1. 106 Aritmética
Concepto deequivalentes
Fracciones proporción
En las páginas 31 a 36 del Tomo VI, Vol. 2,
Reflexiones
adicionales se aborda el concepto de proporción. El an-
tecedente a esta lección es el concepto de
Las razones finalmente son razón (Tomo V, Vol. 2).
números racionales, son frac- La página 31 (Fig. 1) muestra estas cinco
ciones. Por lo tanto tiene sus imágenes sobre un mismo motivo; de éstas,
propiedades y están sujetas a tres se ven igual, salvo por el tamaño, son a,
sus principios. d y e. Las otras dos (b y c) se notan distor-
sionadas con respecto a las anteriores. Esto
Una cualidad fundamental de
ocurre porque las dimensiones de las imá-
los números racionales es la
genes: largo y ancho que cambian de una
de equivalencia.
a otra imagen no forman siempre razones
Definición: equivalentes y entonces no siempre se for-
Dos números racionales A man proporciones de la manera en que se Fig.2
B
y P son equivalentes si y definen en el cuadro verde de la página 32 En el recuadro del profesor (Fig.2) se afirma:
Q
solamente si A×Q = P×B (Fig.2). En efecto, con los datos recabados “si una razón es equivalente a otra entonces
en esta última página se pueden formar tres esta equivalencia se expresa igualándolas
Los número racionales equi- proporciones con las correspondientes razo- ( 2 = 4 ) ” y en la página 34(Fig.3) se procede
valentes se construyen así: 3 6
nes de los casos a, d y e, mientras que al a justificar tal afirmación, justificación que se
Dado el número racional A sustenta en el principio de que: una razón A
B considerar las razones de los casos b y c no
y K cualquier número racional B
es posible formar proporciones. no se altera si se multiplica o divide A y B por
diferente de cero, entonces:
el mismo número diferente de cero.
(A×K)
(BK) es otro número ra-
cional equivalente a A .
B
El anterior es el discurso es-
trictamente matemático y en
el material analizado estamos
ante una propuesta de ense-
ñanza anclada en un contexto
que pretende ser real y que
debe ser significativo para el
alumno. De este contexto real
surgen las nociones de razón
y proporción, conceptos que
inmediatamente encuentran
interpretación en la realidad,
y constituyen una buena ruta
para acceder al conocimiento
matemático de este tipo de
números y a su aplicación. Fig.3
La página 36,
muestra una aplica-
ción del tema. Para
la actividad 1 las
razones DE, AC for-
EB CB
man una propor-
ción. Esto significa
que los triángulos
(encimados) ABC y
ADE son similares.
Fig.1 Este hecho hay que
aplicarlo para resol-
La respuesta a la pregunta de la actividad ver el problema de
3: “¿qué se nota de las imágenes cuyas ra- la actividad 2. Es
zones pueden formar proporciones?” Fue irrelevante que aho-
dada al principio del párrafo: Son iguales ra los triángulos no
salvo por el tamaño, mientras que entre las estén encimados.
que no se puede formar una proporción, las Además, hay que
Fig.4
imágenes no son iguales, una aparece más aplicar lo aprendido
ancha o larga que la otra. en la página 34.

2. Aritmética 107
Actividades que se sugieren para los futuros docentes
1. Encontrar el valor de x
a) 3 = 24
4 x
b) 5 = 35
x 42
c) 12 = x
7 56
a) x = 36
5 45
2. Un automóvil viaja 176 millas con 8 galones de gasolina. ¿Qué distancia viajará con
el tanque lleno si este se llena con 14 galones.

