8 iuh theory-ci

L’idrogramma Istantaneo Unitario
The Great Wave off Kanagawa, Hokusai 1823

Riccardo Rigon

Tuesday, March 27, 12

E mormora e urla, sussurra, ti
parla e ti schianta,
evapora in nuvole cupe e di nero
e cade e rimbalza e si muta in
persona od in pianta
diventa di terra, di vento, di
sangue e pensiero.

(Francesco Guccini)


Introduzione

Obiettivi

3

Riccardo Rigon


Introduzione

Obiettivi

• Nella lezione si introdurrà la trattazione delle piene fluviali secondo
la teoria dell’idrogramma istantaneo unitario.

• Si parla delle ipotesi di linearità ed invarianza
• Si introduce il concetto di tempo di residenza

3

Riccardo Rigon


Introduzione

Cos’e’ una piena ?
1400
1200
1000
Portate m^3/s

800
600
400
200
0

1990 1995 2000 2005

Anno

4

Riccardo Rigon


Introduzione

Cos’e’ una piena ?
1400
1200
1000
Portate m^3/s

800
600
400
200
0

1990 1995 2000 2005

Anno
5

Riccardo Rigon


Introduzione
After Doodge

6

Riccardo Rigon


Introduzione

La risposta idrologica in un bacino

Previsione delle precipitazioni

Calcolo del deflusso superficiale

Aggregazione del deflusso

Propagazione del deflusso

7

Riccardo Rigon


Introduzione

La risposta idrologica in un bacino

•Supponiamo nota la distribuzione delle precipitazioni e la loro
natura

•Supponiamo risolto il problema della determinazione del deflusso
efficace

Aggregazione del deflusso

Propagazione del deflusso

8

Riccardo Rigon


Introduzione

Durante eventi di piena

•L’evapotraspirazione si può ignorare (ciò che è rilevante è incluso
nelle condizioni iniziali)

•si può semplificare il meccanismo di produzione del deflusso
superificiale (e supporre di conoscere il coefficiente di deflusso)

•la celerità dell’onda di piena si può tenere (come prima
approssimazione) costante

•Gran parte dell’idrogramma di piena è spiegata dalla geometria e
dalla topologia del bacini (oltre che dalla variabilità spazio-temporale
delle precipitazioni)

9

Riccardo Rigon


IUH

Metodi per l’aggregazione del
deflusso superficiale - IUH

Discutiamo qui di una forma moderna della teoria
dell’idrogramma istantaneo unitario

10

Riccardo Rigon


IUH



Portata alla sezione di chiusura

10

Riccardo Rigon


IUH



Idrogramma istantaneo unitario


10

Riccardo Rigon


IUH



Precipitazione efficace

Idrogramma istantaneo unitario


10

Riccardo Rigon


IUH

11

Riccardo Rigon


IUH

Pioggia efficace
Jeff

11

Riccardo Rigon


IUH

Pioggia efficace
Jeff

Aggregazione dei deflussi

IUH
Onda diffusiva

11

Riccardo Rigon


IUH

Pioggia efficace
Jeff

Aggregazione dei deflussi

IUH
Onda diffusiva

Portata
11

Riccardo Rigon


IUH: linearità

Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario

E’ lineare perchè, se si moltiplica per n la
precipitazione efficace, la portata aumenta di
proporzionalmente.

Jef f ( ) = n Jef f ( )

12

Riccardo Rigon


IUH: linearità

istantaneo unitario

E’ lineare perchè, se si moltiplica per n la
precipitazione efficace, la portata aumenta di
proporzionalmente.

13

Riccardo Rigon


IUH: invarianza

istantaneo unitario
Invarianza temporale

tempo

precipitazione

Portata

Out[465]=

tempo

14

Riccardo Rigon


IUH: linearità e invarianza

istantaneo unitario

tempo

precipitazione

Portata

Out[409]=

tempo

15

Riccardo Rigon



istantaneo unitario

tempo

precipitazione

Portata

Out[413]=

tempo

16

Riccardo Rigon



istantaneo unitario

tempo

precipitazione

Portata

Out[414]=

tempo

17

Riccardo Rigon



istantaneo unitario
Linearità e Invarianza

tempo

precipitazione

Portata

Out[409]=

+ Out[413]=

+ Out[414]=

tempo

18

Riccardo Rigon



istantaneo unitario

tempo

precipitazione

Portata

Out[422]=

tempo

19

Riccardo Rigon



istantaneo unitario

tempo

precipitazione

Portata

Out[426]=

tempo

20

Riccardo Rigon


IUH: unitarietà

istantaneo unitario

e’ la funzione impulso o “delta di Dirac”

