1. FORMULAS DE INTEGRALES
I . IDEALIZACIÓN MATEMÁTICA
Modelo real
Integración por partes
II . PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS DINÁMICO
II.1. FORMULACIÓN DE LA EDM Las incognitas son los GDL din - Existen 03 metodos para la formulación de la EDM
A. METODO GENERACIÓN DIRECTASe realiza un equilibrio Dinámico
Se formula la EDM transformando el prob. Din.
en un prob. Tipo statico, para el cual se usa el
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALE DE 2do ORDEN principio de Alambert
SIST. LIBRE SIN AMORT.
B. METODO TRABAJO VIRTUAL
Consiste en aplicar el principio de trabajo
virtual generado por un desplazamiento
virtual en dirección de la configuración x : Desplazamiento real
deformada. dv : Desplazamiento virtual
C. PRINCIPIO DE HAMILTON
SIST. LIBRE CON AMORT.
Genera la EDM en base a una ecu. Definida, por lo que es necesario definir los tipos de fzas que pueden ser:
conservativas o no conservativas
Fza conservativa: cuando actua tratando que la estructura recupere su forma inicial. (fza restitutiva)
Fza no conservativa: cuando se encarga de generar una deformación permanente en la estructura
Fza que disipa energía (fza de amortiguamiento)
II.2. SOLUCIÓN DELA EDM Consiste en det. inicialmente la Rpta dinamica a nivel de los desplazamientos
En Ing. Civil ζ < 1 Э vibración ζ < 20%
A. METODO PASO A PASO La solución se da por un proceso iterativo aplicando la teoria de diferencias finitas
Solución imaginaria Generalmente se usa en un analisis sismico no lineal.
Reemplazar en EDM
B. METODOD DEL DESACOPLAMIENTTrOansforma un sistema de m gdl a m problemas de 1 gdl y se resuelve por matrices
La respuesta dinamica se puede deteminar en función del tiempo (t) ola frecuencia (f)
Pag - 16
Rta Din
x Tiempo
x Frecuencia
∫ Duhamel
Fourier
Metodo
Pag - 01
UNASAM INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. CIVIL
Es llevar el modelo real a
uno matematico para ello
existen 03 metodos.
Por: Maverick Aguirre Jara
Por: Maverick
Aguirre Jara
MODELO DE MASA CONCENTRADA MMC MODELO DE ELEMTOS FINITOS MEF MODELO DE MASA DISTRIBUIDA MMD
FORMULAS DE DERIVADAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
A y B dependen de las
condiciones iniciales
SOLUCIÓN GENERAL X (H) SOLUCIÓN GENERAL X (P)
Raices Reales Sol. Fundamt
Raices Iguales Sol. Fundamt
Raices Imaginarias Sol. Fundamt
Raices Imaginarias Sol. Fundamt
Fza externa
Fza efectiva
Fza de inercia
FORMULARIO DE INGENIERÍA ANTISÍSMICA Por Maverick Aguirre
