TABLE DES MATIÈRES
1 Caractérisation et étude des systèmes asservis 1
1.1 Systèmes asservis . . . . . . . . . . . . . . . ...
2 TABLE DES MATIÈRES
1.6.2 Des équations différentielles au schéma-bloc . . . . . . . . . . 28
1.6.3 Manipulation des sché...
CHAPITRE 1
CARACTÉRISATION ET ÉTUDE DES SYSTÈMES ASSERVIS
1.1 Systèmes asservis
Les systèmes asservis sont des systèmes au...
2 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
– Il agit sur le volant (donc sur le système), la rotation du volant es...
1.1 Systèmes asservis 3
c ) Constituants et signaux
Comparateur : le comparateur est chargé de comparer la consigne et l’i...
4 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
1.2 Caractéristiques d’un système asservi
1.2.1 Exemples de cahiers des...
1.2 Caractéristiques d’un système asservi 5
L’échelon est défini par :
t < 0 : e(t) = 0
t ≥ 0 : e(t) = E0
.
L’échelon unita...
6 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
L’entrée en rampe permet d’étudier
le comportement dynamique d’un sys-
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1.2 Caractéristiques d’un système asservi 7
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FIGURE 1.7 – Erreur indicielle- réponse temporelle à un échel...
8 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
1.2.4 Rapidité
La rapidité d’un système caractérise le temps mis par le...
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Système Système Syst...
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FIGURE 1.13 – Stabilité
– les réponses 5 et 6 sont ce...
12 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
1.3 Systèmes linéaires continus invariants
1.3.1 Systèmes linéaires
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1.3 Systèmes linéaires continus invariants 13
t
s
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0
1
(a) f = 4Hz
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(b) f = 10Hz
FIGURE 1.15 – Comportement ...
14 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
c ) Principales non-linéarités
Seuil : Un système présente un seuil si...
1.4 Description des systèmes linéaires 15
Les systèmes réels ne sont ni linéaires, ni continus, ni invariants
Il est par c...
16 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
1.4.2 Résolution par la transformée de Laplace
L’utilisation de la tra...
1.4 Description des systèmes linéaires 17
Q1. Détermination de l’équation différentielle liant du mouvement liant Z(t) et
...
18 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
À l’équilibre (pas de mouvement),
d2
z(t)
dt2
= 0,
d2
Z(t)
dt2
= 0 ,
d...
1.4 Description des systèmes linéaires 19
– pour h2 = 1200
∆2 = 0
une racine double
r =
−h − ∆2
2·M
= −60
La solution géné...
20 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
M·B·ω2
·cos(ω· t)−M· A·ω2
·sin(ω· t)
+h · A·ω·cos(ω· t)−h ·B·ω·sin(ω· ...
1.4 Description des systèmes linéaires 21
z(t)
Z(t)
1000
t
s
0.5 1 1.5 2
FIGURE 1.19 – Réponse temporelle
22 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
b ) Exemple guide - Sismographe - 2
On reprend l’étude à partir de l’é...
1.4 Description des systèmes linéaires 23
La décomposition en fraction simple s’écrit :
Z(p) =
A
p +180
+
B
p +20
Par iden...
24 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
La transformée de Laplace permet donc de résoudre les équations différ...
1.5 Fonction de transfert – Transmittance 25
1.5 Fonction de transfert – Transmittance
Un système dynamique linéaire est d...
26 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
1.5.2 Schéma bloc
À partir de la fonction de transfert, on établit le ...
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 27
B. 2nd ordre
Soit un système décrit par...
28 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
E S1
S2
Une jonction est un point de prélèvement. La variable
de la br...
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 29
Pour chaque équation, on trace le schém...
30 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
– Déplacement vers l’aval :
H
E1 −
+
u
L
S
R1
P
n1
= H
E1
L
−
+
S
R1
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1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 31
Chaine de retour, la chaine constituée ...
32 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
−+ H1
E(p)
H2
ε(p)
H3
S(p)
FIGURE 1.24 – Structure d’un système linéai...
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 33
Étape 3 : On applique ensuite la formul...
34 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
−+ F
E1
G
ε1
H
−
+
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L
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M
v S1
P
QR
n1
n2
FIGURE 1.29 – Schéma-bloc ...
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 35
c ) Principe de superposition
Une des p...
36 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
On détermine rapidement la fonction de transfert vis à vis de l’entrée...
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 37
1.6.5 Application guide : Moteur à cour...
38 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
(a) schémla de principe
E(t)
R
L
u(t)
(b) schéma électrique équivalent...
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 39
FIGURE 1.35 – Modélisation mécanique
Co...
40 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
Cm(p) = KT ·I(p) KT
Cm(p) I(p)
E(p) = KE ·Ωm(p) KE
Ωm(p) E(p)
U(p) = R...
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 41
soit en réorganisant
Ωm(p) =
KT
(Ie · p...
42 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
1.6.6 Exercices
Exercice 4- Fonction de transfert d’un moteur CC Corri...
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 43
Le schéma bloc de commande d’une planeu...
44 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
θθ
θ1
Pompe
x
Vanne
α
FIGURE 1.38 – Échangeur thermique
– et dans l’en...
1.7 Corrigés 45
θθ
θ1
Pompe
x
Vanne
MKc−+
u(t)
α
capteur
θc
FIGURE 1.39 – Échangeur thermique asservi
1.7 Corrigés
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  1. 1. TABLE DES MATIÈRES 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis 1 1.1 Systèmes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Structure d’un système asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Régulation et asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Caractéristiques d’un système asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Exemples de cahiers des charges de SA . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Les signaux canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Dépassements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.6 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.7 Systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Systèmes linéaires continus invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Systèmes continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Systèmes invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Description des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Description par les équations différentielles . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Résolution par la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Fonction de transfert – Transmittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.1 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.2 Schéma bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.3 Pôles et zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonc- tionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.1 Schéma fonctionnel ou schéma bloc . . . . . . . . . . . . . . . 27 1
  2. 2. 2 TABLE DES MATIÈRES 1.6.2 Des équations différentielles au schéma-bloc . . . . . . . . . . 28 1.6.3 Manipulation des schémas blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.4 Exemple guide : détermination d’une fonction de transfert . . 32 1.6.5 Application guide : Moteur à courant continu à champ per- manent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
  3. 3. CHAPITRE 1 CARACTÉRISATION ET ÉTUDE DES SYSTÈMES ASSERVIS 1.1 Systèmes asservis Les systèmes asservis sont des systèmes automatisés, ils forment la plus grande partie des systèmes que nous allons étudier cette année. 1.1.1 Structure d’un système asservi L’objectif d’un système automatisé étant de remplacer l’homme dans une tâche, nous allons pour établir la structure d’un système automatisé commencer par étu- dier le fonctionnement d’un système dans lequel l’homme est la « partie com- mande ». a ) Exemple : conducteur au volant d’un véhicule θ d FIGURE 1.1 – maintien de la trajectoire d’une voiture Le conducteur doit suivre la route (figure 1.1), pour cela : – Il observe la route et son environnement et évalue la distance d qui sépare son véhicule du bord de la route. – Il détermine en fonction du contexte l’angle θ qu’il doit donner au volant pour suivre la route. 1
  4. 4. 2 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis – Il agit sur le volant (donc sur le système), la rotation du volant est transmise aux roues via la colonne de direction. – puis de nouveau il recommence son observation pendant toute la durée du déplacement. – Si un coup de vent dévie le véhicule, après avoir observé et mesuré l’écart il agit pour s’opposer à cette perturbation le plus rapidement possible. b ) Schéma fonctionnel Le fonctionnement peut être traduit par le schéma de la figure 1.2. Comparer Déterminer Agir Transmettre Mesurer consigne erreur θ d d’ perturbations (a) Schéma fonctionnel Comparateur Régulateur Actionneur Effecteur Capteur consigne erreur θ d d’ perturbations (b) Constituants FIGURE 1.2 – Schémas caractéristiques d’un asservissement Les schémas de la figure 1.2 présente la structure classique d’un système asser- vis, on y retrouve la structure générique que nous avons détaillée dans le chapitre précédent (figure ??). Elle fait apparaître une chaine directe d’action et boucle de rétroaction. Un capteur mesure en permanence l’évolution de la sortie à contrôler (ici la distance d) et en retourne une image (d ) à la partie commande qui la compare à la consigne. En fonction de l’erreur ( ), le système va déterminer la nouvelle loi de commande (ici θ) et agir.
