Jogo de Rimas - Para impressão em pdf a ser usado para crianças
Modelos de risco coletivo para um periodo simples
1. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
3. modelos de risco colectivo para um per´ıodo
simples
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2. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
1 introdu¸c˜ao
2 distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
3 modelos de frequˆencia e de severidade
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
4 propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
5 F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
6 M´etodos aproximados
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3. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Introdu¸c˜ao
No Modelo de Risco Colectivo o conceito essencial ´e o de um
processo aleat´orio gerador das indemniza¸c˜oes para uma carteira de
ap´olices.
Considera-se a Carteira de uma forma global, em contraste com a
abordagem seguida anteriormente, em que as ap´olices foram
analisadas de forma individual.
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4. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Neste m´etodo, ´e feito o registo dos pagamentos `a medida que v˜ao
sendo efectuados e seguidamente s˜ao adicionados. Representamos
por S as indemniza¸c˜oes agregadas, como uma soma aleat´oria de N
montantes de pagamentos individuais X1, . . . , XN.
Para um determinado per´ıodo de tempo, temos:
N - vari´avel aleat´oria associada ao n´umero de indemniza¸c˜oes
produzidas pela carteira;
Xi - montante da i−´esima indemniza¸c˜ao;
S - v.a. das indemniza¸c˜oes agregadas para a carteira
S =
N
i=1
Xi
sendo S = 0 quando N = 0.
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5. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Admite-se ainda:
Xi ’s v.a.’s i.i.d. a X;
N, X1, . . . , XN mutuamente independentes.
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6. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
Tendo por objectivo a determina¸c˜ao da distribui¸c˜ao de S,
facilmente detectamos se constata a importˆancia dos modelos
adoptados quer para o n´umero de indemniza¸c˜oes, N, quer para as
indemniza¸c˜oes particulares, X, de forma a caracterizar a v.a. S.
A distribui¸c˜ao de S ´e obtida a partir da distribui¸c˜ao de N -
distribui¸c˜ao de frequˆencia - e a distribui¸c˜ao de X - a v.a. de
severidade.
N e X s˜ao modelados separadamente e a informa¸c˜ao acerca destas
distribui¸c˜oes ´e usada para obter informa¸c˜oes acerca de S.
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7. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Esta modela¸c˜ao separada apresenta algumas vantagens:
O n´umero esperado de indemniza¸c˜oes sofre altera¸c˜ao `a
medida que o n´umero de ap´olices seguras varia.
O impacto da reten¸c˜ao de dedut´ıveis (ou reten¸c˜oes) e de
limites nos montantes individuais ´e mais facilmente estudado.
A forma da distribui¸c˜ao de S depende das formas das
distribui¸coes de X e N.
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8. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
O conhecimento das formas das distribui¸c˜oes de X e N ´e ´util
quando se pretende modificar as cl´ausulas das ap´olices. Por
exemplo, quando a cauda da distribui¸c˜ao de X (a severidade) ´e
mais pesada que a da distribui¸c˜ao da frequˆencia (N), a forma da
cauda das distribui¸c˜oes agregadas (S) ser´a determinada pela
distribui¸c˜ao de X, sendo insens´ıvel `a escolha da distribui¸c˜ao de N.
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9. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
alguma nota¸c˜ao
FX - f.d. de X
pk = E[Xk] - momentos simples de ordem k, k = 1, 2, . . ., da
v.a. X
MX (r) = E[erX ] - f.g.m. de X
MN(r) = E[erN] - f.g.m. de N
MS (r) = E[erS ] - f.g.m. de S
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10. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
valor m´edio de S
E[S] = E(E[S|N]) = E(NE[X]) = E(Np1) = p1E[N]
variˆancia de S
Var[S] = E(Var[S|N]) + Var(E[S|N])
= E(NVar[X]) + Var(p1N)
= E[N]Var[X] + p2
1Var[N]
= (p2 − p2
1)E[N] + p2
1Var[N]
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11. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Tenha-se em aten¸c˜ao o seguinte:
1 E[S|N = n] = E[ N
i=1 Xi |N = n] = E[ n
i=1 Xi ] =
n
i=1 E[X] = nE[X]
2 Var[X] = p2 − p2
1
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12. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
em suma...
O valor esperado das indemniza¸c˜oes agregadas ´e o produto do
montante esperado para as indemniza¸c˜oes individuais
(E[X] = p1) - a severidade esperada - pelo n´umero esperado
de indemniza¸c˜oes (E[N]) - a frequˆencia esperada.
A variˆancia das indemniza¸c˜oes agregadas ´e a soma de duas
componentes:
1 variabilidade dos montantes de indemniza¸c˜ao individual
(E[N]Var[X]) - variabilidade da severidade
2 variabilidade do n´umero de indemniza¸c˜oes (p2
1Var[N]) -
variabilidade da frequˆencia
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13. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
f.g.m. de S
Recorrendo ao valor m´edio condicional,
MS (r) = E[erS
] = E(E[erS
|N])
= E[(MX (r))N
] = E[exp(N log(MX (r))],
pelo que
MS (r) = MN(log MX (r))
Exerc´ıcio: Seja N uma v.a. Geom´etrica, N Geo(q) com f.m.p.
P[N = n] = pqn
para n = 0, 1, 2, . . . , 0 < q < 1, p = 1 − q.