푆푒푛푥푑푥 = −퐶표푠푥
퐶표푠푥푑푥 = 푆푒푛푥
푆푒푛2푥푑푥 =
푥
2
−
푆푒푛2푥
4
퐶표푠2푥푑푥 =
푥
2
+
푆푒푛2푥
4
푒푥 푑푥 = 푒푥
푎푥 푑푥 =
푎푥
푙푛푎
; 푎 > 0, 푎 ≠ 0
푈푑푉 = 푈푉 − 푉푑푈
(푒푢 )′= 푒푢푢′
(푢. 푣)′= 푢′. 푣 + 푢. 푣′
푙푛푢´ =
푢′
푢
푆푒푛푢′ = 푢′퐶표푠푢
퐶표푠푢′ = −푢′푆푒푛푢
퐿표푔푎 푢′ =
푢′
푢
퐿표푔푎 푢
푆푒푛 퐴 ± 퐵 = 푆푒푛퐴 ∗ 퐶표푠퐵 ± 퐶표푠퐴 ∗ 푆푒푛퐵
퐶표푠 퐴 ± 퐵 = 퐶표푠퐴 ∗ 퐶표푠퐵 ∓ 푆푒푛퐴 ∗ 푆푒푛퐵
퐶표푠퐴 + 푆푒푛퐵 = 2푆푒푛
퐴 + 퐵
2
퐶표푠
퐴 − 퐵
2
푆푒푛2퐴 + 퐶표푠2퐵=1
푆푒푛2퐴 = 2푆푒푛퐴 ∗ 퐶표푠퐴
퐶표푠2퐴 = 퐶표푠2퐴 − 푆푒푛2퐴
퐶표푠2퐴 = 1 − 2푆푒푛2퐴
푆푒푛
퐴
2
=
1 − 퐶표푠퐴
2
푆푒푛2퐴 =
1
2
1 − 퐶표푠2퐴
푥 + 휔2푥 = 0
푋(퐻): 휆2 + 휔2 = 0
푟1 = 휔푖 퐶표푠휔푡
푟2 = 휔푖 푆푒푛휔푡
푋(푡) = 퐴. 퐶표푠휔푡 + 퐵. 푆푒푛휔푡
푥 + 2휁휔푥 + 휔2푥 = 0
푋(퐻): 휆2 + 2휁휔휆 + 휔2 = 0
푟1,2 = −휁휔 ± 휔 휁2 − 1
푟1,2 = −휁휔 ± 휔 1 − 휁2푖
휔퐷 = 휔 1 − 휁2푖
푟1,2 = −휁휔 ± 휔퐷푖
푟1,2 ∶
푟1 = −휁휔 + 휔퐷푖 푒−휁휔푡퐶표푠휔퐷푡
푟2 = −휁휔 − 휔퐷푖 푒−휁휔푡푆푒푛휔퐷푡
푋(퐻) = 퐴푒−휁휔푡퐶표푠휔퐷푡 + 퐵푒−휁휔푡푆푒푛휔퐷푡
푡 = 0 ;
푥(표)
푥 (표)
퐴푥2 + 퐵푥 + 퐶 = 0
푟1,2 =
−퐵 ± 퐵2 − 4퐴퐶
2퐴
푟1 = 푎 푒푎푡
푟2 = −푏 푒−푏푡
푟1 = 푎푖 퐶표푠 푎푡
푟2 = −푏푖 푆푒푛 푏푡
푟1 = 푎 + 푏푖 푒푎푡퐶표푠 푏푡
푟2 = −푐 − 푑푖 푒−푐푡푆푒푛 푑푡
푟1 = 푎 푒푎푡
푟2 = 푎 푡푒푎푡
퐴푥2 + 퐵푥 + 퐶 = 푃(푡)
Si 푃(푡) = 푎푥
푋(푃) = 퐴푥 ;
푋 (푃) = 퐴 ;
푋 (푃) = 0
F ma
퐹 = 푚푎 퐹 − 푚푎 = 0 퐹 + 퐹퐼 = 0 퐹 푥 = 0
−푚푎 = 퐹퐼
푚푎 :
−푚푎 :
퐹 :

2. 1. SISTEMAS LIBRES
1.1. SIST. LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTOLa Solucion es X(t) = XH
Solución de la EDM
1.2. SIST. LIBRES CON AMORTIGUAMIENTOLa Solucion es X(t) = XH
1. Determinar Ecmax
2. Determinar Epmax
Coeficiente de Amortiguamiento
3. Consevación de energia Ecmax = Epmax
ECU. DEFLEXIÓN ESTATICA
Equivale a la elastica
generada por su peso
propio
Pag - 02 Pag - 15
SISTEMAS DISCRETOS
DEFLEXION ESTATICA
Por: Maverick Aguirre Jara Por: Maverick Aguirre Jara
CAPITULO II DET. DE LA RTA. DINÁMICA PARA SIST. DE 1 GDLdinámico RAYLEIGH CASO PARTICULAR
푚푥 + 푘푥 = 0
푥 + 휔2푥 = 0
푚푥 + 푐푥 + 푘푥 = 0
푥 + 2휁휔푥 + 휔2푥 = 0
푋(푡) = 푋(표)푐표푠휔푡 +
푋 (표)
휔
푠푒푛휔푡
푋(푡) = ℮−휁휔푡 푋(표)푐표푠휔퐷푡 +
푋 표 + 휔푋(표)
휔퐷
푠푒푛휔퐷푡
휃 = 푎푟푐푡푔
푋 (표)
휔푋(표)
휌 = 푋(표)
2 +
푋 (표)
휔
2
푋(푚푎푥) = 휌 푋(푡) = 휌cos(휔푡 − 휃)
휔퐷 = 휔 1 − 휁2
휃 = 푎푟푐푡푔
푋 (표) − 휁휔푋(표)
휔퐷푋(표)
휌 = 푋(표)
2 +
푋 표 − 휁휔푋(표)
휔퐷
2
푋(푡) = ℮−휁휔푡휌푐표푠(휔퐷푡 − 휃)
푌푑(푥,푡) = 휓(푥)푍푚푎푥 푠푒푛휔푡
퐸푐푚푎푥 =
1
2
휔2푍푚푎푥
2
0
푙
푚(푥)휓 푥
2 푑푥
퐸푝푚푎푥 =
1
2
푍푚푎푥 푔
0
푙
푚(푥)휓(푥)푑푥
휔2 =
푔 0
푙
푚(푥)휓(푥)푑푥
푍푚푎푥 0
푙
푚(푥)휓 푥
2 푑푥
푌푑 푥 푚푎푥 = 휓(푥)푍푚푎푥
휓(푥)
휔2 =
푔 0
푙
푚(푥)푌푑(푥)푑푥
0
푙
푚(푥)푌푑 푥
2 푑푥
휔2 =
퐾∗
푚∗ =
퐾푖Δ휓푖
2
푚푖휓푖
2
휁 =
퐶
퐶푐푟
퐶푐푟 = 2푚휔
퐶 = 2푚휔휁
휁 ∶

3. 1. Determinar Ecmax Decremento log ( δS)e utiliza para determinar el amortiguamiento de una estructura consecutiva
Es el Ln de 2 amplitudes consecutivas en un mov. Sub amortiguado.
