Le chapitre traite des limites des fonctions numériques, en examinant les comportements des fonctions lorsque x tend vers +∞ et -∞, ainsi que leur comportement près d'un point a. Il présente des définitions de limites, des propositions sur l'unicité des limites, des critères de convergence par les suites et des règles de calcul pour les limites. En utilisant des exemples et des exercices, le texte illustre comment établir les limites de diverses fonctions ainsi que les concepts de limites à gauche et à droite.

1. Chapitre 5
Limites et continuit´e des fonctions
num´eriques
1 Limites de fonctions num´eriques
1.1 Limite d’une fonction de variable r´eelle `a l’infini
Dans un chapitre pr´ec´edent, on a d´efini ce qu’´etait la limite d’une suite. Intuitivement,
une suite r´eelle ou complexe un tend vers une limite l r´eelle ou complexe lorsque : ”un
est aussi pr`es qu’on veut de l quand n est suffisamment grand” (interpr´eter de mˆeme ”un
tend vers +∞” et ”un tend vers −∞” pour une suite r´eelle). La notion de limite d’une
fonction de variable r´eelle en +∞ est tout `a fait analogue.
D´efinition 1.1.1 – Soit D, une partie de R contenant un intervalle de la forme [α, +∞[
ou ]α, +∞[, Soit f, une fonction de D dans R (on dit alors qu’on peut ´etudier f au
voisinage de +∞) . On dit que f(x) tend vers l ∈ R quand x tend vers +∞ lorsque pour
tout ε > 0, on peut trouver A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l| < ε.
Remarques :
1. On peut remplacer x > A ⇒ |f(x) − l| < ε par f(]A, +∞[∩D) ⊂]l − ε, l + ε[
(pourquoi ?).
2. On peut aussi dire : ”|f(x) − l| < ε si x est assez grand”. Peut-on dire que plus x
est grand, plus f(x) est pr`es de l ?
Exemples :
1. Soit la fonction f(x) = 1√
x
(rappeler son domaine de d´efinition). Expliciter {x ; f(x) ≤
10−n} puis {x ; f(x) < 10−n} pour n ∈ N fix´e.
2. Soit la fonction g(x) =
x + 1
x
(rappeler son domaine de d´efinition). Si x > 102n,
trouver deux d´ecimaux entre lesquels se trouve g(x).
3. Interpr´eter graphiquement.
4. V´erifier avec la d´efinition que f(x) et g(x) ont une limite quand x tend vers +∞.
77

2. 78 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Exercice. Dans la d´efinition pr´ec´edente, quelles in´egalit´es strictes peut-on remplacer par
des in´egalit´es larges sans en changer le sens ?
D´efinition 1.1.2 – Soit D, une partie de R contenant un intervalle de la forme [α, +∞[
ou ]α, +∞[, Soit f, une fonction de D dans R. On dit que f(x) tend vers +∞ (resp
−∞) quand x tend vers +∞ lorsque pour tout B ∈ R, on peut trouver A ∈ R tel que
x > A ⇒ f(x) > B (resp. x > A ⇒ f(x) < B).
Remarque : On dit aussi ”pour tout B ∈ R, on a f(x) > B si x est assez grand”, ou
bien que pour tout B ∈ R, on peut trouver A ∈ R tel que f(]A, +∞[∩D) ⊂]B, +∞[, ou
encore que pour A assez grand, on a f(]A, +∞[∩D) ⊂]B, +∞[.
Exemples :
1. Soit la fonction f(x) =
√
x (rappeler son domaine de d´efinition). Expliciter {x ; f(x) >
10n} puis {x ; f(x) ≥ 10n} pour n ∈ N fix´e.
2. Interpr´eter graphiquement.
Exercice.
1. Dans la d´efinition pr´ec´edente, quelles in´egalit´es strictes peut-on remplacer par des
in´egalit´es larges sans en changer le sens ?
2. Par quoi peut-on remplacer ”pour tout B ∈ R” ?
3. Peut-on dire que plus x est grand, plus f(x) est grand ?
Autre exercice.
1. Imaginer les d´efinitions des limites de f(x) quand x tend vers −∞.
2. Imaginer d’autres d´efinitions des limites de f(x) quand x tend vers −∞ en con-
sid´erant g(x) = f(−x).
Proposition 1.1.3 – Une fonction f admet au plus une limite (finie ou infinie) quand x
tend vers +∞ (resp. −∞).
D´emonstration – Supposons d’abord que f(x) tende vers l et l ∈ C quand x → +∞, et
q’on ait l = l . Posons ε = 1
2 |l − l|. On peut donc trouver A ∈ R tel que x > A ⇒
|f(x) − l| < 1
2 |l − l|, et A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l | < 1
2 |l − l|. Alors pour
x > max{A, A }, on a
|l − l| ≤ |l − f(x)| + |f(x) − l| < (
1
2
+
1
2
)|l − l|
ce qui est absurde. Les autres cas sont laiss´es en exercice.
Lorsqu’une telle limite existe, on peut alors la noter lim
x→+∞
f(x) (resp lim
x→−∞
f(x)) car c’est
une valeur bien d´efinie.
Th´eor`eme 1.1.4 (crit`ere par les suites)– Une fonction f admet une limite (finie ou
infinie) quand x tend vers +∞ si et seulement si pour toute suite r´eelle (un), `a valeurs
dans Df et tendant vers +∞, f(un) tend vers cette limite quand n tend vers l’infini.