Determinar MS (r) como fun¸c˜ao de MX (r). sol: MS (r) = p
1−qMX (r)
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14. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
FS (x): fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de S
Recorrendo ao TPT, deduz-se
FS (x) = P[S ≤ x] =
∞
n=0
P[S ≤ x|N = n]P[N = n]
=
∞
n=0
P[
n
i=1
Xi ≤ x]P[N = n]
donde
FS (x) =
∞
n=0
F∗n
X (x)p[N = n]
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15. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
fS (x): fun¸c˜ao de probabilidade de S
fS (x) =
∞
n=0
f ∗n
X (x)P[N = n]
Observa¸c˜ao: O desenvolvimento das express˜oes de FS (x) e de
fS (x) apresenta em geral alguma complexidade, pelo que a
caracteriza¸c˜ao da v.a. S atrav´es da sua f.g.m. poder´a ser muito
vantajosa.
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16. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Note-se que no caso de X ser uma v.a. discreta, ent˜ao S tamb´em
o ser´a, representando fS (x) a sua f.m.p.:
fS (x) = P[S = x] =
∞
n=0
f ∗n
X (x)P[N = n] =
∞
n=0
P[
n
i=1
Xi = x]P[N = n]
onde, por conven¸c˜ao, f ∗0
X (0) = 1.
Exerc´ıcio:
Considere uma carteira de seguros que produz 0, 1, 2 ou 3 sinistros
(=indemniza¸c˜oes) com probabilidades 0.1, 0.3, 0.4 e 0.2
respectivamente, num per´ıodo fixo de tempo. Um sinistro
individual ser´a de montantes 1, 2, ou 3 com probabilidades 0.5, 0.4
e 0.1 respectivamente.
Calcular a f.m.p e a f.d. das indemniza¸c˜oes agregadas.
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17. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Resolu¸c˜ao
As vari´aveis aleat´orias N e X tˆem as seguintes f.m.p:
N =
0 1 2 3
0.1 0.3 0.4 0.2
e
X =
1 2 3
0.5 0.4 0.1,
de onde se depreende, imediatamente, que S toma valores entre 0
e 9.
O objectivo ´e determinar a f.d. e a f.m.p. de S, para o que se
necessita de obter a terceira convolu¸c˜ao de fX (x), f ∗3
X (x).
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18. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Note-se que a (n + 1)−´esima convolu¸c˜ao pode ser obtida de forma
recursiva.
f
∗(n+1)
X (x) = P[
n+1
i=1
Xi = x]
=
y
P[Xn+1 = y]P[
n
i=1
Xi = x − y]
=
y
fX (y)f ∗n
X (x − y),
para n = 0, 1, 2, . . .
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19. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
x f ∗0
X (x) f ∗1
X (x) f ∗2
X (x) f ∗3
X (x) fS (x) FS (x)
0 1.0 0.0 0.00 0.000 0.1000 0.1000
1 0.0 0.5 0.00 0.000 0.1500 0.2500
2 0.0 0.4 0.25 0.000 0.2200 0.4700
3 0.0 0.1 0.40 0.125 0.2150 0.6850
4 0.0 0.0 0.26 0.300 0.1640 0.8490
5 0.0 0.0 0.08 0.315 0.0950 0.9440
6 0.0 0.0 0.01 0.184 0.0408 0.9848
7 0.0 0.0 0.00 0.063 0.0126 0.9974
8 0.0 0.0 0.00 0.012 0.0024 0.9998
9 0.0 0.0 0.00 0.001 0.0002 1.0000
n 0 1 2 3 - -
P[N = n] 0.1 0.3 0.4 0.2 - -
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20. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Note-se que
o facto de a distribui¸c˜ao da severidade ser cont´ınua, n˜ao permite
concluir que, necessariamente, a distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes
agregadas seja cont´ınua.
Realmente, se P[N = 0] > 0 ent˜ao S ´e v.a. mista, sendo {S = 0}
um ponto de massa de probabilidade, sendo cont´ınua nos outros
casos.
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21. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Exerc´ıcio:
Seja N uma v.a. Geom´etrica, N Geo(q) com f.m.p.
P[N = n] = pqn
para n = 0, 1, 2, . . . , 0 < q < 1, p = 1 − q.
Suponha-se X uma v.a. Exponencial, i.e.,
FX (x) = 1 − e−x
, x > 0.
Verifique que a v.a. das indemniza¸c˜oes agregadas, S, ´e uma v.a.
mista.
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22. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
FS (x)
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23. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
fS (x)
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24. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
modelos de frequˆencia e de severidade
Analisemos alguns modelos para o n´umero de indemniza¸c˜oes
(sinistros), N.
N Poisson(λ)
Seja N uma v.a. de Poisson de parˆamnetro λ, N Poisson(λ),
i.e.,
P[N = n] =
e−λλn
n!
, n = 0, 1, 2, . . . , λ > 0
com f.g.m.
MN(r) = exp{λ(er
− 1)}.
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25. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
N Poisson(λ) ⇒ S PC(λ, FX )
Trata-se de uma distribui¸c˜ao adequada para descrever o n´umero de
sinistros quando se verifica uma proximidade entre a m´edia e a
variˆancia dos dados analisados, uma vez que
E[N] = Var[N] = λ.
Nestas condi¸c˜oes, S tem uma distribui¸c˜ao Poisson Composta,
S PC(λ, FX ).