  5. 5. 1.1 Systèmes asservis 3 c ) Constituants et signaux Comparateur : le comparateur est chargé de comparer la consigne et l’image de la grandeur à asservir. À la sortie du comparateur, on trouve l’erreur (ou écart) entre ces deux informations. Partie commande ou régulateur : la partie commande, le régulateur, le contrô- leur, détermine la loi de commande à partir de l’erreur et de son évolution. Actionneur : c’est l’organe d’action qui apporte l’énergie au système pour pro- duire l’effet souhaité. Il est en général associé à un pré-actionneur qui per- met de moduler l’énergie. Capteur : le capteur prélève sur le système la grandeur réglée ( information phy- sique ) et la transforme en un signal compréhensible par le régulateur. La précision et la rapidité sont deux caractéristiques importantes du capteur. Effecteur : L’effecteur rassemble l’ensemble des constituants qui vont permettre d’obtenir la sortie à partir de l’énergie fournie par l’actionneur. On trouvera par exemple dans un asservissement qui agit sur de l’énergie mécanique : – un réducteur à engrenages, – un système de transmission à poulie et courroies ou à chaîne, – un mécanisme bielle manivelle, – un système vis-écrou, – ... Consigne : la consigne, est la grandeur réglante du système, c’est ce que l’on veut obtenir. Sortie régulée : la sortie régulée représente le phénomène physique que doit ré- gler le système, c’est la raison d’être du système. Perturbation : on appelle perturbation tout phénomène physique intervenant sur le système qui modifie l’état de la sortie. Un système asservi doit pou- voir maintenir la sortie a son niveau indépendamment des perturbations. Écart, erreur : on appelle écart ou erreur, la différence entre la consigne et la sor- tie. Cette mesure ne peut être réalisée que sur des grandeurs comparables, on la réalisera donc en général entre la consigne et la mesure de la sortie. 1.1.2 Régulation et asservissement On considère deux types principaux de systèmes asservis. Régulation : on appelle régulation un système asservi qui doit maintenir constante la sortie conformément à la consigne (constante) indépendamment des per- turbations (régulation de température d’un four, régulateur de vitesse, ...). Asservissement : on appelle asservissement un système asservi dont la sortie doit suivre le plus fidèlement possible la consigne quelle que soit son évolution (suivi de trajectoire d’un robot, asservissement de vitesse).
  6. 6. 4 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis 1.2 Caractéristiques d’un système asservi 1.2.1 Exemples de cahiers des charges de SA – Four : Un four électrique doit atteindre la température de consigne à 10°C près en moins de 30 min puis la maintenir sans fluctuation. À l’ouverture de la porte la température ne doit pas chuter. – Robot d’assemblage 1 : Un robot assure l’assemblage de deux pièces, la pre- mière arrive sur un tapis et s’arrête devant le poste d’assemblage. Le robot saisit l’autre pièce sur un tapis d’amenage et la positionne sur la première. La précision d’assemblage est de 0,2 mm. – Robot d’assemblage 2 : Afin d’améliorer la productivité du poste précédent, on ne souhaite plus arrêter la première pièce et réaliser l’assemblage de ma- nière dynamique. – Suspension : La suspension active doit assurer une hauteur de caisse constante quelle que soit la charge du véhicule et doit absorber les défauts de la route. Le nombre des oscillations résiduelles ne doit pas être supérieur à 3. Nous voyons au travers de ces quelques extraits de cahier de charges les carac- téristiques que l’on peut attendre d’un système asservi : – Le temps de réponse du four est de 30 min ; – Le système de régulation du four doit permettre de rejeter les perturbations (ouverture de la porte) ; – La précision est une qualité importante pour le four (10°C près), le premier robot ( 0,2 mm). Pour ces deux systèmes, il s’agit de l’erreur à une entrée constante (la température, la position), pour le deuxième robot, il doit être précis pendant le mouvement (suivi de trajectoire). – Le système peut autoriser ou non les oscillations avant la stabilisation et bien sûr tous ces systèmes doivent être stables. 1.2.2 Les signaux canoniques Pour étudier le comportement d’un système asservi, on le sollicite avec des signaux canoniques qui permettent de caractériser des fonctionnements particu- liers. a ) Échelon - Heaviside L’échelon est le signal de base d’étude des systèmes asservis. Il permet d’étu- dier le comportement du système lorsqu’on on lui applique une consigne constante. Il est généralement noté u(t) L’échelon unitaire est appelé fonction de Heaviside et parfois noté H(t).
  7. 7. 1.2 Caractéristiques d’un système asservi 5 L’échelon est défini par : t < 0 : e(t) = 0 t ≥ 0 : e(t) = E0 . L’échelon unitaire par : t < 0 : e(t) = 0 t ≥ 0 : e(t) = 1 . t s 0 1 0 1 FIGURE 1.3 – Échelon unitaire b ) Impulsion - Dirac Cette fonction permet de simuler le comportement à un choc, une impulsion. L’impulsion ou fonction de Dirac (figure 1.4(a)) est définie par : ∀t = 0,δ(t) = 0 et ˆ +∞ −∞ δ(t)dt = 1. Elle est physiquement irréalisable elle peut être modélisée par la limite lorsque τ tend vers 0 de la fonction représentée sur la figure 1.4(b). t s 0 1 0 1 ↑ +∞ (a) impulsion de Dirac t s 0 1 0 1 1 τ τ → 0 (b) modèle de l’impulsion de Dirac FIGURE 1.4 – impulsion de Dirac c ) Rampe
  8. 8. 6 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis L’entrée en rampe permet d’étudier le comportement dynamique d’un sys- tème et principalement sa capacité à suivre une consigne variable. La rampe est définie par : t < 0 : e(t) = 0 t ≥ 0 : e(t) = a · t . t s 0 1 0 1 FIGURE 1.5 – Rampe d ) Sinusoïdal L’entrée sinusoïdale permet d’étu- dier le comportement fréquentiel du système en faisant varier la pulsation du signal. Le signal sinusoïdal est défini par : t < 0 : e(t) = 0 t ≥ 0 : e(t) = a ·sinω· t t s 0 1 2 0 1 FIGURE 1.6 – Rampe 1.2.3 Précision La précision est caractérisée par l’écart entre la consigne et la sortie. La pré- cision peut être soit absolue, soit relative, elle est toujours définie par rapport à un type de sollicitation : un échelon si on souhaite caractériser la réponse pour une consigne constante, une rampe si on souhaite étudier le comportement dy- namique. a ) Erreur indicielle L’erreur indicielle est mesurée entre la valeur finale de la réponse du système en régime établi (à l’infini) et la consigne en échelon unitaire. La figure 1.7 montre la réponse de plusieurs systèmes à un échelon unitaire. L’erreur indicielle est notée i , par abus de langage, elle est souvent notée s et appelée erreur statique.
  9. 9. 1.2 Caractéristiques d’un système asservi 7 t s 0 1 2 0 1 εi FIGURE 1.7 – Erreur indicielle- réponse temporelle à un échelon b ) Erreur de traînage L’erreur de traînage est une mesure de l’aptitude d’un système à suivre une consigne variable, elle est notée t . Cette erreur est mesurée en régime établi, entre la consigne et la réponse du système (figure 1.8 ). t s 0 1 2 0 1 εt εt FIGURE 1.8 – Erreur de traînage- réponse temporelle à une rampe
  10. 10. 8 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis 1.2.4 Rapidité La rapidité d’un système caractérise le temps mis par le système à atteindre la valeur finale pour une entrée en échelon.ce n’est théoriquement qu’au bout d’un temps infini que le régime permanent est atteint. Néanmoins, pour chiffrer en pra- tique la rapidité du régime transitoire, on a l’habitude de considérer le temps de réponse à 5% ; c’est le temps au bout duquel le système a atteint son régime per- manent à 5% près et à partir duquel il ne s’en écarte pas de plus de 5%. De la même manière on peut définir les temps de réponse à 10% et à 2%. La figure 1.9 montre pour trois réponses temporelles : – la courbe 1 est caractéristique d’un système non oscillant, le temps de ré- ponse à 5% de ce système est : T5% = T1. À partir de l’instant T1 la réponse est toujours comprise entre les deux bandes à ±5% de la valeur finale. – les courbes 2 et 3 sont caractéristiques d’un système dont la réponse est os- cillatoire amortie. Les instants T2 et T3 correspondent aux temps de réponse à 5% des réponses 2 et 3. t s 0 1 0 1 1 2 3 -5% +5% T2T3 T1 FIGURE 1.9 – Temps de réponse On constate en comparant les réponses des systèmes 2 et 3 que les temps de ré- ponses sont comparables mais que le comportement est lui fortement différents. Le système 3 est fortement oscillant et semble plus «dynamique» que le système 2. Le temps de réponse, tel qu’il est défini ne permet pas de différencier ces deux sys- tèmes. Pour les différencier, il est possible de déterminer le temps de montée Tm que l’on détermine en mesurant l’intervalle de temps séparant les instants aux- quels la réponse indicielle vaut 10% et 90% de la valeur finale (ou entre 20% et 80%). On remarque sur la figure 1.10 que les deux temps de montée Tm2 et Tm3 sont notablement différents.