21

Riccardo Rigon


IUH: unitarietà

(⇥ )

22

Riccardo Rigon


IUH: unitarietà

Delta function

20
15
density

10
5
0

-4 -2 0 2 4

t

23

Riccardo Rigon


IUH: unitarietà

istantaneo unitario

Inoltre:

24

Riccardo Rigon


IUH: impulso costante


Se la precipitazione è di intensità costante, p, in
un intervallo temporale di durata tp , allora

che diviene

25

Riccardo Rigon



L’integrale dell’idrogramma unitario ha una
forma ad S

Ed è chiamato S-Hydrograph (qui rappresentato moltiplicato per l’area contribuente totale)
26

Riccardo Rigon



L’integrale dell’idrogramma ha una forma ad S
IUH(t)

Out[395]=

t

S(t)
1

Out[396]=

t
27

Riccardo Rigon


IUH: tempi di residenza

Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980

28

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

t1

29

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

t2

30

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

t3

31

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

t4

32

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

t5
33

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

t1
t2
t3
t4

t5
34

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

v(t) = vk Ik (t)
k

35

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

v(t) = vk Ik (t)
k

Il volume v(t) rappresenta inoltre un rapporto tra casi favorevoli (volumi
presenti all'interno del bacino) e casi totali (il numero totale di eventi
possibili), cioè il numero totale di volumi , ed è pertanto, nel limite di un
numero di volumi infinito la probabilità che i volumi siano interni al bacino.

Piu’ precisamente, v(t) è numericamente uguale alla probabilità, P[T >t], che il
tempo di residenza dell'acqua all'interno del bacino sia superiore al tempo
corrente, t.

36

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH
Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:

dv dP [T > t]
= = (t) IUH (t)
dt dt

37

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

dv dP [T > t]
= = (t) IUH (t)
dt dt

La variazione di volume d’acqua nel tempo eguaglia la
probabilità di superamento del tempo di residenza

37

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

dv dP [T > t]
= = (t) IUH (t)
dt dt

38

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

dv dP [T > t]
= = (t) IUH (t)
dt dt

Variazione di volume (nel tempo) all’interno del
bacino

38

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

dv dP [T > t]
= = (t) IUH (t)
dt dt

Variazione di volume (nel tempo) all’interno del
bacino

Ciò che entra - ciò che esce
38

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

dv dP [T > t]
= = (t) IUH (t)
dt dt

39

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

dv dP [T > t]
= = (t) IUH (t)
dt dt

Precipitazione
efficace istantanea ed unitaria

39

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

dv dP [T > t]
= = (t) IUH (t)
dt dt

Precipitazione
efficace istantanea ed unitaria

Portata in uscita corrispondente
ad una precipitazione in entrata
istantanea ed unitaria
39

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH
Integrando risulta allora

t t
P [T > t] = (t)dt IUH (t)dt
0 0

Ovvero

t
P [T < t] = IUH (t)dt
0

dalle definizioni segue allora che lo S hydrograph è una probabilità (il che ne
spiega compiutamente la forma).
40

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

t t
0 0

Ovvero

t
0

41

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH

t t
0 0

Ovvero
Questo vale 1 per
definizione
t
0

41

Riccardo Rigon



- IUH -> GIUH
Derivando ambo i membri dell’equazione risulta allora

pdf (t) = IU H(t)

che è quanto volevamo dimostrare

42

Riccardo Rigon



Il problema successivo è quello di capire che cosa è
la distribuzione di probabilità

e come si può determinare nei casi di interesse

43

Riccardo Rigon


Esempi

deflusso superficiale - Osservazioni

I - Assumendo per vera la teoria che si è sviluppata, tutto passa per la
determinazione di una densità di probabilità. In genere, considerazioni di
natura dinamica portano ad identificare non una distribuzione, ma una
famiglia di distribuzioni, per esempio:

1
IUH(t) = e t/

dove λ e’ un parametro NON determinato apriori ma a posteriori, dopo una
operazione di “calibrazione”

44

Riccardo Rigon


Esempi

Distribuzione Uniforme

• Se x1=0 e x2=tc allora, la probabilità (lo S-Hydrograph) è :

t
0 < t < tc
P [T < t; tc ] = tc
1 t tc

• tc è detto tempo di corrivazione e il modello idrologico che ne risulta è il
modello “cinematico”.

