SlideShare une entreprise Scribd logo
1
EXERCICE N°1
Calculer les limites suivantes :
²xx1
x3²x1
lim
x −+
+−
+∞→
;
²x2x1
²xx2
lim
1x −+
+−
→
;
1x
x32²x
lim
1x −
−+
→
; ( )x2x3²xlim
x
−+
+∞→
; ( )xx3²xlim
x
−+
+∞→
;
( )xx3²xlim
x
−+
−∞→
; ( )1x3x3²xlim
x
+−+
+∞→
;
36x
3x
lim
3x −+
−
→
;
22x
37x
lim
2x −+
−+
→
;
ax
xaax
lim
nn
ax −
−
→
( )*
NR)n,a( ×∈ ; ( )





++++−
−−∞→
n
nx
x...²xx1
x1
1
x
1
lim ,
*
Nn∈ ; ( )x²xx²xlim
x
−−+
+∞→
; 





−
−
+∞→ 2x3
1x2
coslim
x
π
;
x
1xcos
lim
0x
−
→
;
9²x
3x3x
lim
3x −
−+−
→
,








−+
→
2
x
1
4xlim
0x
,
x
2xsin4
lim
0x
−+
→
.
EXERCICE N°2
Calculer les limites suivantes quand elles existent :
)x2cos(
)xtan(1
lim
4
x
−
→
π
;
3)x²(sin4
1)xcos(2
lim
3
x −
−
→
π
; 





−
→ xtan
1
x2sin
2
lim
x π
;
x3cos1
x3sin
lim
0x −→
( ) 





−−
→ 2
x
tan11xtanlim
2
x
π
;
1x²cosxsin
x²cosxsin1
lim
2
x −+
+−
→
π
; xtan
2
x
sin
2
x
coslim
2
x






−
→
π
;
( ) 





−
−→ x²sin
1
xcos12
1
lim
0x
, ( ) a2
x
tan.xa
ax
lim 22 π
−
→
EXERCICE N°3
On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) =
3 x + sin x
x − 1
.
Montrer que , pour tout x ≥ 2 , |f(x) − 3| ≤
4
x − 1
. En déduire la limite de f en + ∞
EXERCICE N°4
La fonction f est définie sur IR par : f (x) =
1
2 – cos x
.
1°)) Montrer que, pour tout réel x,
1
3
≤ f (x) ≤ 1 .
b) En déduire les limites suivantes : lim
x → +∞
1
x (2 – cos x)
; lim
x → –∞
x2 + 1
2 – cos x
et lim
x → 0
1
x2 (2 – cos x)
EXERCICE N°5
Soit la fonction xsin2x3x:f +֏
1°)a-Montrer que pour tout x de R : 2x3)x(f2x3 +≤≤−
b-En déduire )x(flim
x −∞→
et )x(flim
x +∞→
2°)Soit la fonction g défini sur R par :






=
≠
=
0xsi
5
1
0xsi
)x(f
x
)x(g
a- Montrer que g est continue en 0.
b- Montrer que pour tout 





+∞∈ ,
3
2
x :
2x3
x
)x(g
2x3
x
−
≤≤
+
c- En déduire )x(glim
x +∞→
. Interprète géométriquement le résultat.
EXERCICE N°6
Soit la fonction ϕ définie sur [0 ; + ∞[ par : ϕ(x) =
x + cos x
x2 +1
Séries d’exercices 4ème Maths
Continuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limites
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
1°)Montrer que, pour x > 1,
x − 1
x2 + 1
≤ ϕ(x) ≤
x + 1
x2 + 1
2°) En déduire la limite de ϕ en + ∞ .
EXERCICE N°7
Soit la fonction f définie sur 





+∞− ,
2
1
par :
1x2
xcosx
)x(f
+
+−
=
1°)Démontrer que pour tout
2
1
x −> on a :
1x2
1x
)x(f
1x2
1x
+
+−
≤≤
+
−−
2°) En déduire la limite de f en + ∞ .
EXERCICE N°8
Soit f la fonction définie sur R par :
1²x
2
1x)x(f
+
+−= .
On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé
Calculer )x(flim
x +∞→
,
x
)x(f
lim
x +∞→
. Interpréter graphiquement
EXERCICE N°9
On désigne par ζ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Soit
²x1
x
1x:f
n
+
+֏ avec *
Nn∈ . Etudier suivant n )x(flim n
x +∞→
,
x
)x(f
lim n
x +∞→
. Interpréter graphiquement
EXERCICE N°10
Soit la fonction f définie par