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26. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Nestas condi¸c˜oes, obt´em-se o seguinte:
momentos e f.g.m. de S
E[S] = E[N]p1 ⇒ E[S] = λp1
Var[S] = E[N](p2 − p2
1) + p2
1Var[N] = λ(p2 − p2
1) + p2
1λ ⇒
Var[S] = λp2
MS (r) = MN(log MX (r)) ⇒ MS (r) = exp{λ(MX (r) − 1)}
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27. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
No caso de os dados referentes ao n´umero de sinistros apontarem
no sentido de E[N] < Var[N], tem sido sugerido
N BN(k, q)
o modelo Binomial Negativo de parˆametros k e q, N BN(k, q)
com
P[N = n] =
k + n − 1
n
pk
qn
, n = 0, 1, 2, . . . e k > 0, 0 < q < 1.
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28. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Para este modelo,
momentos e f.g.m. de N
E[N] = kq
p < Var[N] = kq
p2
MN(r) = p
1−qer
k
N BN(k, q) ⇒ S BNC(k, q, FX )
Nestas condi¸c˜oes, diz-se que S tem distribui¸c˜ao Binomial Negativa
Composta.
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29. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
momentos e f.g.m. de S BNC(k, q, FX )
E[S] = E[N]p1 ⇒ E[S] = kq
p p1
Var[S] = E[N](p2−p2
1)+p2
1Var[N] ⇒ Var[S] = kq
p p2+ kq
p2 p2
1
MS (r) = MN(log MX (r)) ⇒ MS (r) = p
1−qMX (r)
k
O caso particular de k = 1 corresponde `a Geom´etrica.
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30. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Outro modelo conveniente quando se verifica que E[N] < Var[N] ´e
o seguinte:
v.a. estrutural
Seja Λ uma v.a. com f.d.p. fΛ(λ), λ > 0.
Suponha-se que a v.a. N condicional a um valor de Λ = λ tem
distribui¸c˜ao de Poisson de parˆametro λ, i.e.,
N|Λ = λ Poisson(λ)
A Λ chama-se v.a. de estrutura e `a sua f.d.p. fun¸c˜ao de estrutura.
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31. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Uma situa¸c˜ao pr´atica de aplica¸c˜ao deste tipo de modelos surge
para uma carteira de seguros em que o n´umero de sinistros ´e bem
modelado por uma Poisson, mas com alguma flexibilidade no que
respeita ao parˆametro λ associado, de acordo com as diversas
classes da carteira.
Poisson mista
Neste caso diz-se que N tem uma distribui¸c˜ao Poisson mista e a
sua f.m.p. ´e obtida com recurso ao Teorema da Probabilidade
Total:
P[N = n] =
∞
0
P[N = n|Λ = λ]fΛ(λ)dλ
=
∞
0
e−λλn
n!
fΛ(λ)dλ
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32. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
valor m´edio, variˆancia e f.g.m. da Poisson mista
E[N] = E[E[N|Λ]] = E[Λ]
Var[N] = E[Var[N|Λ]] + Var[E[N|Λ]] = E[Λ] + Var[Λ]
MN(r) = E[erN] = E[E[erN|Λ]] = E[eΛ(er −1)] = MΛ(er − 1)
Observa¸c˜ao:
E[N|Λ = λ] = Var[N|Λ = λ] = λ
E[erN|Λ = λ] = exp(λ(er − 1))
porque N|Λ = λ Poisson(λ)
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33. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Exerc´ıcio:
Seja Λ Gama(α, β), i.e., uma v.a. com f.d.p. dada por
fΛ(λ) =
βα
Γ(α)
λα−1
e−βλ
, λ > 0,
onde Γ(α) ´e a fun¸c˜ao gama, Γ(α) =
∞
0 xα−1e−x dx. ´E sabido que
MΛ(r) =
β
β − r
α
, r < β.
Mostre que:
1 N BN(k, q) com k = α e p := 1 − q = β
1+β ;
2 E[Λ] = α
β e Var[Λ] = α
β2 , sendo novamente confirmados os
resultados para N.
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34. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
N B(n, p) ⇒ S BC(n, p, FX )
No caso em que N Binomial(n, p), diz-se que S tem
distribui¸c˜ao Binomial Composta.
Verificam-se conclus˜oes an´alogas `as obtidas para os modelos
anteriores.
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35. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Quanto aos modelos associados `as indemniza¸c˜oes particulares, X,
consideram-se, por um lado, modelos em que o c´alculo da
convolu¸c˜ao est´a simplificado como ´e o caso dos modelos Normal e
Gama.
Contudo, referimos igualmente alguns modelos associados
tradicionalmente a certos tipos de ramos de seguros, para os quais
a v.a. referente ao montante de indemniza¸c˜ao ´e positiva e
assim´etrica positivamente (ou `a direita).
Os modelos Lognormal, Pareto e Mistura de Exponenciais s˜ao
sugeridos, numa primeira an´alise, para candidatos a modela¸c˜ao de
dados do ramo Incˆendio, enquanto que ao ramo Acidente
Autom´ovel est´a associado o modelo Gama.
