分散分析の概要 https://sites.google.com/site/studygroup13csrm/

1. DARM勉強会#1
2013.01.20.
分散分析（Analysis of
Variance）の概要
広島大学大学院教育学研究科
博士課程後期1年 德岡 大

2. 自己紹介
• 名前：德岡 大（とくおか まさる）
• 所属：教育学研究科 博士課程後期1年
• 研究：キャンプ効果→学習スタイル→達成目標
理論 ↑
イマココ
– 積極的にやる気を出さない目標の研究
• 関心：けっこうなんでも，時系列変化の要因
• R：初心者，anovakunが使えるくらい，他の分析
皆無
• Mplus：初心者，これから勉強します

3. 発表内容
• 分散分析とは
• 分散分析の前提
• 独立変数の種類
• 分散分析の原理
• 分散分析のデザイン
• 平方和のタイプ
• 多重比較について
• 単純主効果について
• 分散分析の種類

4. 分散分析とは
• 水準間に差はあるのか？
• ある変数（従属変数）に及ぼす複数の要因（独立変
数）の影響を検討したい
分散分析を適用しよう

5. 分散分析の前提
• ランダムサンプリング
– ×でもランダム割当なら近似的には○。
• 正規性
– 各水準の母集団が正規分布。×でもある程度頑健
• 分散の等質性
– 参加者が等しい場合，かなり頑健。×でも近似的に対応
可
• 観測値の独立性
– 従属変数に関する観測値が，別の観測値に影響するこ
と（級内相関係数が高い状態）。×の場合，マルチレベ
ルモデルなどの階層性を意識した分析に切り替えたほ
うがよい

6. 独立変数の種類と直交性
平方和のタイプ，多重比較の方法が変化

7. 分散分析の基本原理※分散成分とは母分散の不偏推定量
全体の分散成分
要因の分散成分 誤差の分散成分
→F値は，誤差に対する要因の割合
→2つの分散を比較するため，自由度も2つ
→効果量（r2, η2）は，全体に対する要因の割合

8. 分散分析で有意な結果を得るには
要因の分散成分 誤差の分散成分
要因の分散成分 誤差
→誤差による変動を小さくすることが重要
※誤差＝個人差
要因計画を考慮する必要性あ
り

9. 1要因の分散分析（被験者間計画，対応な
し）
• 完全無作為化法 completely randomized design
要
因 処理1 処理2 処理3
参加者 各水準に異なる参加者を無
作為に割り当てる
全体の分散成分
要因の分散成分 個人差（誤差）
※誤差1と全体に相関ある場合，要因の検出力が低下

10. 1要因の分散分析（被験者間計画，対応あ
り）
• 乱塊デザイン randomized block design
要
因 処理1 処理2 処理3
参 ブロック内で各水準に無作為に
加 割り当てる
者
参加者を特定の剰余変数でブロック
化（e.g., IQ低，高）
全体の分散成分
要因の分散成分 ブロック 残差
※誤差1と要因に交互作用がある場合は不適切

11. 1要因の分散分析（被験者内計画，対応あ
り）
• 繰り返し測定計画 repeated-measures design
要
因 処理1 処理2 処理3
同一の参加者が全ての
参加者
処理水準に参加
全体の分散成分
要因の分散成分 個人差 誤差
※対応あり＋3水準以上は球面性の仮定が有意でない方がよい

12. 2要因分散分析（対応なし，対応なし）
• 完全無作為2要因デザイン completely randomized
two-factor design
要
因 A1×B1 A2×B1 A3×B1
A要
因 A1×B2 A2×B2 A3×B2
B
参加者群 各水準に異なる参加者を無
作為に割り当てる
全体の分散成分
要因A 要因B 要因A×B 誤差
要因Aだけなら全て誤
差

13. 2要因分散分析（対応なし，対応あり）
• 混合デザイン
要
因 A1×B1 A2×B1 A3×B1
A要
因 A1×B2 A2×B2 A3×B2
B
参加者群 要因Aには異なる参加者が無作
為割当，要因Bには同一の参加
者が全ての水準に参加
全体の分散成分
要因A 要因B 要因A×B 誤差A 誤差B
※誤差A＝対応あり（B，A×B）の効果を除いた，対応な
し要因（A）による誤差，誤差B＝対応あり要因による誤

14. 2要因分散分析（対応あり，対応あり）
要
因 A1×B1 A2×B1 A3×B1
A要
因 A1×B2 A2×B2 A3×B2
B
参加者 同一の参加者が全ての
処理水準に参加
全体の分散成分
要因A 要因B A×B 個人差 誤差A 誤差B 誤差AB
※1 要因と誤差の比（F値）は，対応する値により求めること
※2 対応ありがランダム変数の場合，正確な誤差推定が不可
（詳しくは，瀧野, 1972参
照）

15. 平方和のタイプ
• 非直交データにおける要因間の相関分を統制する方法
の違いを示す
• 水準間のデータ数に違いのないバランスデータならタ
イプの違いは関係なし
• タイプⅠ：主効果，交互作用の効果を１つずつモデル
に追加していく方法。モデルに優先順位がある場合に
は推奨。重回帰分析ではR2と一致。
• タイプⅡ：主効果，交互作用を分けて一斉投入。その
モデルからある要因の主効果を取り除いた平方和の減
少分を平方和とする方法。
• タイプⅢ：全ての効果が一斉投入。タイプⅡと同様に，
平方和の減少分を平方和とする方法。使用されること
多し。

16. 多重比較について
• α FW = 1 – (1 – α) m ←この関係を考慮して，タイプ
Ⅰ α FW ≒ m (α) エラーを抑えること
が目的
事前比較
直交的 非直交的
n-1個の直交比較 Bonferroniなど
事後比較
非直交的
Tukey, Schefféなど

17. 単純主効果について
• 交互作用が得られた場合，ある要因のどの水準で別の要
因の影響が有意なのかを検定
e.g., A（3）×B（2）で有意な交互作用が得られた場合
全体の分散成分
要因A 要因B 要因A×B 誤差
B1の分散成分 B2の分散成分
要因A 誤差 要因A 誤差
※B1，B2の要因Aの効果は再計算，誤差の効果は共
通

18. 分散分析の種類
MANOVA
ANOVA 従属変数2つ以上を同時に分
従属変数は1つ。 析可能。タイプⅠエラーの確率
参加者内要因，参 を抑える。従属変数間の相関を
加者間要因，混合 考慮などの利点がある。
要因などのモデル
がある。後述する
3つの前提条件あ
り。 ANCOVA
従属変数は1つ，共変量の統
制が可能。回帰の同質性，回帰
の有意性が前提となる。

19. 参考文献
• 南風原朝和 (2002). 心理統計学の基礎―統合的理解のために―
有斐閣アルマ
• 分散分析 http://ofmind.net/doc/anova-note ＜ 2013年1月20日
＞
• 村山 航. 分散分析について
http://www4.ocn.ne.jp/~murakou/anova.htm ＜2013年1
月 20日＞
• 森 敏昭・吉田寿夫 (1990). 心理学のためのデータ解析テクニ
カル ブック 北大路書房
• 瀧野千春 (1972). 分散分析における誤差項に関する一考察 奈
良 教育大学紀要（人文・社会科学）, 21, 237-241.
• 山内光哉 (2008). 心理・教育のための分散分析と多重比較―エ
クセ ル・SPSS解説付き サイエンス社