3. 1. LIMITES DE FONCTIONS NUM´ERIQUES 79
D´emonstration : Cas d’une limite finie. Soit l = lim
x→+∞
f(x), et soit (un) tendant vers +∞.
On se donne ε > 0 quelconque et il faut montrer que les f(un) sont tous dans ]l−ε, l+ε[ sauf
un nombre fini d’entre eux. Or on sait qu’il existe A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l| < ε,
et que les un sont tous sup´erieurs `a A sauf un nombre fini d’entre eux, d’o`u la conclusion.
R´eciproquement, notre hypoth`ese est que f ne tend pas vers l. C’est `a dire qu’il existe un
ε > 0 tel que pour tout A ∈ R, f(]A, +∞[∩D) ⊂]l − ε, l + ε[. On va construire une suite
(un) tendant vers +∞ telle que f(un) ne tende pas vers l.
Pour chaque n ∈ N, on peut choisir un > n tel que f(un)) ∈]l−ε, l+ε[, car f(]n, +∞[∩D) ⊂
]l − ε, l + ε[. Aucun des f(un) n’est dans ]l − ε, l + ε[.
Les autres cas sont laiss´es en exercice.
Ce crit`ere s’utilise le plus souvent, dans le sens direct pour prouver par la contrapos´ee (?)
l’absence de limite d’une fonction, pour d´eterminer des limites de suites, et dans l’autre
sens pour d´emontrer des r´esultats de cours.
exemples :
1. Red´emontrer l’unicit´e de la limite ´eventuelle d’une fonction quand x tend vers +∞.
2. Montrer que la fonction sinus n’a pas de limite en +∞.
3. D´eterminer lim
n→+∞
ea2n+1
en fonction de a ∈ R.
1.2 Limite d’une fonction en un point
On peut s’int´eresser au comportement d’une fonction f ”pr`es” d’un r´eel a d`es qu’il y a
une suite de r´eels dans Df qui tend vers a. Dans ce cours, on va exiger une hypoth`ese plus
forte qui est que Df contient un intervalle de la forme ]b, a[ (b < a), ou ]a, b[ (a < b) (ou
les deux, bien sˆur). On dira qu’on peut ´etudier f au voisinage de a, ou plus pr´ecis´ement,
on dira qu’on peut ´etudier f `a gauche ou `a droite de a.
D´efinition 1.2.1 – Soit a ∈ R, soit f, une fonction de variable r´eelle et `a valeurs dans
R, telle qu’on puisse ´etudier f au voisinage de a, et soit l ∈ R. On dit que f(x)tend vers
l quand x tend vers a lorsque pour tout ε > 0, on peut trouver η > 0 tel que pour tout
x ∈ Df {a}, on ait |x − a| < η ⇒ |f(x) − l| < ε.
Remarques :
1. On dit aussi ”pour tout ε > 0, on a |f(x)−l| < ε si x est assez proche de a”, ou bien
que pour tout ε > 0, on peut trouver η > 0 tel que f((]a−η, a[∪]a, a+η[)∩Df ) ⊂]l−
ε, l+ε[, ou encore que pour η assez petit, on a f((]a−η, a[∪]a, a+η[)∩Df ) ⊂]l−ε, l+ε[.
2. Il est possible que a ne soit pas dans le domaine de d´efinition de f.
3. Peut-on dire que plus x est proche de a, plus f(x) est proche de l ?
4. On peut toujours se ramener au cas a = 0 en posant g(x) = f(x+a), et c’est souvent
ce qu’on fait en pratique.