=++
≠
−
−+
=
1xsi1pxx2
1xsi
1²x
xm23²xm
)x(f
3
Déterminer m et p pour que f soit continue sur R.
EXERCICE N°11
On considère la fonction f définie par :
] ] { } [ [
] [ ] [




∪−∈
−−
+∞∪∪−∞−∈−−
=
1,00,1xsi
x
1²x1
,101,xsiaxx²x
)x(f
1°)Etudier la continuité de f en 0.
2°)Etudier suivant a la continuité de f en 1 et -1.
3°)Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles f est continue sur R.
EXERCICE N°12
Soit la fonction f définie par
5x²x7x
23²x
)x(f 3
++−
−+
= si { }1Rx −∈ et f(1)=a.
1°) Déterminer le domaine de définition Df de f.
2°)Déterminer le réel a pour que f soit continue en 1.
EXERCICE N°13
Soit la fonction f définie par :
( )2
1x
1xxx
)x(f
−
−−−
=
1°)Déterminer le domaine de définition Df de f.
2°)Peut-on parler de limite en 0 pour f ? Justifier.
3°)Déterminer le domaine de continuité Dc de f .
4°)Calculer )x(flim
1x +
→
et )x(flim
x +∞→
.
EXERCICE N°14
Calculer les limites suivantes quand elles existent :






→ x
1
sinxlim
0x
; 





→ x
1
Exlim
0x
;
x
x
1
E
x
x
1
E
lim
0x
+





−





→
;
x
2008
x
E
lim
x






+∞→
;
)xsin(²x
3)x(xE
lim
x +
+
+∞→
;
xsin2
xsinx
lim
x −
+
+∞→
;
3
( )
1²x
xsin1x
lim
x −
+
+∞→
; 





−
→ xsin
1
x
1
sinxlim
0x
;
xx
3
x
1
sin
x
1
²cos2
lim
0x +
+−
→
.
EXERCICE N°15
Répondre par Vrai ou Faux.
1°)Si +∞=
→
)x(flim
ax
, +∞=
→
)x(glim
ax
et si, pour tout réel x, f(x) > g(x), alors [ ] +∞=−
→
)x(g)x(flim
ax
2°)Si +∞=
→
)x(flim
ax
et si g(x)< 0 pour tout x, alors −∞=
→
)x(g)x(flim
ax
.
3°)Si 0)x(flim
ax
=
→
, alors soit +∞=
→ )x(f
1
lim
ax
, soit −∞=
→ )x(f
1
lim
ax
.
EXERCICE N°16
On admet l’existence d’une limite réelle en 0 pour 3
x
x)xsin(
)x(f
−
=
1°) En transformant convenablement f(2x), trouver la valeur de cette limite.
2°) Utiliser le résultat précédent pour déterminer : 30x x
x)xtan(
lim
−
→
et 40x x
2
²x
)xcos(1
lim
−−
→
EXERCICE N°17
Calculer
( )24x 4x16
24x.23xx16
lim
−
−−−
→
EXERCICE N°18
1°)Démontrer que l’équation : x3 + x -3 = 0 admet une unique solution a ] [2;1∈
2°) Donner une valeur approchée par défaut de cette α à 1
10−
près .
EXERCICE N°19
Démontrer que l’équation : x4 + x3 – x +1 = 0 n’a pas de solutions sur R .
EXERCICE N°20
Montrer que l’équation x3 – 5x2 + 4x + 7 = 0 admet au moins une racine réelle. Plus généralement, montrer que
toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle. Qu’en est-il si le degré est pair ?
EXERCICE N°21
1°)Soit [ ] [ ]1,01,0:f → une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au moins une solution
sur[ ]1,0 .
2°)Plus générale : Soit [ ] [ ]b,aJb,a:f ⊂→ une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au
moins une solution sur[ ]b,a
3°)Soit une fonction [ ] Rb,a:f → continue, et βα, des réels strictement positifs.
Montrer qu’il existe [ ]b,ac ∈ tel que : ( ) ( ) ( ) ( )cfbfaf βαβα +=+
EXERCICE N°22
Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que ∀ x ≠y : yxk)y(f)x(f −<− avec 0 < k < 1
Montrer que l’équation f(x)=x admet alors toujours une et une seule solution sur [a, b]
EXERCICE N°22
Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) )x(fx2f = .
EXERCICE N°23
Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) .xcos)x(fx2f =

