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CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES




      1 Limite d’une fonction à l’infini
           1. Limite finie d’une fonction à l’infini
Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a ; + ∞[ et      sa courbe repré-
sentative.

    La fonction f tend vers L quand x tend vers + ∞, si tout intervalle ouvert
    contenant L contient toutes les valeurs de f ( x ) pour x assez grand.

On note lim f ( x ) = L ou lim f = L.
            x → +∞                  +∞
On définit de même la limite en – ∞ d’une fonction f définie sur un inter-
valle ] – ∞ ; b ] .
G Interprétation           géométrique
Si lim f = L, alors la droite d’équation y = L est asymptote horizontale à
      +∞
    dans un voisinage de l’infini.

                      y
                            L



                       j
                      O                                                x
                                i



           2. Limite infinie d’une fonction à l’infini
    Une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞, si pour tout réel A        0, on a
    f ( x ) A pour x assez grand.

On définit de même la limite en – ∞.

G Interprétation           géométrique
Si lim f = + ∞ et si f peut s’écrire sous la forme f ( x ) = ax + b + h ( x ) avec
      +∞
lim h = 0, alors la droite          d’équation y = ax + b est asymptote oblique
 +∞
à     dans un voisinage de + ∞.

76
cours                       savoir-faire                   exercices                 corrigés


                                         y




                                        j
                                        O                                                     x
                                               i




                            exemple d’application                                 4x – 9
Soit la fonction f définie sur                 – { – 2 ; 2 } par f ( x ) = x – 4 + --------------- .
                                                                                                -
                                                                                   x2 – 4
Montrer que la droite                    d’équation y = x – 4 est asymptote à la représentation
graphique de f.

corrigé commenté                                                         4x – 9
  f ( x ) s’écrit sous la forme f ( x ) = x – 4 + h ( x ) avec h ( x ) = --------------- .
                                                                                       -
                                                                          x2 – 4
Montrons que lim h ( x ) = 0.
                         x →∞


          x  4 – -- 
                          9                 9
                           -      4 – --     -
                         x                x
h ( x ) = --------------------- = ------------ car x ≠ 0.
                              -              -
                                           4
          x  x – -- 
                          4       x – --     -
                           -
                         x                x
       4          9
                                                      lim  4 – --  = 4 et    lim  x – --  = + ∞ donc
                                                                9                        4
 lim – -- = lim – -- = 0 d’où
        -          -                                             -                        -
x →∞   x    x →∞ x                                    x → ∞    x            x → +∞    x
 lim h ( x ) = 0.
x → +∞


De même lim  x – --  = – ∞ donc lim h ( x ) = 0.
                  4
                   -
        x → –∞   x              x → –∞

Donc la droite d’équation y = x – 4 est asymptote à                             f   dans un voisinage de
+∞ et de – ∞ .


                                                                                                      77
CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES




     2 Limite d’une fonction en a
         1. Limite finie d’une fonction en a
Soit un réel a.

 Une fonction f admet une limite L en a si, tout intervalle ouvert conte-
 nant L, contient toutes les valeurs de f ( x ) pour x suffisamment proche
 de a.

On note lim f ( x ) = L ou bien lim f = L.
          x→a                           a


         2. Limite infinie d’une fonction en a
Soit un réel a.

 Une fonction f admet pour limite +∞ en a si, quel que soit un réel
 A 0, tout intervalle [ A ; + ∞[ contient toutes les valeurs de f ( x ) pour
 x suffisamment proche de a.

On note lim f ( x ) = + ∞ ou bien lim f = +∞.
          x→a                               a
On définit de même lim f = – ∞.
                            a


         3. Interprétation géométrique
Si lim f = ∞, alors la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la
     a
représentation graphique        de f.

                        y




                        1



                        0        1              a                        x




78
cours                     savoir-faire                      exercices                        corrigés



                         exemples d’application
                                                                1
³ Soit la fonction f définie dans  – { 1 } par f ( x ) = ------------------- .
                                                                          -
                                                        ( x – 1 )2
Montrer que lim f = +∞ en utilisant les définitions précédentes.
                     1

corrigé commenté
Soit un réel A strictement positif et quelconque.
    Indication : on cherche un nombre h                        0 tel que, pour 1 – h          x    1 + h on ait
    f ( x ) A.
                                                 1
Pour que f ( x )         A, il suffit que -------------------
                                                           -   A,
                                         ( x – 1 )2
                    1                                                   1
soit ( x – 1 ) 2    --- car ( x – 1 ) 2
                      -                        0. Donc x – 1          ------ .
                                                                           -
                    A                                                     a
                                1                         1                                             1
On peut prendre h tel que h = ------- et alors pour 1 – -------
                                    -                         -                           x       1 + ------- on a
                                                                                                            -
                                  A                         A                                             A
f(x)       A. Cela signifie que lim f ( x ) = + ∞ .
                                           x→1

                                                                  3x 3 – 4x + 1
· Soit la fonction f définie sur       – { – 1 ; 1 } par f ( x ) = ------------------------------- .
                                                                                                -
                                                                           x2 – 1
Déterminer, si elles existent, les limites en –1 et en 1 de la fonction f.

