Modelos de risco coletivo para um periodo simples

introdu¸cão
distribui¸cão das indemniza¸cões agregadas
modelos de frequência e de severidade
propriedades da distribui¸cão de Poisson Composta
Fórmulas recursivas. Método de Panjer.
Métodos aproximados
3. modelos de risco colectivo para um per´ıodo
simples
1 / 89

introdu¸cão
1 introdu¸cão
2 distribui¸cão das indemniza¸cões agregadas
3 modelos de frequência e de severidade
distribui¸cão do número de sinistros
distribui¸cão do montante de indemniza¸cão individual
4 propriedades da distribui¸cão de Poisson Composta
5 Fórmulas recursivas. Método de Panjer.
6 Métodos aproximados
2 / 89

introdu¸cão
Introdu¸cão
No Modelo de Risco Colectivo o conceito essencial é o de um
processo aleatório gerador das indemniza¸cões para uma carteira de
apólices.
Considera-se a Carteira de uma forma global, em contraste com a
abordagem seguida anteriormente, em que as apólices foram
analisadas de forma individual.
3 / 89

introdu¸cão
Neste método, é feito o registo dos pagamentos à medida que vão
sendo efectuados e seguidamente são adicionados. Representamos
por S as indemniza¸cões agregadas, como uma soma aleatória de N
montantes de pagamentos individuais X1, . . . , XN.
Para um determinado per´ıodo de tempo, temos:
N - variável aleatória associada ao número de indemniza¸cões
produzidas pela carteira;
Xi - montante da i−ésima indemniza¸cão;
S - v.a. das indemniza¸cões agregadas para a carteira
S =
N
i=1
Xi
sendo S = 0 quando N = 0.
4 / 89

introdu¸c˜ao
Admite-se ainda:
Xi ’s v.a.’s i.i.d. a X;
N, X1, . . . , XN mutuamente independentes.
5 / 89

introdu¸cão
Tendo por objectivo a determina¸cão da distribui¸cão de S,
facilmente detectamos se constata a importância dos modelos
adoptados quer para o número de indemniza¸cões, N, quer para as
indemniza¸cões particulares, X, de forma a caracterizar a v.a. S.
A distribui¸cão de S é obtida a partir da distribui¸cão de N -
distribui¸cão de frequência - e a distribui¸cão de X - a v.a. de
severidade.
N e X são modelados separadamente e a informa¸cão acerca destas
distribui¸cões é usada para obter informa¸cões acerca de S.
6 / 89

introdu¸cão
Esta modela¸cão separada apresenta algumas vantagens:
O número esperado de indemniza¸cões sofre altera¸cão à
medida que o número de apólices seguras varia.
O impacto da reten¸cão de dedut´ıveis (ou reten¸cões) e de
limites nos montantes individuais é mais facilmente estudado.
A forma da distribui¸cão de S depende das formas das
distribui¸coes de X e N.
7 / 89

introdu¸cão
O conhecimento das formas das distribui¸cões de X e N é útil
quando se pretende modificar as cláusulas das apólices. Por
exemplo, quando a cauda da distribui¸cão de X (a severidade) é
mais pesada que a da distribui¸cão da frequência (N), a forma da
cauda das distribui¸cões agregadas (S) será determinada pela
distribui¸cão de X, sendo insens´ıvel à escolha da distribui¸cão de N.
8 / 89

introdu¸c˜ao
alguma nota¸c˜ao
FX - f.d. de X
pk = E[Xk] - momentos simples de ordem k, k = 1, 2, . . ., da
v.a. X
MX (r) = E[erX ] - f.g.m. de X
MN(r) = E[erN] - f.g.m. de N
MS (r) = E[erS ] - f.g.m. de S
9 / 89

introdu¸cão
valor médio de S
E[S] = E(E[S|N]) = E(NE[X]) = E(Np1) = p1E[N]
variância de S
Var[S] = E(Var[S|N]) + Var(E[S|N])
= E(NVar[X]) + Var(p1N)
= E[N]Var[X] + p2
1Var[N]
= (p2 − p2
1)E[N] + p2
1Var[N]
10 / 89

introdu¸c˜ao
Tenha-se em aten¸c˜ao o seguinte:
1 E[S|N = n] = E[ N
i=1 Xi |N = n] = E[ n
i=1 Xi ] =
n
i=1 E[X] = nE[X]
2 Var[X] = p2 − p2
1
11 / 89

introdu¸cão
em suma...
O valor esperado das indemniza¸cões agregadas é o produto do
montante esperado para as indemniza¸cões individuais
(E[X] = p1) - a severidade esperada - pelo número esperado
de indemniza¸cões (E[N]) - a frequência esperada.
A variância das indemniza¸cões agregadas é a soma de duas
componentes:
1 variabilidade dos montantes de indemniza¸cão individual
(E[N]Var[X]) - variabilidade da severidade
2 variabilidade do número de indemniza¸cões (p2
1Var[N]) -
variabilidade da frequência
12 / 89

introdu¸cão
f.g.m. de S
Recorrendo ao valor médio condicional,
MS (r) = E[erS
] = E(E[erS
|N])
= E[(MX (r))N
] = E[exp(N log(MX (r))],
pelo que
MS (r) = MN(log MX (r))
Exerc´ıcio: Seja N uma v.a. Geométrica, N Geo(q) com f.m.p.
P[N = n] = pqn
para n = 0, 1, 2, . . . , 0 < q < 1, p = 1 − q.
Determinar MS (r) como fun¸cão de MX (r). sol: MS (r) = p
1−qMX (r)
13 / 89

