1. 1
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct ( )v,u;O
Propriétés : Soit M un point d'affixe Rb,a,ibaz ∈+=
( )
2
zz
zRea
+
== ( )
i2
zz
zImb
−
== ( ) ( )22
zImzRez +=
( ) ( ) 0zImzRe0z ==⇔= 0z0z =⇔= 2
zzz =× , 2
z
z
z
1
= , ∗
∈Cz
( ) zz0zImRz =⇔=⇔∈ ( ) zz0zReiRz −=⇔=⇔∈ AB zzAB −=
AB zzABAff −=




 →
2
zz
zB*AI BA
I
+
=⇔= ( )=+ vbuaAff ( )+uaAff ( )vbAff
[ ]( )π2OM,u)zarg( = , ∗
∈Cz azouaza²z:Ra −==⇔=∈ +
aizouaiza²z:Ra −==⇔=∈ −
( ) [ ]π2
zz
zz
argCD,AB
AB
CD






−
−
≡
Propriétés : Pour tous nombres complexes z et z' et tout entier n on a :
( )
( )
( )
( ) ( )0'z,
'z
z
'z
z
0z,
z
1
z
1
0z,
z
1
z
1
zz'z.z'zz'zz'zz
nn
nn
≠=





≠=





≠=





==+=+
( ) ( ) 'zz'zz0z,
z
1
z
1
0z,
z
1
z
1
²zzzzz'zz'zz
nn
nn
+≤+≠=≠=
==×=
Forme cartésien – Forme trigonométriques
θθ sinrb,cosra ==
ibaz
cartésienForme
+= ( ) 0r,sinicosrz
riquestrigonométForme
>+= θθ
r
b
sin,
r
a
cos,²b²azr ==+== θθ
Pour tous nombres complexes z et z' non nuls d'écriture trigonométriques :
[ ] ( )θθθ sinicosr,rz +== et [ ] ( )'sini'cos'r','r'z θθθ +==
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] Zn,n,rz',
'r
r
'z
z
,
r
1
z
1
','rr'zz
0k,,krkz0k,,krkz,rz,rz
nn
∈=





−=





−=+=
<+−=>=+=−−=
θθθθθθ
θπθθπθ
Forme exponentielle
Pour tout réel θ , on note θi
e le nombre complexe θθ sinicos + .
ieie1e1e 2
i
2
i
i0i
−==−==
−
ππ
π
)(iiiii)k2(ii
eeeeee1e θπθθθθπθθ +−+
=−===
( ) Zn,eee
e
e
e
e
1
ee.e inni)'(i
'i
i
i
i
)'(i'ii
∈==== +−+ θθθθ
θ
θ
θ
θ
θθθθ
Fiche de cours 4ème Maths
Nombres complexesNombres complexesNombres complexesNombres complexes
MMMMaths au lyceeaths au lyceeaths au lyceeaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/

2. 2
Formule de Moivre
Pour tout réel φ et tout entier n , on a : ( ) φφφφ nsinincossinicos
n
+=+
Formule d’Euler
2
ee
cos
ii φφ
φ
−
+
= et
i2
ee
sin
ii φφ
φ
−
−
=
Racines nièmes
Soit a un nombre complexe non nul et *Nn ∈ tel que [ ]θ,ra = .
L’équation azn
= admet dans C, n solutions distinctes définis par





 +
= n
k2
i
n
1
k erz
πθ
, { }1n,...,1,0k −∈
Conséquences :
Les points images des racines nièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle
trigonométrique.
Théorème
Soit a un nombre complexe non nul d’argument φ . L’équation z² = a admet dans C deux solutions opposées :
z1 = 





+
2
sini
2
cosa
φφ
et z2 = - 





+
2
sini
2
cosa
φφ
Ces solutions sont appelées racines carrées du nombre complexe a .
Théorème
L’équation az² + bz + c = 0 ( a , b et complexes et a non nul) admet deux solutions dans C :
a2
b
z1
σ+−
= et
a2
b
z2
σ−−
= où ac4²b∆ −= et σ est une racine carrée de ∆
a
c
zz
a
b
zz)zz)(zz(acbz²az 212121 =−=+−−=++
A retenir : Soit Rb,a,iba²z ∈+= , avec iyxz += alors on a





=
+=+
=−
bxy2
²b²a²y²x
a²y²x
Théorème
Soit n10 a,...,a,a des nombres complexes tels que 0an ≠ , 2n ≥ .
Soit 01
1n
1n
n
n aza...zaza)z(P ++++= −
− .
Si 0z est un zéro de P, alors )z(g)zz()z(P 0−= , où g(z) est se la forme 0
2n
2n
1n
n b...zbza +++ −
−
−
, avec
2n10 b,...,b,b − complexes.