  11. 11. 1.2 Caractéristiques d’un système asservi 9 t s 0 1 0 1 2 3 -5% +5% 90% 10% T2 T3Tm2 Tm3 FIGURE 1.10 – Temps de montée 1.2.5 Dépassements La mesure du dépassement relatif des systèmes oscillatoires amortis permet d’évaluer le taux d’oscillation du système. L’amplitude du dépassement et la rapi- dité de décroissance caractérise la stabilité relative. Le dépassement relatif est déterminé pour chaque dépassement de la valeur finale (figure 1.11) Di% = S(tmi )−S(∞) S(∞) = di (∞) avec – Di% : le dépassement relatif pour le ime maximum. – tmi : l’instant du ime maximum. – S(∞) : la valeur finale. – S(tmi ) : la valeur du ime maximum. – di = S(tmi )−S(∞). Un critère important de réglage peut être l’absence de dépassement. 1.2.6 Stabilité La stabilité est la plus importante des caractéristiques que doit posséder un système asservi. Une manière intuitive de préciser la notion de stabilité est d’imaginer un sys- tème que l’on écarte de sa position initiale par une impulsion et de regarder son évolution, s’il retrouve sa position initiale, il est stable, s’il s’en écarte, il est in- stable(figure 1.12).
  12. 12. 10 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis t s 0 1 0 1 d1 d2 d3 d4 FIGURE 1.11 – Dépassement Système Système Système Stabilité stable instable indifférent conditionnelle FIGURE 1.12 – Stabilité des systèmes Un système à stabilité indifférente va s’écarter de sa position initiale pour trou- ver une autre position stable différente de la première, le système s’écarte mais ne diverge pas. Plusieurs définitions de la stabilité sont envisageables. Définition 1 : Un système physique est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. Définition 2 : Un système physique est stable si la réponse libre du système tend vers zéro à l’infini, c’est dire qu’il retourne spontanément vers son état d’équi- libre lorsqu’il en est écarté. Ces deux définitions sont équivalentes pour les systèmes linéaires. La figure 1.13 présente la réponse temporelle de quelques systèmes sollicités par un échelon : – les réponses 1, 2, 3 , 4 sont caractéristiques de systèmes stables. La réponse 1 est une réponse apériodique, les trois autres sont oscillatoires amorties.
  13. 13. 1.2 Caractéristiques d’un système asservi 11 t s 0 1 0 1 2 1 3 4 5 6 FIGURE 1.13 – Stabilité – les réponses 5 et 6 sont celles de systèmes instables, elles sont toutes les deux divergentes, oscillatoire ou non. On note aussi en comparant les réponses 2 à 4 que le critère strict de stabilité, s’il est nécessaire, n’est pas suffisant. En effet est-il envisageable qu’un système atteigne sa position définitive après un grande nombre d’oscillations ? 1.2.7 Systèmes dynamiques Les systèmes asservis sont une branche des systèmes dynamiques. On appelle système dynamique un système pour lequel, les grandeurs de sortie dépendent des valeurs présentes et passées des grandeurs d’entrée. Parmi les systèmes dynamiques, nous limiterons notre étude aux seuls sys- tèmes linéaires continus et invariants (SLCI).
  14. 14. 12 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis 1.3 Systèmes linéaires continus invariants 1.3.1 Systèmes linéaires Définition : Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d’un en- semble d’équations différentielles à coefficients constants 1 . Les systèmes li- néaires possèdent principalement deux propriétés : – la proportionnalité ; – l’additivité. Système x1(t) y1(t) Système x2(t) = λ· x1(t) y2(t) = λ· y1(t) t s 0 1 0 1 y1(t) x1(t) y2(t) = λ· y1(t) x2(t) = λ· x1(t) FIGURE 1.14 – Proportionalité a ) Principe de proportionnalité Définition : Si y(t) est la réponse à l’entrée x(t) alors λ·y(t) est la réponse à λ·x(t). Dans un système linéaire, l’effet est proportionnel à la cause (figure 1.14). L’effet de proportionnalité n’est effectif que lorsque le système a atteint sa po- sition d’équilibre ou que le régime permanent s’est établi. La caractéristique Entrée / Sortie d’un système linéaire est une droite dont la pente est appelée gain du système. La réponse, en régime définitif (en régime permanent) d’un système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l’entrée. Sur la figure 1.15 on constate que la réponse en régime établi à une entrée sinusoïdale de fréquence f est aussi une sinusoïde de même fréquence mais déphasée et atténuée. 1. Les équations différentielles seront abordées dans la suite du cours et approfondies en ma- thématiques
  15. 15. 1.3 Systèmes linéaires continus invariants 13 t s 0 1 0 1 (a) f = 4Hz t s 0 1 0 1 (b) f = 10Hz FIGURE 1.15 – Comportement en régime permanent b ) Additivité - principe de superposition Définition : Si y1(t) est la réponse à l’entrée x1(t) et y2(t) est la réponse à l’entrée x2(t) alors, y1(t)+ y2(t) est la réponse à l’entrée x1(t)+ x2(t)(figure 1.16) Les principes de proportionnalité et de superposition vont nous permettre, connaissant la réponse d’un système à des sollicitations simples de déterminer par additivité et proportionnalité la réponse à des sollicitations plus complexes. t s 0 1 0 1 y1(t) x1(t) y2(t) x2(t) y1(t)+ y2(t) x2(t)+ x1(t) FIGURE 1.16 – Principe de superposition
  16. 16. 14 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis c ) Principales non-linéarités Seuil : Un système présente un seuil si la sortie n’évolue que lorsque l’entrée dé- passe une valeur minimale (seuil). Les seuils ont souvent pour origine des frottements secs. Saturation Un système présente une saturation lorsque la sortie n’évolue plus au- delà d’une valeur limite. Ces saturations sont dues soit aux limites mécaniques du système (butées) soit aux limites des interfaces de puissance (saturation des amplificateurs opérationnels). Courbure : La quasi totalité des systèmes présente des courbures plus ou moins prononcées. Dans la plupart des cas le système est approché par une droite passant par l’origine, mais il est aussi possible de linéariser autour d’un point de fonc- tionnement. Hystérésis : Un système présente une réponse avec une hystérésis lorsque le com- portement est différent suivant le sens d’évolution de la variable d’entrée. Exemple : cycle de magnétisation. x y (a) seuil x y (b) saturation x y (c) courbure x y (d) hystérésis FIGURE 1.17 – Non-linéarités 1.3.2 Systèmes continus Un système est dit continu lorsque les grandeurs physiques qui le caracté- risent, évoluent de manière continue d’un état à un autre. On oppose les systèmes continus aux systèmes discrets pour lesquels l’évolu- tion d’un état à un autre se fait par « saut » d’une valeur à la suivante. 1.3.3 Systèmes invariants On dit qu’un système est invariant lorsque les caractéristiques du système ne se modifient pas dans le temps.