introdu¸cão
FS (x): fun¸cão de distribui¸cão de S
Recorrendo ao TPT, deduz-se
FS (x) = P[S ≤ x] =
∞
n=0
P[S ≤ x|N = n]P[N = n]
=
∞
n=0
P[
n
i=1
Xi ≤ x]P[N = n]
donde
FS (x) =
∞
n=0
F∗n
X (x)p[N = n]
14 / 89

introdu¸cão
fS (x): fun¸cão de probabilidade de S
fS (x) =
∞
n=0
f ∗n
X (x)P[N = n]
Observa¸cão: O desenvolvimento das expressões de FS (x) e de
fS (x) apresenta em geral alguma complexidade, pelo que a
caracteriza¸cão da v.a. S através da sua f.g.m. poderá ser muito
vantajosa.
15 / 89

introdu¸cão
Note-se que no caso de X ser uma v.a. discreta, então S também
o será, representando fS (x) a sua f.m.p.:
fS (x) = P[S = x] =
∞
n=0
f ∗n
X (x)P[N = n] =
∞
n=0
P[
n
i=1
Xi = x]P[N = n]
onde, por conven¸cão, f ∗0
X (0) = 1.
Exerc´ıcio:
Considere uma carteira de seguros que produz 0, 1, 2 ou 3 sinistros
(=indemniza¸cões) com probabilidades 0.1, 0.3, 0.4 e 0.2
respectivamente, num per´ıodo fixo de tempo. Um sinistro
individual será de montantes 1, 2, ou 3 com probabilidades 0.5, 0.4
e 0.1 respectivamente.
Calcular a f.m.p e a f.d. das indemniza¸cões agregadas.
16 / 89

introdu¸cão
Resolu¸cão
As variáveis aleatórias N e X têm as seguintes f.m.p:
N =
0 1 2 3
0.1 0.3 0.4 0.2
e
X =
1 2 3
0.5 0.4 0.1,
de onde se depreende, imediatamente, que S toma valores entre 0
e 9.
O objectivo é determinar a f.d. e a f.m.p. de S, para o que se
necessita de obter a terceira convolu¸cão de fX (x), f ∗3
X (x).
17 / 89

introdu¸cão
Note-se que a (n + 1)−ésima convolu¸cão pode ser obtida de forma
recursiva.
f
∗(n+1)
X (x) = P[
n+1
i=1
Xi = x]
=
y
P[Xn+1 = y]P[
n
i=1
Xi = x − y]
=
y
fX (y)f ∗n
X (x − y),
para n = 0, 1, 2, . . .
18 / 89

introdu¸c˜ao
x f ∗0
X (x) f ∗1
X (x) f ∗2
X (x) f ∗3
X (x) fS (x) FS (x)
0 1.0 0.0 0.00 0.000 0.1000 0.1000
1 0.0 0.5 0.00 0.000 0.1500 0.2500
2 0.0 0.4 0.25 0.000 0.2200 0.4700
3 0.0 0.1 0.40 0.125 0.2150 0.6850
4 0.0 0.0 0.26 0.300 0.1640 0.8490
5 0.0 0.0 0.08 0.315 0.0950 0.9440
6 0.0 0.0 0.01 0.184 0.0408 0.9848
7 0.0 0.0 0.00 0.063 0.0126 0.9974
8 0.0 0.0 0.00 0.012 0.0024 0.9998
9 0.0 0.0 0.00 0.001 0.0002 1.0000
n 0 1 2 3 - -
P[N = n] 0.1 0.3 0.4 0.2 - -
19 / 89

introdu¸cão
Note-se que
o facto de a distribui¸cão da severidade ser cont´ınua, não permite
concluir que, necessariamente, a distribui¸cão das indemniza¸cões
agregadas seja cont´ınua.
Realmente, se P[N = 0] > 0 então S é v.a. mista, sendo {S = 0}
um ponto de massa de probabilidade, sendo cont´ınua nos outros
casos.
20 / 89

introdu¸cão
Exerc´ıcio:
Seja N uma v.a. Geométrica, N Geo(q) com f.m.p.
P[N = n] = pqn
para n = 0, 1, 2, . . . , 0 < q < 1, p = 1 − q.
Suponha-se X uma v.a. Exponencial, i.e.,
FX (x) = 1 − e−x
, x > 0.
Verifique que a v.a. das indemniza¸cões agregadas, S, é uma v.a.
mista.
21 / 89

introdu¸c˜ao
FS (x)
22 / 89

introdu¸c˜ao
fS (x)
23 / 89

introdu¸cão
Analisemos alguns modelos para o número de indemniza¸cões
(sinistros), N.
N Poisson(λ)
Seja N uma v.a. de Poisson de parâmnetro λ, N Poisson(λ),
i.e.,
P[N = n] =
e−λλn
n!
, n = 0, 1, 2, . . . , λ > 0
com f.g.m.
MN(r) = exp{λ(er
− 1)}.
24 / 89

introdu¸cão
N Poisson(λ) ⇒ S PC(λ, FX )
Trata-se de uma distribui¸cão adequada para descrever o número de
sinistros quando se verifica uma proximidade entre a média e a
variância dos dados analisados, uma vez que
E[N] = Var[N] = λ.
Nestas condi¸cões, S tem uma distribui¸cão Poisson Composta,
S PC(λ, FX ).
25 / 89

