Curso avanzado de maestría y tercer año Unige

1. THÉORIE DES DISTRIBUTIONS
D. Francisco Medrano
Semestre de printemps 2013
1

2. Table des matières
1 Introduction 3
1.1 Quelques propiétés de δ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 L’espace des fonctions tests D . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Exemples des espaces de fonctions tests . . . . . . . 6
1.3 Théorème d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Critère de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Les multi-indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Exemples de distributions . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Distributions à support compact 12
2.1 Restriction et prolongement des distributions . . . . . . . . 12
2.1.1 Convergence des suites dans D (Ω) . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . 15
3 Opérations sur les distributions 17
3.1 Multiplication par un élément de E(Ω) . . . . . . . . . . . . 17
3.2 La dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Le problème de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Dérivation de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Opérations induites par une application lisse entre deux ou-
verts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Opérateur de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Produit tensoriel de distributions . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.9 Dérivées/primitives fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . 35
3.10 Équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Solutions fondamentales et distributions tempérées 42
4.1 Solutions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 La transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 L’inverse de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . 46
4.5 Quelques formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Table de matières
2

3. 1 Introduction
Les distributions sont un outil avec lequel on peut :
1. Dériver des fonctions non dérivables.
2. Sommer des séries non sommables.
3. Intégrer des fonctions non intégrables
Pour essayer des comprender ces lignes qui semblent paradoxales, regar-
dons l’exemple suivant :
La distribution delta de Dirac, appelée par abus fonction delta de Dirac,
est "définie" par les propiétés suivantes :
(1) δ(x) = 0 si x 0
(2)
b
a
δ(x)dx = 1 si a < 0 < b
Notons qu’on fait attention de ne pas préscrire une valeur de δ en 0, mais
il est très pratique de prendre δ(0) = +∞. Une explication heuristique est
que l’on peut penser de δ(x) comme une limite :
δ(x) = lim
n→∞
fn(x)
où
fn(x) =



0 si |x| ≥ 1
n
n − n2|x| si |x| ≤ 1
n
Observons que ∀x 0 ∃n0 tel que fn(x) 0 ∀n ≥ n0 et que ∀a < 0 et
∀b > 0 ∃n1 tel que
b
a
fn(x)dx = 1 ∀n ≥ n1. La théorie des distributions
justifie l’existence de δ(x).
1.1 Quelques propiétés de δ(x)
(1) δ(x) + δ(x) = 2δ(x). Plus généralement, δ(x) est un élément d’un
espace vectoriel sur C.
(2) Soit f (x) continue sur R : δ(x)f (x) = 0 six 0 et de façon générale
δ(x)f (x) = f (0)δ(x). En particulier xδ(x) = 0 si x 0 et
b
a
δ(x)dx =
f (0) si a < 0 < b.
3

4. (3) Soit c ∈ R − {0}, δ(cx) = 0 si x 0 et en supposant que l’on puisse
changer de variable dans l’intégrale : Si c > 0 ⇒ ac < 0 < bc et
b
a
δ(cx)dx =
bc
ac
δ(y)
dy
c
=
1
c
Si c < 0 ⇒ ac > 0,bc < 0 et
b
a
δ(cx)dx = −
ac
bc
δ(y)
dy
c
= −
1
c
En résumé pour c ∈ R − {0} on a δ(cx) = 1
|c|
δ(x), en particulier δ(−x) =
δ(x)
(4) De la même maniere on montre que δ(x + c) = 1 si a + c < 0 < b + c
ou a < −c < b.
Tentons de calculer δ(sin(x)). Par définition de δ on a que δ(sin(x)) = 0 si
sin(x) 0 ⇔ x πZ. Posons f (x) = δ(sin(x)), par la propriété (3) on voit
que f (x + π) = δ(sin(x + π)) = δ(−sin(x)) = δ(sin(x)) = f (x), f (x) est donc
2π- périodique.
Pour ne pas se soucier des bornes d’intégration choisissons a et b dans
l’intervalle −π
2 , π
2 , sur cet intervalle sin(x) est monotone croissante, alors
b
a
δ(sin(x))dx =
sin(b)
sin(a)
δ(y)
dy
1 − y2
= 1
où la dernière égalité est une conséquence de (2) avec f (x) = 1√
1−y2
, ce
calcul nous motive donc a poser :
δ(sin(x)) =
n∈Z
δ(x + πn)
Cette somme est bien définie car tous ses termes, sauf un nombre fini, sont
nuls. Changeons encore de variable et remplaçons x par πx, alors :
δ(sin(πx)) =
n∈Z
δ(πx + πn) =
n∈Z
δ(π(x + n)) =
1
π
n∈Z
δ(x + n)
où pour la dernière égalité on a utilisé la propriété (3). Posons encore
g (x) = πδ(sin(x)) = n∈Z δ(x + n), alors par translation sur Z on voit que
g(x + 1) = g(x), on peut donc considerer le déveleppement de g en série de
4

5. fourier si g est intégrable, ce qu’on supposera pour ce calcul introductoire.
Rappelons dans l’analyse de Fourier on a une correspondance :



fonctions
périodiques
intégrables



→ {Séries de Fourier} CZ
= {f : Z → C}
Si f périodique intégrable alors f → ˆf ∈ CZ, ˆf (n) =
a+1
a
f (x)e−2πinx
dx
Si f ∈ CZ, f →
n∈Z
ˆf (n)e2πnx
. Pour être sur que f converge vers sa série
de Fourier on peut demander que f soit au moins différentiable. Au fait
le théorème de convergence uniforme de Dirichlet dit que c’est le cas si f
continûment dérivable au voisinage de tout point d’un segment I, dans ce
cas la convergence est bien sûr uniforme sur I. On a aussi la version de
convergence ponctuelle de Dirichlet laquelle dit que f converge poctuel-
lement en x si f est continue en x et la dérivée à gauche et à droite de x
existent.
Suposons qu’on est dans un des deux cas, alors calculons ˆg(n) :
ˆg(n) =
a+1
a
g(x)e−2πinx
dx =
a+1
a


n∈Z
δ(x + n)

e−2πinx
dx
Tant que l’on reste sur un intervalle de longueur 1, on peut choisir a tel que
−1 < a = − < 0. Pour ce choix
1−
−


n∈Z−{0}
δ(x + n)


e−2πinx
dx = 0 car il n’y
pas de contribution de δ. Ainsi ˆg(n) =
1−
−
δ(x)e−2πinx
dx = 1 à nouveau
par la propriété (2). On en déduit la formule de sommation de Poisson :
n∈Z
δ(x + n) =
n∈Z
e2πinx
(1)
.
1.2 L’espace des fonctions tests D
Définition 1. L’espace vectoriel D sur R ou C dans lequel on a une notion de
convergence de suites s’apelle espace des fonctions tests.
Cette liberté dans la définition nous donne des choix pour D et comme
on verra, chaque choix donne plusieurs types de distributions. Rappelons
5

