 est un nombre premier alors nn13 13
− et d’autre part on a : 13
n13 alors ( )nn(n13 1313
−−
alors n13
PGCD et PPCM
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
1°)Le plus grand entier qui divise à la fois a et b s’appelle le plus grand commun diviseur ou PGCD de a et b.
On le note ba ∧ .
Formellement : bad ∧= si et seulement si




∈∀ dk,DDk
bdetad
ba ∩
Fiche de cours 4ème Maths
AritmetiquesAritmetiquesAritmetiquesAritmetiques
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** AliAliAliAli AKIRAKIRAKIRAKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
2°)La plus petit entier strictement positif qui est à la fois multiple de a er b s’appelle le plus petit commun
multiple ou PPCM de a et b. On le note ba ∨
Formellement : bam ∨= si et seulement si




∈∀ nm,MMn
mbetma
ba ∩
3°)Deux entiers relatifs non nul a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égale à 1.
Propriétés
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
• 0ba >∧
• baba ∧=∧
• Si ab alors bba =∧
• Si b ne divise pas a et si r est le reste modulo
b de a alors rbba ∧=∧ .
• abba ∧=∧
• Pour tout *Zk ∈ : ( )bakkbka ∧=∧
• ( ) ( ) cbacba ∧∧=∧∧ , *Zc ∈
• baba ∨=∨
• ( ) ( ) abbaba =∨×∧
• Si ab alors aba =∨
• Pour tout *Zk ∈ : ( )bakkbka ∨=∨
• abba ∨=∨
• ( ) ( ) cbacba ∨∨=∨∨ , *Zc ∈
Théorème
Soit a et b deux entiers non nuls. Alors il existe un unique couple d’entiers ( )'b,'a tel que
( ) 'abaa ∧= , ( ) 'bbab ∧= et 1'b'a =∧
Lemme de Gausse
Soit a, b et c trois entiers non nuls. Si


 =∧
bca
1ba
alors ca
Théorème
Soit a et b deux entiers non nuls et n un entier. Si




 =∧
nb
na
1ba
alors nab
Théorème (inverse modulo b)
Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que 2b ≥ et 1ba =∧ .
Alors il existe un unique entier non nul { }1b,...,1,0u −∈ tel que [ ]b1au ≡ .
On dit que u est inverse de a modulo b.
Identité de Bézout
Soit a et b deux entiers non nuls
*) 1ba =∧ si et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que 1bvau =+
*)Soit bad ∧= , alors il existe deux entiers u et v tels que dbvau =+
Equations de la forme : ax+ by = c.
Soit, a, b et c trois entiers et bad ∧= .
L’équation cbyax =+ admet des solutions dans ZZ × , si et seulement si d divise c.

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  • 1. 1 Divisibilité dans Z Soit a un entier et d un entier non nul. On dit que d est diviseur de a ou a est divisible par d, s'il existe un entier q tel que a = dq . Notation : ad ⇔ /Zq ∈∃ a = dq . ••••Si ad alors ad− Soit a , b deux entiers non nuls et c un entier. ••••Si ba et ab alors a = b ou a = -b. ••••Si ba et cb alors ca ••••Si ba et ca alors ycxba + pour touts Zy,x ∈ Quotient et reste Soit a et b deux entiers avec b non nul. On appelle quotient de a par b l'entier q défini de la manière suivante : ••••q est le plus grand entier inférieur ou égale à b a si b >0 ••••q est le plus petit entier supérieur ou égale à b a si b <0 ••••On appelle reste de a par b l'entier r = a – bq ( ) br0etrbqa/NZr,q! <≤+=×∈∃ ••••Le reste de tout entier n dans la division euclidienne par un entier non nul b est un élément de l'ensemble { }1b,...,2,1,0 − Congruence modulo n Définition et notation: Soit n un entier naturel non nul et a et b deux entiers . *)On dit que a est congru à b modulo n ( ou a et b sont congrus modulo n)si a – b est un multiple de n. On note alors ( )nmodba ≡ ou [ ]nba ≡ *)Pour tout entier a, il existe un unique entier { }1n,...,1,0r −∈ tel que [ ]nra ≡ . On dit que r est le reste’ modulo n de a . Propriétés Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et *Nn ∈ [ ]⇔≡ nba ban − [ ]⇔≡ nba [ ]nra ≡ et [ ]nrb ≡ [ ]naa ≡ Si [ ]nba ≡ alors [ ]nab ≡ Si [ ]nba ≡ et [ ]ncb ≡ alors [ ]nca ≡ Si [ ]nba ≡ et [ ]ndc ≡ alors [ ]ndbca +≡+ , [ ]nbdac ≡ , [ ]nhaha ≡ ( )Zh ∈ et [ ]nba kk ≡ ( )* Nk ∈ Petit théorème de Fermat Soit p un nombre premier et a un entier naturel alors : aap p − Exemple : Montrer que, si 13 n13 alors n13 . On a : 13 est un nombre premier alors nn13 13 − et d’autre part on a : 13 n13 alors ( )nn(n13 1313 −− alors n13 PGCD et PPCM Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. 1°)Le plus grand entier qui divise à la fois a et b s’appelle le plus grand commun diviseur ou PGCD de a et b. On le note ba ∧ . Formellement : bad ∧= si et seulement si     ∈∀ dk,DDk bdetad ba ∩ Fiche de cours 4ème Maths AritmetiquesAritmetiquesAritmetiquesAritmetiques Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** AliAliAliAli AKIRAKIRAKIRAKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  • 2. 2 2°)La plus petit entier strictement positif qui est à la fois multiple de a er b s’appelle le plus petit commun multiple ou PPCM de a et b. On le note ba ∨ Formellement : bam ∨= si et seulement si     ∈∀ nm,MMn mbetma ba ∩ 3°)Deux entiers relatifs non nul a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égale à 1. Propriétés Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. • 0ba >∧ • baba ∧=∧ • Si ab alors bba =∧ • Si b ne divise pas a et si r est le reste modulo b de a alors rbba ∧=∧ . • abba ∧=∧ • Pour tout *Zk ∈ : ( )bakkbka ∧=∧ • ( ) ( ) cbacba ∧∧=∧∧ , *Zc ∈ • baba ∨=∨ • ( ) ( ) abbaba =∨×∧ • Si ab alors aba =∨ • Pour tout *Zk ∈ : ( )bakkbka ∨=∨ • abba ∨=∨ • ( ) ( ) cbacba ∨∨=∨∨ , *Zc ∈ Théorème Soit a et b deux entiers non nuls. Alors il existe un unique couple d’entiers ( )'b,'a tel que ( ) 'abaa ∧= , ( ) 'bbab ∧= et 1'b'a =∧ Lemme de Gausse Soit a, b et c trois entiers non nuls. Si    =∧ bca 1ba alors ca Théorème Soit a et b deux entiers non nuls et n un entier. Si      =∧ nb na 1ba alors nab Théorème (inverse modulo b) Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que 2b ≥ et 1ba =∧ . Alors il existe un unique entier non nul { }1b,...,1,0u −∈ tel que [ ]b1au ≡ . On dit que u est inverse de a modulo b. Identité de Bézout Soit a et b deux entiers non nuls *) 1ba =∧ si et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que 1bvau =+ *)Soit bad ∧= , alors il existe deux entiers u et v tels que dbvau =+ Equations de la forme : ax+ by = c. Soit, a, b et c trois entiers et bad ∧= . L’équation cbyax =+ admet des solutions dans ZZ × , si et seulement si d divise c.