Le medaf

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le modèle d’équilibre des actifs financier

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Le medaf

  1. 1. Le modèle d’équilibre des actifs financiers (MEDAF) I. Points clés  Tout actif financierestcaractérisé parune rentabilitéetunrisque.  Le risque est une notion polymorphe. Sur le plan financier, il doit être rémunéré.  Le MEDAF estun modèle qui permet d’expliquer les taux de rentabilité des différents actifs financiers en fonction de leur niveau de risque.  Le MEDAF montre que seul le risque non diversifiable doit être rémunéré. Il permet de déterminerle taux de rentabilité exigé pour un titre ou un portefeuille compte tenu de son risque systématique. II. Éléments de gestion de portefeuille A. Rentabilité et risque d’un portefeuille 1. La mesure de la rentabilité et du risque d’un portefeuille On suppose un portefeuille P composé de n titres, constitué des titres T 1,…, T i,… T n, en proportion x 1,…, x i,…, x n. La rentabilité duportefeuille correspondàlamoyenne pondérée desrentabilitésespéréesdestitres, soit : Le risque est mesuré par la variance du portefeuille, soit : Le risque d’un portefeuille dépend aussi de la tendance des titres à évoluer de la même façon (covariance). 2. Risque et le nombre de risque le composant Si l’on suppose un portefeuille équipondéré de n titres, et si le nombre de titres est élevé (portefeuille infiniment diversifié), la variance du portefeuille est égale à la covariance moyenne destitresqui le composent(Markowitz,1959).Annuler totalement le risque du portefeuille signifie que lacovariance est nulle : c’est impossible car les valeurs ne fluctuent pas de façon totalement indépendante sur le marché financier.
  2. 2. B. Les composantes du risque d’un portefeuille 1. Risque de marché et risque spécifique Le risque total du portefeuille peut être décomposé entre deux composantes : Le risque spécifique(idiosyncratique) :il représente le risque propre à la firme elle-même (activité, résultats, etc.). Il peut être éliminé par diversification ; Le risque de marché (systématique) :c’estle risque auquel l’investisseur est exposé lorsqu’il désire investir sur le marché. On représente généralement risque total, risque de marché et risque spécifique par le graphique suivant : 2. Caractéristiques d’un portefeuille efficient Seul le risque spécifique peutêtre annulé. Un portefeuilleefficientestdoncunportefeuille :  qui n’estexposé qu’aurisque de marché uniquement;  donton ne peutplusréduire le risque sansréduire égalementlarentabilité. On considère que le portefeuilleefficientestle portefeuille de marché qui comprend l’ensemble de tous les titres en proportion de leur capitalisation boursière (par simplification, on l’assimile à un indice boursier). C. Les explications du modèle de marché 1. Caractérisation du risque d’un titre Si l’on calcule sur plusieurs périodes la rentabilité d’une action (R x) par rapport à la rentabilité du marché (R M) on obtient un nuage de points.
  3. 3. Ce nuage peut faire l’objet d’un ajustement linéaire : L’équation de la droite d’ajustement est : avec le coefficient angulaire de la droite d’ajustement (méthode des moindres carrés). βx exprime lasensibilité de la rentabilité de l’action aux fluctuationsde larentabilitédumarché,soit: Pourun titre précis x composant le portefeuille, pour trouver les valeurs de R x à partir des valeurs de R M, il faut introduire une variable aléatoire,noté ε, spécifique àl’action x.L’équation précédente devient alors Cette relation permet d’écrire que Le « bêta» oucoefficientde sensibilitéd’untitre L’observation de l’évolution du marché montre que certains titres sont plutôt insensibles à cette évolution, alors que d’autres réagissent avec une amplitude plus ou moins forte. À partir du bêta d’un titre, on peut indiquer que : Si β = 1, les variations du cours du titre suivent celles de l’indice de marché ; Si β = 0, les variations du cours du titre sont indépendantes par rapport à celles de l’indice de marché; Si β > 1, les variations du cours du titre sont plus importantes que celles de l’indice de marché ; Si β < 1, les variations du cours du titre sont moins importantes que celles de l’indice de marché.