45

Riccardo Rigon


Esempi


1.0
0.8
P[T<t;uniforme(0,1)]

0.6
0.4
0.2
0.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Tempo di residenza [h]

tempo di corrivazione 46

Riccardo Rigon


Esempi


1.0
0.8
P[T<t;uniforme(0,1)]

0.6
0.4
0.2
0.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0


tempo di corrivazione 47

Riccardo Rigon


Esempi

Idrogramma “cinematico”
durata della precipitazione
Osservazioni:

1.0
I volumi di precipitazione

Discharge for unit Area and unit precipitation

0.8
efficace crescono con
la durata con un

0.6
andamento in
accordo alle curve di
0.4
possibilità
pluviometrica
0.2
0.0

0 1 2 3 4

tempo di corrivazione Time [h]
48

Riccardo Rigon


Esempi

Idrogramma “cinematico”

Osservazioni:

1.0
• Per durate di precipitazione inferiori al tempo di


0.8
corrivazione la portata sale linearmente e

0.6
ha un picco per alla fine della
precipitazione. La portata di picco perdura

0.4
sino al tempo di corrivazione e poi decresce

0.2
0.0
• Per durate di precipitazioni superiori al tempo 0 1 2 3 4

di corrivazione la portata di picco si Time [h]

raggiunge comunque al tempo di
corrivazione e perdura sino al termine della
precipitazione per poi descrescere.

49

Riccardo Rigon


Esempi

Distribuzione Esponenziale

1
pdf (t; ) = e t/
H(t)

dove è il tempo medio di residenza

50

Riccardo Rigon


Esempi


P [T < t; ] = (1 e t/
)

e il modello che ne risulta è quello noto come modello dell’invaso
lineare.

51

Riccardo Rigon


Esempi


1.0
0.8
0.6
P[T<t;exp(1)]

0.4
0.2
0.0

0 1 2 3 4


52

Riccardo Rigon


Esempi


1.0
0.8
Probabilit.. Esponeziale

0.6
0.4
0.2
0.0

0 1 2 3 4


53

Riccardo Rigon


Esempi

Idrogramma “dell’invaso lineare”

Osservazioni: durata della precipitazione

1.0
I volumi di precipitazione

efficace crescono con

0.8
la durata

0.6
0.4
0.2
0.0

0 1 2 3 4

Time [h]
54

Riccardo Rigon


Esempi

Idrogramma “dell’invaso lineare”

Osservazioni:

1.0
I volumi di precipitazione,


0.8
com e la durata, sono
costanti.

0.6
0.4
0.2
0.0

0 1 2 3 4

Time [h]

durata della precipitazione
55

Riccardo Rigon


Grazie per l’Attenzione


L’idrogramma instantaneo unitario
Shozo Shimamoto
geomorfologico

Riccardo Rigon


Introduzione

Obiettivi

58

Riccardo Rigon


Introduzione

Obiettivi

• Si introduce il concetto di idrogramma istantaneo unitario
geomorfologico.

• Si discute della partizione del bacino in parti idrologicamente simili
• Si introducono le teorie dello GIUH basate sulla funzione di
ampiezza

58

Riccardo Rigon


Introduzione

Metodi per l’aggregazione del deflusso
superficiale - Osservazioni

Il carattere statistico dell’idrogramma unitario ha due conseguenze rilevanti:

I - Un problema di rappresentatività del campione statistico (ovvero della
definizione di una struttura areale minima in cui il sistema sia ergodico).
Tecnicamente si parla di REA Rapresentative Elementary Area. In ogni caso le
incertezze nella previsione sono tanto maggiori quanto più piccolo è il
sistema

59

Riccardo Rigon


Introduzione

GIUH

Tre sono gli elementi principali dell'analisi geomorfologica dei bacini:

1. La dimostrazione dell'equivalenza rigorosa tra funzioni di distribuzione dei
tempi di residenza all'interno di un bacino e idrogramma istantaneo unitario,
mostrata nel capitolo precedente;

2. La partizione del bacino in unità idrologicamente distinte e la traduzione
formale delle relazioni esistenti tra queste parti (usualmente denominate “stati”)
ciascuna caratterizzata da una propria distribuzione dei tempi di residenza in
quella che usualmente si identifica con l'acronimo GIUH (idrogramma istantaneo
unitario geomorfologico, Instantaneous Geomorphic Unit Hydrograph). Questa
operazione consiste essenzialmente nella scrittura formale dell'equazione di
continuità per un bacino spazialmente articolato e complesso.
60

Riccardo Rigon


Introduzione

GIUH

3.La determinazione della forma funzionale delle singole
distribuzioni dei tempi di residenza in base a considerazioni
sull'idraulica dei moti in ambiente naturale e alle caratteristiche
geometriche che regolano il moto.

