Intervalos de confianza

1. Carrera: Procesos Industriales Área
Manufactura
Alumno: Oscar Torres Rivera
Materia: Estadística
Maestro: Lic. Gerardo Edgar Mata
Ortiz
Grado y sección: 2° “C”

2. Intervalos de confianza
En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima
que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente,
estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor
desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa
con 1 - α y se denominanivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error
aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación
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mediante tal intervalo.
El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo
más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un
intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de
error.
Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer
la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el parámetro presente
una distribución normal. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad de
Chebyshov.
En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un parámetro
poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo
[θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.
Las líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de confianza para la estimación del
valor μ.
ntervalo de confianza para la media de una población
De una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de elementos.
Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede demostrar que la media de
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todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:

3. 3
Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, la distribución de
medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (ogaussiana) con media μ y una
desviación típica dada por la siguiente expresión: . Esto se representa como
sigue: . Siestandarizamos, se sigue que:
En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un
determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z
≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una
distribución normal).
Se desea obtener una expresión tal que
En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se
encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral ( ), con una confianza
determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este
valor se le llamará (debido a que es el error que se cometerá, un término opuesto).
Para ello se necesita calcular el punto —o, mejor dicho, su versión estandarizada
o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución" . Estos puntos delimitan la
probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:
Dicho punto es el número tal que:
Y en la versión estandarizada se cumple que:
Así:

4. Haciendo operaciones es posible despejar para obtener el intervalo:
De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:
Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral ± el producto
del valor crítico por el error estándar .
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Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):
, donde s es la desviación típica de una muestra.
Aproximaciones para el valor para los niveles de confianza estándar son 1,96
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para y 2,576 para .
Intervalo de confianza para una proporción
El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de
una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:
En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del Límite y la
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aproximación de una binomial por una normal.