2. Determinar Epmax
3. Consevación de energia Ecmax = Epmax DECREMENTO LOG
ECU. RAYLEIGH
Al determinar la curvatura
se genera errores
En consecuencia se tiene Caso Particular Se conoce 2 amplitudes no consecutivas
1. Asumir una forma de vibrar que cumpla con las condicones
de borde
2. Determinar la FI generado por
3. Det el desplasamiento generado por la FI
4. Determinar la Ecmax
5. Determinar la Epmax
6. Consevación de energia Ecmax = Epmax
ECU. RAYLEIGH MODIFICADO
7. Realizar procesos iterativos hasta el paso 6
Realizar las iteraciones
hasta que w converga
Pag - 14 Pag - 03
RAYLEIGH MODIFICADO PARA SISTEMAS CONTINUOS
SUPERPOSICIÓN DE SIST. CON AMORTIGUAMIENTO
RAYLEIGH PARA SISTEMAS CONTINUOS DECREMENTO LOGARITMICO
Por: Maverick Aguirre Jara Por: Maverick Aguirre Jara
푌(푥,푡) = 휓(푥)푍(푡)
푍(푡) = 푍푚푎푥푠푒푛휔푡
푌(푥,푡) = 휓(푥)푍푚푎푥 푠푒푛휔푡
퐸푐푚푎푥 =
1
2
휔2푍푚푎푥
2
0
푙
푚(푥)휓 푥
2 푑푥
퐸푝푚푎푥 =
1
2
휔2푍푚푎푥
2
0
푙
퐸퐼(푥) 휓(푥)
´´ 2
푑푥
휔2 =
0
푙
퐸퐼(푥) 휓(푥)
´´ 2
푑푥
0
푙
푚(푥)휓 푥
2 푑푥
휓(푥)
´´ = Curvatura
푌표(푥,푡) = 휓표(푥)푍표푚푎푥 푠푒푛휔푡
휓표(푥)
휓표(푥)
퐹퐼 = 푚(푥)푌표 (푥,푡)
퐹퐼 = −푚(푥)휔2휓표(푥)푍표푚푎푥 푠푒푛휔푡
퐸푐푚푎푥 =
1
2
휔2푍표푚푎푥
2
0
푙
푚(푥)휓표 푥
2 푑푥
퐸푝푚푎푥 =
1
2
휔2푍표푚푎푥
2 푍1푚푎푥
2
0
푙
푚(푥)휓표(푥)휓1(푥)푑푥
푌1(푥,푡) = 휓1(푥)푍1(푡) 푍1 푡 = 푍1푚푎푥 푠푒푛휔푡
푌1(푥,푡) = 휓1(푥)푍1푚푎푥 푠푒푛휔푡
휔2 =
0
푙
푚(푥)휓표 푥
2 푑푥
0
푙
푚(푥)휓표(푥)휓1(푥)푑푥
휔2 =
0
푙
푚(푥)휓1 푥
2 푑푥
0
푙
푚(푥)휓1(푥)휓2(푥)푑푥
훿 = 퐿푛
푋1
푋2
= 퐿푛
푋푛
푋푛+1
푋푖 = ℮−휁휔푡푖휌푐표푠(휔퐷푡푖 − 휃)
푡2 = 푡1+푡퐷 = 푡1 +
2휋
휔퐷
훿 =
2휋휔휁
휔퐷
=
2휋휁
1 − 휁2
푡푚 = 푡1+m푡퐷
훿 = 퐿푛
푋1
푋푚
=
2휋푚휉
1 − 휉2

4. 2. SISTEMAS FORZADOS
2.1. SIST. FORZADOS SIN AMORTIGUAMIE N TLOa Solucion es X(t) = XH +XP
Si el sistema no parte del reposo
Masa participante (cant. De masa del sist. Cont. Que participa en el movimiento)
Coef. de participación.