introdu¸cão
Nestas condi¸cões, obtém-se o seguinte:
momentos e f.g.m. de S
E[S] = E[N]p1 ⇒ E[S] = λp1
Var[S] = E[N](p2 − p2
1) + p2
1Var[N] = λ(p2 − p2
1) + p2
1λ ⇒
Var[S] = λp2
MS (r) = MN(log MX (r)) ⇒ MS (r) = exp{λ(MX (r) − 1)}
26 / 89

introdu¸cão
No caso de os dados referentes ao número de sinistros apontarem
no sentido de E[N] < Var[N], tem sido sugerido
N BN(k, q)
o modelo Binomial Negativo de parâmetros k e q, N BN(k, q)
com
P[N = n] =
k + n − 1
n
pk
qn
, n = 0, 1, 2, . . . e k > 0, 0 < q < 1.
27 / 89

introdu¸cão
Para este modelo,
momentos e f.g.m. de N
E[N] = kq
p < Var[N] = kq
p2
MN(r) = p
1−qer
k
N BN(k, q) ⇒ S BNC(k, q, FX )
Nestas condi¸cões, diz-se que S tem distribui¸cão Binomial Negativa
Composta.
28 / 89

introdu¸cão
momentos e f.g.m. de S BNC(k, q, FX )
E[S] = E[N]p1 ⇒ E[S] = kq
p p1
Var[S] = E[N](p2−p2
1)+p2
1Var[N] ⇒ Var[S] = kq
p p2+ kq
p2 p2
1
MS (r) = MN(log MX (r)) ⇒ MS (r) = p
1−qMX (r)
k
O caso particular de k = 1 corresponde à Geométrica.
29 / 89

introdu¸cão
Outro modelo conveniente quando se verifica que E[N] < Var[N] é
o seguinte:
v.a. estrutural
Seja Λ uma v.a. com f.d.p. fΛ(λ), λ > 0.
Suponha-se que a v.a. N condicional a um valor de Λ = λ tem
distribui¸cão de Poisson de parâmetro λ, i.e.,
N|Λ = λ Poisson(λ)
A Λ chama-se v.a. de estrutura e à sua f.d.p. fun¸cão de estrutura.
30 / 89

introdu¸cão
Uma situa¸cão prática de aplica¸cão deste tipo de modelos surge
para uma carteira de seguros em que o número de sinistros é bem
modelado por uma Poisson, mas com alguma flexibilidade no que
respeita ao parâmetro λ associado, de acordo com as diversas
classes da carteira.
Poisson mista
Neste caso diz-se que N tem uma distribui¸cão Poisson mista e a
sua f.m.p. é obtida com recurso ao Teorema da Probabilidade
Total:
P[N = n] =
∞
0
P[N = n|Λ = λ]fΛ(λ)dλ
=
∞
0
e−λλn
n!
fΛ(λ)dλ
31 / 89

introdu¸cão
Exerc´ıcio:
Seja Λ Gama(α, β), i.e., uma v.a. com f.d.p. dada por
fΛ(λ) =
βα
Γ(α)
λα−1
e−βλ
, λ > 0,
onde Γ(α) é a fun¸cão gama, Γ(α) =
∞
0 xα−1e−x dx. É sabido que
MΛ(r) =
β
β − r
α
, r < β.
Mostre que:
1 N BN(k, q) com k = α e p := 1 − q = β
1+β ;
2 E[Λ] = α
β e Var[Λ] = α
β2 , sendo novamente confirmados os
resultados para N.
33 / 89

introdu¸cão
N B(n, p) ⇒ S BC(n, p, FX )
No caso em que N Binomial(n, p), diz-se que S tem
distribui¸cão Binomial Composta.
Verificam-se conclusões análogas às obtidas para os modelos
anteriores.
34 / 89

introdu¸cão
Distribui¸cão do montante de indemniza¸cão individual
Quanto aos modelos associados às indemniza¸cões particulares, X,
consideram-se, por um lado, modelos em que o cálculo da
convolu¸cão está simplificado como é o caso dos modelos Normal e
Gama.
Contudo, referimos igualmente alguns modelos associados
tradicionalmente a certos tipos de ramos de seguros, para os quais
a v.a. referente ao montante de indemniza¸cão é positiva e
assimétrica positivamente (ou à direita).
Os modelos Lognormal, Pareto e Mistura de Exponenciais são
sugeridos, numa primeira análise, para candidatos a modela¸cão de
dados do ramo Incêndio, enquanto que ao ramo Acidente
Automóvel está associado o modelo Gama.
35 / 89

introdu¸cão
Relembremos alguns resultados obtidos facilmente recorrendo às
propriedades da f.g.m:
se {Xi }n
i=1 i.i.d. N(µ, σ2) =⇒ n
i=1 Xi N(nµ, nσ2)
se {Xi }n
i=1 i.i.d. Gama(α, β) =⇒ n
i=1 Xi Gama(nα, β)
se {Xi }n
i=1 i.i.d. Exp(1) =⇒ n
i=1 Xi Gama(n, 1) -
recorde-se que a Exp(1) corresponde à Gama(1, 1)
Para este último caso, iremos determinar a expressão anal´ıtica da
f.d. das indemniza¸cões agregadas S, FS (x), o que no caso geral
contitui uma tarefa de dif´ıcil resolu¸cão.
36 / 89