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36. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Relembremos alguns resultados obtidos facilmente recorrendo `as
propriedades da f.g.m:
se {Xi }n
i=1 i.i.d. N(µ, σ2) =⇒ n
i=1 Xi N(nµ, nσ2)
se {Xi }n
i=1 i.i.d. Gama(α, β) =⇒ n
i=1 Xi Gama(nα, β)
se {Xi }n
i=1 i.i.d. Exp(1) =⇒ n
i=1 Xi Gama(n, 1) -
recorde-se que a Exp(1) corresponde `a Gama(1, 1)
Para este ´ultimo caso, iremos determinar a express˜ao anal´ıtica da
f.d. das indemniza¸c˜oes agregadas S, FS (x), o que no caso geral
contitui uma tarefa de dif´ıcil resolu¸c˜ao.
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37. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Considere-se que
fX (x) = e−x
, x > 0.
Ent˜ao,
f ∗n
X (x) =
xn−1e−x
(n − 1)!
, x > 0
j´a que a soma de Exponenciais i.i.d. tem distribui¸c˜ao Gama. Assim,
F∗n
X (x) =
x
0
yn−1e−y
(n − 1)!
dy
= 1 −
∞
x
yn−1e−y
(n − 1)!
dy
integrando por partes...
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38. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
= 1 − −
yn−1e−y
(n − 1)!
|∞
x +
∞
x
(n − 1)yn−2e−y
(n − 1)!
dy
= 1 − −0 +
xn−1e−x
(n − 1)!
+
∞
x
yn−2e−y
(n − 2)!
dy
= F
∗(n−1)
X (x) −
xn−1e−x
(n − 1)!
= . . .
= F∗0
X (x) −
n−1
i=0
xi e−x
i!
= 1 −
n−1
i=0
xi e−x
i!
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39. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
vindo finalmente,
FS (x) =
∞
n=0
F∗n
X (x)P[N = n]
=
∞
n=0
1 −
n−1
i=0
xi e−x
i!
P[N = n]
=
∞
n=0
P[N = n] −
∞
n=0
P[N = n]
n−1
i=0
xi e−x
i!
= 1 − e−x
∞
n=0
P[N = n]
n−1
i=0
xi
i!
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40. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
distribui¸c˜ao do n´umero de sinistros
distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual
Ou seja, no caso de {Xi }n
i=1 i.i.d. Exp(1),
probabilidade de excedˆencia
P[S > x] = e−x
∞
n=0
P[N = n]
n−1
i=0
xi
i!
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41. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
Teorema: soma de v.a.’s independentes PC ´e ainda PC
Sejam S1, S2, . . . , Sm v.a.’s mutuamente independentes, com
Si PC(λi ; Fi ), i = 1, 2, . . . , m;
ent˜ao
m
i=1
Si PC λ :=
m
i=1
λi ; F :=
m
i=1
λi
λ
Fi
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42. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Demonstra¸c˜ao: Seja Mi (r) a f.g.m. associada a Fi , para
i = 1, 2, . . . , m. Ent˜ao, MSi
(r) = exp{λi (Mi (r) − 1)}. As v.a.’s Si
s˜ao independentes pelo que a f.g.m. de S ´e igual ao produto das
f.g.m. das suas parcelas:
MS (r) =
m
i=1
MSi
(r)
= exp
m
i=1
λi (Mi (r) − 1)
= exp λ
m
i=1
λi
λ
Mi (r) − 1
com λ := m
i=1 λi .
A express˜ao da f.g.m. de S caracteriza uma Poisson Composta
com os parˆametros respectivos.
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43. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Em termos de seguros convenientes, este resultado torna os
modelos de Poisson Composta atractivos, de forma a combinar
v´arias carteiras numa s´o:
Se combinarmos m carteiras de seguros em que as
indemniza¸c˜oes agregadas s˜ao bem modeladas com a Poisson
Composta e independentes (n˜ao necessariamente
identicamente distribu´ıdas), ent˜ao faz sentido considerar que
as indemniza¸c˜oes agregadas para a carteira global tˆem
distribui¸c˜ao de Poisson Composta.
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44. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Se considerarmos uma carteira de seguros para um per´ıodo de
m anos com indemniza¸c˜oes anuais agregadas mutuamente
independentes e distribu´ıdas de acordo com a Poisson
Composta (n˜ao necessariamente identicamente distribu´ıdas),
ent˜ao faz sentido considerar para o per´ıodo total de m anos
um modelo de Poisson Composto.
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45. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Corol´ario:
Sejam m reais distintos x1, x2, . . . , xm; m v.a.’s independentes
N1, N2, . . . , Nm, com Ni P(λi ), i = 1, 2, . . . , m.
Ent˜ao S = m
i=1 xi Ni tem distribui¸c˜ao de Poisson Composta com
parˆametro de frequˆencia λ = m
i=1 λi
montante de severidade com f.m.p.
P[X = xi ] =
λi
λ , i = 1, 2, . . . , m
0, outros casos
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46. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Demonstra¸c˜ao: Comece-se por observar que
xi Ni =
Ni
k=1
xi =: Si ,
para i = 1, 2, . . . , m. Quer dizer, Si PC(λi , Fi ), com Fi f.d.
degenerada em x = xi i.e., com f.g.m. associada Mi (r) = erxi .
Pelo teorema anterior, S = m
i=1 Si = m
i=1 xi Ni tem f.g.m.
MS (r) = exp λ
m
i=1
λi
λ
erxi
− 1
o que, definindo MX (r) := m
i=1
λi
λ erxi , caracteriza a v.a. X.
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47. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Os lemas que se seguem servem para ponto de partida para
conclus˜oes acerca do comportamento de combina¸c˜oes lineares de
v.a.’s com distribui¸c˜ao de Poisson.
