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Cours suites réelles

bac math tun

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Théorème
Soit a un réel fini ou infinie
aulim n
n
=
+∞→
, si et seulement si, aulim n2
n
=
+∞→
et aulim 1n2
n
=+
+∞→
Théorème
Toute suite convergente est bornée.
Théorème
Soit ℓ et 'ℓ deux réels.
Soient )u( n et )v( n deux suites convergentes respectivement vers ℓ et 'ℓ .
• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : 0un ≥ , alors 0≥ℓ
• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : 0un ≤ , alors 0≤ℓ
• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : Mum n ≤≤ , alors Mm ≤≤ ℓ
• S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : nn vu ≤ , alors 'ℓℓ ≤
Convergence et divergence
• Si



croissanteest)u(
majoréeest)u(
alors (u) est convergente vers un réel ℓ et pour tout n de I : ℓ≤nu
• Si



tedécroissanest)u(
oréeminest)u(
alors (u) est convergente vers un réel ℓ et pour tout n de I : ℓ≥nu
• Si




majoréenonest)u(
croissanteest)u(
alors +∞=
+∞→
n
n
ulim
• Si

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

oréeminnonest)u(
tedécroissanest)u(
alors −∞=
+∞→
n
n
ulim
Calcul de limite
• Si



ℓ
ℓ
encontinueestf
verseconvergentest)u(
alors ( ) )(fuflim n
n
ℓ=
+∞→
• Si




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+∞→
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n
n
n
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alors ( ) euflim n
n
=
+∞→
Soit (u) la suite définie par ( )n1n ufu =+
• Si



ℓ
ℓ
encontinueestf
verseconvergentest)u(
alors )(f ℓℓ =
Suite adjacente
• Si
( )





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≤∈∀
+∞→
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tedécroissanest)v(etcroissanteest)u(
vuIn
nn
n
nn
nn
alors )u( n et )v( n convergent vers le même
limite
Théorème d’encadrement
• Si




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≤≤≥∈∃
+∞→+∞→
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n
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alors ℓ=
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n
n
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• Si
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≤≥∈∃
+∞→
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n
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=
∞→
Fiche de cours 4ème Maths
Suites rSuites rSuites rSuites reeeeelleselleselleselles
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
• Si
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

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+∞→
n
n
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alors +∞=
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• Si
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n
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Suite arithmétique – Suite géométrique
( ) ( )
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∑
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
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***g.segéométriquSuite******a.suearithmétiqSuite***

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  • 1. 1 Théorème Soit a un réel fini ou infinie aulim n n = +∞→ , si et seulement si, aulim n2 n = +∞→ et aulim 1n2 n =+ +∞→ Théorème Toute suite convergente est bornée. Théorème Soit ℓ et 'ℓ deux réels. Soient )u( n et )v( n deux suites convergentes respectivement vers ℓ et 'ℓ . • S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : 0un ≥ , alors 0≥ℓ • S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : 0un ≤ , alors 0≤ℓ • S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : Mum n ≤≤ , alors Mm ≤≤ ℓ • S’il existe un entier 0n tel que, pour tout 0nn ≥ : nn vu ≤ , alors 'ℓℓ ≤ Convergence et divergence • Si    croissanteest)u( majoréeest)u( alors (u) est convergente vers un réel ℓ et pour tout n de I : ℓ≤nu • Si    tedécroissanest)u( oréeminest)u( alors (u) est convergente vers un réel ℓ et pour tout n de I : ℓ≥nu • Si     majoréenonest)u( croissanteest)u( alors +∞= +∞→ n n ulim • Si     oréeminnonest)u( tedécroissanest)u( alors −∞= +∞→ n n ulim Calcul de limite • Si    ℓ ℓ encontinueestf verseconvergentest)u( alors ( ) )(fuflim n n ℓ= +∞→ • Si     = = → +∞→ e)x(flim )iniinfoufini(ulim n n n ℓ ℓℓ alors ( ) euflim n n = +∞→ Soit (u) la suite définie par ( )n1n ufu =+ • Si    ℓ ℓ encontinueestf verseconvergentest)u( alors )(f ℓℓ = Suite adjacente • Si ( )      =− ≤∈∀ +∞→ 0vulim tedécroissanest)v(etcroissanteest)u( vuIn nn n nn nn alors )u( n et )v( n convergent vers le même limite Théorème d’encadrement • Si     == ≤≤≥∈∃ +∞→+∞→ ℓn n n n nnn00 wlimvlim wuv:nn/Nn alors ℓ= ∞→ n n ulim • Si     = ≤≥∈∃ +∞→ 0vlim vu:nn/Nn n n nn00 alors 0ulim n n = ∞→ Fiche de cours 4ème Maths Suites rSuites rSuites rSuites reeeeelleselleselleselles Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  • 2. 2 • Si     +∞= ≥≥∈∃ +∞→ n n nn00 wlim wu:nn/Nn alors +∞= ∞→ n n ulim • Si     −∞= ≤≥∈∃ +∞→ n n nn00 vlim vu:nn/Nn alors −∞= ∞→ n n ulim Suite arithmétique – Suite géométrique ( ) ( ) { } ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = + + + = + = = = = + +∞→ +∞→ +∞→ − ++ − − =+++=• − − =+++=• −∈ ++− =+++=• ++ =+++=• + =+++=• +=+++=•        −≤ >∞+ = <<− =      = +∞= ⇒≠⇒−≠− =−+= =+= =+= n pk 1np n1ppk 1n n1 n 0k k * np n1pp n pk k n 0k n0 n10k n 0k n 0k xfois1n n n n n 0 1 1 2 0112 sp spsp n 0n0n n1nn1n q1 qq q...qqq q1 q1 q...q1q 1Rqtoutpour 2 )uu)(1pn( u...uuu 2 )uu)(1n( u...uuu 2 )1n(n n...21k x)1n(x...xxx 1qsipasexiste'n 1qsi 1qsi1 1q1si0 qlim 0 n 1 lim nlim g.snonv v v v v a.snonuuuuu qvvr)sp(uu qvvnruu qvvruu ***g.segéométriquSuite******a.suearithmétiqSuite***