introdu¸cão
Considere-se que
fX (x) = e−x
, x > 0.
Então,
f ∗n
X (x) =
xn−1e−x
(n − 1)!
, x > 0
já que a soma de Exponenciais i.i.d. tem distribui¸cão Gama. Assim,
F∗n
X (x) =
x
0
yn−1e−y
(n − 1)!
dy
= 1 −
∞
x
yn−1e−y
(n − 1)!
dy
integrando por partes...
37 / 89

introdu¸c˜ao
= 1 − −
yn−1e−y
(n − 1)!
|∞
x +
∞
x
(n − 1)yn−2e−y
(n − 1)!
dy
= 1 − −0 +
xn−1e−x
(n − 1)!
+
∞
x
yn−2e−y
(n − 2)!
dy
= F
∗(n−1)
X (x) −
xn−1e−x
(n − 1)!
= . . .
= F∗0
X (x) −
n−1
i=0
xi e−x
i!
= 1 −
n−1
i=0
xi e−x
i!
38 / 89

introdu¸c˜ao
vindo ﬁnalmente,
FS (x) =
∞
n=0
F∗n
X (x)P[N = n]
=
∞
n=0
1 −
n−1
i=0
xi e−x
i!
P[N = n]
=
∞
n=0
P[N = n] −
∞
n=0
P[N = n]
n−1
i=0
xi e−x
i!
= 1 − e−x
∞
n=0
P[N = n]
n−1
i=0
xi
i!
39 / 89

introdu¸c˜ao
Ou seja, no caso de {Xi }n
i=1 i.i.d. Exp(1),
probabilidade de excedˆencia
P[S > x] = e−x
∞
n=0
P[N = n]
n−1
i=0
xi
i!
40 / 89

introdu¸cão
Propriedades da distribui¸cão de Poisson Composta
Teorema: soma de v.a.’s independentes PC é ainda PC
Sejam S1, S2, . . . , Sm v.a.’s mutuamente independentes, com
Si PC(λi ; Fi ), i = 1, 2, . . . , m;
então
m
i=1
Si PC λ :=
m
i=1
λi ; F :=
m
i=1
λi
λ
Fi
41 / 89

introdu¸cão
Demonstra¸cão: Seja Mi (r) a f.g.m. associada a Fi , para
i = 1, 2, . . . , m. Então, MSi
(r) = exp{λi (Mi (r) − 1)}. As v.a.’s Si
são independentes pelo que a f.g.m. de S é igual ao produto das
f.g.m. das suas parcelas:
MS (r) =
m
i=1
MSi
(r)
= exp
m
i=1
λi (Mi (r) − 1)
= exp λ
m
i=1
λi
λ
Mi (r) − 1
com λ := m
i=1 λi .
A expressão da f.g.m. de S caracteriza uma Poisson Composta
com os parâmetros respectivos.
42 / 89

introdu¸cão
Em termos de seguros convenientes, este resultado torna os
modelos de Poisson Composta atractivos, de forma a combinar
várias carteiras numa só:
Se combinarmos m carteiras de seguros em que as
indemniza¸cões agregadas são bem modeladas com a Poisson
Composta e independentes (não necessariamente
identicamente distribu´ıdas), então faz sentido considerar que
as indemniza¸cões agregadas para a carteira global têm
distribui¸cão de Poisson Composta.
43 / 89

introdu¸cão
Se considerarmos uma carteira de seguros para um per´ıodo de
m anos com indemniza¸cões anuais agregadas mutuamente
independentes e distribu´ıdas de acordo com a Poisson
Composta (não necessariamente identicamente distribu´ıdas),
então faz sentido considerar para o per´ıodo total de m anos
um modelo de Poisson Composto.
44 / 89

introdu¸cão
Corolário:
Sejam m reais distintos x1, x2, . . . , xm; m v.a.’s independentes
N1, N2, . . . , Nm, com Ni P(λi ), i = 1, 2, . . . , m.
Então S = m
i=1 xi Ni tem distribui¸cão de Poisson Composta com
parâmetro de frequência λ = m
i=1 λi
montante de severidade com f.m.p.
P[X = xi ] =
λi
λ , i = 1, 2, . . . , m
0, outros casos
45 / 89

introdu¸cão
Demonstra¸cão: Comece-se por observar que
xi Ni =
Ni
k=1
xi =: Si ,
para i = 1, 2, . . . , m. Quer dizer, Si PC(λi , Fi ), com Fi f.d.
degenerada em x = xi i.e., com f.g.m. associada Mi (r) = erxi .
Pelo teorema anterior, S = m
i=1 Si = m
i=1 xi Ni tem f.g.m.
MS (r) = exp λ
m
i=1
λi
λ
erxi
− 1
o que, definindo MX (r) := m
i=1
λi
λ erxi , caracteriza a v.a. X.
46 / 89

introdu¸cão
Os lemas que se seguem servem para ponto de partida para
conclusões acerca do comportamento de combina¸cões lineares de
v.a.’s com distribui¸cão de Poisson.
Lema 1:
Toda a v.a. das indemniza¸cões agregadas
S =
N
j=1
Xj ,
com Xj discretas i.i.d. a X :
xi , i = 1, 2, . . . , m
P[X = xi ] = πi ,
pode ser representada como combina¸cão linear de v.a.’s Ni do tipo
S =
m
i=1
xi Ni .
47 / 89