6. que l’on note par D∗ = {f : D → C;f linaire} l’espace dual de D, et par
D ⊂ D∗ le sous-espace de formes linéaires continues.
1.2.1 Distributions
Définition 2. Une distribution est un élément de D
1.2.2 Exemples des espaces de fonctions tests
1 Prenons D = {fonctions continues et bornées sur R}, c’est un espace
vectoriel que l’on peut donc munir de la norme . ∞. Dans cet es-
pace la notion de convergence est la convergence uniforme sur R.
Alors l’élément δ ∈ D∗ définie comme suit δ(f ) = δ,f = f (0) est
une distribution (il est facile de voir que δ est une forme linéairaire
continue).
2 Soient Ω ⊂ R un ouvert, f : Ω → C avec supp(f ) = {x ∈ Ω | f (x) 0}
compact. Alors, le choix le plus typique pour l’espace des fonctions
test est D(Ω) = { f : Ω → C de classe C∞ à support compact}. On
dit qu’une suite (ϕn)n≥1 dans D converge vers ϕ ∈ D s’il existe un
compact K ⊂ Ω tel que supp(ϕ) ⊂ K, supp(ϕn) ⊂ K ∀n et Dpϕn
converge vers Dpϕ uniformément sur K pour tout multi-indice p ∈
Zd
≥0 où
Dp
ϕ =
∂|p|ϕ
∂x
p1
1 ∂x
p2
2 ···∂x
pd
d
,p = (p1,...,pd) ,pi ∈ Z≥0
|p| = p1 + ... + pd
Rappelons qu’un élément f ∈ D est continue si pour toute suite
(ϕn)n≥1 dans D qui converge vers ϕ ∈ D la suite de nombres f | ϕn
converge vers f | ϕ . Dans ce cas f ∈ D est une distribution associée
à Ω.
Construisons un exemple particulier : soit x ∈ R, on définit : R → R
par (x) =
e−1
x x > 0
0 x ≤ 0
. On peut montrer que cette fonction de de
classe C∞ et de plus
dn (x)
dxn = Pn
1
x e−1
x où Pn est un polynôme de de-
gré n, ainsi on voit que les singularités de Pn
1
x sont tuées par e−1
x .
6

7. Pour x ∈ Rd alors φ(x) = (1 − x ) est dans D = D Rd . En effet, φ est
la composition de deux applications de classe C∞ et 1 − x 2 > 0 ⇔
x ∈ B(0,1), donc supp(φ) = B(0,1) est compact, en particulier D ∅.
Remarque Pour nous, l’espace de fonction tests sera toujours l’es-
pace de fonctions C∞ sur Rd ou bien sur un ouvert Ω ⊂ Rd à valeurs
dans C. Cet espace on va le noter par D(Rd) ou D(Ω) respectivement.
1.3 Théorème d’approximation
Théorème 1. Soit f : Rd → C une fonction continue à support compact K.
Alors il existe une suite (fn)n≥1 dans D Rd qui converge uniformément vers
f .
Démonstration. Soit φ comme dans l’exemple précedent. ∀n ∈ Z≥0 on défi-
nit φn(x) :=
1
ν
nd
φ(nx) où ν =
Rd
φ(x)dx. On définit fn = f ∗φn où (f ∗ φn)(x) =
Rd
f (x − y)φn(y)dy =
Rd
f (y)φn(x − y)dy est la convolution de f et φn.
Propriétés de fn :
1) supp(fn) ⊂ K1
n
= {x ∈ Rd | ∃y ∈ K x − y ≤ 1
n}. En effet, x ∈ Rd − K1
n
⇔
x − y > 1
n ∀y ∈ K ⇔ nx − ny > 1 ∀y ∈ K ⇒ φ(nx − ny) = 0 donc
φn(x − y) = 0 et ainsi fn(x) =
Rd
f (x − y)φn(y)dy =
K
f (y)φn(x − y)dy = 0.
2) fn est de classe C∞. En effet fn(x) =
K
f (y)φn(x − y)dy et φn(x) et de
classe C∞.
Retournons à la preuve, on voit facilement que supp(φn) = {x | nx ≤ 1} =
B 0, 1
n et
Rd
φn(y) = 1 (autrement dit (φn)n≥1 est ce que l’on appelle suite
régularisante), donc
fn(x) − f (x) = (fn(x) − f (x))
B(0,1
n )
φn(y)dy =
=
B(0,1
n )
(f (x − y) − f (x))φn(y)dy
7

8. Mais f est en particulier continue sur la boule fermée de rayon 1
n donc
uniformément continue. On se fixe donc > 0 et choisissons δ ≥ 1
n, si y ≤
δ c-à-d y ∈ supp(φn), alors |fn(x)−f (x)| ≤
B(0,1
n )
|f (x − y) − f (y)|
≤
φn(y)dy ≤
autrement dit fn → f , uniformément puisque fn − f ∞ ≤ si n ≥ 1
δ .
Remarques Si Ω ⊂ Rd ouvert, et f : Ω → C à support compact K conti-
nue, on peut prolonger f en dehors de supp(f ) en posant f (x) = 0. Alors,
∃n0 ∈ Z≥0 tel que supp(fn)
⊂K1
n
⊂ Ω ∀n ≥ n0. On vient donc de montrer que
D(Ω) est dense dans Cc(Ω) = {f : Ω → C,continue à support compact}.
Notation Si K est un compact de Ω. Alors DK(Ω) := {f ∈ D(Ω) | supp(f ) ⊂
K}. Pour ϕ ∈ Dk(Ω) et m ∈ Z≥0 on définit
ϕ (m)
:=
|p|≤m
Dp
ϕ ∞,K
DK(Ω) est un sous-espace de D(Ω) et ϕ (m) définit une norme sur ce sous-
espace.
1.4 Critère de continuité
Proposition 1. Soit T ∈ D∗(Ω). Alors T ∈ D (Ω) si et seulement si ∀K ⊂ Ω
compact ∃m ∈ Z≥0 et ∃C ≥ 0 tel que | T ,ϕ | ≤ C ϕ (m) ∀ϕ ∈ D(Ω).
Démonstration. (⇐) Soit (ϕn)n≥1 telle que ϕn → ϕ ∈ D(Ω). Par définition il
existe K0 compact tel que supp(ϕn),supp(ϕ) ⊂ K0 et Dpϕn − Dpϕ ∞,K0
→
0,n → ∞ ∀p ∈ Zd
≥0. En particulier, soient m et C tels que | T ,ϕn − T ,ϕ | =
| T ,ϕn − ϕ | ≤ C ϕn − ϕ (m). Cette dernière expression tend vers 0 car elle
est une somme finie dont tous les termes tendent vers 0 lorsque n → ∞,
donc T est continue.
(⇒) Montrons la contraposée, supposons que ∃K compact de Ω tel que
∀m ∈ Z≥0 et ∀C ≥ 0 il existe ϕ ∈ D(Ω) tel que | T ,ϕ | > n ϕ (m). On en
déduit l’existence d’une suite ϕ ∈ Dk(Ω) avec | T ,ϕn | > ϕn
(n). Pour n > 0
on peut définir la suite ψn =
ϕn
n ϕn
(n)
∈ Dk(Ω), cette nouvelle suite satisfait
| T ,ψn | > 1. Si n > |p| la définition de . (m) implique
Dp
ψn ∞ =
Dpϕn
n ϕn
(n)
≤
1
n
n→∞
−→ 0
8