Contenu connexe

Tendances

Cours droit des affaires
Cours droit des affaires Cours droit des affaires
Cours droit des affaires
Sami Oublal
 
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamelExercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Kamel Djeddi
 
Oulhaj droit commercial
Oulhaj droit commercialOulhaj droit commercial
Oulhaj droit commercial
oulhadjbadia
 
Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows Transparents
Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows   TransparentsChap 1 Valeur Argent Et Cash Flows   Transparents
Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows Transparents
Louis Pinto
 
Le transport des marchandises par mers par Bâ Mamadou Mohamed
Le transport des marchandises par mers par Bâ Mamadou MohamedLe transport des marchandises par mers par Bâ Mamadou Mohamed
Le transport des marchandises par mers par Bâ Mamadou Mohamed
Mamadou Ba
 
Rapport de stage COLAINORD - Les contrôles en comptabilité
Rapport de stage COLAINORD - Les contrôles en comptabilité Rapport de stage COLAINORD - Les contrôles en comptabilité
Rapport de stage COLAINORD - Les contrôles en comptabilité
Med Achahbar
 
Support de cours Droit ENCG.pdf
Support de cours Droit ENCG.pdfSupport de cours Droit ENCG.pdf
Support de cours Droit ENCG.pdf
KARI186244
 
METHODES DE PERT ET GANT
METHODES DE PERT ET GANT METHODES DE PERT ET GANT
METHODES DE PERT ET GANT
BaraateEchchouyakh
 
Abus de droit fiscal par Zahir Meghaoui Conseil Fiscal
Abus de droit fiscal par Zahir Meghaoui Conseil FiscalAbus de droit fiscal par Zahir Meghaoui Conseil Fiscal
Abus de droit fiscal par Zahir Meghaoui Conseil Fiscal
ZahirMEGHAOUI1
 
Résumé de théorie et Diagnostic financier et Guide de travaux pratiques
Résumé de théorie et Diagnostic financier et Guide de travaux pratiquesRésumé de théorie et Diagnostic financier et Guide de travaux pratiques
Résumé de théorie et Diagnostic financier et Guide de travaux pratiques
Jamal Yasser
 
Distribution des dividendes
Distribution des dividendesDistribution des dividendes
Distribution des dividendes
ayoub youssfi
 
Contrat de-transport-maritime-international
Contrat de-transport-maritime-internationalContrat de-transport-maritime-international
Contrat de-transport-maritime-international
Rabah HELAL
 
recherche operationnelle
recherche operationnelle recherche operationnelle
recherche operationnelle
mohamednacim
 
Comptabilite bancaire
Comptabilite bancaireComptabilite bancaire
Comptabilite bancaire
djamel mazouzi
 
Derives et primitives
Derives et primitivesDerives et primitives
Derives et primitives
Cindy Lopez
 
Comptabilité des sociétés semestre 4
Comptabilité des sociétés semestre 4Comptabilité des sociétés semestre 4
Comptabilité des sociétés semestre 4
Jamal Yasser
 
la création d'entreprise
la création d'entreprisela création d'entreprise
la création d'entreprise
noureddine amerouane
 
ANALYSE-FINANCIER
ANALYSE-FINANCIERANALYSE-FINANCIER
ANALYSE-FINANCIER
MbarkaAadi
 
Cours gestion de la production Pr Falloul
Cours gestion de la production Pr FalloulCours gestion de la production Pr Falloul
Cours gestion de la production Pr Falloul
Professeur Falloul
 
Corrige access
Corrige accessCorrige access
Corrige access
HamzaBraimi1
 

Tendances (20)

Cours droit des affaires
Cours droit des affaires Cours droit des affaires
Cours droit des affaires
 
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamelExercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
 
Oulhaj droit commercial
Oulhaj droit commercialOulhaj droit commercial
Oulhaj droit commercial
 
Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows Transparents
Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows   TransparentsChap 1 Valeur Argent Et Cash Flows   Transparents
Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows Transparents
 
Le transport des marchandises par mers par Bâ Mamadou Mohamed
Le transport des marchandises par mers par Bâ Mamadou MohamedLe transport des marchandises par mers par Bâ Mamadou Mohamed
Le transport des marchandises par mers par Bâ Mamadou Mohamed
 
