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EXERCICE N°1
1°)Soit g la fonction définie sur ] [+∞,0 par : g(x) = xln(x) – x + 1 .
a) Etudier le sens de variations de...
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EXERCICE N°7
Soient dx
)x41()1x2(
x2x
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= et dx
)x41()1x2(
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∫ −+
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1°) Calculer K = 2I +...
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EXERCICE N°10
On pose, pour tout élément n de N* : un = ∑=
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1)a. Montrer que : ∀ p ∈ N* , ∫
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Exercice logarithme

  1. 1. 1 EXERCICE N°1 1°)Soit g la fonction définie sur ] [+∞,0 par : g(x) = xln(x) – x + 1 . a) Etudier le sens de variations de g b) En déduire le signe de g . 2°)On considère la fonction f définie sur ] [+∞,1 par : f(x) = 1x )xln( − a) Etudier les limites de f en + ∞ et en 1 . b) Dresser le tableau de variation de f . c) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( unité : 2cm) EXERCICE N°2 1°)Soit f la fonction définie par : pour tout x ≥ 0 : f(x) = ( ) 2 ²x x1xln +−+ a) Etudier les variations de f b) En déduire que pour tout x ≥ 0 : ( )1xln 2 ²x x +≤− 2°) Soit f la fonction définie par : pour tout x ≥ 0 : f(x) = ( ) 3 x 2 ²x x1xln 3 −+−+ a) Etudier les variations de f b) En déduire que pour tout x ≥ 0 : ( ) 3 x 2 ²x x1xln 3 +−≤+ 3°)Etudier la limite éventuelle en 0+ de ²x x)x1ln( −+ EXERCICE N°3 Soit f définie sur ]–1, 1[ par f(x) = (1 – x2).ln( x-1 x1 + ). Montrer que f est continue. Etudier la parité de f et montrer que f se prolonge en une fonction continue sur [–1, 1]. EXERCICE N°4 Soit g définie sur { }1R* −+ par g(x) = 1x x.ln(x) − et prolongée par continuité en 0 et en 1. 1°)Que valent g(0), g(1) ? 2°)Etudier la branche infinie de Cg. EXERCICE N°5 Soit n appartenant à N. gn : ]0, 1[ → R, x →       x 1 lnx n 1°)Montrer gn que est continue sur ]0, 1[ 2°)Montrer que gn admet un prolongement par continuité fn sur [0, 1]. EXERCICE N°6 On considère la famille de fonctions (fn)n∈N* définies sur ]−1, +∞[ par fn(x) = xn ln(1 + x). Soit n ∈ N*, on note hn la fonction définie sur ]−1, +∞[ par . x1 x )x1ln(n)x(hn + ++= 1) Etudier le sens de variation des fonctions hn. 2) Calculer hn(0), puis en déduire le signe de hn. 3) Etude du cas particulier n = 1. a. Après avoir justifié la dérivabilité de f1 sur ]−1, +∞[, exprimer f1'(x) en fonction de h1(x). b. En déduire les variations de la fonction f1 sur ]−1, +∞[. 4) Soit n ∈ N* {1}. a. Justifier la dérivabilité de fn sur ]−1, +∞[ et exprimer fn'(x) en fonction de hn(x). b. En déduire les variations de fn sur ]−1, +∞[. On précisera les limites aux bornes. Séries d’exercices 4ème Maths LogarithmeLogarithmeLogarithmeLogarithme Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  2. 2. 2 EXERCICE N°7 Soient dx )x41()1x2( x2x I 2 1 2 2 ∫ −+ + = et dx )x41()1x2( 1x2 J 2 1 2 2 ∫ −+ + = . 1°) Calculer K = 2I + J et L = 2I – J. 2°) En déduire I et J. EXERCICE N°8 Partie I. On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, ∑= = n 1k n k 1 v . 1°)Montrer que : ∫ + ≤ + ∈∀ 1k k dt t 1 1k 1 ,*Nk . 