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EXPRESIONES ALGEBRAICAS.pptx

  1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIALANDRES ELOY BLANCO ESTADO LARA ESTUDIANTES: GABRIEL FIGUEROA C.I 29.531.820 YENIFER PIÑA C.I 28.114.562 SECCION: 0153
  2. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números unidos por medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación. Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc, si no dice otra cosa representan valores fijos en la expresión, las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, etc, representan variables que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales.
  3. SUMA, RESTA Y VALOR NUMÉRICO DE EXPALGEBRAICAS Suma: consiste en reunir varias cantidades, que pueden tener distintos signos, en una sola cantidad resultante, llamada adición o simplemente, suma. A cada sumando se le denomina término, así que una suma algebraica consta de dos o más términos, que pueden estar agrupados con paréntesis, corchetes y llaves, los conocidos símbolos de agrupación. Esta suma puede llevarse a cabo con números reales, con expresiones algebraicas o con una combinación de ambas. También pueden sumarse vectores Ejemplos: 4x – x + 2x = 5x 7x + x – 3x = 5x 5a – 2b +3a – b = 8a – 3b (nota: se puede apreciar que en este ejercicio hay 2 exponentes diferentes, para resolverlo de manera correcta se deben resolver los exponentes por separado) 2x – 4x + 9 = -2x + 9
  4. b) Resta: La resta algebraica es una de estas operaciones. Consiste en establecer la diferencia existente entre dos elementos: gracias a la resta, se puede saber cuánto le falta a un elemento para resultar igual al otro. Se define claramente como la operación de comparación entre lo que son dos polinomios, se determina qué le falta a uno para llegar a ser exactamente igual que el otro. Veamos cómo funciona la resta algebraica a través de un ejemplo: 2 + x = 8 X = 8 - 2 X= 6 La operación 8 – 2 es una resta algebraica. En este caso, 8 es el minuendo (el número que será reducido a través de la resta) y 2 es el sustraendo (el número que indica cuánto se debe reducir el minuendo). El resultado de esta resta algebraica es 6. Pensando el ejemplo con unidades concretas: si tengo 8 manzanas y me como 2, me quedarán 6 manzanas (8 – 2 = 6). 10 + y = 15 y = 15 – 10 y = 5 4xy – y + 3xy = 7xy – y (nota: Primero se agrupa los de exponentes similares y luego se resuelven el resto de los exponentes) −2𝑎2 + 5𝑎 − 4𝑎2 − 𝑎 = 6𝑎2 + 4𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎: 𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑛 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
  5. Es el número que se obtiene al sustituir las letras de una expresión algebraica por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Cuando en una expresión algebraica sustituimos las letras por los valores que nos dan y luego resolvemos las operaciones, el resultado que se obtiene se llama valor numérico de una expresión algebraica. Por ejemplo: 1) 5 x a -2 = 13 donde a es “3” 5 * 3 – 2 = 15 – 2 = 13 (nota: Sustituimos el valor de a en la expresión y decimos 5*3-2, es decir 15-2 = 13, entonces decimos que 13 es el valor numérico de esa expresión algebraica cuando a = 3) 1) 10 * b – 5 = 15 = 10 x 2 – 5 =20 – 5 = 15  el valor de “b” = 3 1) 5 *(-a) – 2 = (-27) = 5 x (-5) -2 = (-25) -2 = -27  el valor de “a” = (-5) (nota: En esta ocasión colocamos el valor entre paréntesis, dado que es negativo y así evitamos confusiones) 1) 2 * (-a) -2 = -14 = 2 * (-6) -2 = (-12) -2 = (-14)  el valor de “ (-a) “ = (-6) VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