Lema 1:
Toda a v.a. das indemniza¸c˜oes agregadas
S =
N
j=1
Xj ,
com Xj discretas i.i.d. a X :
xi , i = 1, 2, . . . , m
P[X = xi ] = πi ,
pode ser representada como combina¸c˜ao linear de v.a.’s Ni do tipo
S =
m
i=1
xi Ni .
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48. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Demonstra¸c˜ao: Considere-se Ni :=“node parcelas iguais a xi na
soma N
j=1 Xj para i = 1, 2, . . . , m.
Ent˜ao, N = m
i=1 Ni , vindo
S =
N
j=1
Xj =
m
i=1
Ni
k=1
xi =
m
i=1
xi Ni .
Veremos mais adiante que no caso de S ter uma distribui¸c˜ao de
Poisson Composta, ent˜ao as v.a.’s Ni s˜ao mutuamente
independentes e de Poisson.
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49. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Lema 2:
Considere-se Ni :=“node ocorrˆencias do acontecimento Ai em n
provas de Bernoulli”para i = 1, 2, . . . , m. Denote-se
πi := P[Ai ], com m
i=1 πi = 1 e m
i=1 Ni = n.
No modelo multinomial
P[N1 = n1, . . . , Nm = nm] =
n!
n1! . . . nm!
πn1
1 . . . πnm
m .
Ent˜ao
E exp
m
i=1
ri Ni =
m
i=1
πi eri
.
Note-se que Ni Bernoulli(πi ) e que, dado que m
i=1 Ni = n,
(N1, . . . , Nm) tem distribui¸c˜ao Multinomial(π1, . . . , πm).
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50. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Demonstra¸c˜ao:
Comece-se por notar que a f.g.m. de um vector aleat´orio
(N1, . . . , Nm) ´e
M(N1,...,Nm)(r1, . . . , rm) = E exp
m
i=1
ri Ni .
Neste caso,
E(exp(
m
i=1
ri Ni )) =
n1,...,nm
n1+...+nm=n
exp(
m
i=1
ri ni )
n!
n1! . . . nm!
πn1
1 . . . πnm
m
=
n1,...,nm
n1+...+nm=n
n!
n1! . . . nm!
(π1er1
)n1
. . . (πmerm
)nm
= (π1er1
+ . . . + πmerm
)n
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51. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
f.g.m. de um vector aleat´orio
Define-se a f.g.m para um vector aleat´orio ˜Z := (Z1, . . . , Zn) como
M˜Z (˜r) := E e(˜r,˜Z)
= E exp(
n
i=1
ri Zi ) ,
sendo ˜r := (r1, . . . , rn) um vector de componentes reais.
O vector ˜Z tem componentes independentes sse
M˜Z (˜r) =
n
i=1
MZi
(ri ).
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52. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Teorema
Se S = m
i=1 xi Ni PC(λ, FX ), com
X :
xi , i = 1, . . . , m
P[X = xi ] = πi , ,
ent˜ao:
N1, N2, . . . , Nm s˜ao mutuamente independentes
Ni P(λi ), com λi := λπi , i = 1, . . . , m.
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53. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Demonstra¸c˜ao:
Iremos constatar que naquelas condi¸c˜oes
M˜N(˜r) =
m
i=1
MNi
(ri )
ficando portanto demonstrado que N1, N2, . . . , Nm s˜ao
mutuamente independentes. A express˜ao que obteremos para
MNi
(ri ) permitir-nos-´a concluir que Ni P(λi ), com λi := λπi ,
i = 1, . . . , m. Seja N := m
i=1 Ni ; ent˜ao
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54. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
M˜N(˜r) = E exp(
m
i=1
ri Ni )
=
∞
n=0
E exp(
m
i=1
ri Zi )|N = n P(N = n)
=
∞
n=0
m
i=1
πi eri
n
e−λλn
n!
= e−λ
∞
n=0
( m
i=1 πi eri λ)n
n!
= e−λ
exp
m
i=1
πi eri
λ
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55. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
= exp
m
i=1
λπi eri
− λ
m
i=1
πi
=
m
i=1
exp (λπi (eri
− 1))
=
m
i=1
exp (λi (eri
− 1))
=
m
i=1
MNi
(ri ).
com Ni P(λi ), i = 1, . . . , m.
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56. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
toda a v.a. de Poisson ´e Poisson Composta
Note-se que qualquer v.a. N de Poisson com parˆametro λ pode ser
encarada como uma v.a. de Poisson Composta. Para tal, basta
notar que se pode escrever sempre
N =
N
i=1
1 =
N
i=1
Xi
com Xi i.i.d. a uma v.a. degenerada em 1.
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57. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Estes resultados s˜ao ´uteis para:
1. c´alculo da distribui¸c˜ao de Poisson Composta com montante de
indemniza¸c˜ao individual discreto
come¸ca-se por calcular as f.m.p das v.a.’s
x1N1, x2N2, . . . , xmNm;
calcula-se, de seguida, a convolu¸c˜ao das m f.m.p. anteriores
Obs.: Mesmo quando o montante de indemniza¸c˜ao individual ´e
uma v.a. cont´ınua, este m´etodo pode ser ´util ap´os uma
“discretiza¸c˜ao”da v.a. associada.