  17. 17. 1.4 Description des systèmes linéaires 15 Les systèmes réels ne sont ni linéaires, ni continus, ni invariants Il est par contre toujours possible de modéliser correctement le système afin que celui ci puisse être considéré comme linéaire, continu et invariant dans la zone d’étude. 1.4 Description des systèmes linéaires Pour réaliser la commande d’un système, il est nécessaire d’établir les rela- tions existant entre les entrées (variables de commande) et les sorties (variables d’observation), c’est à dire être capable de modéliser le problème permettant de répondre à une question du type : Comment doit-on régler la chaudière pour avoir une température de 20 ◦ C ? L’ensemble de ces relations s’appelle le « modèle mathématiques » du système ou modèle de connaissance. 1.4.1 Description par les équations différentielles Un système dynamique linéaire peut être décrit par une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs d’entrée et de sortie. L’équation générale d’un système linéaire est de la forme : bm dm y(t) dtm +bm−1 dm−1 y(t) dtm−1 +···+b1 d y(t) dt +b0 · y(t) = an dn x(t) dtn + an−1 dm−1 x(t) dtm−1 +···+ a1 dx(t) dt + a0 · x(t) on note : d y(t) dt = ˙y(t) dérivée 1re de y(t) par rapport au temps d2 y(t) dt2 = ¨y(t) dérivée 2nd de y(t) par rapport au temps dn y(t) dtn dérivée nme de y(t) par rapport au temps Pour les systèmes réels, m ≥ n (principe de causalité 2 ) À partir de cette représentation il est possible de déterminer l’évolution tem- porelle de la sortie en résolvant l’équation différentielle. 2. nous verrons plus loin dans le cours
  18. 18. 16 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis 1.4.2 Résolution par la transformée de Laplace L’utilisation de la transformée de Laplace permet de ramener la résolution d’une équation différentielle a une manipulation algébrique puis à la lecture d’un tableau de fonctions. Remarque : : pour toute cette partie et pour toute la suite, il est nécessaire de bien assimiler le cours sur la transformation de Laplace en annexe ??. a ) Exemple guide - Sismographe Un sismographe est un instrument de mesure équipé d’un capteur des mou- vements du sol, le sismomètre, capable de les enregistrer sur un support visuel, le sismogramme. Un sismographe simple est constitué d’un ressort de raideur k et de longueur naturelle l0, d’un amortisseur de coefficient de frottement h et d’une masse M (m) considérée comme ponctuelle. Le ressort et l’amortisseur sont fixés à un cadre(C) rigide solidaire du sol(S). L’amortisseur exerce sur la masse M une force de frottement fluide proportion- nelle à la vitesse relative de M par rapport au cadre. Un stylet reproduisant les déplacements verticaux de la masse M par rapport au cadre est fixé au niveau de la masse M (voir figure 1.18). On considère que l’axe vertical #»zg est un des axes du référentiel galiléen. M Og #»zg Z(t) z(t) (a) Schéma – M = 10kg : masse de la masse M, – k = 36kN m−1 : raideur du ressort, – l0 : longueur à vide du ressort, – h : coefficient de frottement fluide avec les valeurs suivantes : h1 = 2000N s m−1 , h2 = 1200N s m−1 , h3 = 600N s m−1 . (b) Données FIGURE 1.18 – Sismomètre On note, Z(t) le mouvement du sol et z(t) le mouvement du stylet. Le mouve- ment du stylet dépend de la sollicitation (Z(t)), de la masse et des caractéristiques ressort et de l’amortisseur.
  19. 19. 1.4 Description des systèmes linéaires 17 Q1. Détermination de l’équation différentielle liant du mouvement liant Z(t) et z(t). Pour établir l’équation différentielle, nous allons appliquer la deuxième loi de Newton 3 (Principe Fondamental de la Dynamique en Translation) qui s’énonce : Dans un référentiel galiléen, la variation de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le solide : # » Fext = d dt # »pS/Rg Rg que l’on peut aussi écrire : # » Fext = M· # »aS/Rg avec # »aS/Rg l’accélération du solide par rapport au référentiel galiléen. La masse est soumise à 3 actions mécaniques : – son poids #» P = M· g · #»zg – l’action du ressort qui s’oppose à sa déformation #» Fr = −k ·(z −l0)· #»zg – l’action de l’amortisseur, force de frottement fluide proportionnelle à la vi- tesse relative de M par rapport au cadre : #» Fa = −h · dz dt · #»zg = −h · ˙z(t)· #»zg Il reste à déterminer l’accélération de la masse M par rapport au référentiel galiléen : # »aS/Rg . La masse M se déplace verticalement, la projection sur #»zg dans le référentiel galiléen est : # » Og M· #»zg = Z(t)+ z(t). Pour un mouvement de translation vertical, l’accélération est la dérivée se- conde du déplacement, soit : # »aS/Rg = d2 Z(t) dt2 + d2 z(t) dt2 #»zg = ¨Z(t)+ ¨z(t) #»zg . Le principe fondamental de la dynamique en translation s’écrit donc : M· d2 Z(t) dt2 +M· d2 z(t) dt2 = M· g −k ·(z −l0)−h · dz dt en réorganisant : M· d2 z(t) dt2 +h · dz dt +k · z = −M· d2 Z(t) dt2 +M· g +k ·l0 3. vu en TS dans le cours de physique
  20. 20. 18 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis À l’équilibre (pas de mouvement), d2 z(t) dt2 = 0, d2 Z(t) dt2 = 0 , dz dt = 0 et z = ze, on peut écrire k · ze = M· g +k ·l0 On pose z = ze = 0 à l’équilibre, donc : M· g +k ·l0 = 0 L’équation différentielle se simplifie donc en : M· d2 z(t) dt2 +h · dz(t) dt +k · z = −M· d2 Z(t) dt2 M· ¨z(t)+h · ˙z(t)+k · z(t) = −M· ¨Z(t) L’équation du mouvement est une équation différentielle du second ordre (dé- rivée seconde) à coefficients constants. La sortie est ici z(t), c’est à dire le tracé du stylet sur le rouleau, il dépend de la sollicitation, l’entrée ici, Z(t) et des coefficients de l’équation. Il ne reste plus qu’à la résoudre ! Q2. Résolution de l’équation différentielle L’annexe ?? présente les principes de la résolution des équations différentielles. On reconnaît une équation différentielle du second ordre à coefficients constants avec un second membre. Déterminons dans un premier temps la solution générale de l’équation sans second membre : M· ¨z(t)+h · ˙z(t)+k · z(t) = 0 L’équation caractéristique est M·r2 +h ·r +k = 0 ∆ = h2 −4·k ·M Compte tenu des valeurs numériques de h (figure 1.18(b)), ∆ prend les valeurs suivantes : – pour h1 = 2000 , ∆1 = 2560000 > 0 soit deux racines réelles r1 = −h + ∆1 2·M = −20 r2 = −h − ∆1 2·M = −180 La solution générale de l’équation différentielle sans second membre est donc : z(t) = A1 ·e−180·t + A2 ·e−20·t
  21. 21. 1.4 Description des systèmes linéaires 19 – pour h2 = 1200 ∆2 = 0 une racine double r = −h − ∆2 2·M = −60 La solution générale de l’équation différentielle sans second membre est donc : z(t) = (A1 + A2 · t)·e−60·t – pour h3 = 600 : ∆3 = −1080000 < 0 soit deux racines complexes : r1 = −h +i · |∆3| 2·M = −30· 1+i · 3 r2 = −h −i · |∆3| 2·M = −30· 1−i · 3 La solution générale de l’équation différentielle sans second membre est donc : z(t) = A1 ·sin(30· 3· t)+ A2 ·cos(30· 3· t) ·e−30·t Le sismomètre est soumis à une accélération sinusoïdale de pulsation ω et d’amplitude A0 : ¨Z(t) = Γ0 ·sin(ω· t) Q3. Déterminer la réponse temporelle pour chacune des valeurs du coefficient de frottement fluide. L’équation différentielle devient, avec le second membre M· d2 z(t) dt2 +h · dz(t) dt +k · z(t) = −M·Γ0 ·sin(ω· t) On recherche une solution particulière de la même forme que le second membre : zp(t) = A·sin(ω· t)+B·cos(ω· t) dzp(t) dt = A·ω·cos(ω· t)−B·ω·sin(ω· t) dzp(t) dt = −A·ω2 ·sin(ω· t)−B·ω2 ·cos(ω· t) en substituant dans l’équation différentielle : M· −A·ω2 ·sin(ω· t)−B·ω2 ·cos(ω· t) +h ·(A·ω·cos(ω· t)−B·ω·sin(ω· t)) +k ·(A·sin(ω· t)+B·cos(ω· t)) = −M· A0 ·Γ0 ·sin(ω· t)
  22. 22. 20 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis M·B·ω2 ·cos(ω· t)−M· A·ω2 ·sin(ω· t) +h · A·ω·cos(ω· t)−h ·B·ω·sin(ω· t) +k ·B·cos(ω· t)+(k · A·sin(ω· t) = −M· A0 ·Γ0 ·sin(ω· t) −M·B·ω2 +h · A·ω+k ·B ·cos(ω· t) + −M· A·ω2 −h ·B·ω+k · A ·sin(ω· t) = −M·Γ0 ·sin(ω· t) (k −M·ω2 )·B+h · A·ω ·cos(ω· t) + −h ·B·ω+ k −M·ω2 · A ·sin(ω· t) = −M·Γ0 ·sin(ω· t) h ·ω· A+ k −M·ω2 ·B = 0 −h ·ω·B+ k −M·ω2 · A = −M·Γ0 ⇒ B = − h ·ω k −M·ω2 · A A = M·Γ0 · k −M·ω2 h2 ·ω2 + k −M·ω2 2 Q4. Déterminer la solution générale avec les conditions initiales suivantes : z(0) = 0 et ˙z(0) = 0 pour h = 1200. La solution générale est la somme de la solution générale sans second membre et la solution particulière : z(t) = (A1 + A2 · t)·e−60·t + A·sin(ω· t)+B·cos(ω· t) les deux constantes A1 et A2 sont déterminées à partir des conditions initiales, on obtient (pour Γ0 = 1 et ω = 10) : z(t) = − 3 34225 − 1 370 · t ·e−60·t + 3 34225 ·cos(10· t)− 7 27380 ·sin(10· t) La réponse temporelle (figure 1.19) montre que la sortie en régime permanent est de même période que le signal d’entrée mais déphasée et atténuée. Nous voyons avec cet exemple que la résolution d’un système linéaire peut s’avérer relativement complexe. Il n’est pas d’usage en automatique d’utiliser cette méthode, on préfère l’utili- sation de la transformée de Laplace.
