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Plus de Yuta Kashino (11)
Gunosy2015 07-07
- 3. 状態空間モデル
状態空間モデル
xn = Fnxn−1 + Gnvn (9.1)
yn = Hnxn + wn (9.2)
yn: 観測される時系列 次元 l
xn: 状態 (state) 次元 k
vn: システムノイズ(状態ノイズ) 平均ベクトル 0, 分散共分散行列 Qn
に従う m 次元の正規白色ノイズ
wn: 観測ノイズ 平均ベクトル 0, 分散共分散行列 Rn に従う l 次元の正
規白色ノイズ
Fn: k × k 次元
Gn: k × m 次元
Hn: l × k 次元
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- 4. 状態空間モデルの解釈
状態空間モデル
xn = Fnxn−1 + Gnvn (9.1)
yn = Hnxn + wn (9.2)
回帰モデルとしての解釈:
観測モデルは観測 yn を表現する回帰モデルで,xn が回帰係数,シス
テムモデルはその時間発展
信号理論としての解釈:
システムモデルは信号発生メカニズム,観測モデルはノイズが付加さ
れる様子を記述.
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- 5. 状態空間モデルの例: AR モデル
AR モデル
yn =
m∑
i=1
aiyn−i + vn (9.3)
xn = Fxn−1 + Gvn (9.4)
xn = (yn, yn−1, . . . , yn−m+1)T
F =
a1 a2 · · · am
1
...
1 0
, G =
1
0
...
0
(9.5)
H =
(
1 0 · · · 0
)
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- 6. カルマンフィルタによる状態の推定
観測値 Yj =⇒ xn の推定
Yj が与えられたときの xn の条件付き分布 p(xn|Yj) を求める問題
j < n: 予測 (prediction)
j = n: フィルタ (filtering)
j > n: 平滑 (smooting)
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- 7. カルマンフィルタ Kalman filter
[条件付き平均と共分散]
xn|j ≡ E(xn|Yj)
Vn|j ≡ E
(
(xn − xn|j)(xn − xn|j)T
)
(9.11)
[一期先予測]
xn|n−1 = Fnxn−1|n−1
Vn|n−1 = FnVn−1|n−1FT
n + GnQnGT
n (9.12)
[フィルタ]
Kn = Vn|n−1HT
n (HnVn|n−1HT
n + Rn)−1
xn|n = xn|n−1 + Kn(yn − Hnxn|n−1)
Vn|n = (I − KnHn)Vn|n−1 (9.13)
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- 8. カルマンフィルタの逐次計算
x1|0 −→ x2|0 −→ x3|0 −→ x4|0 −→ x5|0 −→
⇓
x1|1 =⇒ x2|1 −→ x3|1 −→ x4|1 −→ x5|1 −→
⇓
x1|2 ←− x2|2 =⇒ x3|2 −→ x4|2 −→ x5|2 −→
⇓
x1|3 ←− x2|3 ←− x3|3 =⇒ x4|3 −→ x5|3 −→
⇓
x1|4 ←− x2|4 ←− x3|4 ←− x4|4 =⇒ x5|4 −→
⇓
[ノーテーション] ⇓: フィルタ, =⇒: 予測, ←−: 平滑化, −→: 長期予測
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- 9. 9.3 平滑化のアルゴリズム
YN = y1, · · · , yN が与えられたとき,途中状態の xn を推定する.
[固定区間平滑化]
An = Vn|nFT
n+1V −1
n+1|n
xn|N = xn|n + An(xn+1|N − xn+1|n)
Vn|N = Vn|n + An(Vn+1|N − Vn+1|n)AT
n (9.14)
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- 10. 9.4 状態の長期予測
Yn = {y1, · · · , yn} に基づいて,1 期先予想をクリア消し,j 期先の状
態 xn+j(j > 1) を推定する.