corrigé commenté
• lim ( x 2 – 1 ) = 0 +
  x → –1
                             
                             
     –1                       donc par quotient lim f ( x ) = + ∞
   lim ( 3 x 3 – 4x + 1) = 2                    x → –1
  x → –1                                           –1
                             
   lim ( x 2 – 1 ) = 0 –                     et lim f ( x ) = – ∞ .
  x → –1                                        x → –1
     –1                                            –1
La fonction f n’a pas de limite en –1, mais elle a une limite à gauche de –1 égale
à +∞ et une limite à droite de –1 égale à – ∞.
• Pour la valeur 1, le numérateur et le dénominateur s’annulent, donc 1 est racine
de chacun des polynômes.
D’où, 3x 3 – 4x + 1 = ( x – 1 ) ( 3x 2 + 3x – 1 ) et x 2 – 1 = ( x + 1 ) ( x – 1 ).
                                               3x 2 + 3x – 1
Après simplification, on obtient f ( x ) = ------------------------------- car x ≠ 1.
                                                                        -
                                                    x+1
lim ( 3x 2 + 3x – 1 ) = 5 
x→1                                               5
                           donc lim f ( x ) = -- . -
lim ( x + 1 ) = 2                  x→1            2
x→1
                          
                                                 5
La fonction f a une limite en 1 égale à -- .     -
                                                 2

                                                                                                                79
CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES




     3 Continuité d’une fonction
             1. Définitions
G Soit   une fonction f définie sur un intervalle I contenant un réel a.

 La fonction f est continue en a si f admet une limite finie en a égale
 à f ( a ).

f est continue en a si et seulement si :
 lim f ( x ) = f ( a ) ou bien lim f ( a + h ) = f ( a ) .
x→a                             h→0
La fonction f est continue sur un intervalle I si f est continue en tout point de I.
Graphiquement cela se traduit par la possibilité de tracer une courbe sans
lever le crayon de la feuille.

     la fonction f                                     la fonction    f n’est pas
     est continue                                      f n’est pas    continue en x0
     sur [ a, b ]                                      continue
                                                       sur [ a, b ]

         a                                                       x0
                     0              b                        a                b




             2. Propriétés
G Toutesles fonctions construites comme somme, produit, quotient ou
composées de fonctions polynômes, trigonométriques, logarithmes ou
exponentielles sont continues.
G Si f est une fonction dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur
cet intervalle.

Remarque : si f est définie sur [ a, b ], si f est dérivable sur ]a, b ] et si
lim f ( x ) = f ( a ) , alors f est continue sur [ a, b ].
x→a


80
cours                 savoir-faire                 exercices          corrigés



                     exemple d’application
Étudier et représenter graphiquement la fonction partie entière de x sur [ – 2 ; 3 ]
notée E : x    E(x).

corrigé commenté
   Conseil : la partie entière d’un nombre est le plus grand entier inférieur à ce nombre.

E ( 3,7 ) = 3 ; E ( 2 ) = 2 ; E ( – 3,7 ) = – 4.
Pour tout x ∈ [ n ; n + 1 [ avec n ∈ , E ( x ) = n.
Donc sur [ – 2 ; 3 ] ,
                    ∀x ∈ [ – 2 ; – 1 [ ; E ( x ) = – 2
                    ∀x ∈ [ – 1 ; 0 [ ;   E ( x ) = –1
                    ∀x ∈ [ 0 ; 1 [ ;     E(x) = 0
                    ∀x ∈ [ 1 ; 2 [ ;     E(x) = 1
                    ∀x ∈ [ 2 ; 3 [ ;     E(x) = 2
                    E ( 3 ) = 3.
La fonction partie entière est donc une fonction constante par intervalle, dis-
continue pour chaque valeur entière de x donc discontinue sur [ – 2 ; 3 ] .




                                         3


                                         2


                                         1

                                         j

                         –2     –1      O              1    2      3
                                                   i




   Remarque : la discontinuité de la fonction partie entière est traduite par le fait qu’en
   la représentant, le crayon quitte le papier pour chaque valeur entière. La courbe n’est
   pas tracée d’un seul trait.



                                                                                         81
CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES




     4 Opérations sur les limites
          1. Limite de la somme de deux fonctions ou de deux suites
Les nombres     et ′ sont des réels.

 Limite de f                                            ∞            +∞       –∞    +∞   –∞

 Limite de g                    ′           ∞            ′           +∞       –∞    –∞   +∞

 Limite de f + g                + ′         ∞           ∞            +∞       –∞

Il y a une indétermination mise en évidence par la case bleue.

          2. Limite du produit d’une fonction par un réel a non nul
Les nombres     et α sont des réels.

          Limite de f                                   +∞           –∞

 α    0      Limite de αf                   α           +∞           –∞

 α    0      Limite de αf                   α           –∞           +∞

          3. Limite du produit de deux fonctions ou de deux suites
Les nombres     et ′ sont des réels.

 Limite de f                            0           0            0        0    +∞   +∞   0

 Limite de g            ′           +∞          +∞       –∞           –∞       +∞   –∞   ∞

 Limite de fg               ′       +∞          –∞       –∞           +∞       +∞   –∞

          4. Limite du quotient de deux fonctions ou de deux suites
Les nombres     et ′ sont des réels.

 Limite de f                        ≠0          0                     ∞       +∞    –∞   0

 Limite de g       ′≠0              0           ′≠0          ∞        0       –∞    +∞   0

           f
 Limite de -
           -       ----             ∞           0            0        ∞
           g          ′

82
cours                     savoir-faire                       exercices                      corrigés


    Il y a deux cas d’indétermination si le numérateur et le dénominateur ont une limite
    infinie, ou bien s’ils ont tous les deux une limite nulle.