4. 80 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Exercice. Imaginer la d´efinition de ”f(x) tend vers +∞ (resp. −∞) quand x tend vers
a”.
Exemple : Montrer que
√
x tend vers 1 quand x tend vers 1.
Dans ce cas et comme pour beaucoup de fonctions usuelles, la limite est la valeur de la
fonction au point consid´er´e (ici en 1), et on peut mˆeme dire que plus x est pr`es de 1, plus
√
x est pr`es de 1. Il y a bien sˆur des cas moins ´evidents, par exemple lorsque la fonction
n’est pas ”naturellement” d´efinie en a, comme dans le cas d’un quotient
f(x)
g(x)
en un point
o`u g s’annule.
Proposition 1.2.2 – Une fonction f admet au plus une limite (finie ou infinie) quand x
tend vers a.
La preuve est calqu´ee sur celle de la proposition 1.1.3.
Lorsqu’une telle limite existe, on peut alors la noter lim
x→a
f(x) car c’est une valeur bien
d´efinie.
De mˆeme, le crit`ere par les suites 1.1.4 est encore valable :
Th´eor`eme 1.2.3 – Une fonction f qu’on peut ´etudier au voisinage de a admet une limite
(finie ou infinie) quand x tend vers a si et seulement si pour toute suite r´eelle (un), `a
valeurs dans Df et tendant vers a, f(un) tend vers cette limite quand n tend vers l’infini.
Preuve : s’inspirer de celle de 1.1.4.
Exercice. Montrer que la fonction f(x) = sin( 1
x ) n’a pas de limite quand x → 0(on
consid`erera des suites prenant leurs valeurs dans{ 2
kπ , k ∈ Z∗}).
Parfois il est bienvenu d’´etudier s´epar´ement le comportement d’une fonction `a gauche et
`a droite d’un point a ∈ R. On introduit donc les notions de limite `a gauche et de limite `a
droite :
D´efinition 1.2.4 – Une fonction f admet une limite (finie ou infinie) `a gauche de a ∈ R
lorsque Df contient un intervalle Ig de la forme ]b, a[ (b < a), et que la restriction de f `a
Ig admet cette mˆeme limite en a.
On note alors cette limite lim
x→a−
f(x).
Exercice. D´efinir de mˆeme la limite `a droite, et v´erifier que si on pose g(x) = f(a − x),
on a lim
x→a+
f(x) = lim
x→0−
g(x) lorsque l’une des deux existe.
Remarques
1. Si f admet en a une limite `a gauche et une limite `a droite, alors si ces limites sont
´egales, c’est la limite de f en a; et si elles sont diff´erentes, alors f n’admet pas de
limite en a.
2. Si on peut ´etudier f `a gauche (resp.`a droite) de a et que f n’admet pas de limite `a
gauche (resp. `a droite) en a, alors f n’admet pas de limite en a.

5. 1. LIMITES DE FONCTIONS NUM´ERIQUES 81
Exemple : Etudier f(x) = 1
E(x) au voisinage de 0.
Proposition 1.2.5 fonctions croissantes et major´ees– Toute fonction f d´efinie sur
un intervalle ]a, b[, croissante et major´ee admet une limite finie en b.
Cela vous rappelle-t-il un autre r´esultat ? La preuve est sous forme d’exercice :
1. Montrer que si f est constante sur un intervalle de la forme ]b−η, b[, on a le r´esultat.
Dans ce qui suit, on supposera que ce n’est pas le cas.
2. Soit M, un majorant de f(]a, b[), soit c ∈]a, b[, posons I0 = [f(c), M] = [r0, s0]. On
pose t0 =
r0 + s0
2
. Montrer que pour η assez petit, l’un exactement des intervalles
[r0, t0] et [t0, s0] contient f(]b − η, b[). On appelle I1 = [r1, s1] celui des deux qui a
cette propri´et´e.
3. Construire une suite d’intervalles emboˆıt´es (In) ayant la propri´et´e pr´ec´edente et dont
la largeur tend vers 0 (dichotomie sur l’ensemble d’arriv´ee).
4. Montrer que le nombre commun `a tous les In est la limite de f(x) quand x tend vers
b.
1.3 R`egles de calcul
Des r`egles de calcul pour les suites, on tire les r`egles suivantes :
Proposition 1.3.1 – On se place dans l’un des trois cas suivants :
• les fonctions f et g sont d´efinies pour x assez grand et x tend vers +∞.
• les fonctions f et g sont d´efinies pour −x assez grand et x tend vers −∞.
• Soit I, un intervalle non r´eduit `a un point tel que a ∈ I et soit f et g telles que
Df ∩ Dg contienne I {a}, et x tend vers a ∈ R.
On a alors (l et l d´esignent des r´eels) :
(i) Si f(x) tend vers l et g(x) tend vers l alors (f + g)(x) tend vers l + l .
(ii) Dans R, si f(x) tend vers l ou tend vers +∞ (resp. −∞) et g(x) tend vers +∞ (resp.
−∞) alors (f + g)(x) tend vers +∞ (resp. −∞).
(iii) Si f(x) tend vers l et g(x) tend vers l alors (fg)(x) tend vers ll .
(iv) Si f(x) tend vers l > 0 ou tend vers +∞ et g(x) tend vers +∞ alors (fg)(x) tend
vers +∞.
(v) Si f(x) tend vers l = 0 alors 1
f(x) tend vers 1
l .
(vi) Si f(x) tend vers ±∞ alors 1
f(x) tend vers 0.
(vii) Dans R, si f(x) tend vers 0 par valeurs strictement sup´erieures (resp. inf´erieures)
alors 1
f(x) tend vers +∞ (resp. −∞).
Preuve de (i) quand x tend vers a: Soit (un)n∈N, une suite `a valeurs dans Df ∩ Dg et qui
tend vers a. Alors la suite (f(un)) converge vers l et la suite (g(un)) converge vers l , donc
la suite ((f + g)(un)) converge vers l + l . Le th´eor`eme 1.2.3 permet de conclure.