9. Donc la suite ψn converge vers 0 et dans ce cas T ne peut pas être continue
sinon | T ,ψn | → 0 ce qui n’est pas le cas.
Définition 3. Une distribution T est dite d’ordre finie s’il existe m ∈ Z≥0 tel
que pour tout compact K de Ω il existe C ≥ 0 (qui peut donc dépendre de K)
satisfaisant | T ,ϕ | ≤ C ϕ (m) ∀ϕ ∈ DK(Ω) (m est universel pour tous les
K). Le plus petit m avec cette propriété est appelé l’ordre de T , noté ord(T )
1.4.1 Les multi-indices
Définition 4. Un multi-indice p est un n-vecteur p = (p1,....pd) où les pi sont
des entiers positifs. On définit par |p| :=
d
i=1
pi son module.
Quelques notations Soit x = (x1,...,xd) ∈ Rd, alors
1 xp := x
p1
1 ···x
pd
d
2 p! := p1!···pd!
3
q
p
:=
p!
(p − q)!q!
=
q1
p1
···
qd
pd
où q ≤ p ⇔ qi ≤ pi, i = 1,...,d
On a déjà introduit l’opérateur différentiel :
Dp
(f ) =
∂|p|f
∂x
p1
1 ···∂x
pd
1
A partir de la définition on peut par exemple généraliser la règle de Leibniz
pour la dérivée d’un produit, la formule est Dp
(f g) =
s≤p
s
p
Ds
(f )Dp−s
(g).
1.4.2 Exemples de distributions
1 Soit T ∈ D∗(Ω) défini par T ,ϕ := (Dpϕ)(a) pour un a ∈ Ω. D’après
la propostion 1 on a que T est continue. En effet, soit K ⊂ Ω com-
pact, et soit ϕ ∈ DK(Ω), alors | T ,ϕ | = |Dp(ϕ)(a)| ≤ Dpϕ ∞ ≤ ϕ (|p|)
et |p| ne dépend pas de K et C = 1. On voit aussi que T est d’ordre
fini et ord(T ) ≤ |p|.
Au fait ord(T ) = |p|, sinon supposons que ord(T ) = |q| < |p| et choi-
sissons un multi-indice q avec module |q|. Soit ψ ∈ D Rd telle que
ψ(0) = 1 et supp(ψ) ⊂ B(0,1). ∀α > 0. On définit ψα(x) = (x−a)pψ x−a
α ,
alors supp(ψα) = B(0,α), il existe donc α0 > 0 tel que supp(ψα) ⊂
9

10. Ω ,∀α ≤ α0 ⇒ ψα ∈ D(Ω) si α ≤ α0.
T ,ψα = Dpψα(x) |x=a= ∂
∂x1
p1
(x1 − a1)p1
··· ∂
∂xd
pd
(xd − ad)pd ψ(0) =
p1!···pd! = p! et cette expresion ne dépend pas de α. En utilisant la
règle de différentiation de Leibniz généralisée on obtient :
(Dq
ψα)(x) = Dq
(x − a)p
ψ
x − a
α
=
s≤q
s
q
Dq−s
(x − a)p
Ds
ψ
x − a
α
=
s≤q
p−q+s≥0
s
q
p!
(p − q + s)!
(x − a)p−q+s 1
α|s|
ψ
x − a
α
Par le choix de ψ on peut supposer x − a ≤ α et parce que |xi − ai| ≤
x − a ≤ α on a :
|Dq
ψα(x)| ≤
s≤q
p−q+s≥0
s
q
p!
(p − s + q)!
·
α|p|−|q|+|s|
α|s|
ψ(s) x − a
α
= (∗)
En particulier α < 1 ⇒ α|p|−|q| ≤ α donc (∗) ≤ α Cp,q,ψ et alors en en-
voyant α → 0, Dpψα(x) est si petit qu’on veut, ce qui contredit la
continuité de T car p! = T ,ψα > C ψα
(m)
α→0
−→ 0 pour m < |p|. Donc
ord(T ) = |p|.
Remarque En particulier ∀m ∈ Z≥0 il existe une distribution sur Ω
d’ordre m.
2 Une distribution d’ordre infini.
On définit T ∈ D∗(R) par T ,ϕ =
∞
n=0
ϕ(n)
(n). T est bien définie car
cette somme est fini puisque le support de ϕ est compact. Pour K
compact de R soit N = max(Z≥0 ∩ K). Alors ∀ϕ ∈ DK(R) T ,ϕ =
N
n=0 ϕ(n)(n) ⇒ | T ,ϕ | ≤ ϕ (N) ⇒ T continue. Pour voir qu’elle est
d’ordre infinie, pour tout m ∈ Z≥0 posons K = [m − 1
2,m + 1
2], dans ce
cas ∀ϕ ∈ DK(R) on a T ,ϕ = ϕ(m)(m) ⇒ ord(T ) ≥ m
3 Soit f : Ω → C continue. On définit Tf ∈ D∗(Ω) par Tf ,ϕ =
Ω
f (x)ϕ(x)dx.
Tf est continue, en effet soit ϕ ∈ Dk(Ω), Tf ,ϕ ≤
Ω
|f (x)||ϕ(x)|dx ≤
10

11. K
|f (x)||ϕ(x)|dx ≤ ϕ ∞
K
|f (x)|dx
= Cf ,K ϕ (0) ⇒ ord(Tf ) = 0.
Remarque Au fait, par continuité de f on a l’équivalence suivante
Tf = 0 ⇔ f = 0.
Plus généralement, toute fonction localement intégrable (c-à-d son inté-
gral restreint à tout compact existe pour la mesure de Lebesgue) sur Ω
définie une distribution Tf d’ordre 0. Dans ce cas, l’équivalence dans la
remarque ci-dessus est : Tf = 0 ⇔ f = 0 presque partout. C’est en ce sens
que l’on dit que les distributions généralisent les fonctions.
Exemple la fonction de Heaviside θ est définie par la formule :
θ(x) =
1 x ≥ 0
0 x < 0
θ n’est pas continue en 0 mais par contre elle est localement intégrable sur
R. On définit ˜θ(x) := 1 − θ(−x), alors on voit facilement que :
θ(x) − ˜θ(x) =
0 x 0
1 x = 0
En particulier θ = ˜θ presque partout ⇒ Tθ = T ˜θ
Définition 5. On dit qu’une distribution T est positive si T ,ϕ ≥ 0 pour
toute ϕ ≥ 0 (pour les valeures réelles).
Proposition 2. Toute distribution positive est d’ordre 0.
Démonstration. Soit K un compact de Ω et soit ∈ D(Ω) telle que |K = 1
et 0 ≤ ≤ 1 (Une telle fonction existe, on peut prendre continue et
l’approcher par des éléments dans DK(Ω) d’après le théorème 1 d’ap-
proximation). ∀ϕ ∈ DK(Ω), on a ϕ(x) = ϕ(x) (x) et |ϕ(x)| ≤ ϕ ∞ (x) ⇔
− (x) ϕ ∞ ≤ ϕ(x) ≤ (x) ϕ ∞. Si ϕ est à valeures réelles, la positivité de
T implique que les inégalités réelles sont "préservées" : ϕ(x) + (x) ϕ ∞ ≥
0 ⇒ T ,ϕ + ϕ ∞ T , ≥ 0, on a la même chose pour −ϕ(x) + (x) ϕ ∞ ≥
0. On obtient donc | T ,ϕ | ≤ ϕ ∞ T ,
C
= C ϕ (0). Si ϕ et à valeures
dans C, on écrit ϕ = ϕ1 + iϕ2, et on a | T ,ϕi | ≤ C ϕi
(0) ≤ C ϕ (0) ⇒
| T ,ϕ |2 = | T ,ϕ1 |2 + | T ,ϕ2 |2 ≤ 2 C ϕ (0) 2
⇒ | T ,ϕ | ≤
√
2C ϕ (0) ⇒
ord(T ) = 0
11