Rta dinámica.
Si el sistema parte del reposo
DET. Mo FLECTOR
CASO ζ = 0
A nivel espectral
DET. FZA CORTANTE
Cuando Existe resonancia
el desplazamiento es grande Dmax se obtiene derivando =0
y falla la estructura
DET. CORTANTE basal
Dimensionar para
Evitar el fenomeno de resonancia, esto se controla con las dimensiones de los elemtos estructurales Coef. sismico
Pag - 04 Pag - 13
RESPUESTA DIN. A NIVEL ESPECTRAL
EVALUACIÓN DE LAS FUERZAS DE SECCIÓN
SISTEMAS CONTINUOS BAJO LA ACCIÓN DEL SISMO
ζ < 20 %
SISTEMA CONTINUO α GDL SISTEMA DISCRETO 1 GDL
El desplazamiento
en la estructura real
EVAL. FZA. DE INERCIA EN
UN SIST. CONTINUO
En Ing. Civil
Por: Maverick Aguirre Jara Por: Maverick Aguirre Jara
FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA
componente
푚푥 + 푘푥 = 푃 푡
푥 + 휔2푥 =
1
푚
푃 푡
푋(푡) = 푋(표)푐표푠휔푡 +
푋 표
휔
−
푃표Ω
푚 휔2 − Ω2 푠푒푛휔푡 +
푃표
푚 휔2 − Ω2 푠푒푛Ω푡
푋(0) = 0 푋 표 = 0
푃 푡 = 푃표푠푒푛Ω푡
푋(0) ≠ 0 푋 표 ≠ 0
푋(푡) =
푃표
푚 휔2 − Ω2 푠푒푛Ω푡
퐷 =
푋푑푖푛
푋푒푠푡
푋푑푖푛 = 푋(푡) =
푃표
푚 휔2 − Ω2 푠푒푛Ω푡
푋푒푠푡 =
푃표
퐾 훽 =
Ω
휔
퐷 =
1
1 −
Ω2
휔2
푠푒푛Ω푡
퐷푚푎푥 =
1
1 −
Ω2
휔2
Ω ≠ 휔
Ω = 휔
푋(퐻) = 퐴푐표푠푤푡 + 퐵푠푒푛푤푡
푋(푃) = 퐶푠푒푛푡
퐶 =
푃표
푚(푤2 − 2)
푋(퐻)
푋(푃)
푌(푥,푡) = 휓(푥)푍(푡)
퐴푠푢푚푖푟 휓(푥)
푚∗푍 + 퐶∗푍 + 퐾∗푍 = − 푚(푥)휓(푥)푑푥 푌푠 (푡)
푙 = 푚(푥)휓(푥)푑푥
푚∗푍 + 퐶∗푍 + 퐾∗푍 = −푙푌푠 (푡)
푍 + 2휁휔푍 + 휔2푍 = −
푙
푚∗
푌푠 (푡)
푙
푚∗
푍(푡) = −
1
휔퐷
푙
푚∗ 푒−휁푤푡 푌푠 (푡)푠푒푛휔퐷푡 푑휏
푉(푡)
푍(푡) = −
1
휔퐷
푙
푚∗ 푉(푡)
푌(푥,푡) = −
휓(푥)
휔퐷
푙
푚∗ 푉(푡)
푀(푥,푡) = 퐸퐼(푥)
휓′′(푥)
휔퐷
푙
푚∗ 푉(푡)
푀푚푎푥 = 퐸퐼(푥)
휓′′(푥)
휔퐷
푙
푚∗ 푃푠푣
푉 =
푑푀
푑푥
푉푏 =
푙2휔퐷
푚∗ 푉(푡) 푉푚푎푥 =
푙2휔
푚∗ 푃푠푣
푌 푥 푚푎푥 =
휓(푥)
휔퐷
푙
푚∗ 푉(푡)
푌 푥 푚푎푥 =
휓(푥)
휔
푙
푚∗ 푃푠푣
푌 푥 푚푎푥 =
휓(푥)푙
푚∗ 푃푠푑
푌 푥 푚푎푥 =
휓(푥)푙
휔2푚∗ 푃푠푎
퐹퐼 푥,푡 = 푚(푥)휓(푥)
휔푙
푚∗ 푉(푡)
퐹퐼푚푎푥 = 푚(푥)휓(푥)
휔푙
푚∗ 푃푠푣
퐹퐼푚푎푥 = 푚(푥)휓(푥)
푙
푚∗ 푃푠푎
퐶 =
푃푠푎
푔
휔퐷 = 휔

5. 2.2. SIST. FORZADOS CON AMORTIGUAMIENT O La Solucion es X(t) = XH +XP
Sistema continuo de α gdl
REDUCIR LOS GDL gdl = n
gdl = α Se asume una función Para poder resolver manualmente
forma de vibrar
En la actualidad se modela con todos sus gdl
en Prg como ETABS 2013, SAP 2000
COMO ELEGIR 2.2.1. PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = PoSen Ωt