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58. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
2. c´alculo do valor m´edio e variˆancia das indemniza¸c˜oes agregadas
E(S) e Var(S), com S Poisson Composta com montante de
indemniza¸c˜ao discreto
E(S) = E( m
i=1 xi Ni ) = m
i=1 xi λi = m
i=1 xi (λπi ) =
λ m
i=1 xi πi = λp1
Var(S) = Var( m
i=1 xi Ni ) = m
i=1 x2
i λi = m
i=1 x2
i (λπi ) =
λ m
i=1 x2
i πi = λp2
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59. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
3. por vezes ´e conveniente encarar S como soma de v.a.’s
mutuamente independentes do tipo xi Ni , i = 1, . . . , m, com
distribui¸c˜ao de Poisson Composta
de facto, podemos escrever aquelas v.a.’s como
xi Ni =
Ni
k=1
xi =
Ni
k=1
Xk,
com Xk i.i.d. a X∗
i , v.a. degenerada em xi . Pelo que
xi Ni PC(λi , Fi ), com Fi (x) =
0, x < xi
1, x ≥ xi
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60. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
No exemplo que se segue s˜ao explorados dois m´etodos de c´alculo
da distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas. O primeiro refere-se
ao c´alculo directo, j´a utilizado antes, e o segundo tem por base o
resultado do teorema anterior.
Exemplo:
Considere S PC(λ, FX ) com λ = 0.8 e FX e f.d. associada `a
f.m.p. dada por
x 1 2 3
fX (x) 0.25 0.375 0.375
Calcular fS (x) := P(S = x), para x = 0, 1, 2, . . . , 6.
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61. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Come¸caremos por obter a f.m.p. de S com recurso a
fS (x) = P[S = x] =
∞
n=0
f ∗n
X (x)P[N = n] =
∞
n=0
P[
n
i=1
Xi = x]P[N = n],
com λ = 0.8
x f ∗0
X (x) f ∗1
X (x) f ∗2
X (x) f ∗3
X (x) f ∗4
X (x) f ∗5
X (x) f ∗6
X (x) fS (x)
0 1.0 - - - - - - 0.449329
1 - 0.25 - - - - - 0.089866
2 - 0.375 0.0625 - - - - 0.143785
3 - 0.375 0.1875 0.015625 - - - 0.162357
4 - - 0.328125 0.070313 0.003906 - - 0.049905
5 - - 0.281250 0.175781 0.023438 0.000997 - 0.047360
6 - - 0.140625 0.263672 0.076172 0.007324 0.000244 0.030923
... - - - - - ...
n 0 1 2 3 4 5 6
P[N = n] =
= e−λ λn
n!
0.449329 0.359463 0.143785 0.038343 0.007669 0.001227 0.000164
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62. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Aqui s˜ao apresentados os c´alculos auxiliares para a f.d. de S de
acordo com o resultado do teorema , com
m = 3, λ = 0.8, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
λ1 = λπ1 = 0.2, λ2 = λπ2 = 0.3, λ3 = λπ3 = 0.3,
S = 1.N1 + 2.N2 + 3.N3
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64. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
F´ormulas recursivas; m´etodo de Panjer
No par´agrafo anterior os resultados obtidos de forma a calcular a
distribui¸c˜ao das distribui¸c˜oes agregadas, exigiam que a severidade
fosse discreta.
Estudaremos de seguida um m´etodo alternativo que exige, ainda,
que a severidade tome valores no conjunto dos inteiros positivos.
O m´etodo ´e recursivo e o resultado em que se baseia ser´a deduzido
para o caso da frequˆencia de Poisson, embora seja referida uma
express˜ao mais geral para um certo tipo de frequˆencia que possa
ser calculada de forma recursiva (Panjer (1981)).
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65. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Teorema:
Perante indemniza¸c˜oes agregadas com distribui¸c˜ao de Poisson
Composta, e no caso do montante de indemniza¸c˜ao, X, tomar
valores nos inteiros positivos, i.e., tomar valores xi = i, ´e v´alida a
seguinte express˜ao recursiva para a f.m.p de S:
fS (x) = P(S = x) =
∞
i=1
i
x
λi fS (x − i)
para x = 1, 2, . . ., com λi = λπi , sendo πi = P(X = i), partindo
do valor inicial fS (0) = e−λ.
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66. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
a respeito de fS (0)
Note-se que o valor inicial ´e obtido atrav´es do facto de o
acontecimento de as indemniza¸c˜oes agregadas assumirem o valor
zero ser equivalente ao acontecimento do n´umero de
indemniza¸c˜oes ser nulo, uma vez que a severidade toma sempre
valores positivos. Assim,
fS (0) = P(S = 0) = P(N = 0) = e−λ
.
Desta forma, poderemos calcular recursivamente fS (1), fS (2), ... .
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67. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Lema:
Nas condi¸c˜oes anteriores,
f
∗(n+1)
X (x) =
∞
i=1
(n + 1)
i
x
πi f
∗(n)
X (x − i).
Este lema estabelece uma rela¸c˜ao recursiva para as convolu¸c˜oes da
distribui¸c˜ao de X, que demonstraremos de seguida.
Demonstra¸c˜ao: Comecemos por considerar os valores m´edios
condicionais
E X1|
n+1
i=1
Xi = x = . . . = E Xn+1|
n+1
i=1
Xi = x = C,
com C constante j´a que os Xi s˜ao i.i.d. .