  6. Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas Productos notales de la Expresión Algebraica Multiplicación :La multiplicación algebraica de monomios y polinomios consiste en realizar una operación entre los términos llamados multiplicando y multiplicador para encontrar un tercer término llamado producto. Para analizar una multiplicación algebraica es recomendable tener un buen conocimiento en la multiplicación de potencias que tengan la misma base. Por ejemplo: (a3)(a2)(a5) = a3+2+5 = a10  Multiplicar 3a2 por 6a4. Se multiplican los coeficientes (+3)(+6) = +18 y a continuación se hace la multiplicación de las letras (a2)(a4) = a2 + 4 = a6, por lo tanto, el resultado será: (3a2)(6a4) = 18a6  Multiplicar 3ab por 3b2c. Se multiplican los coeficientes (+3)(+3) = +9 y a continuación, se hace la multiplicación de las letras (ab)(b2c) = ab(1 + 2)c= ab3c, por lo tanto, el resultado será: (3ab)(3b2c) = 9ab3c  Multiplicar –3a2y2 por 4a3y3. Se multiplican los coeficientes (–3)(+4) = –12, y a continuación se hace la multiplicación de las letras (a2y2)(a3y3) = a(2 + 3)y(2 + 3) = a5y5, por lo tanto, el resultado será: (–3a2y2)(4a3y3) = –12a5y5  Multiplicar 3a por –5b por –2abc, es una multiplicación de más de dos monomios pero el procedimiento es el mismo a los anteriores. Se multiplican los coeficientes (+3)(–5)(–2) = +30 y a continuación se hace la multiplicación de las letras (a)(b)(abc) = a(1 + 1)b(1 + 1)c= a2b2c. El resultado de la multiplicación 3a por –5b por – 2abc será:  30a2b2c
  7. Division : La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo. Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante, el mayor exponente de algún término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente de algún término del divisor; de divide en 2 tipos los cuales son: División exacta Esta división se define cuando el residuo RR es cero, entonces: D=dq+0→Dd=q División inexacta Esta división se define cuando el residuo RR es diferente de cero. De la identidad, dividiendo entre el divisor dd, tenemos: Dd=dq+Rd→Dd=q+Rd Ejemplos: 1) 10𝑥5 /2𝑥3 = 5𝑥2 (nota: primero se divide la base luego los exponentes se restan) 1) 16𝑥2 /8𝑥−7 = 2𝑥−5 1) 20x²y³ / 2x = 10x¹y³ (nota: Primero se restan los exponentes “x” y luego los “y” quedan igual al no existir otro en el ejercicio) 1) 10³ / 2¹ = 5 ³ - ² = 5 (nota: también es importante resaltar que la ley de signos aplica en todas las operaciones a realizar)
  8. Productos notables: En matemáticas, un producto corresponde al resultado que se obtiene al realizar una multiplicación, Sabemos que algo es notable cuando nos llama la atención o destaca entre un grupo de cosas; entonces, los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso. Están íntimamente relacionados con fórmulas de factorización, por lo que su aprendizaje facilita y sistematiza la solución de diversas multiplicaciones, permitiendo simplificar expresiones algebraicas complejas, por ejemplo: 
  9. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES FACTORIZACIÓN POR RESOLVIENTE CUADRÁTICA Y POR CAMBIO DE VARIABLES Factorización por productos notables: La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta de términos algebraicos en un producto algebraico. También se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables. Para obtener un factor común de un polinomio se deben seguir las siguientes reglas: Formulas: (a+b) ² = a² + 2ab + b² (a-b) ² = a² - 2ab + b² (a+b) (a-b) = a² - b² Ejercicios: 4x² - 12x + 9 = (2x-3) ² 2x 3 2.2x.3 = 12x 25x² + 4 +20x = (5x+2) ² 5x 2 2.5x.2 = 20x 1 – y8 = ( 1 + Y4) ( 1 – Y4 ) 4 64 2 8 2 8 1 Y4 2 8 16 − 𝑥2 9 = 4 + x 3 4 − x 3 4 𝑥 3
  10. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS En matemática diremos que la simplificación o reducción de fracciones es la acción de dividirse el numerador y el denominador de una fracción por otro mismo número con el fin de obtener otra fracción equivalente, cuyo cociente tenga el mismo valor numérico. La reducción de un número racional (quebrado) se lleva a cabo dividiendo el numerador y el denominador entre el máximo común divisor de ambos, esto comúnmente, se maneja como sacar mitad, sacar tercera, etc. Ejemplos: •Se saca doceava porque el máximo común divisor es 12. •Se divide entre 17 porque el máximo común divisor es 17. •Se divide entre 23 porque el máximo común divisor es 23. En la reducción de fracciones algebraicas se presentan dos casos:
  11. Primer caso: Cuando el numerador y el denominador de una fracción algebraica son monomios, la reducción se realiza reduciendo los coeficientes y aplicando las propiedad es de exponentes en las literales. Segundo caso: Cuando el numerador y el denominador de una fracción algebraica no son monomios se utilizan los métodos de factorización.