introdu¸cão
Demonstra¸cão: Considere-se Ni :=“node parcelas iguais a xi na
soma N
j=1 Xj para i = 1, 2, . . . , m.
Então, N = m
i=1 Ni , vindo
S =
N
j=1
Xj =
m
i=1
Ni
k=1
xi =
m
i=1
xi Ni .
Veremos mais adiante que no caso de S ter uma distribui¸cão de
Poisson Composta, então as v.a.’s Ni são mutuamente
independentes e de Poisson.
48 / 89

introdu¸cão
Lema 2:
Considere-se Ni :=“node ocorrências do acontecimento Ai em n
provas de Bernoulli”para i = 1, 2, . . . , m. Denote-se
πi := P[Ai ], com m
i=1 πi = 1 e m
i=1 Ni = n.
No modelo multinomial
P[N1 = n1, . . . , Nm = nm] =
n!
n1! . . . nm!
πn1
1 . . . πnm
m .
Então
E exp
m
i=1
ri Ni =
m
i=1
πi eri
.
Note-se que Ni Bernoulli(πi ) e que, dado que m
i=1 Ni = n,
(N1, . . . , Nm) tem distribui¸cão Multinomial(π1, . . . , πm).
49 / 89

introdu¸cão
Demonstra¸cão:
Comece-se por notar que a f.g.m. de um vector aleatório
(N1, . . . , Nm) é
M(N1,...,Nm)(r1, . . . , rm) = E exp
m
i=1
ri Ni .
Neste caso,
E(exp(
m
i=1
ri Ni )) =
n1,...,nm
n1+...+nm=n
exp(
m
i=1
ri ni )
n!
n1! . . . nm!
πn1
1 . . . πnm
m
=
n1,...,nm
n1+...+nm=n
n!
n1! . . . nm!
(π1er1
)n1
. . . (πmerm
)nm
= (π1er1
+ . . . + πmerm
)n
50 / 89

introdu¸cão
f.g.m. de um vector aleatório
Define-se a f.g.m para um vector aleatório ˜Z := (Z1, . . . , Zn) como
M˜Z (˜r) := E e(˜r,˜Z)
= E exp(
n
i=1
ri Zi ) ,
sendo ˜r := (r1, . . . , rn) um vector de componentes reais.
O vector ˜Z tem componentes independentes sse
M˜Z (˜r) =
n
i=1
MZi
(ri ).
51 / 89

introdu¸cão
Teorema
Se S = m
i=1 xi Ni PC(λ, FX ), com
X :
xi , i = 1, . . . , m
P[X = xi ] = πi , ,
então:
N1, N2, . . . , Nm são mutuamente independentes
Ni P(λi ), com λi := λπi , i = 1, . . . , m.
52 / 89

introdu¸cão
Demonstra¸cão:
Iremos constatar que naquelas condi¸cões
MÑ(˜r) =
m
i=1
MNi
(ri )
ficando portanto demonstrado que N1, N2, . . . , Nm são
mutuamente independentes. A expressão que obteremos para
MNi
(ri ) permitir-nos-á concluir que Ni P(λi ), com λi := λπi ,
i = 1, . . . , m. Seja N := m
i=1 Ni ; então
53 / 89

introdu¸c˜ao
M˜N(˜r) = E exp(
m
i=1
ri Ni )
=
∞
n=0
E exp(
m
i=1
ri Zi )|N = n P(N = n)
=
∞
n=0
m
i=1
πi eri
n
e−λλn
n!
= e−λ
∞
n=0
( m
i=1 πi eri λ)n
n!
= e−λ
exp
m
i=1
πi eri
λ
54 / 89

introdu¸c˜ao
= exp
m
i=1
λπi eri
− λ
m
i=1
πi
=
m
i=1
exp (λπi (eri
− 1))
=
m
i=1
exp (λi (eri
− 1))
=
m
i=1
MNi
(ri ).
com Ni P(λi ), i = 1, . . . , m.
55 / 89

introdu¸cão
toda a v.a. de Poisson é Poisson Composta
Note-se que qualquer v.a. N de Poisson com parâmetro λ pode ser
encarada como uma v.a. de Poisson Composta. Para tal, basta
notar que se pode escrever sempre
N =
N
i=1
1 =
N
i=1
Xi
com Xi i.i.d. a uma v.a. degenerada em 1.
56 / 89

introdu¸cão
Estes resultados são úteis para:
1. cálculo da distribui¸cão de Poisson Composta com montante de
indemniza¸cão individual discreto
come¸ca-se por calcular as f.m.p das v.a.’s
x1N1, x2N2, . . . , xmNm;
calcula-se, de seguida, a convolu¸cão das m f.m.p. anteriores
Obs.: Mesmo quando o montante de indemniza¸cão individual é
uma v.a. cont´ınua, este método pode ser útil após uma
“discretiza¸cão”da v.a. associada.
57 / 89

introdu¸cão
2. cálculo do valor médio e variância das indemniza¸cões agregadas
E(S) e Var(S), com S Poisson Composta com montante de
indemniza¸cão discreto
E(S) = E( m
i=1 xi Ni ) = m
i=1 xi λi = m
i=1 xi (λπi ) =
λ m
i=1 xi πi = λp1
Var(S) = Var( m
i=1 xi Ni ) = m
i=1 x2
i λi = m
i=1 x2
i (λπi ) =
λ m
i=1 x2
i πi = λp2
58 / 89