6. 82 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Preuve de (iv) lorsque f(x) tend vers l = 0 quand x tend vers +∞ : Remarquons qu’il
existe un intervalle de la forme ]β, +∞[ sur lequel 1
f est d´efinie . Soit maintenant (un)n∈N,
une suite `a valeurs dans D1
f
et qui tend vers +∞. Alors la suite 1
f(un) n∈N
est bien
d´efinie.
Etc.
Application : Si f(x) tend vers l < 0 et g(x) tend vers −∞ quand x tend vers a, que
peut-on dire de
g
f
?
Exercice. Soit a ∈ R, soit f, g, h et ϕ quatre fonctions d´efinies sur R v´erifiant :
lim
x→a
f(x) = l, lim
x→a
g(x) = +∞, h et ϕ n’ont pas de limite en a. Que peut-on dire des
´eventuelles limites en a de f + h, g + h et h + ϕ ?
Proposition 1.3.2 passage `a la limite dans les in´egalit´es Les fonctions f, g et h
sont `a valeurs r´eelles, et ont mˆeme domaine de d´efinition pour simplifier l’´enonc´e. On
consid`ere successivement les cas o`u x tend vers ±∞ ou a ∈ R.
(i) Si ∀x , f(x) ≤ g(x) et lim f(x) = +∞ alors lim g(x) = +∞.
(ii) Si ∀x , f(x) ≤ g(x) et lim g(x) = −∞ alors lim f(x) = −∞.
(iii) Si ∀x , f(x) ≤ g(x) et lim f(x) = l, lim g(x) = l alors l ≤ l .
(iv) Si ∀x , f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) et lim f(x) = lim g(x) = l alors limn→+∞ h(x) = l.
Ceci se prouve ais´ement par le crit`ere des suites. Le (iv), appel´e parfois lemme des gen-
darmes a pour variante l’´enonc´e suivant :
Lemme 1.3.3 Soit f et g d´efinies sur le mˆeme ensemble. On suppose que pour tout x,
0 ≤ |f(x)| ≤ g(x), et lim g(x) = 0. Alors lim f(x) = 0.
Lorsque le comportement de g est connu, on dit que c’est une fonction de r´ef´erence.
Exercice.
1. Montrer que ces deux ´enonc´es sont effectivement ´equivalents.
2. Montrer directement le nouvel ´enonc´e avec la d´efinition de la limite.
Application : Calculer lim
x→0
x sin(1/x).
Enfin, un r´esultat qui n’a pas d’analogue pour les suites :
Th´eor`eme 1.3.4 composition des limites– Soit a, b et c, trois r´eels, soit I un inter-
valle tel que a ∈ I, et soit f et g, deux fonctions r´eelles telles que Dg ◦ f contienne I {a}.
On suppose qu’on a : lim
x→a
f(x) = b et lim
x→b
g(x) = c. Alors on a lim
x→a
g ◦ f(x) = c.
Preuve : Soit (un)n∈N, une suite `a valeurs dans Dg ◦ f et qui tend vers a. Alors (f(un))n∈N
est bien d´efinie et est `a valeurs dans Dg (pourquoi ?), et tend vers b. Donc (g ◦ f(un))n∈N
tend vers c.
On imagine les nombreuses variantes lorsqu’on remplace des valeurs finies par des valeurs
infinies pour a, b, ou c. Elles sont toutes vraies d`es qu’on peut ´etudier g ◦ f au voisinage
de a ∈ R ∪ {±∞}.

7. 1. LIMITES DE FONCTIONS NUM´ERIQUES 83
Exemple : Calculer lim
x→+∞
sin
1
x
.
Un exercice classique : On se propose de montrer que
sin x
x
tend vers 1 quand x tend
vers 0.
1. Soit x ∈]0, π
2 [. Dessiner dans C le secteur S d´ecrit par les λeiθ, avec 0 ≤ θ ≤ x et
0 ≤ λ ≤ 1. Quelle est l’aire de S sachant qu’elle est proportionnelle `a x ?
2. En comparant le rectangle de sommets 0, i sin x, eix, cos x avec S, montrer que sin x ≤
x.
3. A l’aide d’une autre comparaison d’aires, montrer qu’on a x ≤ tan x.
4. Montrer : lim
x→0
sin x = 0, puis montrer le r´esultat cherch´e.
1.4 ´Equivalents
On vient de montrer que lorsque x tend vers 0, sin x ressemble beaucoup `a x : Si on regarde
au microscope le graphe de sin x autour du point (0, 0), plus on augmente le grossissement,
moins on voit la diff´erence avec le graphe de x. On dit que x est un ´equivalent de sin x
quand x → 0.
D´efinition 1.4.1 – Soit f et g deux fonctions num´eriques, soit a ∈ R. On dit que f et
g sont ´equivalentes (on note f ∼ g) au voisinage de a− (resp. +∞)lorsqu’on peut ´etudier
f et g `a gauche de a (resp. au voisinage de +∞) et qu’il existe une fonction h telle
pour tout x < a suffisamment proche de a (resp. pour tout x suffisamment grand), on ait
f(x) = g(x)h(x) et lim
x→a−
h(x) = 1.
Exercice. Trouver la d´efinition de deux fonctions ´equivalentes au voisinage de a+ et de
−∞.
D´efinition 1.4.2 – Soit f et g deux fonctions num´eriques, soit a ∈ R. On dit que f et g
sont ´equivalentes (on note f ∼ g) au voisinage de a lorsqu’on est dans l’un des trois cas
suivants :
(i) f et g sont ´equivalentes au voisinage de a+ et de a−;
(ii) f et g sont ´equivalentes au voisinage de a+ mais ne sont pas d´efinies sur un certain
intervalle de la forme ]b, a[ (b < a);
(iii) f et g sont ´equivalentes au voisinage de a− mais ne sont pas d´efinies sur un certain
intervalle de la forme ]a, b[ (b > a).
Remarques :
• la notion d’´equivalent n’a pas d’int´eret pour une limite finie, non nulle,car la notion
de limite est alors suffisante et ´equivalente.
• Si on a lim
x→a
f(x)
g(x)
= 1 alors f ∼ g quand x tend vers a.
• Lorsque a = ±∞, plus on ”regarde de loin”, moins on voit la diff´erence entre les
graphes de f et de g.