Rapport de stage COLAINORD - Les contrôles en comptabilité
Rapport de stage COLAINORD - Les contrôles en comptabilité Rapport de stage COLAINORD - Les contrôles en comptabilité
Rapport de stage COLAINORD - Les contrôles en comptabilité
 
Support de cours Droit ENCG.pdf
Support de cours Droit ENCG.pdfSupport de cours Droit ENCG.pdf
Support de cours Droit ENCG.pdf
 
METHODES DE PERT ET GANT
METHODES DE PERT ET GANT METHODES DE PERT ET GANT
METHODES DE PERT ET GANT
 
Abus de droit fiscal par Zahir Meghaoui Conseil Fiscal
Abus de droit fiscal par Zahir Meghaoui Conseil FiscalAbus de droit fiscal par Zahir Meghaoui Conseil Fiscal
Abus de droit fiscal par Zahir Meghaoui Conseil Fiscal
 
Résumé de théorie et Diagnostic financier et Guide de travaux pratiques
Résumé de théorie et Diagnostic financier et Guide de travaux pratiquesRésumé de théorie et Diagnostic financier et Guide de travaux pratiques
Résumé de théorie et Diagnostic financier et Guide de travaux pratiques
 
Distribution des dividendes
Distribution des dividendesDistribution des dividendes
Distribution des dividendes
 
Contrat de-transport-maritime-international
Contrat de-transport-maritime-internationalContrat de-transport-maritime-international
Contrat de-transport-maritime-international
 
recherche operationnelle
recherche operationnelle recherche operationnelle
recherche operationnelle
 
Comptabilite bancaire
Comptabilite bancaireComptabilite bancaire
Comptabilite bancaire
 
Derives et primitives
Derives et primitivesDerives et primitives
Derives et primitives
 
Comptabilité des sociétés semestre 4
Comptabilité des sociétés semestre 4Comptabilité des sociétés semestre 4
Comptabilité des sociétés semestre 4
 
la création d'entreprise
la création d'entreprisela création d'entreprise
la création d'entreprise
 
ANALYSE-FINANCIER
ANALYSE-FINANCIERANALYSE-FINANCIER
ANALYSE-FINANCIER
 
Cours gestion de la production Pr Falloul
Cours gestion de la production Pr FalloulCours gestion de la production Pr Falloul
Cours gestion de la production Pr Falloul
 
Corrige access
Corrige accessCorrige access
Corrige access
 

Similaire à Exercice continuité et limites

Exercice fonctions réciproques
Exercice fonctions réciproquesExercice fonctions réciproques
Exercice fonctions réciproques
Yessin Abdelhedi
 
05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle
wanderful hyppolite
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
Raed Ammar
 
M1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdfM1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdf
DurelDonfack
 
Cours continuité et limites
Cours continuité et limitesCours continuité et limites
Cours continuité et limites
Yessin Abdelhedi
 
sol_TD4.pdf
sol_TD4.pdfsol_TD4.pdf
sol_TD4.pdf
ImaneAitSalem2
 
exercices_WEB(fiche de cours et exercices).pdf
exercices_WEB(fiche de cours et exercices).pdfexercices_WEB(fiche de cours et exercices).pdf
exercices_WEB(fiche de cours et exercices).pdf
AchilleAMEGNIGBE
 
Cours developpements limites
Cours   developpements limitesCours   developpements limites
Cours developpements limites
hassan1488
 
Mathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdfMathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdf
sassbo_123
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
ismailkziadi
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
Mehdi Maroun
 
01 lois-à-densité
01 lois-à-densité01 lois-à-densité
01 lois-à-densité
Manar Sefiane
 
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestionRappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Ali Hachimi Kamali
 
Corrigées TD 9 de Module Analyse 3 pour les étudiants de la filière Mathémati...
Corrigées TD 9 de Module Analyse 3 pour les étudiants de la filière Mathémati...Corrigées TD 9 de Module Analyse 3 pour les étudiants de la filière Mathémati...
Corrigées TD 9 de Module Analyse 3 pour les étudiants de la filière Mathémati...
AbdoFreedom
 
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdfFonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
etude-generale
 

Similaire à Exercice continuité et limites (20)

Exercice fonctions réciproques
Exercice fonctions réciproquesExercice fonctions réciproques
Exercice fonctions réciproques
 