introdu¸cão
3. por vezes é conveniente encarar S como soma de v.a.’s
mutuamente independentes do tipo xi Ni , i = 1, . . . , m, com
distribui¸cão de Poisson Composta
de facto, podemos escrever aquelas v.a.’s como
xi Ni =
Ni
k=1
xi =
Ni
k=1
Xk,
com Xk i.i.d. a X∗
i , v.a. degenerada em xi . Pelo que
xi Ni PC(λi , Fi ), com Fi (x) =
0, x < xi
1, x ≥ xi
59 / 89

introdu¸cão
No exemplo que se segue são explorados dois métodos de cálculo
da distribui¸cão das indemniza¸cões agregadas. O primeiro refere-se
ao cálculo directo, já utilizado antes, e o segundo tem por base o
resultado do teorema anterior.
Exemplo:
Considere S PC(λ, FX ) com λ = 0.8 e FX e f.d. associada à
f.m.p. dada por
x 1 2 3
fX (x) 0.25 0.375 0.375
Calcular fS (x) := P(S = x), para x = 0, 1, 2, . . . , 6.
60 / 89

introdu¸c˜ao
Come¸caremos por obter a f.m.p. de S com recurso a
fS (x) = P[S = x] =
∞
n=0
f ∗n
X (x)P[N = n] =
∞
n=0
P[
n
i=1
Xi = x]P[N = n],
com λ = 0.8
x f ∗0
X (x) f ∗1
X (x) f ∗2
X (x) f ∗3
X (x) f ∗4
X (x) f ∗5
X (x) f ∗6
X (x) fS (x)
0 1.0 - - - - - - 0.449329
1 - 0.25 - - - - - 0.089866
2 - 0.375 0.0625 - - - - 0.143785
3 - 0.375 0.1875 0.015625 - - - 0.162357
4 - - 0.328125 0.070313 0.003906 - - 0.049905
5 - - 0.281250 0.175781 0.023438 0.000997 - 0.047360
6 - - 0.140625 0.263672 0.076172 0.007324 0.000244 0.030923
... - - - - - ...
n 0 1 2 3 4 5 6
P[N = n] =
= e−λ λn
n!
0.449329 0.359463 0.143785 0.038343 0.007669 0.001227 0.000164
61 / 89

introdu¸cão
Aqui são apresentados os cálculos auxiliares para a f.d. de S de
acordo com o resultado do teorema , com
m = 3, λ = 0.8, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
λ1 = λπ1 = 0.2, λ2 = λπ2 = 0.3, λ3 = λπ3 = 0.3,
S = 1.N1 + 2.N2 + 3.N3
62 / 89

introdu¸c˜ao
x P(N1 = x) P(2N2 = x) P(3N3 = x) P(N1 + 2N2 = x) P(N1 + 2N2 + 3N3 = x) = fS (x)
0 0.818731 0.740818 0.740818 0.606531 0.449329
1 0.163746 0.000000 0.000000 0.121306 0.089866
2 0.016375 0.222245 0.000000 0.194090 0.143785
3 0.001092 0.000000 0.222245 0.037201 0.162357
4 0.000055 0.033337 0.000000 0.030974 0.049905
5 0.000002 0.000000 0.000000 0.005703 0.047360
6 0.000000 0.033337 0.033337 0.003288 0.030923
... ...
i 1 2 3
λi 0.2 0.3 0.3
P(Ni = x) e−λ1
λx
1
x!
e−λ2
λx
2
x!
e−λ3
λx
3
x!
63 / 89

introdu¸cão
Fórmulas recursivas; método de Panjer
No parágrafo anterior os resultados obtidos de forma a calcular a
distribui¸cão das distribui¸cões agregadas, exigiam que a severidade
fosse discreta.
Estudaremos de seguida um método alternativo que exige, ainda,
que a severidade tome valores no conjunto dos inteiros positivos.
O método é recursivo e o resultado em que se baseia será deduzido
para o caso da frequência de Poisson, embora seja referida uma
expressão mais geral para um certo tipo de frequência que possa
ser calculada de forma recursiva (Panjer (1981)).
64 / 89

introdu¸cão
Teorema:
Perante indemniza¸cões agregadas com distribui¸cão de Poisson
Composta, e no caso do montante de indemniza¸cão, X, tomar
valores nos inteiros positivos, i.e., tomar valores xi = i, é válida a
seguinte expressão recursiva para a f.m.p de S:
fS (x) = P(S = x) =
∞
i=1
i
x
λi fS (x − i)
para x = 1, 2, . . ., com λi = λπi , sendo πi = P(X = i), partindo
do valor inicial fS (0) = e−λ.
65 / 89

introdu¸cão
a respeito de fS (0)
Note-se que o valor inicial é obtido através do facto de o
acontecimento de as indemniza¸cões agregadas assumirem o valor
zero ser equivalente ao acontecimento do número de
indemniza¸cões ser nulo, uma vez que a severidade toma sempre
valores positivos. Assim,
fS (0) = P(S = 0) = P(N = 0) = e−λ
.
Desta forma, poderemos calcular recursivamente fS (1), fS (2), ... .
66 / 89

introdu¸cão
Lema:
Nas condi¸cões anteriores,
f
∗(n+1)
X (x) =
∞
i=1
(n + 1)
i
x
πi f
∗(n)
X (x − i).
Este lema estabelece uma rela¸cão recursiva para as convolu¸cões da
distribui¸cão de X, que demonstraremos de seguida.
Demonstra¸cão: Comecemos por considerar os valores médios
condicionais
E X1|
n+1
i=1
Xi = x = . . . = E Xn+1|
n+1
i=1
Xi = x = C,
com C constante já que os Xi são i.i.d. .
67 / 89