8. 84 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Exemples fondamentaux :
1. Soit f, une fonction polynomiale d´efinie par f(x) =
n
i=m
aixi
, avec 0 ≤ m ≤ n, am et
an non nuls. Alors on a f(x) ∼ amxm au voisinage de 0 et f(x) ∼ anxn au voisinage
de ±∞ (le prouver).
2. De sin x ∼ x (x → 0), on d´eduit tan x ∼ x (x → 0).
3. ln(1 + x) ∼ x (x → 0) (vu en terminale).
Proposition 1.4.3 r`egles ´el´ementaires– Au voisinage de a+ (resp. a−), (resp. +∞),
(resp. −∞), on a :
1. Si f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2, alors f1 g1 ∼ f2 g2.
2. Si f1 ∼ f2, alors
1
f1
∼
1
f2
.
3. Si f1 ∼ f2, et n ∈ N, alors f1
n
∼ f2
n
.
4. Si f1 ∼ f2 et si f2 ∼ f3, alors f1 ∼ f3.
D´emonstration imm´ediate.
Proposition 1.4.4 – On a f1(x) ∼ f2(x) (x → 0+) si et seulement si f1(1/y) ∼ f2(1/y)
(y → +∞).
Preuve : Soit h ]0, η[→ R telle que f1 = f2h sur ]0, η[ et que lim
x→0+
h(x) = 1. Alors on a
lim
y→+∞
h(
1
y
) = 1.
Exemple : Donner un ´equivalent de sin(1/x) quand x → +∞.
Exercice.
1. Montrer que
√
1 + x − 1 ∼ x/2 (x → 0).
2. En d´eduire que 1 − cos x ∼ x2/2 (x → 0).
3. (ind´ependant) Soit a et b ∈ R∗. calculer lim
x→0
sin ax
bx
.
En revanche on peut avoir f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 sans avoir f1 + g1 ∼ f2 + g2 ni ef1 ∼ ef2 .
Donner des exemples.
Exercice. Donner un ´equivalent de
√
x4 + x3 − x2 au voisinage de +∞.

9. 2. CONTINUIT´E 85
2 Continuit´e
2.1 Continuit´e en un point
D´efinition 2.1.1 – Soit f une fonction num´erique et a ∈ Df , qui est une r´eunion
d’intervalles non r´eduits `a un point. On dit que f est continue en a lorsqu’ on a lim
x→a
f(x) =
f(a),
exemple : Montrer que sin(a + b) → sin a quand b → 0, en d´eduire que la fonction sinus
est continue en tout a ∈ R.
Intuitivement, il est peut-ˆetre plus facile de comprendre ce qu’est la non-continuit´e ou
discontinuit´e en a : il existe une suite (un)n∈N tendant vers a et `a valeurs dans Df ne
convergeant pas vers f(a). Cela vient du r´esultat important qui suit :
Th´eor`eme 2.1.2 – Soit f : D → R et soit a ∈ D. Il y a ´equivalence entre :
(i) f est continue en a
et
(ii) pour toute suite (un) `a valeurs dans D et de limite a, la suite (f(un)) converge vers
f(a).
Preuve : On suppose toujours que D est une r´eunion d’intervalles non r´eduits `a un point.
D’apr`es 1.2.3 et la d´efinition, le r´esultat est clair.
Exemple : En quels points de R la fonction x − E(x) est-elle continue ?
Exercice. Calculer lim 1 + 1
n
n
.
Rappelons quelques propri´et´es bien connues :
Proposition 2.1.3 (i) La somme et le produit de deux fonctions continues en a sont des
fonctions continues en a.
(ii) Si f est continue en a et si f(a) = 0, alors
1
f
est continue en a.
(iii) Si f est continue en a et si g est continue en f(a), alors g ◦ f est continue en a.
La preuve de (i) et (ii) d´ecoule directement du th´eor`eme 2.1.2 et des r´esultats sur les
suites. Montrons (iii)`a l’aide de ce mˆeme th´eor`eme : Soit (un)n∈N, une suite tendant vers
a. Alors la suite (f(un))n∈N tend vers f(a), et la suite (g(f(un)))n∈N tend vers g(f(a)).
2.2 Continuit´e `a droite et `a gauche
Savoir qu’une fonction f est continue en un point a aide `a connaˆıtre le comportement
(existence ou non d’une limite) d’une suite ou d’une fonction o`u intervient f. Il arrive que
la restriction de f `a Df ∩] − ∞, a] ou Df ∩ [a, +∞[ suffise `a nous informer, d’o`u l’int´erˆet
de la notion de continuit´e de f `a droite ou `a gauche d’un r´eel a.
D´efinition 2.2.1 – Soit f une fonction r´eelle de variable r´eelle et a ∈ Df . On dit que
f est continue `a gauche (resp. `a droite) en a lorsque f|(Df ∩]−∞,a]) (resp.f|(Df ∩[a,+∞[)) est
continue en a.