  23. 23. 1.4 Description des systèmes linéaires 21 z(t) Z(t) 1000 t s 0.5 1 1.5 2 FIGURE 1.19 – Réponse temporelle
  24. 24. 22 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis b ) Exemple guide - Sismographe - 2 On reprend l’étude à partir de l’équation différentielle du mouvement reliant le mouvement de la masse z(t) en fonction de l’accélération verticale du boitier γZ(t). M· d2 z(t) dt2 +h · dz(t) dt +k · z = −M· d2 Z(t) dt2 M· d2 z(t) dt2 +h · dz(t) dt +k · z = −M·γZ(t) On pose : L (z(t)) = Z(p) et L γZ(t) = Γ(p) Q1. On se place dans les conditions d’Heaviside, écrire l’équation différentielle dans le domaine symbolique. L’équation différentielle devient : M· p2 ·Z(p)+h · p ·Z(p)+k ·Z(p) = −M·Γ(p) Q2. En déduire Z(p) en fonction de Γ(p) Z(p) = −M M· p2 +h · p +k ·Γ(p) On soumet le cadre à une impulsion de Dirac γZ(t) = δ(t). Q3. Déterminer la réponse temporelle pour les différentes valeurs de h. On a L γZ(t) = 1, l’équation devient : Z(p) = −M M· p2 +h · p +k Compte tenu des valeurs numériques deM = 10kg et k = 36kN m−1 , pour les différentes valeurs de h : – h1 = 2000N s m−1 Z(p) = −10 10· p2 +2000· p +36000 = −1 p2 +200· p +3600 Le dénominateur admet 2 racines réelles (voir la 1re étude) Z(p) = −1 p +180 · p +20
  25. 25. 1.4 Description des systèmes linéaires 23 La décomposition en fraction simple s’écrit : Z(p) = A p +180 + B p +20 Par identification on obtient : Z(p) = 1 160· p +180 − 1 160· p +20 À partir du tableau des transformées page ??, on déduit la réponse tempo- relle pour un Dirac : z(t) = 1 160 ·e−180·t − 1 160 ·e−20·t ·u(t) – h2 = 1200N s m−1 Z(p) = −10 10· p2 +1200· p +36000 = −1 p2 +120· p +3600 Le dénominateur admet 1 racine double Z(p) = −1 p +60 2 À partir du tableau des transformées page ?? on obtient z(t) = −t ·e−60·t ·u(t) – h3 = 600N s m−1 Z(p) = −1 p2 +60· p +3600 Le dénominateur admet 2 racines complexes conjuguées, pour déterminer la transformée inverse, on doit mettre la fraction rationnelle sous la forme : 1 ω0 · 1− z2 e−zω0t ·sin ω0 1− z2.t Z(p) = −1 p2 +60· p +3600 = −1 p2 +2·0,5·60· p +602 soit ω0 = 60rad s−1 et z = 0,5. On retrouve la fonction temporelle à partir du tableau : z(t) = 1 60· 1−0,52 e−0,5·60·t ·sin 60 1−0,52 · t ·u(t) z(t) = 1 30· 3 e−30·t ·sin 30· 3· t ·u(t
  26. 26. 24 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis La transformée de Laplace permet donc de résoudre les équations différen- tielles à coefficients constants. Cette méthode ne permet pas de résoudre d’autres équations que celle que l’on pourraient résoudre par la méthode classique, par contre elle permet de prendre en compte rapidement les conditions initiales et surtout les signaux d’entrées composés. Exercice 1- Sismographe-suite Corrigé page ?? Reprendre l’exercice sur Sismographe page 16, dans le cas où h = 1200. Q1. Déterminer la réponse temporelle à partir des transformées de Laplace si la sollicitation est une sinusoïde. Q2. Déterminer la réponse temporelle à partir des transformées de Laplace pour la sollicitation décrite par le graphe ci-dessous : t γ(t) 0,25 0,5 0,75 1 0,25 0,5 0,75 Exercice 2- Circuit RC Corrigé page ?? R C vsve FIGURE 1.20 – Circuit RC On se propose de déterminer l’évo- lution de la tension aux bornes du condensateur (vs(t)) en fonction de l’évolution de la tension d’entrée du circuit (ve(t)) du circuit RC (figure 1.20). Les relations qui décrivent le fonc- tionnement sont : – La loi d’Ohm aux bornes de la ré- sistance : ve(t)− vs(t) = R·i(t) – La relation caractéristique d’un conden- sateur parfait : i(t) = C · dvs(t) dt Q1. Établir l’équation différentielle reliant la tension aux bornes du condensateur et la tension d’entrée. Q2. Résoudre l’équation différentielle si on soumet le circuit complètement dé- chargé (vs(0) = 0) à un échelon de tension (ve(t) = U0V pour t > 0). Q3. Tracer l’allure de la réponse temporelle.
  27. 27. 1.5 Fonction de transfert – Transmittance 25 1.5 Fonction de transfert – Transmittance Un système dynamique linéaire est décrit par une équation différentielle à co- efficients constants liant les grandeurs d’entrée et de sortie. bm dm y(t) dtm +bm−1 dm−1 y(t) dtm−1 +···+b1 d y(t) dt +b0 · y(t) = an dn x(t) dtn + an−1 dm−1 x(t) dtm−1 +···+ a1 dx(t) dt + a0 · x(t) On se place dans les conditions de Heaviside (toutes les conditions initiales sont nulles). On pose : L (x(t)) = X(p) et L y(t) = Y(p) En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l’égalité les conditions initiales étant nulles. bm · pm +bm−1 · pm−1 +···+b1 · p +b0 ·Y(p) = an · pn + an−1 · pn−1 +···+ a1 · p + a0 ·X(p) ce qui permet d’écrire Y(p) = an · pn + an−1 · pn−1 +···+ a1 · p + a0 bm · pm +bm−1 · pm−1 +···+b1 · p +b0 ·X(p) On appelle H(p) = Y(p) X(p) = an · pn + an−1 · pn−1 +···+ a1 · p + a0 bm · pm +bm−1 · pm−1 +···+b1 · p +b0 la fonction de transfert (ou transmittance) du système. Dans le cas des systèmes physiques, le degré du dénominateur est supérieur au degré du numérateur : m > n. 1.5.1 Forme canonique Il est toujours possible de mettre la fonction de transfert sous la forme suivante dite forme canonique avec : H(p) = N(p) D(p) = K · N(p) pα ·D1(p) = an · pn + an−1 · pn−1 +···+ a1 · p +1 pα bm · pm +bm−1 · pm−1 +···+b1 · p +1 avec – N(p) : un polynôme en p avec N(0) = 1 ; – D1(p) : un polynôme en p avec D1(0) = 1 ; – K : le gain de la fonction de transfert ; – α : la classe de la fonction de transfert.