introdu¸c˜ao
Ent˜ao, somando estes valores,
n+1
k=1
E Xk|
n+1
i=1
Xi = x =
n+1
k=1
C = (n + 1)C.
Por outro lado,
n+1
k=1
E Xk|
n+1
i=1
Xi = x = E
n+1
k=1
Xk|
n+1
i=1
Xi = x = x
pelo que se conclui que
C =
x
n + 1
.
Consequentemente,
68 / 89

introdu¸c˜ao
x
n + 1
= E(X1|
n+1
i=1
Xi = x)
=
∞
i=1
iP(X1 = i|
n+1
j=1
Xj = x)
=
∞
i=1
i
P(X1 = i, n+1
j=1 Xj = x)
P( n+1
j=1 Xj = x)
=
∞
i=1
i
P(X1 = i).P( n+1
j=2 Xj = x − i)
P( n+1
j=1 Xj = x)
=
∞
i=1
iπi
f
∗(n)
X (x − i)
f
∗(n+1)
X (x)
demonstrando-se o lema.
69 / 89

introdu¸cão
Demonstra¸cão do teorema:
Vimos atrás que
fS (x) = P[S = x] =
∞
n=0
f ∗n
X (x)P[N = n] =
∞
n=0
f ∗n
X (x)
e−λλn
n!
o que no caso de X ser discreta em 1, 2, 3, ... se reduz a
fS (x) =
∞
n=1
f ∗n
X (x)
e−λλn
n!
=
∞
n=0
f
∗(n+1)
X (x)
e−λλn+1
(n + 1)!
já que fS (0) = 0 para x = 0 e N é Poisson(λ)
70 / 89

introdu¸c˜ao
Aplicando o resultado do lema tem-se
fS (x) =
∞
n=0
e−λλn+1
(n + 1)!
∞
i=1
(n + 1)
i
x
πi f ∗n
X (x − i)
=
∞
i=1
i
x
λπi
∞
n=0
e−λλn
n!
f ∗n
X (x − i)
=
∞
i=1
i
x
λi fS (x − i),
obtendo-se o pretendido.
71 / 89

introdu¸cão
Exemplo:
Retomemos o exemplo anterior, uma vez que os montantes de
indemniza¸cão são inteiros positivos, para calcular a f.m.p. de S.
λ = 0.8, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
λ1 = λπ1 = 0.2, λ2 = λπ2 = 0.3, λ3 = λπ3 = 0.3.
Partindo do valor inicial
fS (0) = P[N = 0] = e−λ
= e−0.8
= 0.449329,
e notando que X ≤ 3,
72 / 89

introdu¸c˜ao
fS (x) =
∞
i=1
i
x
λi fS (x − i) =
min(x,3)
i=1
i
x
λi fS (x − i),
obtendo-se sucessivamente
fS (1) =
min(1,3)
i=1
i
1
λi fS (1−i) =
1
1
λ1fS (1−1) = λ1fS (0) = 0.2fS (0) = 0.089866
fS (2) =
min(2,3)
i=1
i
2
λi fS (2 − i) =
1
2
(λ1fS (1) + λ2fS (0)) = 0.143785
fS (3) =
min(3,3)
i=1
i
3
λi fS (3−i) =
1
3
(λ1fS (2) + λ2fS (1) + λ3fS (0)) = 0.162358
. . .
73 / 89

introdu¸cão
fórmulas de Panjer(1981)
Para determinados modelos de distribui¸cão composta, referentes a
v.a.’s N cuja f.m.p. possa ser calculada de forma recursiva, a
distribui¸cão da v.a. das indemniza¸cões agregadas, S, pode ser, ela
própria, calculada recursivamente, para os casos em que os
montantes de indemniza¸cão são inteiros positivos. As expressões
relativas aos casos referidos são conhecidas por fórmulas de
Panjer.
74 / 89

introdu¸c˜ao
f.m.p. de N obtida de forma recursiva
Suponha-se que X toma valores nos inteiros positivos
xi = i = 1, 2, ... com probabilidades πi = P(X = i). Suponha-se
ainda que N tem f.m.p que pode ser calculada de forma recursiva,
i.e.,
P(N = n + 1) = a +
b
n + 1
P(N = n), n = 0, 1, 2, ...,
com a e b constantes.
75 / 89

introdu¸cão
Obs.:As distribui¸cões de Poisson e Binomial Negativa verificam
esta expressão de recursividade:
N Poisson(λ), λ > 0
P(N = n+1) =
e−λλn+1
(n + 1)!
= (0+
λ
n + 1
)
e−λλn
n!
⇒ a = 0, b = λ
N BN(k, q)
P(N = n + 1) =
k + n + 1 − 1
n + 1
pk
qn+1
= (q +
(k − 1)q
n + 1
)
k + n − 1
n
pk
qn
⇒ a = q, b = (k − 1)q
76 / 89

introdu¸cão
Teorema: Panjer (1981)
nas condi¸cões definidas anteriormente e se a f.m.p. de N puder ser
calculada recursivamente, a f.m.p. de S pode ser calculada
recursivamente através de
fS (x) =
x
i=1
(a + b
i
x
)πi fS (x − i), x = 1, 2, ...,
com
fS (0) = P(N = 0).
77 / 89

