1
EXERCICE N°1
Calculer les limites suivantes :
²xx1
x3²x1
lim
x −+
+−
+∞→
;
²x2x1
²xx2
lim
1x −+
+−
→
;
1x
x32²x
lim
1x −
−+
→
; ( )x2x3²xlim
x
−+
+∞→
; ( )xx3²xlim
x
−+
+∞→
;
( )xx3²xlim
x
−+
−∞→
; ( )1x3x3²xlim
x
+−+
+∞→
;
36x
3x
lim
3x −+
−
→
;
22x
37x
lim
2x −+
−+
→
;
ax
xaax
lim
nn
ax −
−
→
( )*
NR)n,a( ×∈ ; ( )





++++−
−−∞→
n
nx
x...²xx1
x1
1
x
1
lim ,
*
Nn∈ ; ( )x²xx²xlim
x
−−+
+∞→
; 





−
−
+∞→ 2x3
1x2
coslim
x
π
;
x
1xcos
lim
0x
−
→
;
9²x
3x3x
lim
3x −
−+−
→
,








−+
→
2
x
1
4xlim
0x
,
x
2xsin4
lim
0x
−+
→
.
EXERCICE N°2
Calculer les limites suivantes quand elles existent :
)x2cos(
)xtan(1
lim
4
x
−
→
π
;
3)x²(sin4
1)xcos(2
lim
3
x −
−
→
π
; 





−
→ xtan
1
x2sin
2
lim
x π
;
x3cos1
x3sin
lim
0x −→
( ) 





−−
→ 2
x
tan11xtanlim
2
x
π
;
1x²cosxsin
x²cosxsin1
lim
2
x −+
+−
→
π
; xtan
2
x
sin
2
x
coslim
2
x






−
→
π
;
( ) 





−
−→ x²sin
1
xcos12
1
lim
0x
, ( ) a2
x
tan.xa
ax
lim 22 π
−
→
EXERCICE N°3
On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) =
3 x + sin x
x − 1
.
Montrer que , pour tout x ≥ 2 , |f(x) − 3| ≤
4
x − 1
. En déduire la limite de f en + ∞
EXERCICE N°4
La fonction f est définie sur IR par : f (x) =
1
2 – cos x
.
1°)) Montrer que, pour tout réel x,
1
3
≤ f (x) ≤ 1 .
b) En déduire les limites suivantes : lim
x → +∞
1
x (2 – cos x)
; lim
x → –∞
x2 + 1
2 – cos x
et lim
x → 0
1
x2 (2 – cos x)
EXERCICE N°5
Soit la fonction xsin2x3x:f +֏
1°)a-Montrer que pour tout x de R : 2x3)x(f2x3 +≤≤−
b-En déduire )x(flim
x −∞→
et )x(flim
x +∞→
2°)Soit la fonction g défini sur R par :






=
≠
=
0xsi
5
1
0xsi
)x(f
x
)x(g
a- Montrer que g est continue en 0.
b- Montrer que pour tout 





+∞∈ ,
3
2
x :
2x3
x
)x(g
2x3
x
−
≤≤
+
c- En déduire )x(glim
x +∞→
. Interprète géométriquement le résultat.
EXERCICE N°6
Soit la fonction ϕ définie sur [0 ; + ∞[ par : ϕ(x) =
x + cos x
x2 +1
Séries d’exercices 4ème Maths
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2
1°)Montrer que, pour x > 1,
x − 1
x2 + 1
≤ ϕ(x) ≤
x + 1
x2 + 1
2°) En déduire la limite de ϕ en + ∞ .
EXERCICE N°7
Soit la fonction f définie sur 





+∞− ,
2
1
par :
1x2
xcosx
)x(f
+
+−
=
1°)Démontrer que pour tout
2
1
x −> on a :
1x2
1x
)x(f
1x2
1x
+
+−
≤≤
+
−−
2°) En déduire la limite de f en + ∞ .
EXERCICE N°8
Soit f la fonction définie sur R par :
1²x
2
1x)x(f
+
+−= .
On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé
Calculer )x(flim
x +∞→
,
x
)x(f
lim
x +∞→
. Interpréter graphiquement
EXERCICE N°9
On désigne par ζ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Soit
²x1
x
1x:f
n
+
+֏ avec *
Nn∈ . Etudier suivant n )x(flim n
x +∞→
,
x
)x(f
lim n
x +∞→
. Interpréter graphiquement
EXERCICE N°10
Soit la fonction f définie par