  28. 28. 26 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis 1.5.2 Schéma bloc À partir de la fonction de transfert, on établit le schéma bloc du système H(p) X(p) Y(p) soit an · pn + an−1 · pn−1 +···+ a1 · p + a0 bm · pm +bm−1 · pm−1 +···+b1 · p +b0 X(p) Y(p) 1.5.3 Pôles et zéros On appelle zéros : les racines de N(p) = 0, le polygone du numérateur. pôles : les racines de D(p) = 0, le polynôme du dénominateur Exercice 3- Fonctions de transfert Corrigé page ?? A. 1r ordre Soit un système décrit par l’équation différentielle suivante : 5· ds(t) dt +8· s(t) = e(t) On pose E(p) = L (e(t)) et S(p) = L (s(t)). On se place dans les conditions de Heaviside. Q1. Déterminer la fonction de transfert G(p) = S(p E(p) , la mettre sous forme cano- nique. Q2. Tracer le schéma bloc. Q3. Déterminer, à partir du tableau des transformée inverses, la réponse tempo- relle pour la réponse à une échelon Q4. Déterminer la réponse temporelle à partir des transformées de Laplace pour la sollicitation décrite par le graphe ci-dessous : t γ(t) 0,5 1 1,5 2 0,5 1 1,5
  29. 29. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 27 B. 2nd ordre Soit un système décrit par l’équation différentielle suivante : 3· d2 s(t) dt2 +5· ds(t) dt +4· s(t) = de(t) dt +8·e(t) On pose E(p) = L (e(t)) et S(p) = L (s(t)). On se place dans les conditions de Heaviside. Q5. Déterminer la fonction de transfert G(p) = S(p E(p) , la mettre sous forme cano- nique. Q6. Tracer le schéma bloc. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 1.6.1 Schéma fonctionnel ou schéma bloc La représentation par le schéma fonctionnel permet de représenter de manière graphique un système linéaire. Chaque bloc du schéma caractérise une des fonctions du système (un des consti- tuants), on associe à chaque bloc la fonction de transfert du constituant qu’il re- présente. Les arcs qui relient les blocs portent les informations d’entrée et de sortie de la fonction de transfert. On détermine la fonction de transfert de chaque constituant à partir des équa- tions différentielles régissant son comportement. L’allure globale du schéma ren- seigne sur sa structure (boucle ouverte, boucle fermée). Le système d’équations est ainsi remplacé par un schéma comportant un en- semble de blocs représentant les fonctions du système. Les branches entre les blocs portent les variables intermédiaires du système. a ) Formalisme Bloc : H(p) E(p) S(p) Le bloc est représenté par un cadre rectangulaire, il possède une entrée et une sortie, la fonction de trans- fert du bloc est déterminée d’après les équations de fonctionnement : H(p) = S(p) E(p) . Jonction :
  30. 30. 28 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis E S1 S2 Une jonction est un point de prélèvement. La variable de la branche 1 est identique à celle de la branche 2 S1 = S2 = E, un prélèvement d’information ne modi- fie pas la variable. Sommateur : − + + E1 E2 E3 S Les sommateurs permettent d’additionner et sous- traire des variables, ils possèdent plusieurs entrées mais une seule sortie : S = E1 −E2 +E3. Comparateur : + − E1 E2 ε Le comparateur est un cas particulier de sommateur, il permet de calculer la différence entre deux signaux : ε = E1 −E2. La figure 1.21 montre le schéma-bloc d’un système. −+ F E1 G H − + u L M S1 P QR n1 n2 FIGURE 1.21 – Sschéma-bloc 1.6.2 Des équations différentielles au schéma-bloc Nous allons reprendre l’exercice Circuit RC de la page 24 pour expliquer le pas- sage au schéma-bloc. Les relations qui décrivent le fonctionnement sont : – La loi d’Ohm aux bornes de la résistance : vs(t)− ve(t) = R·i(t) – La relation caractéristique d’un condensateur parfait : i(t) = C · dvs(t) dt On se place dans les conditions de Heaviside. Dans le domaine symbolique (avec les conventions précédentes) on peut écrire :    vs(t)− ve(t) = R·i(t) i(t) = C · dvs(t) dt → Vs(p)−Ve(p) = R· p ·I(p) I(p) = C · p ·Vs(p)
  31. 31. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 29 Pour chaque équation, on trace le schéma bloc élémentaire correspondant : I(p) = 1 R Vs(p)−Ve(p) −+ Ve(p) 1 R Vs(p I(p) Vs(p) = 1 C · p 1 C · p I(p) Vs(p) puis on associe, les différents schémas élémentaires obtenus −+ Ve(p) 1 R 1 C · p I(p) Vs(p) D’où la fonction de transfert en appliquant la formule de Black dans le cas d’un retour unitaire : Vs(p) Ve(p) = BO(p) 1+BO(p) = 1 R·C · p 1+ 1 R·C · p Vs(p) Ve(p) = 1 1+R·C · p On le voit, le schéma-bloc, est un outil très pratique qui permet d’obtenir rapi- dement la fonction de transfert d’un système complexe. Associé à la transformée de Laplace, c’est l’outil de base de l’étude des asservissements. 1.6.3 Manipulation des schémas blocs Blocs en série : Il est possible de remplacer des blocs en série (sans jonction ni sommateur entre chaque bloc) par le bloc produit des fonctions de chaque bloc. Ainsi : F G H u = F·G·H u) Il est important de noter que si les blocs ont un sens physique (ils sont la traduction du comportement d’un constituant) , le bloc produit n’a lui qu’un sens mathématique. Déplacement d’un sommateur : Il est souvent utile de déplacer un sommateur, soit pour faciliter l’analyse, soit (souvent) pour transformer un schéma bloc en un schéma bloc à retour unitaire. – Déplacement vers l’amont : H E1 − + u L S R1 P n1 = − + E1 H L S R1 P 1 H n1
  32. 32. 30 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis – Déplacement vers l’aval : H E1 − + u L S R1 P n1 = H E1 L − + S R1 PL n1 Déplacement d’une jonction : comme pour les sommateurs, il est souvent néces- saire de déplacer un point de prélèvement. – Déplacement vers l’aval L M S1 Q = L M S1 1 M Q – Déplacement vers l’amont L M S1 Q = L M S1 LQ a ) Fonction de transfert d’un système linéaire à retour non unitaire Soit un système décrit par le schéma bloc de la figure 1.22 −+ H1 E(p) H2 ε(p) H3 S(p) R2R3 m(p) Chaine directe Chaine de retour FIGURE 1.22 – Structure d’un système linéaire à retour non unitaire On appelle : Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF), la fonction définie par BF(p) = S(p) E(p) ; Chaine directe, la chaine constituée des blocs reliant l’entrée et la sortie : on note, CD(p) = S(p) ε(p) , la fonction de transfert en chaine directe ;
  33. 33. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 31 Chaine de retour, la chaine constituée des blocs reliant la sortie au comparateur : on note CR(p) = m(p) S(p) , la fonction de transfert de la chaine de retour Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) , la fonction définie par BO(p) = m(p) ε(p) = CD(p)·CR(p). Le schéma-bloc peut se ramener au schéma de la figure 1.23(a) que l’on peut mettre sous la forme de la figure 1.23(b). −+ E(p) H1 ·H2 ·H3 ε(p) S(p) R2 ·R1 m(p) (a) −+ E(p) CD(p) ε(p) S(p) CR(p) m(p) (b) FIGURE 1.23 – Structure d’un système linéaire à retour non unitaire À partir ce cette représentation on peut écrire les trois équations ci-dessous puis déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système    S(p) = CD(p)·ε(p) m(p) = CR(p)·S(p) ε(p) = E(p)−m(p) en substituant dans la 1re équation, on obtient : S(p) = CD(p)· E(p)−CR(p)·S(p) soit S(p) = CD(p) 1+CD(p)·CR(p) ·E(p) ce qui permet d’écrire la fonction de transfert en boucle fermée : BF(p) = S(p) E(p) = CD(p) 1+CD(p)·CR(p) que l’on écrit généralement : BF(p) = S(p) E(p) = CD(p) 1+BO(p) et que l’on nomme formule de Black Dans le cas particulier ou le schéma bloc est à retour unitaire (figure 1.24), alors la formule de Black devient. BF(p) = S(p) E(p) = BO(p) 1+BO(p)
  34. 34. 32 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis −+ H1 E(p) H2 ε(p) H3 S(p) FIGURE 1.24 – Structure d’un système linéaire à retour unitaire 1.6.4 Exemple guide : détermination d’une fonction de transfert Il y a deux méthodes principales pour déterminer la fonction de transfert d’un système, la prémière méthode s’appuie sur la modification du schéma-bloc pour se ramener à une forme simple permettant d’appliquer la formule de Black, l’autre méthode est purement analytique. Souvent nous utiliserons une combinaison des deux. a ) Détermination par la modification du schéma bloc On reprend l’exemple de la figure 1.21. Étape 1 : On commence par simplifier tous les blocs en série (figure 1.25). −+ E1 F·G·H ε(p) − + u L M S1 P Q·R n1 n2 FIGURE 1.25 – Détermination fonction de transfert - étape 1 Étape 2 : Ensuite, il faut déplacer les jonctions ou les sommateurs qui sont entre- lacés (sur la figure 1.26, on a choisit de déplacer la jonction vers l’aval). −+ E1 F·G·H ε(p) − + u L M S1 P 1 M Q·R n1 n2 FIGURE 1.26 – Détermination fonction de transfert - étape 2
  35. 35. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 33 Étape 3 : On applique ensuite la formule de Black lorsque c’est possible, ici sur la boucle interne, on détermine la fonction de transfert S1(p) U(p) (figure 1.27). S1(p) U(p) = L·M 1+L·M·P −+ E1 F·G·H ε(p) L·M 1+L·M·P S1 1 M Q·R n2 FIGURE 1.27 – Détermination fonction de transfert - étape 3 Étape 4 : Il ne reste plus qu’à appliquer la formule de Black (figure1.28) : – Chaine directe : CD(p) = F·G·H·L·M 1+L·M·P – Chaine de retour : CR(p) = Q·R M – FTBO : BO(p) = F·G·H·L·M 1+L·M·P · Q·R M = F·G·H·L·Q·R 1+L·M·P BF(p) = S1(p) E1(p) = CD(p) 1+BO(p) = F·G·H·L·M 1+L·M·P 1+ F·G·H·L·Q·R 1+L·M·P BF(p) = F·G·H·L·M 1+L·M·P +F·G·H·L·Q·R F·G·H·L·M 1+L·M·P +F·G·H·L·Q·R E1(p) S1(p) FIGURE 1.28 – Détermination fonction de transfert - étape 4 b ) Détermination analytique Pour déterminer analytiquement la fonction de transfert, il est préférable de partir de la sortie et de remonter vers l’entrée. Au préalable il est nécessaire de nommer toutes les entrées et sorties des sommateurs et des jonctions (figure1.29). On écrit ensuite les différentes relations, en partant de chaque nœud de sortie (sortie générale, sortie des comparateurs, jonctions) en remontant jusqu’au nœud précédent.
