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Espace
M : Zribi
4 ème Maths Fiche
1
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l’espace est muni d’un repère orthonormé direct  ; ,O i j .
Points coplanaires :
Soit
' ''
; ' ''
' ''
a a a
u b v b et w b
c c c
     
     
     
     
     
trois vecteurs de l’espace.
det( , , )u V w =a(b’c’’-b’’c’)-a’(bc’’-b’’c)+a’’(bc’-b’c).
Conséquences :
Les points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si det( , , )AB AC AD =0.
Exemple
On considère les points A(1,1,0) ; B(-1,2,1) ; C(0 ;1 ;2) et D(2,0,1).
ABCD est il un tétraèdre ?
 
2 1 1
1 ; 0 1 ; det , , 2(0 ( 2)) ( 1)(1 ( 1) 1(2 0) 0
1 2 1
AB AC et AD AB AC AD
      
     
                
     
     
donc A,B,C et D sont coplanaires ; alors ABCD n’est pas un tétraèdre.
Produit scalaire dans l’espace :

a a'
U b .V b' aa' bb' cc'
c c'
   
   
     
   
   
0U.V U V   AB.CD BA.CD 
  AB.AC AB AC cos BAC AB.AH    (H le projeté orthogonale de C sur (AB))
 0U.V U V U.V U V    
 2 2 2
a
U b U a b c
c
 
 
    
 
 
L.S.Marsa Elriadh
Espace
M : Zribi
4 ème Maths Fiche
2
El Amine
Produit vectorielle :
Soit
'
' ' '
; ' ; ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' )
' ' '
'
a a
b b a a a a
u b v b u v i j i bc b c i ac a c j ab a b k
c c c c b b
c c
   
   
            
   
   
.
Remarque :
0si u et v sont colinéaires alors u v  .
Exemple :
soit les points A(0,0,3) ; B(1,1,0) et C(3,0,0); déterminer AB AC .
1 3
1 0 1 3 1 3
1 ; 0 ; ( 3 0) ( 3 ( 9)) (0 3)
3 3 3 3 1 0
3 3
3 6 3
AB V AB AC i j i i j k
i j k
   
   
                          
   
Aires et volumes :
 l’aire d’un parallélogramme ABCD est égale à AB AD .
 l’aire d’un triangle ABD est égale à 1
2
AB AD .
Exemple :
soit les points A(0,0,3) ; B(1,1,0) et C(3,0,0); calculer l’aire du triangle ABC.
' 3 6 3 ( 3)² ( 6)² ( 3)² 54 3 6l aire AB AC i j k              .
 le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est égal à
   . | det , , |AB AD AE AB AD AE  .
 le volume d’un tétraèdre ABCD est égal à    1 1
. det , ,
6 6
AB AC AD AB AC AD 
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soit les points A(0,0,3) ; B(1,1,0) C(3,0,0) et D(0,3,0); calculer le volume du
tétraèdre ABCD.
 1
.
6
3 0
3 6 3 ; 6 3 . ( 3).0 ( 6).3 ( 3).( 3) 9
3 3
1 3
9
6 2
V AB AC AD
u AB AC i j k u AD donc u AD
ainsi V
 
   
   
                  
       
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Espace

  • 1. L.S.Marsa Elriadh Espace M : Zribi 4 ème Maths Fiche 1 El Amine l’espace est muni d’un repère orthonormé direct  ; ,O i j . Points coplanaires : Soit ' '' ; ' '' ' '' a a a u b v b et w b c c c                               trois vecteurs de l’espace. det( , , )u V w =a(b’c’’-b’’c’)-a’(bc’’-b’’c)+a’’(bc’-b’c). Conséquences : Les points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si det( , , )AB AC AD =0. Exemple On considère les points A(1,1,0) ; B(-1,2,1) ; C(0 ;1 ;2) et D(2,0,1). ABCD est il un tétraèdre ?   2 1 1 1 ; 0 1 ; det , , 2(0 ( 2)) ( 1)(1 ( 1) 1(2 0) 0 1 2 1 AB AC et AD AB AC AD                                           donc A,B,C et D sont coplanaires ; alors ABCD n’est pas un tétraèdre. Produit scalaire dans l’espace :  a a' U b .V b' aa' bb' cc' c c'                       0U.V U V   AB.CD BA.CD    AB.AC AB AC cos BAC AB.AH    (H le projeté orthogonale de C sur (AB))  0U.V U V U.V U V      2 2 2 a U b U a b c c             
  • 2. L.S.Marsa Elriadh Espace M : Zribi 4 ème Maths Fiche 2 El Amine Produit vectorielle : Soit ' ' ' ' ; ' ; ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' ) ' ' ' ' a a b b a a a a u b v b u v i j i bc b c i ac a c j ab a b k c c c c b b c c                              . Remarque : 0si u et v sont colinéaires alors u v  . Exemple : soit les points A(0,0,3) ; B(1,1,0) et C(3,0,0); déterminer AB AC . 1 3 1 0 1 3 1 3 1 ; 0 ; ( 3 0) ( 3 ( 9)) (0 3) 3 3 3 3 1 0 3 3 3 6 3 AB V AB AC i j i i j k i j k                                        Aires et volumes :  l’aire d’un parallélogramme ABCD est égale à AB AD .  l’aire d’un triangle ABD est égale à 1 2 AB AD . Exemple : soit les points A(0,0,3) ; B(1,1,0) et C(3,0,0); calculer l’aire du triangle ABC. ' 3 6 3 ( 3)² ( 6)² ( 3)² 54 3 6l aire AB AC i j k              .  le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est égal à    . | det , , |AB AD AE AB AD AE  .  le volume d’un tétraèdre ABCD est égal à    1 1 . det , , 6 6 AB AC AD AB AC AD 
  • 3. L.S.Marsa Elriadh Espace M : Zribi 4 ème Maths Fiche 3 El Amine Exemple : soit les points A(0,0,3) ; B(1,1,0) C(3,0,0) et D(0,3,0); calculer le volume du tétraèdre ABCD.  1 . 6 3 0 3 6 3 ; 6 3 . ( 3).0 ( 6).3 ( 3).( 3) 9 3 3 1 3 9 6 2 V AB AC AD u AB AC i j k u AD donc u AD ainsi V                                        