            5. Limite de la composée de deux fonctions

Si lim f ( x ) = b et si lim g ( y ) = c , alors lim ( g ◦ f ) ( x ) = c .
    x→a                              y→b                                x→a




                           exemple d’application
Soit la fonction f définie sur                  – { 1 ; – 2 } par :
                                        – 2x 3 + 5x – 3
                              f ( x ) = ------------------------------------ .
                                                                           -
                                            – x2 – x + 2
Déterminer la limite de f en 1.

corrigé commenté
    Conseil : le numérateur et le dénominateur s’annulent pour x = 1. Cela signifie
    que 1 est racine des polynômes – 2x 3 + 5x – 3 et – x 2 – x + 2, donc chacun d’eux
    est factorisable par ( x – 1 ).
La division euclidienne de – 2x 3 + 5x – 3 par x – 1 s’écrit :
                                      – 2x 3 + 5x – 3                  x–1
                                      – ( – 2x 3 + 2x 2 )        – 2x 2 – 2x + 3
                                       – 2x 2 + 5x – 3
                                       – ( – 2x 2 + 2x )
                                              3x – 3
                                          – ( 3x – 3 )
                                        0
d’où      – 2x 3 + 5x – 3 = ( x – 1 ) ( – 2x 2 – 2x + 3 ),
                                                                             – 2x 2 – 2x + 3
de même       – x 2 – x + 2 = ( x – 1 ) ( – x – 2 ), or x ≠ 1 d’où f ( x ) = ------------------------------------ .
                                                                                                                -
                                                                                       –x–2
lim ( – 2x 2 – 2x + 3 ) = – 1 et lim ( – x – 2 ) = – 3 donc
x→1                                         x→1

                                                                 1
                                                   lim f ( x ) = -- .
                                                                  -
                                                   x→1           3




                                                                                                                      83
CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES




     5 Théorème des valeurs intermédiaires
         1. Théorème des valeurs intermédiaires
 Soit une fonction f, définie et continue sur un intervalle I et deux
 réels a et b de I. Pour tout réel k compris entre f ( a ) et f ( b ), il existe
 un réel c compris entre a et b, tel que f ( c ) = k.

Autre énoncé : si la fonction f est définie et continue sur un intervalle I,
l’image de l’intervalle I par f est un intervalle.

         2. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
 Si une fonction f est continue et strictement monotone sur [ a, b ], alors
 pour tout réel k compris entre f ( a ) et f ( b ), l’équation f ( x ) = k admet
 une unique solution dans [ a, b ].

Remarque : on peut étendre ce corollaire à une fonction définie sur un intervalle
 [ a, b [ , ]a, b ] ou ]a, b [ . On déterminera alors les intervalles images en calcu-
lant les limites aux bornes des intervalles.

         3. Intervalles images
On note J l’intervalle image par f de I.

                                  f est strictement                       f est strictement
              I
                                   croissante sur I                       décroissante sur I

           [ a, b ]              J = [ f ( a ), f ( b ) ]                 J = [ f ( b ), f ( a ) ]

           [ a, b [              J = [ f ( a ), lim f [                   J = ] lim f, f ( a ) ]
                                                   b                                b

           ]a, b ]               J = ] lim f, f ( b ) ]                   J = [ f ( b ), lim f [
                                           a                                                a

           ]a, b [               J = ] lim f, lim f [                     J = ] lim f, lim f [
                                           a           b                            b           a




                      exemples d’application                     2x
 ³ Soit la fonction f définie sur   ] – 1 ; + ∞[ par f ( x ) = ------------ .
                                                              x+1
 Déterminer l’image J par f de l’ensemble ] – 1 ; + ∞[ .

84
cours                       savoir-faire                         exercices                 corrigés


corrigé commenté
    Indication : pour étudier les variations de f et ses limites aux bornes de son ensemble
                                                                   2
    de définition on peut écrire f sous la forme f ( x ) = 2 – ------------ .
                                                              x+1
                                          2
∀x ∈ ] – 1 ; + ∞ [ , f ′ ( x ) = ------------------- .
                                                   -
                                 ( x + 1 )2
( x + 1 )2      0 donc f ′ ( x )          0.
Donc sur ] – 1 ; + ∞ [ , la fonction f est strictement croissante.
                             –2
• lim ( x + 1 ) = 0 + et lim ----- = – ∞ , donc par composition et par addition :
                                 -
  x → –1                 X→0 X
        –1                                0
                                                    lim f ( x ) = – ∞ .
                                                   x → –1
                                                       –1
                                2
• lim ( x + 1 ) = + ∞ et lim – --- = 0, donc par composition et par addition :
                                 -
  x → +∞                X → +∞ X