  36. 36. 34 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis −+ F E1 G ε1 H − + u L ε2 M v S1 P QR n1 n2 FIGURE 1.29 – Schéma-bloc - variables intermédiaires nommées    S1(p) = M· v(p) v(p) = L·ε2(p) ε2(p) = F·G·H·ε1 −P ·S1(p) ε1(p) = E1(p)−R·Q· v(p) On cherche à faire disparaitre les sorties de comparateurs, d’abord ε1    S1(p) = M· v(p) v(p) = L·F·G·H·ε1 −L·P ·S1(p) ε1(p) = E1(p)−R·Q· v(p) puis ε2 S1(p) = M· v(p) v(p) = L·F·G·H· E1(p)−R·Q· v(p) −L·P ·S1(p) S1(p) = M· v(p) v(p) = L·F·G·H·E1(p)−L·F·G·H·R·Q· v(p)−L·P ·S1(p) soit S1(p) = M· v(p) v(p)(1+L·F·G·H·R·Q) = L·F·G·H·E1(p)−L·P ·S1(p) il reste à remplacer v(p) S1(p)(1+L·F·G·H·R·Q) = M·L·F·G·H·E1(p)−M·L·P ·S1(p) en ré-organisant : S1(p)(1+M·L·P ·+L·F·G·H·R·Q) = M·L·F·G·H·E1(p) d’où la fonction de transfert S1(p) E1(p) = M·L·F·G·H 1+M·L·P ·+L·F·G·H·R·Q
  37. 37. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 35 c ) Principe de superposition Une des propriétés principales des systèmes linéaires est la superposition, on retrouve cette propriétés dans la représentation par schéma blocs. −+ E1 F − + H S R G E2 FIGURE 1.30 – Schéma-bloc avec 2 entrées Le schéma 1.30 présente un système dont la sortie S dépend de deux entrées E1 et E2. Déterminons la sortie S(p) en fonction de E1(p) et E2(p). S(p) = H· F· E1(p)−R·S(p) −G·E2(p) S(p) = H·F·E1(p)−H·F·R·S(p)−H·G·E2(p) S(p)·(1+H·F·R) = H·F·E1(p)−H·G·E2(p) Finalement, on obtient la relation donnant S : S(p) = H·F 1+H·F·R ·E1(p)− H·G 1+H·F·R ·E2(p) Montrons que l’on peut déterminer cette fonction en utilisant la superposition Dans un premier temps, on pose E2(p) = 0 (figure 1.31(a)), le schéma devient celui de la figure 1.31(b) −+ E1 F − + H S R G E2 = 0 (a) −+ E1 F H S R (b) FIGURE 1.31 – Sschéma-bloc
  38. 38. 36 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis On détermine rapidement la fonction de transfert vis à vis de l’entrée E1(p) pour E2(p) = 0. S(p)E2(p)=0 = H·F 1+H·F·R ·E1(p) Dans un second temps, on pose E1(p) = 0 (figure 1.32(a)), le schéma devient celui de la figure 1.32(b) que l’on peut simplifier en déplaçant le signe négatif vers le sommateur (figure 1.32(c)). Finalement on peut mettre le schéma sous la forme classique de la figure 1.32(d) −+ E1 = 0 F − + H S R G E2 (a) -1 F − + H S R G E2 (b) F +− H S R G −E2 (c) G −E2 −+ H S RF (d) FIGURE 1.32 – Sschéma-bloc On détermine ainsi rapidement la fonction de transfert vis à vis de l’entrée E2(p) pour E1(p) = 0. S(p)E1(p)=0 = − H·G 1+H·F·R ·E2(p) On retrouve bien en sommant les deux fonctions, la fonction donnant S(p) en fonction de E1(p) et E2(p) : S(p) = S(p)E2(p)=0 +S(p)E1(p)=0 S(p) = H·F 1+H·F·R ·E1(p)− H·G 1+H·F·R ·E2(p)
  39. 39. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 37 1.6.5 Application guide : Moteur à courant continu à champ permanent a ) Principe de fonctionnement Un moteur 4 à courant continu est constitué d’un rotor bobiné (induit) qui est placé dans le champ magnétique créé par un stator (inducteur), le champ peut être créé par un aimant permanent ou par un stator bobiné. rotor - induit stator - inducteur collecteur FIGURE 1.33 – Moteur à courant continu - écorché Le courant qui circule dans un conducteur du rotor placé dans le champ ma- gnétique produit une force qui à tendance à faire tourner le rotor (figure 1.34). La force agissant sur le conducteur est proportionnelle au courant circulant dans le conducteur. Lorsque le rotor tourne une force électromotrice est induite dans le rotor qui s’oppose à la tension d’alimentation, cette tension, appelée force contre électro- motrice f.c.e.m, est proportionnelle à la vitesse de rotation de l’arbre moteur. b ) Modèle de connaissance D’un point de vue électrique le moteur peut donc être modélisé de la façon suivante (schéma 1.34(b)). le rotor est équivalent à une résistance, une inductance et un générateur en série le stator est une inductance. On note : – U(t) : tension de commande d’in- duit, – I(t) : courant d’induit, – E : force contre électromotrice, – L, R : inductance et résistance d’induit ; 4. Le principe et l’étude des machines électriques sera approfondi en sciences physiques
  40. 40. 38 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis (a) schémla de principe E(t) R L u(t) (b) schéma électrique équivalent MCC à aimant permanent FIGURE 1.34 – Schéma de principe moteur CC Pour la suite nous n’étudierons que les moteurs dont le flux inducteur est constant (cas des moteurs à aimant permanent). Dans ce cas, le couple moteur est proportionnel au courant. Relations électromécaniques On peut donc écrire les deux relations électromé- caniques du moteur : – la force contre-électromotrice est proportionnelle à la vitesse de rotation : E(t) = KE ·ωn(t) – le couple délivré par le moteur est proportionnel au courant dans le circuit induit : Cm(t) = KT ·i(t) On appelle – KE : constante de F.c.e.m du moteur. – KT : constante de couple du moteur (dépendant du flux de l’inducteur) ; Ces deux constantes sont égales. Équation électrique A partir du schéma équivalent du moteur on écrit l’équa- tion différentielle (loi des mailles) qui relie la tension de commande u(t) au cou- rant i(t) dans le circuit : u(t) = R·i(t)+L· di(t) dt +E(t)
  41. 41. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 39 FIGURE 1.35 – Modélisation mécanique Comportement mécanique Le couple moteur cm(t) entraine le rotor en rotation et l’arbre moteur. Le rotor a une inertie Ir [kgm2 ]. La charge est caractérisée par son inertie Ic ramené sur l’arbre moteur. Un couple résistant cr (t) s’oppose au mouvement. L’arbre moteur est en liaison pivot avec le bâti, les frottements dans la liaison sont modélisés par un couple de frottement fluide proportionnel à la vitesse de rotation : cf (t) = −f ·ωm(t). L’application du théorème du moment cinétique appliqué à l’arbre moteur et à la charge donne : (Ic +Ir )· dωm(t) dt = cm(t)− f ·ωm(t)−cr (t) On pose Ie = Ic + Ir , avec Ie l’inertie équivalente à l’ensemble mobile ramené sur l’arbre moteur. Ie · dωm(t) dt = cm(t)− f ·ωm(t)−cr (t) Le fonctionnement du moteur est donc traduit par ces quatre équations. c ) Schéma-bloc du moteur On pose : L (ωm(t)) = Ωm(p), L (cm(t)) = Cm(p), L (cr (t)) = Cr (p), L (u(t)) = U(p), L (E(t)) = E(p) et L (i(t)) = I(p). On se place dans les conditions de Heaviside. Dans le domaine symbolique, les quatre équations deviennent : cm(t) = KT ·i(t) → Cm(p) = KT ·I(p) E(t) = KE ·ωn(t) → E(p) = KE ·Ωm(p) u(t) = R·i(t)+L· di(t) dt +E(t) → U(p) = R+L· p ·I(p)+E(p) Ie · dωm(t) dt = cm(t)− f ·ωm(t)−cr (t) → Ie · p ·Ωm(p) = Cm(p)− f ·Ωm(p)−Cr (p) Pour chaque équation on peut tracer un schéma- bloc élémentaire :