  12. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Si las fracciones tienen el mismo denominador, la suma o diferencia es otra fracción cuyo numerador es la suma o diferencia de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común. Si no tienen el mismo denominador, antes de sumar o restar debemos encontrar el denominador común que será el m.c.m. de los denominadores. Esto supone una operación previa que es la factorización de los denominadores de las fracciones que queremos sumar o restar, para luego tomar los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Así, para encontrar el numerador de cada fracción dividimos el m.c.m. por su denominador y el cociente obtenido se multiplica por el numerador correspondiente. . Los denominadores 1 + x, 1 + x2, x - 1 son irreductibles Los denominadores 1 + x, 1 + x2, x - 1 son irreductibles.
  13. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar y dividir se opera de la misma forma que con las fracciones numéricas.La multiplicación de fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.Para dividir dos fracciones algebraicas multiplicamos la primera por la inversa de la segunda. También podemos obtener la división de dos fracciones algebraicas como otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. MULTIPLICACIÓN: 1) 2 *3 = 6 5 5 25 1) X * 3 = 3 * X = 3X 2 5 2*5 10 1) X2 -3XY * Y(X –Y) = X*(X –3Y) = X4(X-Y) = XX = 1 X2 -4XY+3Y2 3XY (X -3Y)*(X –Y) 3XY 3XY 3 1) ax + x * x2 –4 = x*(a +1) = (x + 2) * (x –2 )= x (a+1) * (x+2)*(x –2 ) = x(x –2) 2 + x ab+b 2+x b (a+1) (2+x) * b (a+1) b DIVISION: 1) 4a ° 3a = 4 a x 4x = 16 ax = 16 3x ° 4x 4x 3a 9 xa 9 1) (a +c) =(a-c) = (ad+c) = (ad-c) d d d d 1) a b a ° d = a ° c = a d = ad c b ° c b ° d b c bc d 1) X + 1 1 = X + 1 ° X – 1 = X+1 . X = X(X+1) = X+1 X –1 X ° X X X –1 X(X –1) X –1 X
  14. FACTORIZACIÓN POR EL MÉTODO DE RUFFINI Es un método muy práctico, eficaz y sencillo, que nos permite con su aplicación, encontrar las diferentes raíces de cualquier polinomio. Ideal para aquellos polinomios que tienen un grado mayor que dos (2). Consiste en seleccionar una posible raíz del polinomio dado y formar una tabla; en el momento en que el último resultado de la tabla sea cero (0) habremos culminado; si no ocurre esto, entonces debemos intentarlo con otra posible raíz. Al hablar de la raíz del polinomio se refiere a un divisor del término independiente del polinomio(aquel que no tiene variable). Para realizar éste tipo de factorización debemos seguir los siguientes pasos: Ordenar el polinomio en orden decreciente, en caso de que falte algún término dejamos el espacio o colocamos cero ya que el polinomio debe estar completo. Fijarnos que el polinomio tenga término independiente; si no lo tiene sacar factor común hasta conseguir el término independiente. Buscar todos los divisores del término independiente. Formar una tabla y colocar los coeficientes del polinomio. Colocar el primer divisor o raíz que se quiera usar en la esquina inferior izquierda, y bajar el primer coeficiente tal cual esté. Para la selección del divisor debemos tener presente que los número que vamos obteniendo o bajando los vamos a multiplicar por el divisor y luego el resultado de la multiplicación lo vamos a sumar o restar con los coeficientes que tenemos; el divisor que se escoja debe ser un número que haga que al final nos dé resto cero.(Una manera de saber si un número es raíz; es sustituyendo en el polinomio ese número como el valor de la variable (x), y si da cero (0) es raíz, si no da cero no lo es y se pasa al siguiente divisor.) Luego de obtener la primera raíz, el proceso se repite con los nuevos coeficiente obtenidos hasta que nos quede un solo coeficiente o hasta que no exista ninguna raíz que haga que nos de resto cero (0).