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68. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Ent˜ao, somando estes valores,
n+1
k=1
E Xk|
n+1
i=1
Xi = x =
n+1
k=1
C = (n + 1)C.
Por outro lado,
n+1
k=1
E Xk|
n+1
i=1
Xi = x = E
n+1
k=1
Xk|
n+1
i=1
Xi = x = x
pelo que se conclui que
C =
x
n + 1
.
Consequentemente,
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69. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
x
n + 1
= E(X1|
n+1
i=1
Xi = x)
=
∞
i=1
iP(X1 = i|
n+1
j=1
Xj = x)
=
∞
i=1
i
P(X1 = i, n+1
j=1 Xj = x)
P( n+1
j=1 Xj = x)
=
∞
i=1
i
P(X1 = i).P( n+1
j=2 Xj = x − i)
P( n+1
j=1 Xj = x)
=
∞
i=1
iπi
f
∗(n)
X (x − i)
f
∗(n+1)
X (x)
demonstrando-se o lema.
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70. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Demonstra¸c˜ao do teorema:
Vimos atr´as que
fS (x) = P[S = x] =
∞
n=0
f ∗n
X (x)P[N = n] =
∞
n=0
f ∗n
X (x)
e−λλn
n!
o que no caso de X ser discreta em 1, 2, 3, ... se reduz a
fS (x) =
∞
n=1
f ∗n
X (x)
e−λλn
n!
=
∞
n=0
f
∗(n+1)
X (x)
e−λλn+1
(n + 1)!
j´a que fS (0) = 0 para x = 0 e N ´e Poisson(λ)
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71. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Aplicando o resultado do lema tem-se
fS (x) =
∞
n=0
e−λλn+1
(n + 1)!
∞
i=1
(n + 1)
i
x
πi f ∗n
X (x − i)
=
∞
i=1
i
x
λπi
∞
n=0
e−λλn
n!
f ∗n
X (x − i)
=
∞
i=1
i
x
λi fS (x − i),
obtendo-se o pretendido.
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72. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Exemplo:
Retomemos o exemplo anterior, uma vez que os montantes de
indemniza¸c˜ao s˜ao inteiros positivos, para calcular a f.m.p. de S.
λ = 0.8, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
λ1 = λπ1 = 0.2, λ2 = λπ2 = 0.3, λ3 = λπ3 = 0.3.
Partindo do valor inicial
fS (0) = P[N = 0] = e−λ
= e−0.8
= 0.449329,
e notando que X ≤ 3,
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73. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
fS (x) =
∞
i=1
i
x
λi fS (x − i) =
min(x,3)
i=1
i
x
λi fS (x − i),
obtendo-se sucessivamente
fS (1) =
min(1,3)
i=1
i
1
λi fS (1−i) =
1
1
λ1fS (1−1) = λ1fS (0) = 0.2fS (0) = 0.089866
fS (2) =
min(2,3)
i=1
i
2
λi fS (2 − i) =
1
2
(λ1fS (1) + λ2fS (0)) = 0.143785
fS (3) =
min(3,3)
i=1
i
3
λi fS (3−i) =
1
3
(λ1fS (2) + λ2fS (1) + λ3fS (0)) = 0.162358
. . .
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74. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
f´ormulas de Panjer(1981)
Para determinados modelos de distribui¸c˜ao composta, referentes a
v.a.’s N cuja f.m.p. possa ser calculada de forma recursiva, a
distribui¸c˜ao da v.a. das indemniza¸c˜oes agregadas, S, pode ser, ela
pr´opria, calculada recursivamente, para os casos em que os
montantes de indemniza¸c˜ao s˜ao inteiros positivos. As express˜oes
relativas aos casos referidos s˜ao conhecidas por f´ormulas de
Panjer.
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75. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
f.m.p. de N obtida de forma recursiva
Suponha-se que X toma valores nos inteiros positivos
xi = i = 1, 2, ... com probabilidades πi = P(X = i). Suponha-se
ainda que N tem f.m.p que pode ser calculada de forma recursiva,
i.e.,
P(N = n + 1) = a +
b
n + 1
P(N = n), n = 0, 1, 2, ...,
com a e b constantes.
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76. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Obs.:As distribui¸c˜oes de Poisson e Binomial Negativa verificam
esta express˜ao de recursividade:
N Poisson(λ), λ > 0
P(N = n+1) =
e−λλn+1
(n + 1)!
= (0+
λ
n + 1
)
e−λλn
n!
⇒ a = 0, b = λ
N BN(k, q)
P(N = n + 1) =
k + n + 1 − 1
n + 1
pk
qn+1
= (q +
(k − 1)q
n + 1
)
k + n − 1
n
pk
qn
⇒ a = q, b = (k − 1)q
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77. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Teorema: Panjer (1981)
nas condi¸c˜oes definidas anteriormente e se a f.m.p. de N puder ser
calculada recursivamente, a f.m.p. de S pode ser calculada
recursivamente atrav´es de
fS (x) =
x
i=1
(a + b
i
x
)πi fS (x − i), x = 1, 2, ...,
com
fS (0) = P(N = 0).
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78. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
casos particulares:
N Poisson(λ)
fS (x) =
x
i=1
i
x
λi fS (x − i), x = 1, 2, ...
fS (0) = P(N = 0) = e−λ
.
N BN(k, q)
fS (x) = q
x
i=1
(1 + (k − 1)
i
x
)πi fS (x − i), x = 1, 2, ...
fS (0) = P(N = 0) = pk
.