12. 2 Distributions à support compact
2.1 Restriction et prolongement des distributions
Soient Ω ⊂ Ω deux ouverts de Rd. Naturellement D(Ω ) ⊂ D(Ω) et
de plus il y a une application de restriction :
D (Ω) → D (Ω )
T → T |Ω
. Cette
application es bien définie car la restriction d’une application de classe
C∞ sur Ω à Ω reste C∞ sur Ω et similairement pour la convergence de
suites. Dans ce cas, T est un prolongement de T |Ω .
2.1.1 Convergence des suites dans D (Ω)
On dit qu’une suite (Tn)n≥1 dans D (Ω) converge vers T si pour toute
fonction test ϕ, la suite numérique Tn,ϕ converge vers T ,ϕ (cette no-
tion de convergence s’appelle convergence faible en analyse fonctionelle).
Plus généralement, soit A ⊂ R tel que 0 ∈ [−∞,+∞] soit un point d’accu-
mulation de A, on dit que la famille (T ) ∈A converge vers T si ∀ϕ ∈ D(Ω),
T ,ϕ
→ 0
−→ T ,ϕ .
Exemple La fonction 1
x est continu et même lisse sur R {0}, d’aprés
l’exemple 3 de la section 1.4.2, T1
x
donnée par T1
x
,ϕ =
+∞
−∞
ϕ(x)
x
dx pour
ϕ ∈ D(R {0}) est une distribution sur R {0}. Remarquons que :
ϕ ∈ D(R {0}) ⇔
(1) ϕ est de clase C∞
(2) ∃δ > 0 tel que ϕ|[−δ,+δ] = 0, supp(ϕ) compact
Question Existe-il un T ∈ D (R) tel que ∀ϕ ∈ D(R {0}) on a T ,ϕ =
T1
x
,ϕ ? Autrement dit, est-ce que T1
x
se prolonge à T ∈ D (R) ?
Proposition 3. Pour tout > 0, on définit T ∈ D∗(R) par T ,ϕ =
|x|≥
ϕ(x)
x
dx ∀ϕ ∈
D(R). Alors, T ∈ D (R) et la limite T = lim →0 T existe et elle définit un pro-
longement de T1
x
sur R, de plus ord(T ) = 1
.
Définition 6. La distribution de proposition 3 s’appelle valeur principal de
1
x
, notée par vp
1
x
.
12

13. Démonstration. Soit ϕ ∈ D(R) et soit A réel positif tel que supp(ϕ) ⊂ [−A,A],alors
T ,ϕ =
<|x|<A
ϕ(x)
x
dx =
<|x|<A
ϕ(x) − ϕ(0)
x
dx +
<|x|<A
ϕ(0)
x
dx
ici la deuxième intégral est nulle. La fonction x →
ϕ(x)−ϕ(0)
x se prolonge par
continuité en 0 par ϕ (0), donc la limite suivante lim
→0
T ,ϕ =
A
−A
ϕ(x) − ϕ(0)
x
dx
existe et on pose :
T ,ϕ :=
A
−A
ϕ(x) − ϕ(0)
x
dx
Montrons que T prolonge T1/x : Soit ϕ ∈ D(R{0}), alors puisque ϕ est suf-
fisament différentiable ∃δ > 0 tel que ϕ(x) = 0 si x ∈ [−δ,δ], donc T ,ϕ =
lim
→0 |x|>
ϕ(x)
x
dx =
|x|>δ
ϕ(x)
x
dx = T1/x,ϕ . Reprenons ϕ comme dans la
partie de l’existence de T , par le théorème des accroissements finis :
|ϕ(x) − ϕ(0)| ≤ |x| sup
0<t<1
|ϕ (tx)| ≤ |x| ϕ ∞ ≤ |x| ϕ (1)
donc | T ,ϕ | ≤
A
−A
ϕ(x) − ϕ(0)
x
dx ≤ 2A ϕ (1)
, A dépend bien sûr de ϕ
mais puisque cette estimation est vraie pour n’importe quelle fonction test
dont le support est dans un compact quelconque de R alors ord(T ) ≤ 1, et
en particulier T est continue. Pour voir que ord(T ) > 0, on définit pour
n ≥ 2 ψn ∈ D(R) comme suit :
(1) ψn(−x) = −ψn(x) (suite impaire)
(2) supp(ψ) ⊂ ]−1,1[, ψn(x) ≥ 0 si x ≥ 0
(3) ψn(x) = 1 si 1/n ≤ x ≤ 1 − 1/n
On voit facilement que ψn ∞ = ψn
(0) = 1 et que T ,ψn =
1
−1
ψn(x)
x
dx ≥
2
1−1/n
1/n
dx
x
= 2log(n−1) → ∞ si n → ∞. Donc, ∀C > 0,∃n tel que | T ,ψn | >
C ψn
(0) ⇒ ord(T ) > 0.
Considérons maintenant la fonction suivante :
θ(x)
x =
1
x x > 0
0 x < 0
où θ
est la fonction de Heaviside. Naturellement ∃ Tθ(x)/x ∈ D(R {0}), et on a le
résultat suivant :
13