10. 86 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Exercice. Etudier la continuit´e de la fonction partie enti`ere `a droite et `a gauche de 0.
Remarques.
• Si f est continue `a droite et `a gauche en a, alors f est continue en a. La r´eciproque
est-elle vraie ?
• Bien sˆur, les affirmations (i) et (ii) de la proposition 2.1.3 restent vraies pour la
continuit´e `a gauche et `a droite.
• Soit f(x) = sin x et g(x) = E(x). Etudier la continuit´e `a droite de g ◦ f en
π
2
.
2.3 Continuit´e d’une fonction sur un intervalle
D´efinition 2.3.1 – Soit f une fonction r´eelle de variable r´eelle d´efinie sur un intervalle
I. On dit que f est continue lorsqu’elle est continue en tout x ∈ I.
On peut g´en´eraliser cette d´efinition `a une r´eunion d’intervalles (non ponctuels). Nous
avons imm´ediatement les propri´et´es suivantes :
Proposition 2.3.2 – Soit I, un intervalle. Alors :
(i) La somme et le produit de deux fonctions continues sur I sont des fonctions continues
sur I.
(ii) Si f est continue sur I et ne s’annule pas, alors
1
f
est continue sur I.
(iii) Si f est continue sur I, si g est continue sur J, et si f(I) ⊂ J, alors g ◦ f est continue
sur I.
Exercice. Soit f : R → R d´efinie par f(x) = x2 + 1 si x < 0 et f(x) =
1
1 + x
si x ≥ 0.
Montrer que f est continue sur R (utiliser la continuit´e `a gauche et `a droite en 0). Montrer
que si on change la valeur de f(0) (et seulement elle), alors f ne sera plus continue en 0.
Voici un crit`ere simple pour montrer qu’une fonction est continue :
Proposition 2.3.3 –Soit a < b < c ∈ R, soit f :]a, c[→ R, une fonction continue sur
]a, b[ et sur ]b, c[. Alors f est continue sur ]a, c[ si et seulement si lim
x→b−
f(x) = lim
x→b+
f(x) =
f(b).
C’est ´evident.
Proposition 2.3.4 prolongement par continuit´e– Soit f d´efinie sur un intervalle I
priv´e d’un point a, et continue sur I {a} (qui n’est pas forc´ement un intervalle). Si on a
lim
x→a
f(x) = l ∈ R alors f admet un unique prolongement continu `a I en posant f(x) = l.
Toujours aussi ´evident.

11. 2. CONTINUIT´E 87
2.4 Th´eor`emes fondamentaux sur les fonctions continues
T.P. En tra¸cant le graphe de la fonction sinus sur [0, π/2], on voit que celle-ci vaut 1/4
en un point. Au moyen d’une calculatrice, on va chercher une valeur approch´ee d’un
r´eel x0 ∈ [0, π/2], tel que sin x0 = 1/4. Plutˆot que de chercher au hasard, on adopte la
m´ethode suivante : On calcule que sin(π/4) > 1/4, on recherche alors x0 dans [0, π/4] ;
on compare sin(π/8) et 1/4, si sin(π/8) = 1/4, on a fini, si sin(π/8) < 1/4, on recherche
x0 dans [π/8, π/4], et si sin(π/8) > 1/4, on recherche x0 dans [0, π/8], et ainsi de suite
(dichotomie sur l’ensemble de d´epart).
1. A la ke ´etape, avec quelle pr´ecision connaˆıt-on x0 ?
2. V´erifier que les valeurs calcul´ees sont assez vite proches de 1/4.
3. ”Passage `a la limite”. Supposons que le proc´ed´e n’a pas de fin. On construit par
la pens´ee (c’est `a dire par r´ecurrence) une suite d’intervalles emboˆıt´es [an, bn] avec
sin an < 1/4 < sin bn et bn − an = (1/2n)(π/2). Montrer que le r´eel commun `a tous
les [an, bn] est une solution de notre probl`eme.
On a montr´e dans un cas particulier mais sans perdre de g´en´eralit´e le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 2.4.1 des valeurs interm´ediaires– Soit f, une fonction continue sur un
intervalle [a, b] (a < b) telle que f(a) = f(b). Tout r´eel compris strictement entre f(a) et
f(b) admet au moins un ant´ec´edent dans ]a, b[.
Remarque : Contrairement `a l’exemple ´etudi´e, c n’est pas forc´ement unique. La m´ethode
donne en pratique la valeur apprch´e d’une seule des solutions.
Corollaire 2.4.2 –L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Preuve : Soit f, une fonction continue sur un intervalle I, montrons que f(I) est un inter-
valle. Rappelons qu’un intervalle est une partie J de R qui v´erifie que si α et β sont des
´el´ements (distincts) de J, alors tout r´eel compris entre α et β appartient `a J. Soit α et β,
´el´ements de f(I), soit γ entre α et β, alors il existe a, b ∈ I tels que f(a) = α et f(b) = β.
D’apr`es 2.4.1, il existe c entre a et b, donc dans I, tel que f(c) = γ, on a donc γ ∈ f(I).
Exercice. Donner un exemple o`u :
• l’image d’un intervalle ouvert par une fonction continue est un intervalle ferm´e,
• l’image d’un intervalle ferm´e par une fonction continue est un intervalle ouvert,
• l’image d’un intervalle born´e par une fonction continue est un intervalle non born´e,
• l’image d’un intervalle non born´e par une fonction continue est un intervalle born´e.
Corollaire 2.4.3 –Si f est continue et strictement croissante (resp. d´ecroissante) sur
[a, b], alors c’est une bijection de [a, b] sur [f(a), f(b)] (resp. [f(b), f(a)]) et f −1 est stricte-
ment croissante (resp. d´ecroissante) et continue.