Función cualquiera que debe cumplir
las condiciones de borde MASA GENERALIZADA
(condiciones de apoyo)
Elegir 2 ó mas para eliminar RIGIDEZ GENRALIZADA
incertidumbres
mal elegida aumenta la rigidez AMORTIGUAMIENTO GENERL
(K)
adecuada genera la menor ω
CARGA GENERALIZADA
Se desprecia la componente tranciente
mi masas puntuales
ki reortes puntuales
k(x) resortes distribuidos
Q+ cargas puntuales Desplazamiento del suelo
SR solidos rigidos
Desplazamiento relativo
Pag - 12 Pag - 05
Sistema discreto
SISTEMA SÍSMICO
SISTEMAS CONTINUOS
PARAMETROS GENERALIZADOS
Por: Maverick Aguirre Jara Por: Maverick Aguirre Jara
CASO PARTICULAR
푚푥 + 푐푥 + 푘푥 = 푃 푡
푥 + 2휉휔푥 + 휔2푥 =
1
푚
푃 푡
푚∗ =
0
푙
푚(푥) 휓 푥
2 푑푥 +
푖=1
푛
푚푖휓푖
2 +
푖=1
푛
퐼표푖 휓푖´
2
퐾∗ =
0
푙
퐸퐼(푥) 휓(푥)
´´ 2
푑푥 +
0
푙
퐾(푥)휓(푥)
2 푑푥 +
푖=1
푛
퐾푖 Δ휓푖
2
퐶∗ =
0
푙
퐶(푥)휓(푥)
2 푑푥 +
푖=1
푛
퐶푖 휓푖
2
푃∗ =
0
푙
푃(푥,푡)휓(푥)푑푥 +
푖=1
푛
푃푖휓푖
푌(푥,푡) = 휓(푥)푍(푡)
휓(푥)
푚∗ =
0
푙
푚(푥) 휓 푥
2 푑푥
퐾∗ =
0
푙
퐸퐼(푥) 휓(푥)
´´ 2
푑푥
퐶∗ =
0
푙
퐶(푥)휓(푥)
2 푑푥
푃∗ =
0
푙
푃(푥,푡)휓(푥)푑푥
휓(푥)
휓(푥)
휓(푥)
휓(푥)
푋퐻 = 푒−휔휁푡[퐴 cos 휔퐷푡 + B sen휔퐷푡]
푋푒푠푡 =
푃표
훽 = 퐾
Ω
휔
푋푃 =
푋푒푠푡
1 − 훽2 2 + 2휁훽 2 1 − 훽2 푠푒푛Ω푡 − 2휁훽푐표푠Ω푡
푚푥 푟 + 퐶푥 푟 + 퐾푥푟 = −푚푥 푠
푥 푟 + 2휁휔푥 푟 + 휔2푥푟 = −푥 푠
푥푟 :
푥푠:
푚푥 + 퐶푥 + 퐾푥 = 푃(푡) = 푃표푠푒푛Ω푡
푋푝 = 휌푠푒푛(Ω푡 − 휃)
휌 =
푋푒푠푡
(1 − 훽2)2+(2휁훽)2
휃 = 푎푟푐푡푔
2휁훽
1 − 훽2
a =
푋푒푠푡(1−훽2)
(1−훽2)2+(2휁훽)2
b =
푋푒푠푡2휁훽
a (1−훽2)2+(2휁훽)2
b
푋(푡) = 푋퐻 + 푋푃
푋(푡) = 푋푃
푋퐻 = 푒−휁휔푡 퐴푐표푠휔퐷 푡 + 퐵푠푒푛휔퐷푡
푋푃 = 퐶1푠푒푛Ω푡 + 퐶2푐표푠Ω푡

6. 2.2.2. PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = CARGA PERIODICA
Valor aproximado de la envolvente de la Rta maxima
PSEUDO ESPECTRO VELOCIDAD PSV
De la integral de Duhamel para un sistema que parte del reposo
TRANSFORMACIÓN DE CARGA PERIODICA A CARGA ARMONICA POR SERIE DE FOURIER
ECUACIÓN DE PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTA ZONA Z
Relacion entre Pseudo espectro de aceleración, velocidad y desplazamiento 3 0.4
Coeficiente de amortiguamiento menor al 20% 2 0.3
En Ing. Civil 1 0.15
2.2.3. PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = mt+n TIPO Tp(s) S
S1 0.4 1
S2 0.6 1.2
S3 0.9 1.4
S4 Det. Det.