  4. 4. III. La construction du MEDAF A. La frontière efficiente des portefeuilles accessibles  Comme la diversification réduit le risque, les investisseurs ont intérêt à constituer des portefeuilles à partir de plusieurs actifs disponibles sur le marché financier.  Les investisseursprivilégieront les portefeuilles qui, pour un écart-type donné, offrent une espérance de gain supérieure.  Dans le schémaci-dessous,le choixduportefeuille A n’estpaspertinent car le portefeuille B présente, pour le même risque, une espérance de rentabilité supérieure :  La « frontière efficiente» représente doncl’ensemblede cesportefeuilles. B. Le choix d’un portefeuille optimal  Sur le marché, existent des titres non risqués (OAT, etc.) de rentabilité certaine.  En appelant R F la rentabilité de l’actif sans risque (avec σ (R F) = 0), on représente graphiquement cet actif sur l’axe des ordonnées.  Tout investisseur peut constituer son portefeuille en combinant du portefeuille M et de l’actif sans risque comme le montre le schéma ci-dessous :
  5. 5. La décision de l’investisseur se fera selon son degré d’aversion au risque :  au point M, tout le capital est placé dans le portefeuille M;  au point A, une partie est placé dans le portefeuille M;  au point R F, tout le capital est placé dans l’actif sans risque ;  au point B, on contracte un emprunt (au taux sans risque) et on place cette somme dans le portefeuille M. La droite (RF,M) constitue lafrontière efficienteenprésence de l’actif sansrisque ; c’estla droite de marché des capitaux. Le portefeuille Mest le point de tangence entre la droite (R F, M) et la frontière efficiente. Mest le portefeuille de marché, portefeuille « super-efficient » composé de tous les titres en proportion de leur capitalisation boursière. C. La formulation du Medaf La rentabilité d’unportefeuille Le MEDAF permet d’évaluer le prix du risque, et donc des primes de risque requises parlesinvestisseurs,àl’équilibredumarché (Sharpe &Lintner, 1964).Sur la droite de marché des capitaux, les investisseurs ne vont ensuite arbitrer qu’entre le portefeuille Met l’actif sans risque R F (principe de séparation). On a donc : avec[ E ( R M) – RF ] laprime de risque de marché et [ E( R M) – R F] β p laprime de risque global du portefeuille 1. Généralisation Pourun titre i quelconque (ouunportefeuille imparfaitementdiversifié), son risque total possédera une composante spécifique et une composante systématique. Comme la composante spécifique peutêtre éliminée pardiversification, la prime de risque requise pour détenir ce titre ne dépendra que de son niveaude risque systématique. Sacontributionindividuelle au risque du portefeuille de marché est exprimée par la covariance entre le titre et le portefeuille de marché : À partirde cette relation,onétablitladroite du Medaf qui estune relationlinéaireentre lebêtad’un titre etson espérance de rentabilité:
  6. 6. Application
  7. 7. Solution Question1 La capitalisationboursière d’unefirmeestégale au nombre de ses titres multiplié par leur cours. La prime de marché est ER () MF R − . Comme le taux sans risque est de 3 % et que la prime de marché est de 4,5 %, on en déduit que la rentabilité du marché est de 3 % + 4,5 % = 7,5 % Question2 Cette stratégie consiste àinvestirdansunfondsindiciel (leportefeuillede marché) en se disantqu’il estimpossiblede « battre le marché » sur une longue période.Onparle de gestion« passive ». Question3 Compte tenudesbêtasindiqués,onpeutcalculerlesrentabilitésespéréesdestitresA etB : Le bêtareprésente la part de risque systémique apporté par le titre. Il traduit la sensibilité du titre aux variationsdumarché.Le bêtade B étantsupérieurà1, il est normal que la rentabilité à attendre de ce titre soit plus forte. On sait que pour un titre x, on a : Pourl’actif sansrisque,sonrisque estpardéfinitionnul ainsi que sacorrélationavecle portefeuille de marché :
  8. 8. Pourle portefeuillede marché,lacorrélationaveclui-mêmeesttotale,c’est-à-direde 1. D’où: La rentabilité duportefeuille constitué de A etde B à parts égalessera: Question4 Pourle titre C, on aura : La rentabilité espérée dutitre Cseradonc :

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