Exercice primitives
Exercice primitivesExercice primitives
Exercice primitives
 
Exercice dérivabilité
Exercice dérivabilitéExercice dérivabilité
Exercice dérivabilité
 
Exercice logarithme
Exercice logarithmeExercice logarithme
Exercice logarithme
 
05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle
 
Exercice intégrales
Exercice intégralesExercice intégrales
Exercice intégrales
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
 
M1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdfM1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdf
 
Fic00126
Fic00126Fic00126
Fic00126
 
Cours continuité et limites
Cours continuité et limitesCours continuité et limites
Cours continuité et limites
 
sol_TD4.pdf
sol_TD4.pdfsol_TD4.pdf
sol_TD4.pdf
 
exercices_WEB(fiche de cours et exercices).pdf
exercices_WEB(fiche de cours et exercices).pdfexercices_WEB(fiche de cours et exercices).pdf
exercices_WEB(fiche de cours et exercices).pdf
 
Cours developpements limites
Cours   developpements limitesCours   developpements limites
Cours developpements limites
 
Mathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdfMathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdf
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
 
01 lois-à-densité
01 lois-à-densité01 lois-à-densité
01 lois-à-densité
 
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestionRappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
 
Corrigées TD 9 de Module Analyse 3 pour les étudiants de la filière Mathémati...
Corrigées TD 9 de Module Analyse 3 pour les étudiants de la filière Mathémati...Corrigées TD 9 de Module Analyse 3 pour les étudiants de la filière Mathémati...
Corrigées TD 9 de Module Analyse 3 pour les étudiants de la filière Mathémati...
 
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdfFonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
 

Plus de Yessin Abdelhedi

Exercice nombres complexes
Exercice nombres complexesExercice nombres complexes
Exercice nombres complexes
Yessin Abdelhedi
 
Exercice isometrie du plan
Exercice isometrie du planExercice isometrie du plan
Exercice isometrie du plan
Yessin Abdelhedi
 
Exercice coniques
Exercice coniquesExercice coniques
Exercice coniques
Yessin Abdelhedi
 
Exercice arithmétiques
Exercice arithmétiquesExercice arithmétiques
Exercice arithmétiques
Yessin Abdelhedi
 
Espace
EspaceEspace
Divisibilité+
Divisibilité+Divisibilité+
Divisibilité+
Yessin Abdelhedi
 
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Yessin Abdelhedi
 
Cours suites réelles
Cours suites réellesCours suites réelles
Cours suites réelles
Yessin Abdelhedi
 
Cours similitudes
Cours similitudesCours similitudes
Cours similitudes
Yessin Abdelhedi
 
Cours probabilités
Cours probabilitésCours probabilités
Cours probabilités
Yessin Abdelhedi
 
Cours primitives
Cours primitivesCours primitives
Cours primitives
Yessin Abdelhedi
 
Cours nombres complexes
Cours nombres complexesCours nombres complexes
Cours nombres complexes
Yessin Abdelhedi
 

Plus de Yessin Abdelhedi (20)

Statistiques
StatistiquesStatistiques
Statistiques
 
Similitudes
SimilitudesSimilitudes
Similitudes
 
Série+probabilites++2013
Série+probabilites++2013Série+probabilites++2013
Série+probabilites++2013
 
Exercice suites réelles
Exercice suites réellesExercice suites réelles
Exercice suites réelles
 
Exercice similitudes
Exercice similitudesExercice similitudes
Exercice similitudes
 
Exercice probabilités
Exercice probabilitésExercice probabilités
Exercice probabilités
 
Exercice nombres complexes
Exercice nombres complexesExercice nombres complexes
Exercice nombres complexes
 
Exercice isometrie du plan
Exercice isometrie du planExercice isometrie du plan
Exercice isometrie du plan
 
Exercice exponontielle
Exercice exponontielleExercice exponontielle
Exercice exponontielle
 
Exercice espace
Exercice espaceExercice espace
Exercice espace
 
Exercice coniques
Exercice coniquesExercice coniques
Exercice coniques
 
Exercice arithmétiques
Exercice arithmétiquesExercice arithmétiques
Exercice arithmétiques
 
Espace
EspaceEspace
Espace
 
Divisibilité+
Divisibilité+Divisibilité+
Divisibilité+
 
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
 
Cours suites réelles
Cours suites réellesCours suites réelles
Cours suites réelles
 
