1. תורת הקבוצות
מהי קבוצה?
כאינטואיציה, קבוצה היא אוסף של איברים שיש ביניהם כלל משותף.
אבל אי אפשר להגדיר כך קבוצה !
בשנת 0091 הסביר ברנארד ראסל את העניין כך:
קבוצה קטנה
קבוצה שלא כוללת את עצמה בתור איבר.
אלו רוב הקבוצות שאנו מכירים.
קבוצה גדולה
קבוצה שכוללת את עצמה בתור איבר.
דוגמא:
{קבוצת כל הקבוצות שהגדרתן היא באמצעות שמונה מילים}= A
A A
קבוצה גדולה
הפרדוקס
לדוגמא:
{קבוצת כל הקבוצות הקטנות}=X
השאלה מהי ?X
אם Xקטנה, אז דרוש X X
אז Xגדולה (כי היא מכילה את עצמה בתור איבר)
סתירה
אם Xגדולה, אז דרוש X X
ולכן, עפ"י ההגדרה היא קטנה.
סתירה
לכן, לא ניתן להגדיר קבוצה בתור אוסף איברים שיש ביניהם כלל משותף.
בתורת הקבוצות הנאיבית אנו מניחים שלושה מושגים כאטומים:
}
1) איבר
מושגים ללא הגדרה פורמאלית 2) קבוצה
3) הפעולה של שייכות איבר לקבוצה
2. איך מסמנים קבוצות?
מסמנים קבוצות בד"כ באותיות לטיניות גדולות.
איך מגדירים קבוצות?
דרך א
ע"י רשימת האיברים שלהן:
{חתול, מזלג, סכין}=A
מסקנה: איברי הקבוצה לא חייבים להיות מספרים
דרך ב
ע"י כלל מסוים שמאחד את כל איברי הקבוצה:
{91, 71, 31, 11}={ xהוא מס' ראשוני בין 01 ל-02 |B=}x
נוכל להגדיר קבוצה זו גם בצורה נוספת:
{91, 71, 31, 11}={ xהוא מס' אי זוגי בין 01 ל-02 למעט 51 |B=}x
מסקנה: קבוצה ניתנת לתיאור בדרכים שונות.
שוויון בין קבוצות
תהיינה A, Bקבוצות נאמר ש Aו Bשוות ונסמן , A Bאם כל איבר בקבוצה Aהוא גם איבר ב Bוההיפך.
בצורה פורמאלית:
)A B ( X A X B
לדוגמא:
{ xהוא מס' אי זוגי בין 01 ל-02 למעט 51 | x{=}xהוא מס' ראשוני בין 01 ל-02 |}x
תרגיל
מהו היחס בין זוגות הקבוצות הבאות?
שוות } 1) {2,3} {3,2}
2) {3,2} {3,2,2}
מסקנה: בקבוצה לא משנה סדר האיברים וריבויים.
3. תכונות של שוויון
1) A A
2) אם A Bאז B A
3) אם B C , A Bאז A C
הוכחה:
1) כדי להוכיח ש A Aדרוש לבדוק האם מתקיים X A X A
T T
F F
לעולם אמת
ולכן עפ"י הגדרת שוויון קבוצות: A A
2) אם A Bאז עפ"י ההגדרה X A X B
P Q
לעולם אמת
, P Q Q Pומכאן X B X A אבל,
לעולם אמת
BA הגדרה:
3) נתון A B, B Cאז מתקיים X A X B
לעולם אמת
X B X C וגם
לעולם אמת
X A X C משילוב שניהם יחד נובע ש
לעולם אמת
AC הגדרה:
סימונים של קבוצות מספרים חשובות
קבוצה של מס' טבעיים (מס' שלמים וחיוביים) }...,3,2,1{ ( Natural ) N
קבוצה של מס' טבעיים עם אפס (מס' שלמים וחיוביים כולל 0) }...,3,2,1,0{ N 0
קבוצה של מס' שלמים (מס' שלמים שליליים, חיוביים וגם 0) }...,3,2,1,0,1(Zahlen)Z {...,3,2,
m
קבוצה של מס' רציונאליים }0 (Quotients )Q { Z , n
n
קבוצה של מס' ממשיים {כל ציר המס' הממשי} (Re al) R
a, b R
}(a, b) {x | a x b
}(a, b] {x | a x b
}[a, b) {x | a x b
4. הכלה של קבוצות
תהיינה A, Bקבוצות, נאמר ש Aמוכלת ב Bאו ש Bמכילה את Aאם כל איבר ב Aהוא גם איבר ב . B
בצורה פורמאלית:
( x, x A x Bלכל xששייך לקבוצה ,Aשייך לקבוצה .)B
סימון: A B
הערה: מה שסימנו כולל גם הכלה ממש (שבקבוצות לא שוות) וגם שוויון.