12. 88 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
Preuve dans le cas croissant : On sait d´eja que f est injective et que f−1 existe sur
Im(f) et est strictement croissante. D’apr`es 2.4.2, Im(f) = [f(a), f(b)]. Nous avons
donc une bijection croissante f−1 de [f(a), f(b)] sur [a, b]. Il suffit donc de montrer que
toute bijection croissante g d’un intervalle [c, d] sur un intervalle [r, s] est continue, ce qui
est un r´esultat int´eressant en soi. Montrons que g est continue `a droite en tout point
de [c, d[. Soit x ∈ [c, d[, soit ε > 0, posons m = min{g(x) + ε, s}. On a ”clairement”
g−1([g(x), m]) = [x, g−1(m)], et il existe η > 0 tel que x + η < g−1(m). Alors on a
g([x, x + η]) ⊂ [g(x), g(x) + ε] ⊂ [g(x) − ε, g(x) + ε].
De mˆeme(?), g est continue `a gauche en tout point de ]c, d], donc g est continue.
On peut par exemple en d´eduire simplement l’existence et la continuit´e des fonctions racine
ni`eme sur R+ (n ∈ N∗).
Enfin, le r´esultat le plus important pour ce qui suivra :
Th´eor`eme 2.4.4 – Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b], alors il existe c ≤ d ∈ R tels
que f([a, b]) = [c, d].
Preuve : Montrons que f([a, b]), not´e I0, admet un plus grand ´el´ement d. Une fois de plus
on recourt `a la dichotomie (cette fois sur l’ensemble de d´epart). On compare les ensembles
E0 = f([a, a+b
2 ]) et F0 = f([a+b
2 , b]) de la mani`ere suivante : Etant donn´ees deux parties
A et B de R, on dira que A domine B quand tout {y} ⊂ B est major´e par un x ∈ A. On
a forc´ement A qui domine B ou B qui domine A ou les deux (exercice), on remarque aussi
que c’est une relation transitive (mais pas une relation d’ordre). De plus si A domine B,
alors A domine A ∪ B.
Si E0 domine F0, alors on pose I1 = [a, a+b
2 ], sinon, on pose I1 = [a+b
2 , b] et on remarque
que f(I1) domine f(I0) = E0 ∪ F0. Par r´ecurrence, on construit une suite d’intervalles
emboˆıt´es In dont la largeur tend vers 0 : Soit In = [an, bn], En = f([an, an+bn
2 ]) et
Fn = f([an+bn
2 , bn]) etc. Soit δ, l’intersection de tous les In, alors f(δ) est le maximum
de f. En effet, soit x ∈ [a, b] alors pour tout n il existe δn ∈ In tel que f(δn) ≥ f(x) car
f(In) domine f(I0) (par transitivit´e), mais on a f(δ) = lim f(δn) car δn → δ et parce que
f est continue.
De mˆeme on montre que f([a, b]) admet un plus petit ´el´ement c, et on conclut par 2.4.2.
Remarques :
• En g´en´eral, on a c = f(a) et d = f(b) (trouver des exemples).
• Les valeur c et d peuvent ˆetre atteintes un nombre infini de fois, par exemple si f
est constante.
• La m´ethode ci-dessus ne permet pas concr`etement de d´eterminer c et d en l’absence
d’hypoth`eses suppl´ementaires.
• Montrer par un exemple que l’hypoth`ese de la continuit´e de f est n´ecessaire, toutes
choses ´etant ´egales par ailleurs.
3 Exercices
ce que vous devez savoir faire :