  42. 42. 40 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis Cm(p) = KT ·I(p) KT Cm(p) I(p) E(p) = KE ·Ωm(p) KE Ωm(p) E(p) U(p) = R+L· p ·I(p)+E(p) que l’on met sous la forme I(p) = 1 R+L· p · U(p)−E(p) −+ U(p) 1 R+L· p E(p I(p) U(p) = Ie · p · Ωm(p) = Cm(p) − f · Ωm(p)−Cr (p) que l’on met sous la forme Ωm(p) = 1 f +Ie · p · Cm(p)−Cr (p) −+ Cm(p) 1 f +Ie · p Cr (p) Ωm(p) À partir de ces schémas élémentaires, on construit le schéma-bloc du moteur à courant continu (figure 1.36). −+ U(p) 1 R+L· p KT I(p) − + Cm(p) 1 Ie · p + f Ωm(p) KE E(p) Cr (p) FIGURE 1.36 – Schéma-bloc moteur à courant continu On constate que la vitesse de rotation du moteur dépend à la fois de la tension d’alimentation et du couple résistant. On doit donc pouvoir écrire : Ωm(p) = H1(p)·U(p)+H2(p)·Cr (p) d ) Détermination analytique de Ωm(p) Ωm(p) = 1 Ie · p + f Cm(p)−Cr (p) Ωm(p) = 1 Ie · p + f KT R+L· p U(p)−E(p) −Cr (p) Ωm(p) = 1 Ie · p + f KT R+L· p U(p)−KE ·Ωm(p) −Cr (p)
  43. 43. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 41 soit en réorganisant Ωm(p) = KT (Ie · p + f )·(R+L· p) ·U(p)− KE ·KT (Ie · p + f )·(R+L· p) ·Ωm(p)− KT Ie · p + f ·Cr (p) Ωm(p) 1+ KE ·KT (Ie · p + f )·(R+L· p) = KT (Ie · p + f )·(R+L· p) ·U(p)− 1 Ie · p + f ·Cr (p) Ωm(p) (Ie · p + f )·(R+L· p)+KE ·KT (Ie · p + f )·(R+L· p) = KT (Ie · p + f )·(R+L· p) ·U(p)− 1 Ie · p + f ·Cr (p) Ωm(p) = KT (Ie · p + f )·(R+L· p)+KE ·KT ·U(p)− R+L· p (Ie · p + f )·(R+L· p)+KE ·KT ·Cr (p) On retrouve bien que Ωm(p) dépend bien de U(p) et Cr (p). Cet exemple est important, le moteur à courant continu étant un des princi- paux actionneurs utilisés dans les asservissements.
  44. 44. 42 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis 1.6.6 Exercices Exercice 4- Fonction de transfert d’un moteur CC Corrigé page ?? On reprend l’énoncé de l’exemple de la page 37. Q1. Retrouvez Ωm(p) en utilisation le principe de superposition Exercice 5- Étude d’un système linéaire Corrigé page ?? Un système linéaire est décrit par les équations différentielles ci dessous : d2 s(t) dt2 +110· ds(t) dt +1000· s(t) = dv(t) dt ++30· v(t) dv(t) dt + v(t) = k ·e(t) L’entrée du système est e(t), la sortie s(t) et avec v(t) , une variable interne. Q1. Écrire les équations dans le domaine symbolique. Q2. Déterminer la fonction de transfert du système, pour cela Q2a. Déterminer la fonction de transfert T(p) = V(p) E(p) Q2b. Déterminer la fonction de transfert R(p) = S(p) V(p) Q3. On sollicite le système avec un échelon unitaire Q3a. Déterminer la valeur finale de la sortie et la tangente à l’origine. Q3b. Déterminer la sortie s(t). Exercice 6- Détermination fonction de Transfert Corrigé page ?? Soit le système décrit par le système suivant : − + R(p) Kp (p) − + 1 4 1 1+0,5· p −+ 1 3 1 1+ p Y(p) Kr m(p) FIGURE 1.37 – Schéma blocs Q1. Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte T(p) = m(p) (p) . Q2. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée H(p) = Y(p) R(p) . Exercice 7- Extrait- Planeuse-pcsi extrait de Engees 2000 Corrigé page ??
  45. 45. 1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 43 Le schéma bloc de commande d’une planeuse est représenté ci-dessous −+ U2 K2 R2 + + 1 C · p Ω2 K2 − + U1 K1 R1 + + 1 A· p Ω1 K1 B· p B· p A, B, C sont des constantes qui valent respectivement : A = 9×10−3 S.I. ; B = 1,5×10−3 S.I. ; C = 2×10−3 S.I. ; R1 = 0,3Ω ; R2 = 0,5Ω ; K1 = 1S.I. ; K2 = 0,3S.I. La vitesse de rotation du moteur 2 peut se mettre sous la forme : Ω2(p) = H1(p)·U1(p)+H2(p)·U2(p) Q1. Déterminer l’expression de H1(P) et H2(P) Pour alléger les écritures on omettra les « (p) » ; ainsi on écrira l’équation pré- cédente : Ω2 = H1 ·U1 +H2 ·U2. Q2. Caractériser H2(p). Mettre sous forme canonique. Exercice 8- Enceinte chauffée Corrigé page ?? Le système représenté figure 1.38 est chargé de maintenir la température d’une enceinte Le chauffage est assuré par un échangeur thermique, la vanne v, permet de réguler le débit du fluide calorifique dans l’échangeur. On note : – α(t) : l’angle d’ouverture de la vanne. – q(t) : débit dans l’échangeur. – θ1 : température en sortie de l’échangeur. La loi de fonctionnement de la vanne est caractérisée par l’équation q(t) = k0 ·α(t) donnant le débit en fonction de l’angle d’ouverture. Les deux autres équations caractérisent le transfert de chaleur : – dans l’échangeur : θ1(t)+τ1 · dθ1(t) dt = k1 · q(t) ;
  46. 46. 44 1 Caractérisation et étude des systèmes asservis θθ θ1 Pompe x Vanne α FIGURE 1.38 – Échangeur thermique – et dans l’enceinte : θ(t)+τ2 · dθ(t) dt = k2 ·θ1(t). On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles. L’entrée du système est l’angle d’ouverture de la vanne α(t) et la température de l’enceinte θ, la sortie. A(p) la transformée de Laplace de α(t) et Q(tp), Θ(p) et Θ1(p) respectivement les transformées de q(t), θ(t) et θ1(t). Q1. Traduire dans le domaine de Laplace les équations de fonctionnement. en dé- duire les fonctions de transfert : Q(tp) A(p) , Θ1(p) Q(p et Θ(p) Θ1(p) . Q2. Compléter le schéma bloc du système. A(p) Q(p) Θ1(p) Θ(p) Q3. Déterminer la fonction de transfert HO(p) = Θ(p) A(p) Afin de réguler la température, On choisit de motoriser la vanne et on installe un capteur dans l’enceinte qui permet de mesurer la température θ(t). Cette tem- pérature est comparée à la température de consigne θc(t). Un amplificateur Kc génère la tension de commande u(t) du moteur (M) qui ouvre ou ferme la vanne en fonction de l’écart de température. Le schéma figure 1.39 précise la structure de l’asservissement. La fonction de transfert du moteur est : M(p) = A(p) U(p) = Km p ·(1+Tm · p) Q4. Compléter le schéma bloc du système, l’entrée est Θc(p). Q5. Déterminer la fonction de transfert du système HF(p) = Θ(p) Θc(p) . Pour la suite on suppose que kc est tel que le système est stable. Q6. Déterminer la valeur finale pour une entrée en échelon θ(t) = θ0 ·u(t)
  47. 47. 1.7 Corrigés 45 θθ θ1 Pompe x Vanne MKc−+ u(t) α capteur θc FIGURE 1.39 – Échangeur thermique asservi 1.7 Corrigés

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