A NIVEL DE DESPLAZAMIENTOS
U
En Ing. Civil En General A 1.5
B 1.3
C 1
D *
* Criterio del Proyectista
A NIVEL DE VELOCIDAD
En Cualquier Caso Regular Irregul.
R 0.75R
9.5 7.125
6.5 4.875
6 4.5
A NIVEL DE ACELRACIÓN 8 6
7 5.25
En Ing. Civil En General 6 4.5
4 3
3 2.25
7 5.25
Pag - 06 Pag - 11
PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTA
PARÁMETROS DEL SUELO
FACTOR
DE
ZONA
Pórticos de Acero
Muros de ductilidad limitada
Albañilería Armada o Confinada
Const. de Madera (Por sfzos adm.)
DESCRIPCIÓN
Roca o suelos muy rígidos
Suelos Intermedios
Flexible o estratos gran esp.
Condic. Excepcionales
CATEGORÍA DE EDIFICACIONES
Edificaciones Esenciales
Edificaciones Importantes
Edificaciones Comunes
Edificaciones Menores
Struct Acero Arriostres Excéntrc.
Struct. Acero con Arriostres Cruz
Pórticos de Concreto Armado
Sistema Dual
Muros Estructurales
PARAMETROS SÍSMICOS
Por: Maverick Aguirre Jara Por: Maverick Aguirre Jara
RELACIÓN ENTRE PSEUDO SPECTRO Y SPECTRO DE RTA.
Sistema Estructural
SISTEMAS ESTRUCTURALES
푃푠푎 = 휔푃푠푣 = 휔2푃푠푑
휉 < 20%
푃 푡 =
푎푂
2
+
푛=1
푛
푎푛퐶표푠
2휋푛푡
푇푝
+
푛=1
푛
푏푛푆푒푛
2휋푛푡
푎표 =
1
푇푝
0
푇푝
푃 푡 푑푡
푎푛 =
2
푇푝
0
푇푝
푃 푡 퐶표푠
2휋푛푡
푇푝
푏푛 =
2
푇푝
0
푇푝
푃 푡 푆푒푛
2휋푛푡
푇푝
푋푝 =
1
푚퐾
푎표 +
푛=1
푛
1
1 − 훽푛
2 2휁훽푛
푎푛2휁훽푛 + 푏푛 1 − 훽푛
2 푆푒푛
2휋푛푡
푇푝
+ 푎푛 1 − 훽푛
2 − 푏푛2휁훽푛 퐶표푠
2휋푛푡
푇푝
푋(푡) = 퐷푢ℎ푎푚푒푙 = −
1
휔퐷
0
푡
푒−휁휔푡 푋 푠 휏 푠푒푛휔퐷푡 푑휏
푋푚푎푥 =
1
휔퐷
0
푡
푒−휁휔푡 푋 푠 휏 푠푒푛휔퐷푡 푑휏
푃푠푣
푋 (푡) ∶ 푉푒푙표푐푖푑푎푑
푃푠푣 ∶ 푃푒푠푢푑표 푒푠푝푒푐푡푟표 푣푒푙표푐푖푑푎푑
푃푠푎 =
푍푈퐶푆
푅
푔 퐶 = 2.5
푇푆
푇푃
≤ 2.5
휉 < 20%
휁 = 0 ; 푆푑 = 푃푠푑
휁 ≠ 0 ; 휔퐷 ≈ 휔 , 푆푑 ≈ 푃푠푑
휁 = 0 ; 푆푑 = 푃푠푑
휁 ≠ 0 ; 푆푑 ≠ 푃푠푑
휁 = 0 ; 푆푣 ≠ 푃푠푣 휁 ≠ 0 ; 푆푣 ≠ 푃푠푣
휉 < 20%
휁 = 0 ; 푆푎 = 푃푠a
휁 ≠ 0 ; 푆푎 ≈ 푃푠a
휁 = 0 ; 푆푎 = 푃푠a
휁 ≠ 0 ; 푆푎 ≠ 푃푠a

7. CASO I Carga impulsiva, son de gran intensidad pero de corta duración
z = 0 td : Tiempo de duración de la carga impulsiva
Si parte del reposo
CASO II Movimiento forzadoMovimiento libre
z ≠ 0 se mueve por el se mueve por
impulso de la carga inercia
dinámica
Es la envolvente de la respuesta maxima
Cada sismo tiene un espectro de respuesta
De la Integral de Duhamel
ESPECTRO DESPLAZAMIENTO Sd
1. Asumir un coef de amort. = a%