14. Proposition 4. Il existe la limite lim
→0
T où T ,ϕ =
∞
ϕ(x)
x
dx + ϕ(0)log
qui prolonge Tθ(x)/x à R. Cette limite s’appelle partie finie de
θ(x)
x
, notée
P f
θ(x)
x
avec ord P f
θ(x)
x
= 1
Démonstration. Si suppϕ ⊂ [−A,A], alors on écrit
∞
ϕ(x)
x
dx + ϕ(0)log =
∞
ϕ(x) − ϕ(0)
x
dx + ϕ(0)logA
Ce qui montre comme avant l’existence de la limite, et on pose alors
P f
θ(x)
x
:=
A
0
ϕ(x) − ϕ(0)
x
dx + ϕ(0)logA
On peut vérifier que c’est bien définie : en effet, soit B > 0 tel que supp(ϕ) ⊂
[−B,B] ⊂ [−A,A] alors ϕ = 0 sur [A,B] donc
∞
0
ϕ(x)−ϕ(0)
x dx + ϕ(0)logA −
B
0
ϕ(x)−ϕ(0)
x dx−ϕ(0)logB = −
B
A
ϕ(x)−ϕ(0)
x dx+ϕ(0)logA−ϕ(0)logB =
B
A
ϕ(0)
x dx+
ϕ(0)(logA − logB) = 0. Par le théorème des accroissements finis on montre
qu’elle est d’ordre ≤ 1. Pour montrer que son odre est > 0, on considère
la suite ψn1{x>0} n≥2
où ψn est comme dans la proposition 3. Finalement
pour voir qu’elle défnifit le prolongement souhaité, on fait exactement
comme dans la proposition precédente.
2.1.2 Support d’une distribution
Soit {Ui}n
i=1 un recouvrement ouvert d’un compact K ⊂ Rd. Considé-
rons une partition de l’unité subordonnée à ce recouvrement {φi}n
i=1 ⊂ D(Rd),
c-à-d :
(1) 0 ≤ φi ≤ 1, supp(φi) ⊂ Ui i = 1,...,n
(2) ∀x ∈ K,
n
i=1
φi(x) = 1
Définition 7. Soit T ∈ D (Ω), Ω un ouvert de Rd. Soit Ω un ouvert contenu
dans Ω. On dit que Ω est un ouvert de nullité de T si T |Ω = 0.
Proposition 5. Pour toute distribution T sur Ω, il existe le plus grand ouvert
de nullité Ω0.
14

15. Démonstration. Soit U = {tous les ouvert de nullité deT }, posons Ω0 =
ω∈U
ω.
Soit ϕ ∈ D(Ω0), comme supp(ϕ) est compact ∃{ωi}n
i=1 ⊂ U telles que supp(ϕ) ⊂
n
i=1 ωi, c-à-d un recouvrement ouvert fini de supp(ϕ). Considérons {φi}n
i=1
une partition de l’unité subordonnée à ce recouvrement, alors on peut
écrire ϕ(x) =
n
i=1
ϕ(x)φi(x) ∀x ∈ Ω0. Remarquons que supp(ϕφi) ⊂ supp(ϕ)∩
supp(φi) ⊂ ωi, ainsi T ,ϕ =
n
i=1
T ,ϕφi = 0, donc Ω0 ∈ U.
Définition 8. Le support de T est supp(T ) := Ω Ω0
Exemples
1 supp(Tf ) = supp(f )
2 supp vp
1
x
= R
3 supp(δ) = {0}
2.1.3 Distributions à support compact
Notons E(Ω) := C∞(Ω). On dit qu’une suite (ϕn)n≥1 ⊂ E(Ω) converge
vers ϕ ∈ E(Ω) si ∀K ⊂ Ω compact la suite Dpϕn|K converge uniformément
vers Dpϕ|K pour tout multi-indice p.
Remarque On a l’inclusion "continue" suivante : D(Ω) ⊂ E(Ω), qui est
continue au sens où la convergence dans D(Ω) implique la convergence
dans E(Ω). En considérant les espaces duales on a une application de res-
triction :
E (Ω) ⊂ E∗(Ω) −→ D (Ω)
T → ˇT
Définition 9. Les distributions à support compact est l’ensemble Dc(Ω) =
{T ∈ D (Ω)| supp(T )est compact}
On définit une application :
Dc(Ω) −→ E (Ω)
T → ˆT
comme suit : supp(T ) est compact, il existe un compact K tel que supp(T ) ⊂
˚K. Choisissons une partition de l’unité α subordonnée à Ω (0 ≤ α ≤ 1,
α ∈ D(Ω) et α(x) = 1 ∀x ∈ K), alors ∀ϕ ∈ E(Ω) on pose :
ˆT ,ϕ := T ,αϕ
15

16. Il faut voir que cette définition est indépendante de K et de la partition
de l’unité choisie. En effet, soit L compact, supp(T ) ⊂ ˚L et ˜α ∈ D(Ω) subor-
donnée à Ω, 0 ≤ ˜α ≤ 1, ˜α|L = 1, alors supp(ϕ − αϕ) ⊂ Ω ˚K et de même
supp(ϕ − ˜αϕ) ⊂ Ω ˚L ⇒ supp(αϕ − ˜αϕ) ⊂ Ω ˚K ∩ Ω ˚L = Ω ˚K ∪ ˚L et
puisque supp(T ) ⊂ ˚K∪˚L, alors T ,αϕ− ˜αϕ = 0. ˆT est continue : soit (ϕn)n≥1
une suite dans E(Ω) qui converge vers ϕ, alors par définition ∀K compact
de Ω Dpϕn|K → Dpϕ|K uniformément, en particulier pour K = supp(α)
dans la définition de ˆT , (αϕn)n≥1 devient une suite dans D(Ω) et alors
αϕn → αϕ uniformément dans D(Ω) grâce à la continuité de T , et pour
montrer que Dp(αϕn) → Dp(αϕ) uniformément on utilise la règle de Leib-
nitz pour la dérivée d’un produit et la proposition 1.
Théorème 2. ∀ T ∈ Dc(Ω), ˇˆT = T et ∀ T ∈ E (Ω), ˆˇT = T
Démonstration. (a) ˇˆT = T ∀T ∈ Dc(Ω) :
Soit ϕ ∈ D(Ω) et α comme dans la définition de ˆT , on a ϕ(x)−α(x)ϕ(x) = 0
∀x ∈ ˚K ⇒ supp(ϕ − αϕ) ⊂ Ω ˚K ⊂ Ωsupp(T ) car ˚K ⊂ supp(T ), donc puis-
qu’on est dans l’ouvert de nullité de T on a T ,ϕ − αϕ = 0 ⇒ T ,ϕ =
T ,αϕ = ˆT ,ϕ = ˇˆT ,ϕ car ϕ ∈ D(Ω) et c’est donc la restriction.
Montrons que ˇT ∈ Dc(Ω) ∀ T ∈ E (Ω) :
Pour un ouvert Ω ⊂ Rd il existe toujours une suite de compacts (Kn)n≥1
telle que
(1) Kn ⊂ Kn+1 ∀n ≥ 1
(2) ∀K ⊂ Ω compact, ∃ n0 ≥ 1 tel que K ⊂ Kn ∀n ≥ n0
Une telle suite s’apelle suite exhaustive de compacts.
Supposons par l’absurde que supp( ˇT ) n’est pas compact, dans ce cas (exer-
cice) ∀n ≥ 1 ∃ϕn ∈ D(Ω) telle que ˇT ,ϕn 0, mieux encore ˇT ,ϕn = 1
(après normalisation) et supp(ϕn) ⊂ Ω Kn. Alors, la suite (ϕn)n converge
vers 0 dans E(Ω), en effet soit K ⊂ Ω compact ∃n0 ≥ 1 tel que K ⊂ Kn ∀n ≥
n0 et donc ∀x ∈ K x supp(ϕn) ⊂ Ω Kn, autrement dit ϕn(x) = 1 pour
x ∈ K, d’où ϕn → 0 dans E(Ω). La continuité de T implique que T ,ϕn → 0
ce qui contredit ˇT ,ϕn = 1
(b) ˆˇT = T ∀T ∈ E (Ω) :
Soit (Kn)n≥1 une suite exhaustive de compacts de Ω. Considérons des par-
titions de l’unité (αn)n≥1 avec supp(αn) ⊂ ˚Kn+1 et αn|Kn
= 1. ∀ϕ ∈ E(Ω) la
suite correspondante (ϕαn)n≥1 converge vers ϕ dans E(Ω) (utiliser le fait
16