61

Riccardo Rigon


Introduzione

GIUH - Partizione del bacino in aree
idrologicamente simili

La ripartizione del bacino parte dell’identificazione del reticolo idrografico

62

Riccardo Rigon


Una partizione dei bacini idrografici

Prosegue con la identificazione delle aree drenanti in ciascuna porzione di
area.

63

Riccardo Rigon


Una partizione dei bacini idrografici

Rinaldo, Geomorphic Flood Research, 2006

64

Riccardo Rigon


L’identificazione dei percorsi

Nel bacino precedente sono identificate cinque aree scolanti (Ai) e di
conseguneza cinque percorsi delle acque:

A1 c1 c3 c5
A2 c2 c3 c5
A3 c3 c5
A4 c4 c5
A5 c5
Ogni percorso e’ suddiviso in tratti e i ci rappresentano tratti di canale tra
due successivi affluenti.
65

Riccardo Rigon


Lezioni di Costruzioni Idrauliche 2008-2009

idrologicamente simili (bacini urbani)

66
Riccardo Rigon




67
Riccardo Rigon




68
Riccardo Rigon



L’area scolante:

A1 c1 c3 c5
69

Riccardo Rigon



Il tratto di rete di testa:

A1 c1 c3 c5
70

Riccardo Rigon



il primo tratto di canale:

A1 c1 c3 c5
71

Riccardo Rigon




Nella scelta della partizione vi è, naturalmente
un certo arbitrio nella tasselazione del bacino,
ma la scelta, in generale dovrebbe essere fatta
su motivate questioni dinamiche e/o
geomorfologiche. La suddivisione appena

attuata, in particolare, assume che:
•il deflusso nei versanti sia descritto da una
distribuzione dei tempi di residenza distinta dal
deflusso nei canali
•Che il deflusso nei versanti dipenda dall’area
scolante
•Che il deflusso nei canali dipenda dalla
lunghezza dei canali.
72

Riccardo Rigon



La linearità implica l’IUH complessivo

=

+ +

+ +

si ottiene dalla somma dei singoli IUH 73

Riccardo Rigon


La distribuzione dei tempi di residenza in un singolo percorso

GIUH - Composizione dei tempi di residenza

La partizione assume anche che i tempi di
residenza in ogni “stato” identificato in ogni
percorso possano essere “composti”. Il tempo di

residenza totale (come variabile aleatoria) nel
percorso in figura è allora assegnato come:

T1 = TA1 + Tc1 + Tc3 + Tc5

74

Riccardo Rigon




T1 non è un numero ma una variabile che può
assumere diversi valori, a seconda dei valori
campionati nei processi componenti (A1, C1,

C3,C5). Di questa variabile, si può pero’
conoscere la distribuzione, nell’ipotesi di
indipendenza stocastica dei singoli eventi. In
questo caso:

pdfT1 (t) = (pdfA1 pdfc1 pdfc3 pdfc5 )(t)

75

Riccardo Rigon




pdfT1 (t) = (pdfA1 pdfc1 pdfc3 pdfc5 )(t)

Quella sopra è una scrittura formale che dice:

La distribuzione dei tempi di residenza del
percorso è uguale alla convoluzione delle
distribuzioni dei tempi di residenza nei singoli
stati.