3. 108 Aritmética
Proporción directa
Fracciones equivalentes
Reflexiones
adicionales Las cualidades de los objetos y las tablas con
sus valores sugieren la idea de que se puede
Lo que en el análisis hemos tomar en cuenta a más valores, pero sobre todo
llamado cualidad, en el dis- que de alguna forma estas cualidades están re-
curso formal de la mate- lacionadas: el peso depende del número de ho-
mática se llama variable.
jas, el grosor también depende de esto, lo cual
Concepto que hace referen-
cia a características reales o es algo de sentido común, bajo el supuesto de
abstractas de objetos también que todas las hojas sean del mismo material y
reales o abstractos que cam- tengan las mismas dimensiones.
bian de valor.
En contraste con el concep-
En la tabla de la página 46 (Fig. 2), se pue-
to de variable se tiene el de
constante, que es también de observar que con las columnas se forman
una característica de los ob- razones equivalentes, es decir, con estas razo-
jetos reales o abstractos que nes se pueden formar proporciones.
se considera pero que no
cambian de valor. Por ejem-
En la tabla de la página 48 (Fig. 3) se registra
plo: en los experimentos del
tema el peso de cada hoja se la variación del peso del alambre con relación a
considera constante, no cam- la variación de la longitud y como antes los da-
bia; lo mismo se puede decir tos de las columnas forman razones equivalen-
Fig.1
del diámetro del cable. tes, las cuales dan lugar a proporciones, esta
En las páginas 44 a 51 del Tomo VI, Vol. 2,
Sean A y B dos variables. Se
dice que entre A y B hay una se aborda la proporción directa. Los contextos
relación de proporcionalidad en los que se han planteado los problemas de
directa, o de forma más espe- proporciones en páginas anteriores siempre
cífica, que A es directamente se expresa la proporción entre dos cualidades
proporcional a B, si existe
de los objetos en consideración: largo y an-
una constante k tal que
A = k × B. cho, cantidad de agua y jugo, aceite salado y
A la constante k se le llama vinagre, gramos de harina y gramos de leche,
constante de proporcionalidad. etc. Otra característica de los problemas de
proporcionalidad es que se consideran algu-
Sean B1, B2, B3, B4…Bn.
nos casos particulares de los objetos proble-
valores diferentes de la varia-
ble B. Los correspondientes ma. Ahora en este nuevo tema la perspectiva
valores de la variable A serán: es más amplia, las cualidades de los objetos
siguen siendo dos pero se considera su com-
A1=k × B1 portamiento de forma más extensa como se
A2=k × B2
observa en los experimentos como el mostra-
A3=k × B3
A4=k × B4 do en la imagen (Fig.1).
…
An=k × Bn
Es claro que la tabla formada Fig.3
con estos valores tiene pro-
piedades similares a las de es una cualidad conjunta de las cualidades de
nuestras lecciones. peso y longitud del cable y explica las trans-
formaciones que indican las flechas curvas de
color rojo que tienen estas tablas.
Si se calculan las razones Peso ÷ Lon-
gitud estas tendrán el valor de 20 para los
datos de cualquier columna. En general se
puede escribir:
Peso ÷ Longitud = 20.
Al valor 20 se le llama Constante de propor-
cionalidad.
En el experimento de las hojas, la constante
de proporcionalidad es 7, En efecto: Peso ÷
(Número de hojas) siempre tiene el valor 7 y
se puede escribir:
Peso ÷Número de hojas = 7
Fig.2

4. Aritmética 109
Actividades que se sugieren para los futuros docentes
1. El perímetro del círculo se calcula mediante la fórmula: P = 2πr, donde P representa
al perímetro, la letra π representa al número 3.14 y la letra r al radio del círculo.
Da los valores al radio para llenar la tabla
Perímetro
Radio 0
-¿El comportamiento del perímetro y el radio es directamente proporcional?
- En caso de contestar afirmativamente la pregunta anterior, responde: ¿cuál es el
valor de la constante de proporcionalidad?
- Dibuja una gráfica cartesiana para los valores de la tabla.
2. El área del círculo se calcula mediante la fórmula: A = πr2, donde A representa al
área, la letra π representa al número 3.14 y la letra r al radio del círculo.
Da los valores al radio para llenar la tabla
Área
Radio 0
-¿El comportamiento del área y el radio es directamente proporcional?
- En caso de contestar afirmativamente la pregunta anterior, responder: ¿cuál es el
valor de la constante de proporcionalidad?
- Dibuja una gráfica cartesiana para los valores de la tabla.