                                                         lim f ( x ) = 2.
                                                    x → +∞
L’ensemble J image de I par f est tel que f étant strictement croissante et continue
sur ] – 1 ; + ∞[ on ait J =                lim f ( x ) ; lim f ( x )        soit   J = ] – ∞ ; 2[ .
                                          x → –1             x → +∞
                                              –1

· Déterminer le nombre de solutions de l’équation x 3 – 4x 2 + 7x – 1                                 = 0.

corrigé commenté
    Conseil : avant de faire tout calcul, il faut voir s’il y a des racines évidentes, si
    l’expression est factorisable et si enfin on reconnait une identité remarquable.
Cet inventaire étant négatif, on appelle f la fonction telle que :
f ( x ) = x 3 – 4x 2 + 7x – 1.
f ′ ( x ) = 3x 2 – 8x + 7.            ∆ = 64 – 84 = – 20 donc ∆                    0, par suite f ′ ( x )    0
(signe du coefficient 3 de x 2 ).
La fonction f est donc strictement croissante sur .

( x 3 – 4x 2 + 7x – 1 ) = x 3  1 – -- + ----- – ----- car x ≠ 0 au voisinage de + ∞ et – ∞.
                                    4 7 1
                                     -
                                   x x 2 x 3

  lim  1 – -- + ----- – ----- = 1 
            4 7 1
             -                                     donc par produit
x → +∞     x x 2 x 3
                                                    lim f ( x ) = + ∞ ,
 lim x 3 = +∞                                      x → +∞
x → +∞                              
 lim x 3 = – ∞ , donc lim f ( x ) = – ∞ .
x → –∞                             x → –∞
La fonction f est continue et strictement monotone sur , et zéro appartient à ,
donc l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution dans d’après le corollaire
du théorème des valeurs intermédiaires.


                                                                                                             85
CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES




     6 Théorèmes de comparaison
      Les résultats ci-dessous restent valables si les fonctions sont des suites.

Si on connaît le comportement de certaines fonctions, on peut en déduire
par comparaison le comportement d’autres fonctions.
Dans le tableau ci-dessous, la notation a représente aussi bien un réel que
l’infini.

     Relations liant les                   Comportement                                     Comportement
     fonctions dans un                    de g ( x ) et de h ( x )                             de f ( x )
       voisinage de a

         f(x)       g(x)                         lim g = – ∞                                   lim f = – ∞
                                                  a                                              a

         f(x)       g(x)                         lim g = + ∞                                   lim f = + ∞
                                                  a                                              a

       f(x) –     g(x)                            lim g = 0                                      lim f =
          est un réel                                 a                                              a


                                                 lim f =             et                       lim f        lim g
         f(x)       g(x)                          a                                             a           a
                                                 lim g =              ′                                     ′
                                                   a

                                          lim h = lim g =                           Théorème des gendarmes
     h(x)      f(x)       g(x)               a                 a
                                                                                          lim f =
                                                  est un réel                                        a




                         exemples d’application                             sin x
 ³ Soit la fonction f définie sur                  ∗
                                                          par f ( x ) = 1 + ----------- .
                                                                                 x
                                                                                      -
 Déterminer la limite de f en +∞.

 corrigé commenté
      Conseil : la fonction sinus n’a pas de limite en +∞, et pourtant la fonction f en a une.

                           sin x                           sin x
 En effet : f ( x ) – 1 = ----------- d’où f ( x ) – 1 = -------------- .
                                    -                                 -
                               x                               x
                                            1
 Or sin x       1 donc f ( x ) – 1         ----- .
                                               -
                                            x
                        1
 Par ailleurs lim ----- = 0, donc par comparaison
                         -                                                         lim      f ( x ) = 1.
                x → +∞ x                                                         x → +∞



86
cours                         savoir-faire                                           exercices                                            corrigés


· Montrer que pour tout réel strictement positif :
                                                      x–1                 x – sin x
                                                      ------------        --------------------
                                                                                             -        1.
                                                      x+1                     x+1
                                                                                                                          ∗                 x – sin x
En déduire la limite en +∞ de la fonction f définie sur                                                                    +   par f ( x ) = -------------------- .
                                                                                                                                                               -
                                                                                                                                                x+1

corrigé commenté
         x – sin x                  x – sin x – x – 1                         – sin x – 1
Soit α = -------------------- – 1 = --------------------------------------- = ------------------------ .
                            -                                             -                          -
             x+1                                  x+1                               x+1
      ∗                                                                                                                         x – sin x
Sur + , x + 1 0 et – 2 – sin x – 1 0 donc α 0 soit                                                                              --------------------
                                                                                                                                                   -     1.
                                                                                                                                    x+1
         x – sin x x – 1                       – sin x + 1
Soit β = -------------------- – ------------ = ------------------------ .
                            -                                         -
             x+1                x+1                  x+1
                                                                                                                       x – sin x x – 1
Or, 0 – sin x + 1 2 et x + 1 0 d’où β                                                       0 soit 0                   -------------------- – ------------
                                                                                                                                          -
                                                                                                                           x+1                x+1
     x–1               x – sin x
donc ------------      -------------------- 1.
                                          -
     x+1                    x+1
                            1                                1
                  1 – --     -                        1 – --  -
   x–1                      x                                x
Or ------------ = ------------ car x ≠ 0, d’où lim ------------ = 1.
                             -                                -
   x+1                      1                  x → +∞        1
                  1 + --     -                        1 + --  -
                            x                                x
D’après le théorème des gendarmes, on déduit que                                                                     lim f = 1.
                                                                                                                     +∞