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79. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Obs. :
1 Se X assume apenas valore num conjunto finito de inteiros
positivos xi = i = 1, 2, ..., k, ent˜ao
fS (x) =
min(x,k)
i=1
(a + b
i
x
)πi fS (x − i), x = 1, 2, ...,
2 A aplica¸c˜ao do m´etodo recursivo ainda ´e v´alida quando alguns
dos πi s˜ao nulos.
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80. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
M´etodos aproximados
Quando o valor esperado do n´umero de sinistros, E(N), ´e muito
elevado, a utiliza¸c˜ao do m´etodo recursivo torna-se morosa.
Por outro lado, ´e frequente que para as indemniza¸c˜oes particulares,
X, n˜ao se conhe¸ca a distribui¸c˜ao mas apenas alguns momentos.
Nestas circunstˆancias, torna-se conveniente encontrar uma solu¸c˜ao
aproximada.
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81. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
aproxima¸c˜ao `a Normal
Quando o coeficiente de assimetria de S,
γS :=
E[(S − µS )3]
(σ2
S )3/2
=
µ3
µ
3/2
2
; µS := E(S), σ2
S := Var(S),
n˜ao atinge um valor elevado (γS < 0.1) ´e razo´avel utilizar a
aproxima¸c˜ao `a Normal de modo an´alogo ao realizado com o
modelo de risco individual no cap´ıtulo anterior.
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82. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Assim, para uma carteira em que o n´umero esperado de sinistros
E[N] ´e elevado,
FS (x) ∼= Φ
x − µS
σS
µS e σS para PC e BNC:
No caso da distribui¸c˜ao de Poisson Composta,
µS = λp1 e σ2
S = λp2
e no caso da distribui¸c˜ao Binomial Negativa Composta,
µS = kq
p p1 e σ2
S = kq
p p2 + kq2
p2 p2
1.
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83. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Estas aproxima¸c˜oes baseiam-se no seguinte
Teorema:
1 Se S PC(λ, FX ), ent˜ao
S∗
:=
S − µS
σS
=
S − λp1
√
λp2
d
−−−→
λ→∞
Z N(0, 1)
2 Se S BNC(k, q; FX ), ent˜ao
S∗
:=
S − µS
σS
=
S − kq
p p1
kq
p p2 + kq2
p2 p1
d
−−−→
k→∞
Z N(0, 1)
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84. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Aproxima¸c˜ao `a Gama deslocada
Uma primeira abordagem ´e feita com recurso `a distribui¸c˜ao Gama
deslocada, considerando
FS (x) ∼=
x−x0
0
βαtα−1
Γ(α)
e−βt
dt,
ou, de forma equivalente,
FS (x) ∼=
x
x0
βα (z − x0)α−1
Γ(α)
e−β(z−x0)
dz =
x
x0
fZ (z; α, β, x0)dz,
onde fZ (z; α, β, x0) representa a f.d.p. duma v.a. Z com
distribui¸c˜ao Gama de parˆametros (α, β), com localiza¸c˜ao x0.
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85. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Ent˜ao
µZ = x0 +
α
β
σ2
Z =
α
β2
sendo γZ = 2√
α
o coeficiente de assimetria de Z.
Os parˆametros s˜ao escolhidos de forma a que o valor m´edio, a variˆancia e
o ceficiente de assimetria de S calculados atrav´es da aproxima¸c˜ao referida
coincidam com os originais, i.e.,
µS ≡ µZ , σ2
S ≡ σ2
Z , γS ≡ γZ
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86. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
aproxima¸c˜ao `a Gama deslocada no caso S PC(λ, FX )
γS =
λp3
(λp2)3/2
.
Tal traduz-se em escolher para o modelo aproximado:
o parˆametro de forma α = 4λ(p2)3
(p3)2 ,
o parˆametro de escala β = 2p2
p3
,
o parˆametro de localiza¸c˜ao x0 = λp1 − 2λ(p2)2
p3
.
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87. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Aproxima¸c˜ao Normal Power (NP)
Para valores de x−µS
σS
> 1,
FS (x) ∼= Φ −
3
γS
+
9
γ2
S
+ 1 +
6
γS
.
x − µS
σS
,
com Φ(.) a f.d. da N(0, 1), constitui uma boa aproxima¸c˜ao para a
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas, desde que o coeficiente
de assimetria n˜ao seja excessivamente elevado (γS < 2).
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88. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Nas aplica¸c˜oes pr´aticas, ´e frequentemente requerido o c´alculo de
um percentil de S, x ( pequeno, em geral) tal que
FS (x ) = P(S ≤ x ) = 1 − ,
o que se resolve de forma aproximada.
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89. introdu¸c˜ao
distribui¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas
modelos de frequˆencia e de severidade
propriedades da distribui¸c˜ao de Poisson Composta
F´ormulas recursivas. M´etodo de Panjer.
M´etodos aproximados
Note-se que
P(S > x ) = ,
consistindo, portanto a solu¸c˜ao na obten¸c˜ao da aproxima¸c˜ao (por
invers˜ao ) de
z ∼= −
3
γS
+
9
γ2
S
+ 1 +
6
γS
.
x − µS
σS
o que implica que
x ∼= µS + z +
γS
6
(z − 1) ,
com z o percentil da N(0, 1) tal que Φ(z ) = 1 − .
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