76

Riccardo Rigon




L’operazione di convoluzione, assegnate due distribuzion, i.e. pdfA1(t) e
pdfC1(t) è definita da:
t
pdfA1 ⇥C1 (t) := (pdfA1 ⇥ pdfc1 )(t) = pdfA1 (t ) pdfc1 ( )d
⇤

Se consideriamo una terza distribuzione, i.e. pdfC3(t)

pdfA1 C1 C3 (t) := (pdfA1 pdfc1 pdfc1 )(t) =
t
pdfA1 ⇥C1 (t ⇤
) pdfc3 ( )d
⇤ ⇤
⌅
77

Riccardo Rigon




Ecco tutti i percorsi. Una delle ipotesi su
cui si fonda l’idrogramma istantaneo
unitario è quello di considerare che il
contributo dei singoli percorsi si ottenga

come sovrapposizione lineare (somma) dei
singoli contributi:
N
GIUH(t) = pi pdfi (t)
i=1
dove N e’ il numero di percorsi, pdfi(t) la
distribuzione dei tempi di residenza relativi
a ciascun percorso e pi la probabilità che i
volumi di precipitazione cadano nel percorso i-esimo
78

Riccardo Rigon


Tutto insieme !


N
GIUH(t) = pi pdfi (t)
i=1

nel caso di precipitazioni uniformi p i
coincide con la frazione di area relativa al
percorso i-esimo.

79

Riccardo Rigon


Tutto insieme !


80

Riccardo Rigon


Tutto insieme !

GIUH

L’espressione complessiva dello GIUH è dunque:

N
GIUH(t) = pi (pdfAi .... ACN )(t)
i=1

E la portata all’uscita:

t
Q(t) = A GIUH(t ) Jef f ( )d
0

81

Riccardo Rigon


Quali pdf, in pratica ?

GIUH
L’identificazione delle pdfs
Aree scolanti (o versanti):

pdfA (t; ) = e t
H(t)

Dove è l’inverso del tempo di residenza
nell’area (diverse formule possono essere
assegnate nei casi pratici per stimarlo).

82

Riccardo Rigon



GIUH
L’identificazione delle pdfs
Canali:

pdfC (t; u, L) = (L u t)

Dove L è la lunghezza del canale fino
all’uscita ed u la celerità dell’acqua nel canale

83

Riccardo Rigon



GIUH
La composizione
Canali:
Z t
pdfA⇤C (t; , u, L) = e (t ⌧ )
H(t ⌧ ) (L u ⌧ ) d⌧
0

Svolto l’integrale sfruttando le proprietà dell Delta di Dirac, si
ottiene:

pdfA⇥C (t; , u, L) = e (t u/L)
H(t L/u)

Che è una famiglia triparametrica di distribuzioni.

84

Riccardo Rigon


Width (function) Geomorphological Instantaneous Unit Hydrograph with Diffusion

Nota
Ogni modello idrologico ha parametri che sono i
coefficienti e gli esponenti delle equazioni del
modello

Questi parametri devono essere stimati per un dato
bacino e per ogni “segmento computationale” del
modello.

I parametri sono stimati attraverso qualche relazione
con caratteristiche fisichedel bacino, oppure
tentando di riprodurre variando i parametri la
risposta un insieme di dati misurati. Questa è,
appunto la calibrazione del modello

85

Riccardo Rigon


Grazie per l’Attenzione

Riccardo Rigon


Le portate massime
ed effetti geomorfologici

Hokusai
Riccardo Rigon


Peakflow

Obiettivi

88

Riccardo Rigon


Peakflow

Obiettivi

• Fatte alcune ipotesi semplificative
• Si usa la teoria dell’idrogramma istantaneo unitario per calcolare le
portate massime.

• Si discutono gli elementi teorici del modello Peakflow

88

Riccardo Rigon


LE PRECIPITAZIONI
sono assegnate attraverso le curve di possibilità pluviometrica

1.0
Tr = 10 anni

0.8
0.6

1h
3h
P[h]

6h
12h
0.4

24h
0.2

h1 h3 h6 h12 h24
0.0

0 50 100 150

Precipitazione [mm]

89

Riccardo Rigon


LE PRECIPITAZIONI

h(tp , Tr ) = a(Tr ) n
tp
Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

160
140
120
100
h [mm]

80
60

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

90

Riccardo Rigon


LE PRECIPITAZIONI

tp

durata “della
precipitazione”
Altezza pluviometrica
160
140
120
100
h [mm]

80
60

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore] 91

Riccardo Rigon


LE PRECIPITAZIONI

tp

durata “della
coefficiente locale precipitazione”
160
140
120
100
h [mm]

80
60

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore] 91

Riccardo Rigon


LE PRECIPITAZIONI
esponente

tp

durata “della
coefficiente locale precipitazione”
160
140
120
100
h [mm]