=++
≠
−
−+
=
1xsi1pxx2
1xsi
1²x
xm23²xm
)x(f
3
Déterminer m et p pour que f soit continue sur R.
EXERCICE N°11
On considère la fonction f définie par :
] ] { } [ [
] [ ] [




∪−∈
−−
+∞∪∪−∞−∈−−
=
1,00,1xsi
x
1²x1
,101,xsiaxx²x
)x(f
1°)Etudier la continuité de f en 0.
2°)Etudier suivant a la continuité de f en 1 et -1.
3°)Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles f est continue sur R.
EXERCICE N°12
Soit la fonction f définie par
5x²x7x
23²x
)x(f 3
++−
−+
= si { }1Rx −∈ et f(1)=a.
1°) Déterminer le domaine de définition Df de f.
2°)Déterminer le réel a pour que f soit continue en 1.
EXERCICE N°13
Soit la fonction f définie par :
( )2
1x
1xxx
)x(f
−
−−−
=
1°)Déterminer le domaine de définition Df de f.
2°)Peut-on parler de limite en 0 pour f ? Justifier.
3°)Déterminer le domaine de continuité Dc de f .
4°)Calculer )x(flim
1x +
→
et )x(flim
x +∞→
.
EXERCICE N°14
Calculer les limites suivantes quand elles existent :






→ x
1
sinxlim
0x
; 





→ x
1
Exlim
0x
;
x
x
1
E
x
x
1
E
lim
0x
+





−





→
;
x
2008
x
E
lim
x






+∞→
;
)xsin(²x
3)x(xE
lim
x +
+
+∞→
;
xsin2
xsinx
lim
x −
+
+∞→
;

3
( )
1²x
xsin1x
lim
x −
+
+∞→
; 





−
→ xsin
1
x
1
sinxlim
0x
;
xx
3
x
1
sin
x
1
²cos2
lim
0x +
+−
→
.
EXERCICE N°15
Répondre par Vrai ou Faux.
1°)Si +∞=
→
)x(flim
ax
, +∞=
→
)x(glim
ax
et si, pour tout réel x, f(x) > g(x), alors [ ] +∞=−
→
)x(g)x(flim
ax
2°)Si +∞=
→
)x(flim
ax
et si g(x)< 0 pour tout x, alors −∞=
→
)x(g)x(flim
ax
.
3°)Si 0)x(flim
ax
=
→
, alors soit +∞=
→ )x(f
1
lim
ax
, soit −∞=
→ )x(f
1
lim
ax
.
EXERCICE N°16
On admet l’existence d’une limite réelle en 0 pour 3
x
x)xsin(
)x(f
−
=
1°) En transformant convenablement f(2x), trouver la valeur de cette limite.
2°) Utiliser le résultat précédent pour déterminer : 30x x
x)xtan(
lim
−
→
et 40x x
2
²x
)xcos(1
lim
−−
→
EXERCICE N°17
Calculer
( )24x 4x16
24x.23xx16
lim
−
−−−
→
EXERCICE N°18
1°)Démontrer que l’équation : x3 + x -3 = 0 admet une unique solution a ] [2;1∈
2°) Donner une valeur approchée par défaut de cette α à 1
10−
près .
EXERCICE N°19
Démontrer que l’équation : x4 + x3 – x +1 = 0 n’a pas de solutions sur R .
EXERCICE N°20
Montrer que l’équation x3 – 5x2 + 4x + 7 = 0 admet au moins une racine réelle. Plus généralement, montrer que
toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle. Qu’en est-il si le degré est pair ?
EXERCICE N°21
1°)Soit [ ] [ ]1,01,0:f → une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au moins une solution
sur[ ]1,0 .
2°)Plus générale : Soit [ ] [ ]b,aJb,a:f ⊂→ une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au
moins une solution sur[ ]b,a
3°)Soit une fonction [ ] Rb,a:f → continue, et βα, des réels strictement positifs.
Montrer qu’il existe [ ]b,ac ∈ tel que : ( ) ( ) ( ) ( )cfbfaf βαβα +=+
EXERCICE N°22
Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que ∀ x ≠y : yxk)y(f)x(f −<− avec 0 < k < 1
Montrer que l’équation f(x)=x admet alors toujours une et une seule solution sur [a, b]
EXERCICE N°22
Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) )x(fx2f = .
EXERCICE N°23
Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) .xcos)x(fx2f =