                                           sin n + n 2
» Soit la suite u définie sur par un = ------------------------- .
                                              n+1
                                                              -
                                          n2 – 1
1. Montrer que pour tout n de , u n -------------- .
                                                 -
                                          n+1
2. En déduire la limite de ( u n ) en +∞.

corrigé commenté
1. – 1          sin n        1, donc n 2 – 1                    sin n + n 2                      n2 + 1
                                        n2 – 1                   sin n + n 2                     n2 + 1
or n + 1            0 sur        , donc --------------
                                                     -           ------------------------
                                                                                        -        --------------- .
                                         n+1                           n+1                        n+1
                                                            n   2–1
Par suite pour tout n de                      , un          -------------- .
                                                                          -
                                                             n+1

                    n 2  1 – -----              n  1 – -----
                                        1                           1
                                           -                          -
   n2 – 1                             n 2                      n 2
2. -------------- = --------------------------- = ------------------------ car n ≠ 0 dans un voisinage de +∞.
                -                                                        -
    n+1                                                           1
                       n  1 + -- 
                                       1                1 + --     -
                                         -
                                      n                         n

Or lim  1 – ----- = lim  1 + --  = 1 et lim n = + ∞ ,
              1                 1
                 -               -
  n → +∞    n 2     n → +∞   n         n → +∞

                        n2 – 1
donc par produit lim  --------------  = + ∞ .
                                    -
                n → +∞  n + 1 


Par comparaison                     lim u n = + ∞ .
                                   n → +∞



                                                                                                                                                                     87

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Limites de fonctions et de suites