2. Asumir una serie de periodos de vibración T1, T2, …..Tn
3. Se obtiene frecuencias angulares del sit. W1, W2,……..Wn CONDENSACIÓN ESTÁTICA
4. Se obtiene la integral de Duhamel J1, J2,……Jn Mi = Mi' = 6EIΔ/L^2
5. Por lo tanto se tiene X(t) X1, X2,….Xn
6. Se obtiene respuesta max Xmx1,Xmx2,….Xmxn Ri = Ri' = 12EIΔ/L^3
7. Graficar la envolvente valores max)
ESPECTRO VELOCIDAD Sv
Mi = 4EIθ/L CONDENSACIÓN DINÁMICA
Mi' = 2EIθ/L
De forma similar a los pasos para
determinar el espectro desplazamiento Ri = Ri' = 6EIθ/L^2
ESPECTRO ACELERACIÓN Sa
De forma similar a los pasos para
determinar el espectro desplazamiento Ni = Ni' = ∂EA/L
Pag - 10 Pag - 07
FORMULAS DE ANALISIS ESTRUCTURAL
Corta Duración Se da generalmente
en la fase II La
fase I se estudia
para det.
Condicion inicial
de fase II
No se aprecia el efecto de la
fza Amort. FA=CX Por eso
en el cal. Aprox. Se puede
despreciar la Fza Amort.(FA)
No depende de la carga Dinamica
depende del area que genera la carga
dinamica.
PERIODOS T
RESPUESTA
MAXIMA
FZAS
AMORTIGUADORAS
RESPUESTA DINÁMICA
Larga Duración
Se da en la fase IInfluye la Fza Amortiguadora
RESPUESTA ANTE FUERZAS IMPULSIVAS
Por: Maverick Aguirre Jara Por: Maverick Aguirre Jara
DUHAMEL PARA SISMOS
ESPECTRO DE RESPUESTA
푋(푡) = −
1
푊퐷
푒−휁푤푡푋 푠 휏 푠푒푛푊퐷푡 푑휏
푋(푡) = −
1
휔퐷
0
푡
푋 푠 휏 푠푒푛휔 푡 − 휏 푑휏
푋(푡) = −
1
휔퐷
0
푡
푒−휁휔푡 푋 푠 휏 푠푒푛휔퐷푡 푑휏
휔퐷 = 휔 1 − 휁2 푡 = 푡 − 휏
푚푥 푟 + 푘푥푟 = −푚푥 푠
푥 푟 + 휔2푥푟 = −푥 푠
푚푥 푟 + 퐶푥 푟 + 푘푥푟 = −푚푥 푠
푥 푟 + 2휁휔푥 푟 + 휔2푥푟 = −푥 푠
푃(푡) = −푚푥 푠
푋 (푡) =
푑푥(푡)
푑푡
=
푑
푑푡
−
1
푊퐷
푒−휁푤푡푋 푠 휏 푠푒푛푊퐷푡 푑휏
푋 (푡) =
푑2푥(푡)
푑푡2 =
푑2
푑푡2 −
1
푊퐷
푒−휁푤푡푋 푠 휏 푠푒푛푊퐷푡 푑휏
푡푑 >
푇
4
푡푑 ≤
푇
4
푋푡푑 ≈ 0
퐼 = 푚푋 (푡푑) − 푚푋 (0)
퐼 = 푚푋 (푡푑)
푋 (푡푑) =
퐼
푚
퐴1 = 퐴2
퐾퐿퐿 퐾퐿휃
퐾휃퐿 퐾휃휃
퐾 퐿퐴푇퐸푅퐴퐿 = 퐾 퐿퐿 − 퐾 퐿휃[퐾휃휃]−1 퐾 휃퐿
Mi' Mi
Ri' Ri L
Δ
Ri' Ri
L
Mi θ
Mi
Ni' Ni
L
∂
퐾퐿퐸 =
푖푝
# 푃ó푟푡푖푐표푠
[퐶]푖푝
푇 [퐾퐿]푖푝[퐶]푖푝
[퐶푖] = 퐶표푠훼푖 , 푆푒푛훼푖 , 푑푖
3
1
2

8. Respuesta maxima FASE II Metodo que nos permite hallar la frecuencia angular del sistema ω
En este caso el impulso es de tiempo τ
FASE I 0 ≤ t ≤ td
Para det. Sus condiciones finales de fase I, que sonlas condiciones iniciales de la fase II.