17. que la suite de compact est exhaustive et la règle du produit de Leibnitz),
par continuité de T T ,αϕn
n→∞
−→ T ,ϕ .
Puisque supp( ˇT ) est compact ∃n0 ≥ 1 tel que supp( ˇT ) ⊂ Kn ∀n ≥ n0, en-
suite pa définition de ˆˇT on a :
ˆˇT ,ϕ = ˇT ,αnϕ = T ,αnϕ
n→∞
−→ T ,ϕ par continuité de T
La deuxième égalité vient du fait que αn ∈ D(Ω) donc αnϕ ∈ D(Ω) et ˇT est
la restriction. On voit donc que la suite des nombres ˆˇT ,αnϕ se stabilise à
partir de l’indice n0 et comme elle converge vers T ,ϕ on a que ˆˇT = T .
Proposition 6. Soit T ∈ Dc(Ω), alors ∃m ∈ Z≥0 et C ∈ R≥0 tels que | T ,ϕ | ≤
ϕ (m) ∀ϕ ∈ D(Ω).
Démonstration. T étant à support compact ⇒ ∃K,L deux compacts de Ω
tels que supp(T ) ⊂ ˚K ⊂ K ⊂ ˚L ⊂ L ⊂ Ω. Pour tout ϕ ∈ DK(Ω) ∃CK ≥ 0 et
mK ≥ 0 tels que | T ,ϕ | ≤ CK ϕ (mK ).
Choisissons une partition de l’unité ψ ∈ D(Ω) avec supp(ψ) ⊂ ˚L et ψ|K = 1,
alors pour tout ϕ ∈ D(Ω), ψϕ ∈ DL(Ω), aussi supp(ϕ − ϕψ) ⊂ Ω ˚K ⊂ Ω
supp(T ), donc T ,ϕ−ϕψ = 0 ⇒ T ,ϕ = T ϕψ ⇒ | T ,ϕ | ≤ CL ϕψ (mL) ≤
C ϕ (mL) où C est une constante qui dépend de ψ. Pour la deuxième in-
égalité on a utilise la règle du produit de Leibnitz.
Corollaire 1. Toute distribution à support compact est d’ordre fini.
3 Opérations sur les distributions
Soit F : D(Ω) → D(Ω) une application linéaire, la transposée de F est
une application F∗ : D∗(Ω) → D∗(Ω) définie par F∗(T ),ϕ := T ,F(ϕ) , de
plus si F est continue F∗ descend en une application F∗ : D (Ω) → D (Ω),
en effet soit T ∈ D (Ω) et soit (ϕn)n≥1 une suite qui converge vers ϕ dans
D(Ω), alors par continuité de F, (F(ϕn))n≥1 converge vers F(ϕ) dans D(Ω).
Par continuité de T , F∗(T ),ϕn = T ,F(ϕn)
n→∞
−→ T ,F(ϕ) = F∗(T ),ϕ c-à-
d F∗(T ) ∈ D (Ω)
3.1 Multiplication par un élément de E(Ω)
Lemme 1. Soit α ∈ E(Ω). Alors, l’application linéaire Mα : D(Ω) → D(Ω),
ϕ → αϕ est continue.
17

18. Démonstration. En effet, si (ϕn)n≥1 converge vers ϕ ∈ D(Ω), alors (αϕn)n≥1
converge vers αϕ ∈ D(Ω) (Utiliser la formule du produit de Leibnitz).
.
Définition 10. Pour tout T ∈ D (Ω) et tout α ∈ E(Ω) on définit :
αT := M∗
α(T )
3.2 La dérivée
Considérons l’application linéraire ∂i : D(Ω) → D(Ω) définie par ∂iϕ(x) =
∂ϕ
∂x
(x). ∂i est une application linéaire continue et on peut donc la tranpo-
ser.
Définition 11. Pour tout T ∈ D (Ω) et tout i ∈ {1,...,d} on définit :
∂iT := −∂∗
i(T )
.
Remarque Si f est différentiable, alors ∂iTf = T∂if car ∂iTf ,ϕ = − ∂∗
iTf ,ϕ =
Tf ,∂iϕ = −
Rd
f (x)∂i(x)dx = −
Rd
(∂i(f (x)ϕ(x)) − ϕ(x)∂if (x))dx =
Rd
ϕ(x)∂if (x)dx =
T∂if ,ϕ . L’avant dernière égalité vient du fait que supp(ϕ) est compact et
le théorème fondamental du calcul intégral.
3.3 Le problème de la division
Soit S ∈ D (Ω) et α ∈ E(Ω). Existe-il T ∈ D (Ω) telle que S = αT ? La ré-
ponse est trivial lorsque α(x) 0 ∀x ∈ Ω dans ce cas on vérifie facilement
que T =
1
α
S. En générale la réponse n’est pas toujours affirmative, même
sur la droite réelle nous en donnons une particulière sous la forme d’une
proposition :
Proposition 7. Pour tout S ∈ D (R) il existe un T ∈ D (R) tel que S = idRT .
Si T0 est telle que S = idRT0, alors toute autre solution de l’équation S = idRT
est de la forme T = T0 + cδ0 pour un c ∈ C et δ0,ϕ = ϕ(0) (la distribution
delta de Dirac en 0).
18