  • 1. CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 1 Limite d’une fonction à l’infini 1. Limite finie d’une fonction à l’infini Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a ; + ∞[ et sa courbe repré- sentative. La fonction f tend vers L quand x tend vers + ∞, si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f ( x ) pour x assez grand. On note lim f ( x ) = L ou lim f = L. x → +∞ +∞ On définit de même la limite en – ∞ d’une fonction f définie sur un inter- valle ] – ∞ ; b ] . G Interprétation géométrique Si lim f = L, alors la droite d’équation y = L est asymptote horizontale à +∞ dans un voisinage de l’infini. y L j O x i 2. Limite infinie d’une fonction à l’infini Une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞, si pour tout réel A 0, on a f ( x ) A pour x assez grand. On définit de même la limite en – ∞. G Interprétation géométrique Si lim f = + ∞ et si f peut s’écrire sous la forme f ( x ) = ax + b + h ( x ) avec +∞ lim h = 0, alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique +∞ à dans un voisinage de + ∞. 76
  • 2. cours savoir-faire exercices corrigés y j O x i exemple d’application 4x – 9 Soit la fonction f définie sur – { – 2 ; 2 } par f ( x ) = x – 4 + --------------- . - x2 – 4 Montrer que la droite d’équation y = x – 4 est asymptote à la représentation graphique de f. corrigé commenté 4x – 9 f ( x ) s’écrit sous la forme f ( x ) = x – 4 + h ( x ) avec h ( x ) = --------------- . - x2 – 4 Montrons que lim h ( x ) = 0. x →∞ x  4 – --  9 9 - 4 – -- -  x x h ( x ) = --------------------- = ------------ car x ≠ 0. - - 4 x  x – --  4 x – -- - -  x x 4 9 lim  4 – --  = 4 et lim  x – --  = + ∞ donc 9 4 lim – -- = lim – -- = 0 d’où - - - - x →∞ x x →∞ x x → ∞ x x → +∞  x lim h ( x ) = 0. x → +∞ De même lim  x – --  = – ∞ donc lim h ( x ) = 0. 4 - x → –∞  x x → –∞ Donc la droite d’équation y = x – 4 est asymptote à f dans un voisinage de +∞ et de – ∞ . 77
  • 3. CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 2 Limite d’une fonction en a 1. Limite finie d’une fonction en a Soit un réel a. Une fonction f admet une limite L en a si, tout intervalle ouvert conte- nant L, contient toutes les valeurs de f ( x ) pour x suffisamment proche de a. On note lim f ( x ) = L ou bien lim f = L. x→a a 2. Limite infinie d’une fonction en a Soit un réel a. Une fonction f admet pour limite +∞ en a si, quel que soit un réel A 0, tout intervalle [ A ; + ∞[ contient toutes les valeurs de f ( x ) pour x suffisamment proche de a. On note lim f ( x ) = + ∞ ou bien lim f = +∞. x→a a On définit de même lim f = – ∞. a 3. Interprétation géométrique Si lim f = ∞, alors la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la a représentation graphique de f. y 1 0 1 a x 78
  • 4. cours savoir-faire exercices corrigés exemples d’application 1 ³ Soit la fonction f définie dans – { 1 } par f ( x ) = ------------------- . - ( x – 1 )2 Montrer que lim f = +∞ en utilisant les définitions précédentes. 1 corrigé commenté Soit un réel A strictement positif et quelconque. Indication : on cherche un nombre h 0 tel que, pour 1 – h x 1 + h on ait f ( x ) A. 1 Pour que f ( x ) A, il suffit que ------------------- - A, ( x – 1 )2 1 1 soit ( x – 1 ) 2 --- car ( x – 1 ) 2 - 0. Donc x – 1 ------ . - A a 1 1 1 On peut prendre h tel que h = ------- et alors pour 1 – ------- - - x 1 + ------- on a - A A A f(x) A. Cela signifie que lim f ( x ) = + ∞ . x→1 3x 3 – 4x + 1 · Soit la fonction f définie sur – { – 1 ; 1 } par f ( x ) = ------------------------------- . - x2 – 1 Déterminer, si elles existent, les limites en –1 et en 1 de la fonction f. corrigé commenté • lim ( x 2 – 1 ) = 0 + x → –1   –1  donc par quotient lim f ( x ) = + ∞ lim ( 3 x 3 – 4x + 1) = 2  x → –1 x → –1  –1  lim ( x 2 – 1 ) = 0 –  et lim f ( x ) = – ∞ . x → –1  x → –1 –1  –1 La fonction f n’a pas de limite en –1, mais elle a une limite à gauche de –1 égale à +∞ et une limite à droite de –1 égale à – ∞. • Pour la valeur 1, le numérateur et le dénominateur s’annulent, donc 1 est racine de chacun des polynômes. D’où, 3x 3 – 4x + 1 = ( x – 1 ) ( 3x 2 + 3x – 1 ) et x 2 – 1 = ( x + 1 ) ( x – 1 ). 3x 2 + 3x – 1 Après simplification, on obtient f ( x ) = ------------------------------- car x ≠ 1. - x+1 lim ( 3x 2 + 3x – 1 ) = 5  x→1  5  donc lim f ( x ) = -- . - lim ( x + 1 ) = 2  x→1 2 x→1  5 La fonction f a une limite en 1 égale à -- . - 2 79
  • 5. CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 3 Continuité d’une fonction 1. Définitions G Soit une fonction f définie sur un intervalle I contenant un réel a. La fonction f est continue en a si f admet une limite finie en a égale à f ( a ). f est continue en a si et seulement si : lim f ( x ) = f ( a ) ou bien lim f ( a + h ) = f ( a ) . x→a h→0 La fonction f est continue sur un intervalle I si f est continue en tout point de I. Graphiquement cela se traduit par la possibilité de tracer une courbe sans lever le crayon de la feuille. la fonction f la fonction f n’est pas est continue f n’est pas continue en x0 sur [ a, b ] continue sur [ a, b ] a x0 0 b a b 2. Propriétés G Toutesles fonctions construites comme somme, produit, quotient ou composées de fonctions polynômes, trigonométriques, logarithmes ou exponentielles sont continues. G Si f est une fonction dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur cet intervalle. Remarque : si f est définie sur [ a, b ], si f est dérivable sur ]a, b ] et si lim f ( x ) = f ( a ) , alors f est continue sur [ a, b ]. x→a 80