introdu¸c˜ao
casos particulares:
N Poisson(λ)
fS (x) =
x
i=1
i
x
λi fS (x − i), x = 1, 2, ...
fS (0) = P(N = 0) = e−λ
.
N BN(k, q)
fS (x) = q
x
i=1
(1 + (k − 1)
i
x
)πi fS (x − i), x = 1, 2, ...
fS (0) = P(N = 0) = pk
.
78 / 89

introdu¸cão
Obs. :
1 Se X assume apenas valore num conjunto finito de inteiros
positivos xi = i = 1, 2, ..., k, então
fS (x) =
min(x,k)
i=1
(a + b
i
x
)πi fS (x − i), x = 1, 2, ...,
2 A aplica¸cão do método recursivo ainda é válida quando alguns
dos πi são nulos.
79 / 89

introdu¸cão
Quando o valor esperado do número de sinistros, E(N), é muito
elevado, a utiliza¸cão do método recursivo torna-se morosa.
Por outro lado, é frequente que para as indemniza¸cões particulares,
X, não se conhe¸ca a distribui¸cão mas apenas alguns momentos.
Nestas circunstâncias, torna-se conveniente encontrar uma solu¸cão
aproximada.
80 / 89

introdu¸cão
aproxima¸cão à Normal
Quando o coeficiente de assimetria de S,
γS :=
E[(S − µS )3]
(σ2
S )3/2
=
µ3
µ
3/2
2
; µS := E(S), σ2
S := Var(S),
não atinge um valor elevado (γS < 0.1) é razoável utilizar a
aproxima¸cão à Normal de modo análogo ao realizado com o
modelo de risco individual no cap´ıtulo anterior.
81 / 89

introdu¸cão
Assim, para uma carteira em que o número esperado de sinistros
E[N] é elevado,
FS (x) ∼= Φ
x − µS
σS
µS e σS para PC e BNC:
No caso da distribui¸cão de Poisson Composta,
µS = λp1 e σ2
S = λp2
e no caso da distribui¸cão Binomial Negativa Composta,
µS = kq
p p1 e σ2
S = kq
p p2 + kq2
p2 p2
1.
82 / 89

introdu¸cão
Estas aproxima¸cões baseiam-se no seguinte
Teorema:
1 Se S PC(λ, FX ), então
S∗
:=
S − µS
σS
=
S − λp1
√
λp2
d
−−−→
λ→∞
Z N(0, 1)
2 Se S BNC(k, q; FX ), então
S∗
:=
S − µS
σS
=
S − kq
p p1
kq
p p2 + kq2
p2 p1
d
−−−→
k→∞
Z N(0, 1)
83 / 89

introdu¸cão
Aproxima¸cão à Gama deslocada
Uma primeira abordagem é feita com recurso à distribui¸cão Gama
deslocada, considerando
FS (x) ∼=
x−x0
0
βαtα−1
Γ(α)
e−βt
dt,
ou, de forma equivalente,
FS (x) ∼=
x
x0
βα (z − x0)α−1
Γ(α)
e−β(z−x0)
dz =
x
x0
fZ (z; α, β, x0)dz,
onde fZ (z; α, β, x0) representa a f.d.p. duma v.a. Z com
distribui¸cão Gama de parâmetros (α, β), com localiza¸cão x0.
84 / 89

introdu¸cão
Então
µZ = x0 +
α
β
σ2
Z =
α
β2
sendo γZ = 2√
α
o coeficiente de assimetria de Z.
Os parâmetros são escolhidos de forma a que o valor médio, a variância e
o ceficiente de assimetria de S calculados através da aproxima¸cão referida
coincidam com os originais, i.e.,
µS ≡ µZ , σ2
S ≡ σ2
Z , γS ≡ γZ
85 / 89

introdu¸cão
aproxima¸cão à Gama deslocada no caso S PC(λ, FX )
γS =
λp3
(λp2)3/2
.
Tal traduz-se em escolher para o modelo aproximado:
o parâmetro de forma α = 4λ(p2)3
(p3)2 ,
o parâmetro de escala β = 2p2
p3
,
o parâmetro de localiza¸cão x0 = λp1 − 2λ(p2)2
p3
.
86 / 89

introdu¸cão
Aproxima¸cão Normal Power (NP)
Para valores de x−µS
σS
> 1,
FS (x) ∼= Φ −
3
γS
+
9
γ2
S
+ 1 +
6
γS
.
x − µS
σS
,
com Φ(.) a f.d. da N(0, 1), constitui uma boa aproxima¸cão para a
distribui¸cão das indemniza¸cões agregadas, desde que o coeficiente
de assimetria não seja excessivamente elevado (γS < 2).
87 / 89

introdu¸cão
Nas aplica¸cões práticas, é frequentemente requerido o cálculo de
um percentil de S, x ( pequeno, em geral) tal que
FS (x ) = P(S ≤ x ) = 1 − ,
o que se resolve de forma aproximada.
88 / 89

introdu¸cão
Note-se que
P(S > x ) = ,
consistindo, portanto a solu¸cão na obten¸cão da aproxima¸cão (por
inversão ) de
z ∼= −
3
γS
+
9
γ2
S
+ 1 +
6
γS
.
x − µS
σS
o que implica que
x ∼= µS + z +
γS
6
(z − 1) ,
com z o percentil da N(0, 1) tal que Φ(z ) = 1 − .
89 / 89

Modelos de risco coletivo para um periodo simples

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Plus de Universidade Federal Fluminense

Plus de Universidade Federal Fluminense (20)

Dernier

Dernier (20)

Modelos de risco coletivo para um periodo simples