אם נרצה להדגיש שמדובר בהכלה ממש ולא שוויון נסמן A Bאו A B
דוגמא:
1) }3,2,1{ {1,2}
2) }3,2,1{ {1,2,3}
3) N N 0 Z Q R
תזכורת:
שייכות של איבר לקבוצה x A
הכלה בין שתי קבוצות A Bשקול לתנאי x, x A x B
היחס בין שייכות להכלה
דוגמא:
}}2{,}1{,1{ A
ענו נכון או לא נכון ונמקו:
1) 1 Aנכון, כי 1 נמצא ב A
2) 1 Aלא נכון, כי היחס "הכלה" הוא בין קבוצות ו"1" הוא לא קבוצה
3) {1} Aנכון, היות וה }1{ האמצעי בקבוצה
?
4) {1} Aנכון, בגלל ה1 השמאלי - - { A} A 1 {1}1 Aבהכלה אנו מקלפים את הסוגריים
החיצוניים ובודקים אם האיברים נמצאים בקבוצה הנותרת.
5) {{1}} Aלא נכון, האיבר }1{ לא נמצא ב A
6) {{1}} Aנכון, בגלל ה1 האמצעי
7) 2 Aלא נכון, האיבר 2 אינו ב A
8) 2 Aלא נכון, מאותה הסיבה של (2)
9) {2} Aנכון, האיבר אכן נמצא
10) {2} Aלא נכון, כדי שיהיה נכון צריך 2 A
11) {{2}} Aלא נכון, האיבר לא נמצא
12) {{2}} Aנכון, שקול ל {2} A
הכלל:
ב"הכלה"
ע"מ לבדוק בהכלה, נוריד סוגריים אחד ונבדוק אם הביטוי החדש שייך ()
ב"שייכות"
לבדוק האם קיים בדיוק כמו שהוא, כמו תמונה.
דוגמא נוספת:
}}2,1{,1{ B
האם ? {1} Bלא! כי }1{ לא נמצא ב B
האם ? {1,2} Bכן!
5. נכונות של הכלה
1) A Aרפלקסיביות
2) אם A Bו , B Cאז A Cטרנזיטיביות – כלל המעבר
3) אם A Bו B Aאם ורק אם A Bאנטי סימטריות – לתכונה זו חשיבות מאוד גדולה – לעתים
במקום להוכיח שוויון, נוכיח הכלה דו כיוונית.
הוכחה
?
1) x, x A x Aאבל זה תמיד נכון
2) נתון x, x A x B , A Bוכן B C
x, x B x C
ולכן יתקיים תמיד x A A Cומכאן, ש A C
3) דומה
הקבוצה הריקה
הקבוצה הריקה היא קבוצה שאף איבר לא משתייך אליה.
בסימון פורמאלי
Aריקה אם x, x A
תכונה יסודית
תהי Aקבוצה ריקה, אזי, לכל קבוצה Bמתקיים A B
עפ"י הוכחה, תהי Bקבוצה.
?
F
כדי להוכיח A Bדרוש לבדוק x, x A x B
Aריקה ולכן F
שקר גורר כל דבר הוא ביטוי אמת ולכן מתקיים x A x Bולכן A B
מסקנה מילולית: קבוצה ריקה מוכלת בכל קבוצה אחרת ולא בהכרח שייכת.
תכונה
הקבוצה הריקה היא יחידה ומכיוון שכך, נוכל לסמנה Ø
הוכחה:
שתי קבוצות ריקות (1 )Øו(2 )Ø
נניח שהן שוות, (1 )Øריקה ולכן לפי התכונה הקודמת, היא מוכלת בכל קבוצה אחרת, בפרט (2 .)Ø
מצד שני, גם (2 )Øריקה, לכן עפ"י אותה תכונה, )Ø 2( )Ø 1( B
קיבלנו (2 )Ø 1( )Øולכן (1 )Ø 2( )Ø
ולכן, (2 )Ø 1( )Øכדרוש.
שאלה
?
{Ø } Ø
תשובה
לא
הסבר
בצד שמאל כתובה קבוצה ריקה, בצד ימין יש קבוצה עם איבר אחד ואיבר זה הוא הקבוצה הריקה.