Cours similitudes
Cours similitudesCours similitudes
Cours similitudes
 
Cours probabilités
Cours probabilitésCours probabilités
Cours probabilités
 
Cours primitives
Cours primitivesCours primitives
Cours primitives
 
Cours nombres complexes
Cours nombres complexesCours nombres complexes
Cours nombres complexes
 

Exercice continuité et limites

  • 1. 1 EXERCICE N°1 Calculer les limites suivantes : ²xx1 x3²x1 lim x −+ +− +∞→ ; ²x2x1 ²xx2 lim 1x −+ +− → ; 1x x32²x lim 1x − −+ → ; ( )x2x3²xlim x −+ +∞→ ; ( )xx3²xlim x −+ +∞→ ; ( )xx3²xlim x −+ −∞→ ; ( )1x3x3²xlim x +−+ +∞→ ; 36x 3x lim 3x −+ − → ; 22x 37x lim 2x −+ −+ → ; ax xaax lim nn ax − − → ( )* NR)n,a( ×∈ ; ( )      ++++− −−∞→ n nx x...²xx1 x1 1 x 1 lim , * Nn∈ ; ( )x²xx²xlim x −−+ +∞→ ;       − − +∞→ 2x3 1x2 coslim x π ; x 1xcos lim 0x − → ; 9²x 3x3x lim 3x − −+− → ,         −+ → 2 x 1 4xlim 0x , x 2xsin4 lim 0x −+ → . EXERCICE N°2 Calculer les limites suivantes quand elles existent : )x2cos( )xtan(1 lim 4 x − → π ; 3)x²(sin4 1)xcos(2 lim 3 x − − → π ;       − → xtan 1 x2sin 2 lim x π ; x3cos1 x3sin lim 0x −→ ( )       −− → 2 x tan11xtanlim 2 x π ; 1x²cosxsin x²cosxsin1 lim 2 x −+ +− → π ; xtan 2 x sin 2 x coslim 2 x       − → π ; ( )       − −→ x²sin 1 xcos12 1 lim 0x , ( ) a2 x tan.xa ax lim 22 π − → EXERCICE N°3 On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) = 3 x + sin x x − 1 . Montrer que , pour tout x ≥ 2 , |f(x) − 3| ≤ 4 x − 1 . En déduire la limite de f en + ∞ EXERCICE N°4 La fonction f est définie sur IR par : f (x) = 1 2 – cos x . 1°)) Montrer que, pour tout réel x, 1 3 ≤ f (x) ≤ 1 . b) En déduire les limites suivantes : lim x → +∞ 1 x (2 – cos x) ; lim x → –∞ x2 + 1 2 – cos x et lim x → 0 1 x2 (2 – cos x) EXERCICE N°5 Soit la fonction xsin2x3x:f +֏ 1°)a-Montrer que pour tout x de R : 2x3)x(f2x3 +≤≤− b-En déduire )x(flim x −∞→ et )x(flim x +∞→ 2°)Soit la fonction g défini sur R par :       = ≠ = 0xsi 5 1 0xsi )x(f x )x(g a- Montrer que g est continue en 0. b- Montrer que pour tout       +∞∈ , 3 2 x : 2x3 x )x(g 2x3 x − ≤≤ + c- En déduire )x(glim x +∞→ . Interprète géométriquement le résultat. EXERCICE N°6 Soit la fonction ϕ définie sur [0 ; + ∞[ par : ϕ(x) = x + cos x x2 +1 Séries d’exercices 4ème Maths Continuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limites Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  • 2. 2 1°)Montrer que, pour x > 1, x − 1 x2 + 1 ≤ ϕ(x) ≤ x + 1 x2 + 1 2°) En déduire la limite de ϕ en + ∞ . EXERCICE N°7 Soit la fonction f définie sur       +∞− , 2 1 par : 1x2 xcosx )x(f + +− = 1°)Démontrer que pour tout 2 1 x −> on a : 1x2 1x )x(f 1x2 1x + +− ≤≤ + −− 2°) En déduire la limite de f en + ∞ . EXERCICE N°8 Soit f la fonction définie sur R par : 1²x 2 1x)x(f + +−= . On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé Calculer )x(flim x +∞→ , x )x(f lim x +∞→ . Interpréter graphiquement EXERCICE N°9 On désigne par ζ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Soit ²x1 x 1x:f n + +֏ avec * Nn∈ . Etudier suivant n )x(flim n x +∞→ , x )x(f lim n x +∞→ . Interpréter graphiquement EXERCICE N°10 Soit la fonction f définie par      =++ ≠ − −+ = 1xsi1pxx2 1xsi 1²x xm23²xm )x(f 3 Déterminer m et p pour que f soit continue sur R. EXERCICE N°11 On considère la fonction f définie par : ] ] { } [ [ ] [ ] [     ∪−∈ −− +∞∪∪−∞−∈−− = 1,00,1xsi x 1²x1 ,101,xsiaxx²x )x(f 1°)Etudier la continuité de f en 0. 