  • 6. cours savoir-faire exercices corrigés exemple d’application Étudier et représenter graphiquement la fonction partie entière de x sur [ – 2 ; 3 ] notée E : x E(x). corrigé commenté Conseil : la partie entière d’un nombre est le plus grand entier inférieur à ce nombre. E ( 3,7 ) = 3 ; E ( 2 ) = 2 ; E ( – 3,7 ) = – 4. Pour tout x ∈ [ n ; n + 1 [ avec n ∈ , E ( x ) = n. Donc sur [ – 2 ; 3 ] , ∀x ∈ [ – 2 ; – 1 [ ; E ( x ) = – 2 ∀x ∈ [ – 1 ; 0 [ ; E ( x ) = –1 ∀x ∈ [ 0 ; 1 [ ; E(x) = 0 ∀x ∈ [ 1 ; 2 [ ; E(x) = 1 ∀x ∈ [ 2 ; 3 [ ; E(x) = 2 E ( 3 ) = 3. La fonction partie entière est donc une fonction constante par intervalle, dis- continue pour chaque valeur entière de x donc discontinue sur [ – 2 ; 3 ] . 3 2 1 j –2 –1 O 1 2 3 i Remarque : la discontinuité de la fonction partie entière est traduite par le fait qu’en la représentant, le crayon quitte le papier pour chaque valeur entière. La courbe n’est pas tracée d’un seul trait. 81
  • 7. CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 4 Opérations sur les limites 1. Limite de la somme de deux fonctions ou de deux suites Les nombres et ′ sont des réels. Limite de f ∞ +∞ –∞ +∞ –∞ Limite de g ′ ∞ ′ +∞ –∞ –∞ +∞ Limite de f + g + ′ ∞ ∞ +∞ –∞ Il y a une indétermination mise en évidence par la case bleue. 2. Limite du produit d’une fonction par un réel a non nul Les nombres et α sont des réels. Limite de f +∞ –∞ α 0 Limite de αf α +∞ –∞ α 0 Limite de αf α –∞ +∞ 3. Limite du produit de deux fonctions ou de deux suites Les nombres et ′ sont des réels. Limite de f 0 0 0 0 +∞ +∞ 0 Limite de g ′ +∞ +∞ –∞ –∞ +∞ –∞ ∞ Limite de fg ′ +∞ –∞ –∞ +∞ +∞ –∞ 4. Limite du quotient de deux fonctions ou de deux suites Les nombres et ′ sont des réels. Limite de f ≠0 0 ∞ +∞ –∞ 0 Limite de g ′≠0 0 ′≠0 ∞ 0 –∞ +∞ 0 f Limite de - - ---- ∞ 0 0 ∞ g ′ 82
  • 8. cours savoir-faire exercices corrigés Il y a deux cas d’indétermination si le numérateur et le dénominateur ont une limite infinie, ou bien s’ils ont tous les deux une limite nulle. 5. Limite de la composée de deux fonctions Si lim f ( x ) = b et si lim g ( y ) = c , alors lim ( g ◦ f ) ( x ) = c . x→a y→b x→a exemple d’application Soit la fonction f définie sur – { 1 ; – 2 } par : – 2x 3 + 5x – 3 f ( x ) = ------------------------------------ . - – x2 – x + 2 Déterminer la limite de f en 1. corrigé commenté Conseil : le numérateur et le dénominateur s’annulent pour x = 1. Cela signifie que 1 est racine des polynômes – 2x 3 + 5x – 3 et – x 2 – x + 2, donc chacun d’eux est factorisable par ( x – 1 ). La division euclidienne de – 2x 3 + 5x – 3 par x – 1 s’écrit : – 2x 3 + 5x – 3 x–1 – ( – 2x 3 + 2x 2 ) – 2x 2 – 2x + 3 – 2x 2 + 5x – 3 – ( – 2x 2 + 2x ) 3x – 3 – ( 3x – 3 ) 0 d’où – 2x 3 + 5x – 3 = ( x – 1 ) ( – 2x 2 – 2x + 3 ), – 2x 2 – 2x + 3 de même – x 2 – x + 2 = ( x – 1 ) ( – x – 2 ), or x ≠ 1 d’où f ( x ) = ------------------------------------ . - –x–2 lim ( – 2x 2 – 2x + 3 ) = – 1 et lim ( – x – 2 ) = – 3 donc x→1 x→1 1 lim f ( x ) = -- . - x→1 3 83
  • 9. CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 5 Théorème des valeurs intermédiaires 1. Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonction f, définie et continue sur un intervalle I et deux réels a et b de I. Pour tout réel k compris entre f ( a ) et f ( b ), il existe un réel c compris entre a et b, tel que f ( c ) = k. Autre énoncé : si la fonction f est définie et continue sur un intervalle I, l’image de l’intervalle I par f est un intervalle. 2. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires Si une fonction f est continue et strictement monotone sur [ a, b ], alors pour tout réel k compris entre f ( a ) et f ( b ), l’équation f ( x ) = k admet une unique solution dans [ a, b ]. Remarque : on peut étendre ce corollaire à une fonction définie sur un intervalle [ a, b [ , ]a, b ] ou ]a, b [ . On déterminera alors les intervalles images en calcu- lant les limites aux bornes des intervalles. 3. Intervalles images On note J l’intervalle image par f de I. f est strictement f est strictement I croissante sur I décroissante sur I [ a, b ] J = [ f ( a ), f ( b ) ] J = [ f ( b ), f ( a ) ] [ a, b [ J = [ f ( a ), lim f [ J = ] lim f, f ( a ) ] b b ]a, b ] J = ] lim f, f ( b ) ] J = [ f ( b ), lim f [ a a ]a, b [ J = ] lim f, lim f [ J = ] lim f, lim f [ a b b a exemples d’application 2x ³ Soit la fonction f définie sur ] – 1 ; + ∞[ par f ( x ) = ------------ . x+1 Déterminer l’image J par f de l’ensemble ] – 1 ; + ∞[ . 84