CASO 01
≈ 0 Por que el tiempo es corto
Si el sistema no parte del reposo
I
Si parte del reposo Si el sistema parte del reposo
FASE II t > td
Corresponde a un movimiento libre parte de td CASO 02
0
Si el sistema no parte del reposo
Reemplazando cond. Iniciales se det. A y B.
Si el sistema parte del reposo
Pag - 08 Pag - 09
IMPULSOS DE CORTA DURACIÓN ( I )
Por: Maverick Aguirre Jara Por: Maverick Aguirre Jara
INTEGRAL DE DUHAMEL
푋(푡) = 푋(표)푐표푠휔푡 +
푋 표
휔
푠푒푛휔푡 +
1
푚휔
0
푡
푃 휏 푠푒푛휔 푡 − 휏 푑휏
푋(푡) =
1
푚휔
0
푡
푃 휏 푠푒푛휔 푡 − 휏 푑휏
푋(푡) = ℮−휁휔 푡 푋(표)푐표푠휔퐷푡 +
푋 표 + 휁휔푋(표)
휔퐷
푠푒푛휔퐷푡 +
1
푚휔퐷
0
푡
℮−휁휔 푡 푃 휏 푠푒푛휔퐷푡 푑휏
푋(푡) =
1
푚휔퐷
0
푡
℮−휁휔 푡 푃 휏 푠푒푛휔퐷푡 푑휏
푚푥 + 푘푥 = 푃 푡
푚푥 + 퐶푥 + 푘푥 = 푃 푡
휁 = 0
휁 ≠ 0
푋(0) ≠ 0 푋 표 ≠ 0
푋(0) ≠ 0 푋 표 ≠ 0
푋(0) = 0 푋 표 = 0
푋(0) = 0 푋 표 = 0
푡 = 푡 − 푡푑
푡 = 푡 − 휏
푚푥 + 퐶푥 + 푘푥 = 푃 푡
푠푒 푑푒푠푝푟푒푐푖푎 퐶푥
푡푑 <
푇
4
푡 = 푡푑 − 푡
푡 = 푡 − 푡푑
푚푥 + 푘푥 = 0
푋(푡) = 푋퐻 = 퐴푐표푠휔푡 + 퐵푠푒푛휔푡
푋(푡) = 푋표푐표푠휔푡 +
푋 (표)
휔
푠푒푛휔푡
푋(푡) = 푋(푡푑)푐표푠휔푡 +
푋 (푡푑)
휔
푠푒푛휔푡
푋(푡) =
푋 (푡푑)
휔
푠푒푛휔푡 =
퐼
푚휔
푠푒푛휔푡
푋푚푎푥 =
퐼
푚휔
푚푥 + 푘푥 = 푃 푡
0
푡푑
푚푥 (푡)푑푡 +
0
푡푑
퐾푥(푡)푑푡 =
0
푡푑
푃(푡)푑푡
푚푥 푡푑 − 푚푥 0 = 퐼
푚푥 푡푑 = 퐼 푂푗표 푥 푡푑 ≈ 0
퐼 = 퐴 = 푃(푡)Δ휏
푡푑 = 휏
Δ푥푖 = 푃 휏푖
Δ휏푖
푚휔
푠푒푛휔(푡 − 휏푖)
푋(푡) = Δ푥푖 = 푃 휏
Δ휏
푚휔
푠푒푛휔(푡 − 휏)
퐶푢푎푛푑표 Δ휏
.
0
.
.
.
. 푋(푡) =
1
푚휔
푃 휏 푠푒푛휔 푡 − 휏 푑휏