2°)Etudier suivant a la continuité de f en 1 et -1. 3°)Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles f est continue sur R. EXERCICE N°12 Soit la fonction f définie par 5x²x7x 23²x )x(f 3 ++− −+ = si { }1Rx −∈ et f(1)=a. 1°) Déterminer le domaine de définition Df de f. 2°)Déterminer le réel a pour que f soit continue en 1. EXERCICE N°13 Soit la fonction f définie par : ( )2 1x 1xxx )x(f − −−− = 1°)Déterminer le domaine de définition Df de f. 2°)Peut-on parler de limite en 0 pour f ? Justifier. 3°)Déterminer le domaine de continuité Dc de f . 4°)Calculer )x(flim 1x + → et )x(flim x +∞→ . EXERCICE N°14 Calculer les limites suivantes quand elles existent :       → x 1 sinxlim 0x ;       → x 1 Exlim 0x ; x x 1 E x x 1 E lim 0x +      −      → ; x 2008 x E lim x       +∞→ ; )xsin(²x 3)x(xE lim x + + +∞→ ; xsin2 xsinx lim x − + +∞→ ;
  • 3. 3 ( ) 1²x xsin1x lim x − + +∞→ ;       − → xsin 1 x 1 sinxlim 0x ; xx 3 x 1 sin x 1 ²cos2 lim 0x + +− → . EXERCICE N°15 Répondre par Vrai ou Faux. 1°)Si +∞= → )x(flim ax , +∞= → )x(glim ax et si, pour tout réel x, f(x) > g(x), alors [ ] +∞=− → )x(g)x(flim ax 2°)Si +∞= → )x(flim ax et si g(x)< 0 pour tout x, alors −∞= → )x(g)x(flim ax . 3°)Si 0)x(flim ax = → , alors soit +∞= → )x(f 1 lim ax , soit −∞= → )x(f 1 lim ax . EXERCICE N°16 On admet l’existence d’une limite réelle en 0 pour 3 x x)xsin( )x(f − = 1°) En transformant convenablement f(2x), trouver la valeur de cette limite. 2°) Utiliser le résultat précédent pour déterminer : 30x x x)xtan( lim − → et 40x x 2 ²x )xcos(1 lim −− → EXERCICE N°17 Calculer ( )24x 4x16 24x.23xx16 lim − −−− → EXERCICE N°18 1°)Démontrer que l’équation : x3 + x -3 = 0 admet une unique solution a ] [2;1∈ 2°) Donner une valeur approchée par défaut de cette α à 1 10− près . EXERCICE N°19 Démontrer que l’équation : x4 + x3 – x +1 = 0 n’a pas de solutions sur R . EXERCICE N°20 Montrer que l’équation x3 – 5x2 + 4x + 7 = 0 admet au moins une racine réelle. Plus généralement, montrer que toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle. Qu’en est-il si le degré est pair ? EXERCICE N°21 1°)Soit [ ] [ ]1,01,0:f → une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au moins une solution sur[ ]1,0 . 2°)Plus générale : Soit [ ] [ ]b,aJb,a:f ⊂→ une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au moins une solution sur[ ]b,a 3°)Soit une fonction [ ] Rb,a:f → continue, et βα, des réels strictement positifs. Montrer qu’il existe [ ]b,ac ∈ tel que : ( ) ( ) ( ) ( )cfbfaf βαβα +=+ EXERCICE N°22 Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que ∀ x ≠y : yxk)y(f)x(f −<− avec 0 < k < 1 Montrer que l’équation f(x)=x admet alors toujours une et une seule solution sur [a, b] EXERCICE N°22 Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) )x(fx2f = . EXERCICE N°23 Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) .xcos)x(fx2f =