  • 10. cours savoir-faire exercices corrigés corrigé commenté Indication : pour étudier les variations de f et ses limites aux bornes de son ensemble 2 de définition on peut écrire f sous la forme f ( x ) = 2 – ------------ . x+1 2 ∀x ∈ ] – 1 ; + ∞ [ , f ′ ( x ) = ------------------- . - ( x + 1 )2 ( x + 1 )2 0 donc f ′ ( x ) 0. Donc sur ] – 1 ; + ∞ [ , la fonction f est strictement croissante. –2 • lim ( x + 1 ) = 0 + et lim ----- = – ∞ , donc par composition et par addition : - x → –1 X→0 X –1 0 lim f ( x ) = – ∞ . x → –1 –1 2 • lim ( x + 1 ) = + ∞ et lim – --- = 0, donc par composition et par addition : - x → +∞ X → +∞ X lim f ( x ) = 2. x → +∞ L’ensemble J image de I par f est tel que f étant strictement croissante et continue sur ] – 1 ; + ∞[ on ait J = lim f ( x ) ; lim f ( x ) soit J = ] – ∞ ; 2[ . x → –1 x → +∞ –1 · Déterminer le nombre de solutions de l’équation x 3 – 4x 2 + 7x – 1 = 0. corrigé commenté Conseil : avant de faire tout calcul, il faut voir s’il y a des racines évidentes, si l’expression est factorisable et si enfin on reconnait une identité remarquable. Cet inventaire étant négatif, on appelle f la fonction telle que : f ( x ) = x 3 – 4x 2 + 7x – 1. f ′ ( x ) = 3x 2 – 8x + 7. ∆ = 64 – 84 = – 20 donc ∆ 0, par suite f ′ ( x ) 0 (signe du coefficient 3 de x 2 ). La fonction f est donc strictement croissante sur . ( x 3 – 4x 2 + 7x – 1 ) = x 3  1 – -- + ----- – ----- car x ≠ 0 au voisinage de + ∞ et – ∞. 4 7 1 -  x x 2 x 3 lim  1 – -- + ----- – ----- = 1  4 7 1 -  donc par produit x → +∞ x x 2 x 3  lim f ( x ) = + ∞ , lim x 3 = +∞  x → +∞ x → +∞  lim x 3 = – ∞ , donc lim f ( x ) = – ∞ . x → –∞ x → –∞ La fonction f est continue et strictement monotone sur , et zéro appartient à , donc l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution dans d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. 85
  • 11. CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES 6 Théorèmes de comparaison Les résultats ci-dessous restent valables si les fonctions sont des suites. Si on connaît le comportement de certaines fonctions, on peut en déduire par comparaison le comportement d’autres fonctions. Dans le tableau ci-dessous, la notation a représente aussi bien un réel que l’infini. Relations liant les Comportement Comportement fonctions dans un de g ( x ) et de h ( x ) de f ( x ) voisinage de a f(x) g(x) lim g = – ∞ lim f = – ∞ a a f(x) g(x) lim g = + ∞ lim f = + ∞ a a f(x) – g(x) lim g = 0 lim f = est un réel a a lim f = et lim f lim g f(x) g(x) a a a lim g = ′ ′ a lim h = lim g = Théorème des gendarmes h(x) f(x) g(x) a a lim f = est un réel a exemples d’application sin x ³ Soit la fonction f définie sur ∗ par f ( x ) = 1 + ----------- . x - Déterminer la limite de f en +∞. corrigé commenté Conseil : la fonction sinus n’a pas de limite en +∞, et pourtant la fonction f en a une. sin x sin x En effet : f ( x ) – 1 = ----------- d’où f ( x ) – 1 = -------------- . - - x x 1 Or sin x 1 donc f ( x ) – 1 ----- . - x 1 Par ailleurs lim ----- = 0, donc par comparaison - lim f ( x ) = 1. x → +∞ x x → +∞ 86
  • 12. cours savoir-faire exercices corrigés · Montrer que pour tout réel strictement positif : x–1 x – sin x ------------ -------------------- - 1. x+1 x+1 ∗ x – sin x En déduire la limite en +∞ de la fonction f définie sur + par f ( x ) = -------------------- . - x+1 corrigé commenté x – sin x x – sin x – x – 1 – sin x – 1 Soit α = -------------------- – 1 = --------------------------------------- = ------------------------ . - - - x+1 x+1 x+1 ∗ x – sin x Sur + , x + 1 0 et – 2 – sin x – 1 0 donc α 0 soit -------------------- - 1. x+1 x – sin x x – 1 – sin x + 1 Soit β = -------------------- – ------------ = ------------------------ . - - x+1 x+1 x+1 x – sin x x – 1 Or, 0 – sin x + 1 2 et x + 1 0 d’où β 0 soit 0 -------------------- – ------------ - x+1 x+1 x–1 x – sin x donc ------------ -------------------- 1. - x+1 x+1 1 1 1 – -- - 1 – -- - x–1 x x Or ------------ = ------------ car x ≠ 0, d’où lim ------------ = 1. - - x+1 1 x → +∞ 1 1 + -- - 1 + -- - x x D’après le théorème des gendarmes, on déduit que lim f = 1. +∞ sin n + n 2 » Soit la suite u définie sur par un = ------------------------- . n+1 - n2 – 1 1. Montrer que pour tout n de , u n -------------- . - n+1 2. En déduire la limite de ( u n ) en +∞. corrigé commenté 1. – 1 sin n 1, donc n 2 – 1 sin n + n 2 n2 + 1 n2 – 1 sin n + n 2 n2 + 1 or n + 1 0 sur , donc -------------- - ------------------------ - --------------- . n+1 n+1 n+1 n 2–1 Par suite pour tout n de , un -------------- . - n+1 n 2  1 – ----- n  1 – ----- 1 1 - - n2 – 1  n 2  n 2 2. -------------- = --------------------------- = ------------------------ car n ≠ 0 dans un voisinage de +∞. - - n+1 1 n  1 + --  1 1 + -- - -  n n Or lim  1 – ----- = lim  1 + --  = 1 et lim n = + ∞ , 1 1 - - n → +∞  n 2 n → +∞  n n → +∞ n2 – 1 donc par produit lim  --------------  = + ∞ . - n → +∞  n + 1  Par comparaison lim u n = + ∞ . n → +∞ 87