  15. 1) X 3 +0 x2 –3x2 +0x+2 | 1 0 –3 –2 2| 2 4 2 -1| 1 2 1 0 -1 -1 -1 | 1 1 0 1 0 1) X3 -5 x2 – x + 5 | 1 -5 -1 5 1| 1 -4 -5 -1| 1 -4 -5 0 5| -1 5 1 0 1) 2 x3 + 5 x2 -4 x -3 | 2 5 -4 -3 1 | 2 7 3 -3| 2 7 3 0 | -6 -3 2 1 0 1) X 3 –5x2 –9 x+45 | 1 –5 –9 45 5 | 5 0 -45 3| 1 0 -9 0 3 9 -3| 1 3 0 -3 1 0
  16. RADICACIÓN SUMA Y RESTA DE RADICALES, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES. Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que consista en una potencia con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo √ , al cual se llama raíz. Para sumar y restar radicales es necesario que tengan el mismo índice y el mismo radicando, cuando ocurre se suma y resta los coeficientes y se deja el radical. Para multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice. Cuando no tienen el mismo índice hay que reducirlos antes a índice común. El producto de radicales con el mismo índice es igual a un único de radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de multiplicar los radicandos. ¿Cómo se dividen los radicales? Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice. Descomponemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base. Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por.
  17. 1) 3 2 − 5 2 + 8 2 = 3 − 5 + 8 2 = 6 2 2) 5 + 180 − 80 = 5 + 2 32 . 22 . 5 − 2 24 . 5 = 5 + 3.2 5 − 22 5 = 5 + 6 5 − 4 5 = 1 + 6 − 4) −3 28 + 5 35 − 175 = −3 7. 22 + 5 7.5 − 52. 7 = −3.2 7 + 5 35 − 5 7 = −6 7 + 5 35 − 5 7 = −6 − 5 7 + 5 35 = −11 7 + 5 35
  18. EXPRESIONES CONJUGADAS RACIONALIZACIÓN. La conjugada de una expresión con presencia de radicales es aquella que permite extraer los términos de una raíz, la misma va a depender de si la expresión es un monomio o un binomio. Racionalización de denominadores: caso monomio: Mostrando su importancia y dando ideas generales para llevar este proceso. Se muestran procedimientos para llevar a cabo la racionalización en el caso que el denominador sea un monomio, explicando cómo obtener el factor racionalizante. Cómo racionalizar cuando el denominador es un monomio: Se considera el caso en que el denominador es un monomio con una radicando que es un producto y el índice de la raíz mayor a dos. Se explica cómo obtener la expresión racionalizante o racionalizadora. Racionalizar denominadores que son binomios con sólo raíces cuadradas: Se considera denominadores que son una suma o una resta con solamente raíces cuadradas. La expresión racionalizante en este caso es la conjugada del denominador, pues ella provoca el producto de una suma por su diferencia.
  19. 1) 2) 3) 4)
  20. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/expresiones-algebraicas.html BIBLIOGRAFÍA https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf http://proyectos.javieranacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/matematicas_fundamentales/Expresiones/ cap2/ https://www.youtube.com/@SusiProfe
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