2°)En déduire que : 1)nln(v,*Nn n +≤∈∀ . Partie II. On considère une suite (un) définie par son premier terme uo = 1 et par la relation suivante, valable pour tout entier n : n n1n u 1 uu +=+ a)Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif. b)En déduire le sens de variation de la suite (un). 2°)a)Pour tout entier k, exprimer 2 k 2 1k uu −+ en fonction de 2 ku . b)En déduire que : ∑ − = ++=∈∀ 1n 0k 2 k 2 n u 1 1n2u,*Nn c)Montrer que: 1n2u,*Nn 2 n +≥∈∀ . En déduire la limite de la suite (un). 3°)a)A l’aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : 1n 2 n v 2 1 2n2u −++≤ b)En utilisant la partie 1, établir que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, 2 )1nln( 2 5 n2u 2 n − ++≤ . c)En déduire n u lim n n +∞→ . EXERCICE N°9 Soit f : ]1, +∞[ → R l'application définie par : ∀x ∈ ]1, +∞[ f(x) = )xln(.x 1 . 1°) Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative. 2°) Montrer que pour tout entier k tel que k ≥ 3 : f(k) ≤ ∫ − k 1k dx)x(f ≤ f(k-1). Pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 on note Sn = ∑= n 2k )k(f . 3°) a) Montrer que pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 : Sn - )nln(.n 1 Sdx)x(f )2ln(.2 1 n n 2 −≤≤ ∫ . b) En déduire que pour tout n ∈ R tel que n ≥ 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) )2ln( 2 1 )2ln(ln)nln(lnS)2ln(ln)nln(ln n +−≤≤− c)Calculer alors ( ))nln(ln S lim n n +∞→ . 4°)Pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 on note : ( ))1nln(lnSu nn +−= et ( ))nln(lnSu nn −= Montrer que les suites (un)n≥2 et (vn)n≥2 sont adjacentes. On note ℓ leur limite commune. 5°) a) Montrer que pour tout n ∈ N tel que n ≥ 2 : 0 ≤ vn - )nln(.n 1 ≤ℓ b) En déduire une valeur approchée de ℓ à 10-2 prés
  3. 3. 3 EXERCICE N°10 On pose, pour tout élément n de N* : un = ∑= n 1p p 1 . 1)a. Montrer que : ∀ p ∈ N* , ∫ +1p p t dt ≥ 1p 1 + . b. En déduire que : ∀ n ∈ N* , un ≤ 1 + ln(n). 2°)On considère la fonction ϕ1 définie sur R+ par :    >+= = 0xsi))xln(1(x)x( 0)0( 1 1 φ φ Montrer que ϕ1 est continue sur R+. 3°)Pour tout réel x positif et pour tout entier naturel n non nul, on pose : ϕn+1(x) = dt)t( x 0 n∫φ . a. Montrer que pour tout élément n de N* la fonction ϕn est parfaitement définie et continue sur R+. Que vaut ϕn(0) ? b. Vérifier qu'il existe deux suites (an)n∈N* et (bn)n∈N* telles que:∀ n ∈ N*,∀x∈ R*+ ϕn(x)= xn (an+bn ln x ). On montrera que : ∀ n ∈ N* an+1 = 2 nn )1n( b 1n a + − + et bn+1 = 1n bn + . 5°)Calculer bn. 6°)Pour tout élément n de N*, on pose : cn = n! an. a. Montrer que cn =2- un. b. En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : cn  ≤ 1 + ln(n). c. Conclure que +∞→n lim an = 0. EXERCICE N°11 1°) Soit x > -1. Démontrer : ln(1+x) ≤ x . 2°) Soit k dans ]0, 1[ et soit (un) définie par un = ∏= + n 0p p )k1( a) Montrer que (un) est croissante. b) Montrer que la suite (vn) définie par vn = ln(un) est majorée. c) Montrer que (un) est convergente. EXERCICE N°12 Soit u et v les deux suites définies par : un = 1 + )nln( n 1 ... 3 1 2 1 −+++ et vn = 1 + )1nln( n 1 ... 3 1 2 1 +−+++ Montrer que u et v sont deux suites adjacentes. On sera amené à étudier les VARIATIONS, puis le SIGNE des fonctions f et g définies par :f(x) = 1x 1 1x x ln + +      + ; g(x) = 1x 1 2x 1x ln + +      + + .

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