19. Démonstration. Soit χ ∈ D(R) telle que χ(0) = 1. Alors, pour toute ϕ ∈ D(R)
on définit Aχ : D(Ω) → D(Ω) par la formule : Aχ(ϕ)(x) = ϕ(x) − ϕ(0)χ(x) ∈
D(R). Il est claire que Aχ est linéaire continue (en particulier on pourra la
transposer pour obtenir une application entre distributions sur Ω) et que
Aχ(ϕ)(0) = 0.
Si ϕ ∈ D(R) est telle que ϕ(0) = 0, alors ∃ψ ∈ D(R) telle que ϕ(x) = xψ(x) :
ϕ(x) = ϕ(x) − ϕ(0) =
x
0
ϕ (y)dy = x
1
0
ϕ (xt)dt et donc en posant ψ(x) =
1
0
ϕ (xt)dt ∈ D(R) on a ϕ(x) = xψ(x).
Affirmation : Il existe Bχ : D(R) → D(R) linéaire continue telle que Aχ(ϕ)(x) =
xBχ(ϕ)(x).
En effet, posons Bχ(ϕ)(x) =
1
0
Aχϕ (xt)dt =
1
0
(ϕ (xt) − ϕ(0)χ (xt))dt,
on vérifie que Bχ(idRϕ)(x) =
1
0
(yϕ(y)) (xt)dt = ϕ(x) (si x = 0 c’est claire,
si x 0 on pourra faire le changement de variable y = xt et intégrer par
parties) et que Bχ est continue. Donc Bχ ◦ MidR
= idD(R), en particulier si
on transpose et on se restreint aux distributions M∗
idR
◦ B∗
χ = idD (Ω), po-
sons maintenant T := B∗
χ(S) alors idRT = S.
Vérifions que Bχ satisfait la propiété voulue, c-à-d MidR
◦ Bχ = Aχ. En effet,
MidR
◦ Bχ(ϕ)(x) = xBχ(ϕ)(x) = x
1
0
Aχϕ (xt)dt =
1
0
Aχϕ (xt)d(xt) =
x
0
(Aχϕ) dy = Aχϕ(x) − Aχϕ(0) = Aχϕ(x) ⇒ MidR
◦ Bχ = Aχ, donc B∗
χ ◦
M∗
idR
= A∗
χ.
Finalement, supposons que idRT = idRT0 = S, alors idR(T − T0) = 0 ⇒
M∗
idR
(T − T0) = 0 ⇒ (composer par B∗
χ à gauche) A∗
χ(T − T0) = 0 ⇔ T −
T0,Aχϕ = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω) ⇔ T − T0,ϕ − ϕ(0)χ = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω) ⇔ T −
T0,ϕ = T −T0,χ δ0,ϕ ∀ϕ ∈ D(Ω), et donc en posant c = T −T0,χ ∈ C
et par linéarité on a T − T0 − cδ0,ϕ = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω) ⇒ T = T0 + cδ0.
Notation On écrira à présent xT au lieu de idRT , s’il n’y a pas de risque
de confusion. De même pour la distribution Tf associée à une fonction f
continue ou localement intégrable, on écrira f .
19

20. Exemple Calculons T dans l’équation xT = 1 (où 1 est la distribution
associée à la fonction constante égale à 1, que l’on note aussi par 1) :
Au fait on va vérifier que xvp 1
x = 1, en effet xvp 1
x ,ϕ = vp 1
x ,xϕ =
lim
→0 |x|>
xϕ(x)
x
dx =
R
ϕ(x)dx = 1,ϕ , et donc par la proposition préce-
dente pour tout autre T ∈ D (R) solution de l’équation xT = 1 on a que T
est de la forme T = vp 1
x + cδ0.
Proposition 8. supp(αT ) ⊂ supp(α) ∩ supp(T ) où α ∈ E(Ω) et T ∈ D(Ω).
Démonstration. Soit ϕ ∈ D(Ω) t.q supp(α)∩supp(ϕ) = ∅, alors supp(αϕ) ⊂
supp(α)∩supp(ϕ) = ∅ ⇒ αϕ = 0, donc αT ,ϕ = T ,αϕ = 0 ⇒ supp(ϕ) ⊂
Ω supp(αT ). On observe que Ω supp(α) est un ouvert de nullité de
αT ,mais Ω supp(αT ) est par définition le plus grand ouvert de nullité
de αT , donc Ω supp(α) ⊂ Ω supp(αT ) ⇒ supp(αT ) ⊂ supp(α).
Soit maintenant ϕ ∈ D(Ω) t.q supp(ϕ) ⊂ Ω supp(T ), alors supp(αϕ) ⊂
supp(ϕ) ⊂ Ω supp(T ) ⇒ T ,αϕ = 0 ⇔ αT ,ϕ = 0, donc supp(ϕ) ⊂
Ωsupp(T ). Avec le même raisonement qu’avant supp(αT ) ⊂ supp(T ).
Remarque Il est possible que supp(αT ) supp(α) ∩ supp(T ). Prenons
par exemple δ0 ∈ D(R), on sait que supp(δ0) = {0}, α(x) = x donc supp(α) =
R ⇒ supp(α) ∩ supp(δ0) = {0} mais αδ0 = 0 donc supp(αδ0) = ∅.
3.4 Dérivation de distributions
Rappelons qu’on avait définit la dérivée d’une distribution T par ∂iT ,ϕ =
− T ,∂iϕ et on avait montré que si f était différentiable, alors ∂iTf =
T∂if . On peut dériver T autant de fois qu’on le veut et on obtient ∀p ∈
Zd
≥0 DpT ,ϕ = (−1)|p| T ,Dpϕ .
Proposition 9. Si α ∈ E(Ω) et T ∈ D (Ω) alors ∂i(αT ) = ∂i(α)T + α∂iT .
Démonstration. Soit ϕ une fonction test, alors ∂i(αT ),ϕ = − αT ,∂iϕ =
− T ,α∂iϕ = − T ,∂i(αϕ) − (∂iα)ϕ = ∂iT ,αϕ + (∂iα)T ,ϕ = α∂iT +
(∂iα)T ,ϕ .
Exemples
1 Considérons la fonction de Heaviside θ(x) =
1 x > 0
0 sinon
. Cette fonc-
tion est localement intégrable, donc on peut lui associer la distribu-
tion Tθ par l’intégration. A la place de Tθ, on écrira θ.
20

21. θ ,ϕ = − θ,ϕ =
∞
−∞
θ(x)ϕ (x)dx = −
∞
0
ϕ (x)dx = −
∞
0
d(ϕ(x))
= ϕ(x)|x=∞
x=0 = ϕ(0) = δ0,ϕ ⇒ θ = δ0.
2 δ0,ϕ = − δ0,ϕ = −ϕ (0).
Remarque Pour une distribution T on a supp(DpT ) ⊂ supp(T ), donc
en particulier supp(δ0) = {0}.
3 Pour f (x) = max(0,x) considérons la distribution associée, qu’on note
encore par f , alors on voit que f (x) = xθ(x) et même en tant que dis-
tributions f = xθ (x répresente la fonction lisse idR), alors par la
règle de dérivation de la proposition 9 on a : f = xθ + x θ = xδ0 + θ
et puisque xδ0 = 0 on a que f = θ.
4 xδ0 = (xδ0) − x δ0 = −δ0 car xδ0 = 0.
5 Considérons la distribution associée à la fonction f (x) = log|x|. Une
telle distribution existe car f est localment intégrable, en effet les
compacts qui posent de problèmes sont ceux contenant l’origine,
mais si a < 0 < b alors
b
a
f (x)dx =
0
a
log(−x)dx +
b
0
log(x)dx et
lorsque x > 0, log(x) admet une primivite xlog(x) − x et si x < 0,
log(−x) admet une primitive xlog(−x) − x. Ensuite on utilise le théo-
rème fondamental du calcul intégral (écrire par exemple
b
0
log(x)dx =
lim
→0
b
(xlog(x) − x) dx) et le fait que la fonction xlog(x) est continue
en 0, ce qui montre que l’intégral existe, donc f est localement inté-
grable. On peut donc la dériver (au sens de distributions) log|x| :
(log|x|) ,ϕ = − log|x|,ϕ = −
∞
−∞
log|x|ϕ (x)dx =
−lim
→0 |x|>
log|x|ϕ (x)dx = −lim
→0
−
−∞
log(−x)dϕ(x) +
∞
log(x)dϕ(x)
= lim
→0
log(−x)ϕ(x)|−
−∞ −
−
−∞
ϕ(x)
x
dx + log(x)ϕ(x)|∞
−
∞
ϕ(x)
x
dx
= −lim
→0
−
|x|>
ϕ(x)
x
dx + log( )(ϕ(− ) − ϕ( ))
21