80
60

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore] 91

Riccardo Rigon


LE PRECIPITAZIONI


160
140
120
100
h [mm]

80
60

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

92

Riccardo Rigon


LE PRECIPITAZIONI


160
140
120

Intensità della
100
h [mm]

precipitazione
80
60

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

t [ore]

92

Riccardo Rigon


Peakflow


Nel nostro caso, avendo scelto di usare una
precipitazione di intensità costante come pioggia
di progetto e assunto che la pioggia efficace sia
proporzionale alla precipitazione, allora

93

Riccardo Rigon


Peakflow

H(x) è nota come funzione di
Heaviside o funzione a gradino

0 x<0
H(x) =
1 x 0
94

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA PORTATA MASSIMA

Che cosa ci dice l’IUH sulla portata massima ?
Basta fare dQ/dt = 0 !

Z
d Q(t, tp ) d t
= IUH(t ⌧ ) H(t, tp )d⌧
dt dt 0
⇢
1 0  t  tp
H(t, tp ) :=
0 otherwise

95

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA PORTATA MASSIMA

Dopo un po’ di passaggi algebrici, la portata di picco
si ottiene risolvendo l’equazione:

IU H(t) = IU H(t tp)

da cui deriva il tempo di picco t*

Henderson, 1963

96

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA PORTATA MASSIMA

t*

97

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA PORTATA MASSIMA

IUH(t)

t*

97

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA PORTATA MASSIMA

IUH(t - tp)
IUH(t)

t*

97

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA PORTATA MASSIMA

IUH(t - tp)
IUH(t)

IUH(t) =IUH(t - tp)

t*

97

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA MASSIMA TRA LE MASSIME
PORTATE
Tuttavia, a ben osservare, la portata è anche una
funzione di tp. Per t > tp

t
Q(t; Tr , tp ) = a(Tr ) n 1
tp IUH(t)dt
t tp

Come conseguenza, la portata di picco, varia al variare
della durata della precipitazione (che vari con il tempo
di ritorno, è in un certo senso ovvio)

98

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA MASSIMA TRA LE MASSIME
PORTATE
Tuttavia, a ben osservare, la portata è anche una
funzione di tp. Per t > tp

t
Q(t; Tr , tp ) = a(Tr ) n 1
tp IUH(t)dt
t tp

L’intensità di precipitazione decresce all’aumentare di
tp, ma l’integrale aumenta. Per cui vi vi è un tempo
critico di precipitazione per cui si ottiene la massima tra
le portate di picco.

99

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA PORTATA MASSIMA- un po’ più
matematicamente

La massima portata di picco si ottiene considerando il tempo di picco
come funzione della durata tp nell’equazione:

t := t ⇤
tp

100

Riccardo Rigon


PeakFlow

matematicamente


Precipitazione

t := t ⇤
tp

100

Riccardo Rigon


PeakFlow

matematicamente


Precipitazione
Variazione della precipitazione con la durata

t := t ⇤
tp

100

Riccardo Rigon


PeakFlow

matematicamente

Area del bacino

Precipitazione

t := t ⇤
tp

100

Riccardo Rigon


PeakFlow

matematicamente

Area del bacino

S-Hydrograph al tempo t*
Precipitazione

t := t ⇤
tp

100

Riccardo Rigon


PeakFlow

matematicamente

Area del bacino

S-Hydrograph al tempo t*
Precipitazione
Ritardo del tempo di picco

t := t ⇤
tp

100

Riccardo Rigon


PeakFlow

matematicamente

Se:

Allora:

E t* si ottiene da:

101

Riccardo Rigon


PeakFlow

LA PORTATA MASSIMA
Si può dimostrare che, sotto ipotesi di celerità costante dell’onda di piena,
l’area contribuente al picco di piena

non dipende dalla celerità nei canali!
(nel caso cinematico)

102

Riccardo Rigon


104

Riccardo Rigon


105

Riccardo Rigon


Credits and License

Questa presentazione è stata scritta da:

• Riccardo Rigon (Università di Trento)

La citazione corretta è: Rigon, The modern theory of IUH Real Books of Hydrology,
Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale, Università di Trento, 2012.

p-peakflowTheory è rilasciato con licenza Creative Commons Attribution-ShareAlike
3.0 Unported License. Tale licenza si può trovare al sito http://creativecommons.org/
licenses/by-sa/3.0/deed.it

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