カルマンフィルタにより一期先の xn+1|n と xn+1|n を求める.
yn+1 は得られないが,Yn+1 = Yn と仮定する =⇒
xn+1|n+1 = xn+1|n, Vn+1|n+1 = Vn+1|n
カルマンフィルタの n + 1 期に対する 1 期先アルゴリズムから 2 期先
予測が得られる.
xn+2|n = Fn+2xn+1|n
Vn2|n = Fn+2Vn+1|nFT
n+2 + Gn+2Qn+2GT
n+2 (9.15)
[長期予測]
xn+i|n = Fn+ixn+i−1|n
Vni|n = Fn+iVn+i−1|nFT
n+i + Gn+iQn+iGT
n+i (9.16)
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- 11. 9.5 時系列の予測
Yn が与えられたときの yn+j の平均,分散共分散行列を
yn+j ≡ E(yn+j|Yn), dn+j|n ≡ Cov(yn+j|Yn) とすると,
yn+j|n = E(Hn+jxn+j + wn+j|Yn)
= Hn+jxn+j|n (9.17)
dn+j|n = Cov(Hn+jxn+j + wn+j|Yn)
= Hn+jCov(xn+j|Yn)HT
n+j + Hn+jCov(xn+j, wn+j|Yn)
+ Cov(xn+j, wn+j|Yn)HT
n+j + Cov(wn+j|Yn)
= Hn+jVn+j|nHT
n+j + Rn+j (9.18)
注: yn|n−1, dn|n−1 はカルマンフィルタ (9.13) ですでにもとめられている
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- 13. 9.6 時系列モデルの尤度計算とパラメータ推定
時系列モデルの尤度
l(θ) = −
1
2
{
lNlog2π +
N∑
n=1
log|dn|n−1|
+
N∑
n=1
(yn − yn|n−1)T
d−1
n|n−1(yn − yn|n−1)
}
(9.23)
ただし,このままでは計算が大変.
データに欠損がない AR の場合はユール・ウォーカー,最小二乗法,
PARCOR 法などのほうがいい.
仕方なく (9.23) を計算する場合でも,次元圧縮を考える.
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- 14. 9.6 時系列モデルの尤度計算とパラメータ推定
次元圧縮の方法: 時系列の次元が l = 1 で wn の分散が Rn = σ2 で一定の
場合
1 R = 1 としてカルマンフィルタ (カルマンゲインを計算すると R = σ2
でも R = 1 でも同じ)
2 以下の式により ˆσ2 を求める
ˆσ2
=
1
N
N∑
n=1
(yn − yn|n−1)2
˜dn|n−1
(9.28)
3 以下の式により対数尤度 l(θ∗) を求める
l(θ∗
) = −
1
2
{
Nlog2πˆσ2
+
N∑
n=1
log ˜dn|n−1+N
}
(9.29)
4 1, 2, 3 のステップを繰り返して,対数尤度 l(θ∗) を最大化して,最尤
推定値 θ∗ を求める
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- 17. Python 版 カルマンフィルター
Python 版 カルマンフィルターの更新式
from␣numpy␣import␣dot
x␣=␣dot(F,␣x)␣+␣dot(B,␣u)
P␣=␣dot(F,␣P).dot(F.T)␣+␣Q
y␣=␣z␣-␣dot(H,␣x)
S␣=␣dot(H,␣P).dot(H.T)␣+␣R
K␣=␣dot(P,␣H.T).dot(np.linalg.inv(S))
x␣=␣x␣+␣dot(K,y)
P␣=␣(I␣-␣dot(K,␣H)).dot(P)
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- 18. MATLAB 版 カルマンフィルター
MATLAB 版 カルマンフィルターの更新関数
function␣[xhat_new,P_new,␣G]␣=␣kf(A,␣B,␣Bu,␣C,␣Q,␣R,␣u,␣y,␣xhat,␣P)
␣␣xhat␣=␣xhat(:);
␣␣u␣=␣u(:);
␣␣y␣=␣y(:);
␣␣xhatm␣=␣A*xhat␣+␣Bu*u;
␣␣Pm␣=␣A*P*A’␣+␣B*Q*B’;
␣␣G␣=␣Pm*C/(C’*Pm*C␣+␣R);
␣␣xhat_new␣=␣xhatm␣+␣G*(y␣-␣C’*xhatm);
␣␣P_new␣=␣(eye(size(A))␣-␣G*C’)*Pm;
end
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