13. 3. EXERCICES 89
• avoir au moins une intuition de la notion de limite (en termes de ”pour x assez
proche de... f(x) est aussi proche que l’on veut de...”), soutenue par le crit`ere en
termes de suite, et le graphisme.
• utiliser (correctement) la notion d’´equivalence pour d´eterminer des limites.
• utiliser des changements de variables pour passer d’une limite quand x → 0 `a une
limite quand x → a, ou quand x → ∞, etc.
• trouver le domaine de continuit´e d’une fonction donn´ee.
• d´eterminer si une fonction d´efinie par morceaux est continue.
• connaˆıtre et comprendre l’´enonc´e des th´eor`emes fondamentaux.
3.1 On consid`ere deux fonctions f et g et x0 un nombre r´eel tels que limx→x0 f(x) = l et
limx→x0 g(x) = l . Montrer en utilisant la d´efinition que limx→x0 (f(x) + g(x)) = l + l .
3.2 Soit f une fonction d´efinie sur R telle que limx→+∞ f(x) = 1.Montrer qu’il existe un
r´eel A tel que f soit positive sur l’intervalle [A, +∞[.
3.3 Montrer qu’une fonction p´eriodique d´efinie sur R admettant une limite finie en +∞
est constante.
3.4 Etudier la limite quand x tend vers +∞ de x
√
x + cos x, de
1
x
− 2 sin x.
3.5 Etudier la limite quand x tend vers 0 de sin x sin(
1
x
).
3.6 Etudier lim
x→0
x2
1 − cos x
, lim
x→0
sin(sin x)
x2
et lim
x→+∞
x sin(
1
x
).
3.7 D´eterminer les limites ´eventuelles suivantes:
lim
x→1
x2 − 1
|x| − 1
lim
x→1
x3 + 1
x2 − 1
lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1
lim
x→1
xn − 1
xp − 1
n, p ∈ N∗
lim
x→−∞
x + 1 −
√
x2 + 2
x − 3
lim
x→+∞
x2 + x + 2 − x − m m ∈ R
lim
x→+∞
x + ln x
2x + sin x
lim
x→0
x sin(1/x)
lim
x→+∞
(
x − 1
2x + 1
)x2
lim
x→0
sin x
ln(1 + x)
3.8

14. 90 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E
1. Par deux ´etudes de fonctions, montrer qu’on a
pour tout x ∈]0, π[ 1 −
x2
2
< cos x.
puis montrer qu’on a
pour tout x ∈]0, π[ x −
x3
6
< sin x.
2. En d´eduire la valeur de lim
x→0+
(1/ sin x − 1/x).
3.9 Soit f une fonction continue sur R admettant des limites finies en +∞ et −∞. Montrer
que f est born´ee.
3.10 Soit f une fonction continue sur [0, +∞[ telle que limx→+∞ f(x) = l (l ∈ R).
Montrer que f est born´ee sur [0, +∞[.
3.11 Soit f une fonction num´erique continue sur un intervalle I =]a, b[ de R. On suppose
qu’il existe x0 appartenant `a I tel que f(x0) > 0. Montrer qu’alors il existe un intervalle
J ⊂ I tel que f soit strictement positive sur J.
3.12 Donner l’exemple d’une fonction f non continue sur un intervalle et telle que f2 soit
continue sur cet intervalle.
3.13 Etudier la continuit´e de la fonction f d´efinie sur R par :
f(x) =
1
xe
−1
x2 si x = 0
0 si x = 0
3.14 Peut-on prolonger par continuit´e en 0 la fonction h d´efinie sur R∗ par:
h(x) =
sin(1/x)
exp(1/x) + 1
3.15 Peut-on prolonger par continuit´e en 0 les fonctions d´efinies sur [−1, 0[∪]0, 1] par
x ln |x|, x ln | sin x|?
3.16 Peut-on prolonger par continuit´e la fonction la fonction f(x) = e−( 1
sin x )
2
?
3.17 P est un polynˆome impair non nul.
1. Montrer que l’´equation eP(x)
+ P(x) = 0 admet au moins une solution r´eelle.
2. Lorsque P(x) = x, montrer que la solution est unique et en donner une valeur
approch´ee `a 0, 1 pr`es.

15. 3. EXERCICES 91
3.18 Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application continue. Montrer que f admet au moins un
point fixe, c’est-`a-dire qu’il existe α dans [0, 1] tel que f(α) = α (On pourra consid´erer la
fonction h(x) = f(x) − x) .
Montrer que l’hypoth`ese de continuit´e est n´ecessaire.
Si l’on remplace [0, 1] par [0, 1[ le r´esultat est-il encore vrai?
3.19 Montrer que la fonction d´efinie par h(x) =
ln(1 + sin x)
cos x
, r´ealise une bijection de
[0,
π
2
[ dans [0, +∞[.
3.20 On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par : f(x) =
x
1 + |x|
. Montrer que c’est une
bijection de R sur ] − 1, 1[ et d´eterminer son application r´eciproque f−1.
3.21 Montrer que pour tout λ appartenant `a [0, +∞[ le polynome x3 + λx + 1 admet une
unique racine r´eelle. On la note f(λ).
Montrer que la fonction f ainsi d´efinie est strictement croissante sur [0, +∞[.
Montrer que f r´ealise une bijection de [0, +∞[ dans [−1, 0[ et d´eterminer f−1.
3.22 Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que pour tout x ∈ [a, b] f(x) >
g(x).
Montrer qu’il existe m > 0 tel que pour tout x ∈ [a, b] f(x) > g(x) + m.
Le r´esultat reste-t-il vrai si l’on remplace dans l’exercice, [a, b] par R?
3.23 Julien a parcouru six kilom`etres en une heure. Montrer qu’il a forc´ement parcouru
trois kilom`etres pendant une p´eriode de trente minutes.
On supposera que la distance parcourue est une fonction continue du temps, ce qui semble
raisonnable.