22. = vp 1
x ,ϕ + lim
→0
log( )(ϕ(− ) − ϕ( )).
Mais ϕ(− ) − ϕ( ) ∼ (accroissements finis) donc la limite vaut 0, et
alors (log|x|) = vp(1
x ) dans D (Ω)
3.5 Opérations induites par une application lisse entre deux
ouverts
Soit f : Ω1 → Ω2, x → y une application de classe C∞ entre Ω1 ⊂ Rd1 et
Ω2 ⊂ Rd2 deux ouverts, alors on peut définir une application f ∗ : E(Ω2) →
E(Ω) par f ∗(ϕ) = ϕ ◦ f .
Remarque f ∗ est continue.
Supposons que la suite (ϕn)n≥1 ⊂ E(Ω2) converge vers ϕ dans E(Ω2), la
suite (f ∗(ϕn))n≥1 converge vers f ∗(ϕ) dans E(Ω1), c-à-d ∀K ⊂ Ω1 compact,∀p ∈
Z
d1
≥0 D
p
x (f ∗(ϕn))
n→∞
−→ D
p
x (f ∗(ϕ)) uniformément.
Fixons donc un compact K ⊂ Ω1. Par la règle de dérivation des fonctions
composées on a :
∂
∂xi
f ∗
(ϕn) =
d1
j=1
f ∗ ∂ϕn
∂yj
∂f ∗(yj)
∂xi
⇒ D
p
x f ∗
(ϕn) =
|q|≤|p|
f ∗
D
q
y ϕn hq(f )
où les hq(f ) sont des coefficients qui dépendent de f . Comme f (K) est un
compact de Ω2) et que par hypothèse D
q
y ϕn
n→∞
−→ D
q
y ϕ uniformement sur
f (K) alors on a que D
p
x (f ∗(ϕn))
n→∞
−→ D
p
x (f ∗(ϕ)) uniformément sur K (on
laisse au lecteur écrire les détails).
Comme f ∗ est continue on a une unique application induite f∗ : E (Ω1) →
E (Ω2) (que l’on peut aussi voir comme une application entre Dc(Ω1) et
Dc(Ω2) d’après l’identification E (Ω) Dc(Ω) vu dans le théorème 2).
f∗(T ) s’appelle le push forward ou poussée en avant de T par f .
Exemple Considérons δa ∈ E (Ω), a ∈ Ω (par définition δa,ϕ = ϕ(a))
et f : Ω → Ω lisse, alors f∗(δa),ϕ = δa,f ∗(ϕ) = δa,ϕ ◦ f = ϕ(f (a)) =
δf (a),ϕ ⇒ f∗(δa) = δf (a).
Si f est une application propre (∀K compact f −1(K) est compact), alors
f ∗ (D(Ω2)) ⊂ D(Ω1) car dans ce cas pour ϕ ∈ D(Ω2) on a supp(ϕ ◦ f ) =
f −1(supp(ϕ)) et la transposition nous donne une application f∗ : D (Ω1) →
22

23. D (Ω2) qui prolonge f∗|E (Ω1).
Si on regarde les élément de D(Ω1) comme distributions (par l’intégra-
tion) nous avons une inclusion D(Ω1) ⊂ E (Ω1), on peut donc restreindre
f∗ à D(Ω1) et si de plus f∗|D(Ω1)(D(Ω1)) ⊂ D(Ω2) , alors on a une unique
application f ∗ = (f∗)∗ : D (Ω2) → D (Ω1).
f ∗(T ) s’appelle le pull back ou tirée en arrière de T par f .
Exemple Considérons l’application lisse f : Rd → R, x → x 2.
L’application induite push forward de f donne une application f∗ : E (Rd) →
E (R). Soit ϕ ∈ D(Rd), par l’intégration on peut voir ϕ comme un élément
de E (Rd), regardons maintenant si f∗(D(Rd)) ⊂ D(R). Soit donc, ψ ∈ E(Rd)
quelconque,alors :
f∗ϕ,ψ = ϕ,f∗ψ = ϕ,ψ ◦ f =
Rd
ϕ(x)ψ( x 2
)dx
=



dx = rd−1drdω, r = x
dω la mesure
standard sur Sd−1



=
∞
0
rd−1
ψ(r2
)
Sd−1
ϕ(x)| x =rdω dr
=
∞
0
1
2
t
d−2
d ψ(t)
Sd−1
ϕ(x)| x =
√
tdω dt =
∞
−∞
ψ(t)(f∗ϕ)(t)dt
où
(f∗ϕ)(t) =



1
2t
d−1
2
Sd−1
ϕ(x)| x =
√
tdω si t > 0
0 sinon
Comme ϕ est à support compact, on voit que f∗ϕ est à support com-
pact (en effet son support est par définition fermé et il est claire qu’il
est borné, donc compact), mais par contre elle n’est pas C∞ car les dé-
rivées succesives de f∗ϕ ne seront pas toutes continues en 0. Mais si on
considère f : Rd {0} → R, alors f∗(ϕ) ∈ D(Ω), en effet si ϕ ∈ D(Rd {0}),
Sd−1
ϕ(x)| x =
√
tdω = 0 dans un voisinage de 0 et donc les dérivées de tout
ordre en t = 0 ne posent pas de problèmes de discontinuité.
Continuons la discusion sur les opérations induites par une application
lisse f : Ω1 → Ω2 entre deux ouverts Ω1 ⊂ Rd1 et Ω2 ⊂ Rd2. Dénotons
par xi : Ω1 → R, 1 ≤ i ≤ d1 et yj : Ω2 → R, 1 ≤ j ≤ d2 les coordo-
nées respectives. Si ϕ ∈ E(Ω2) alors f ∗ϕ ∈ E(Ω1), par la règle de la chaîne
23

24. Dx (ϕ ◦ f ) = Df (x)ϕ · Dxf où x = (x1,··· ,xd1
)t, matriciellement :
Df (x)ϕ · Dxf =
∂ϕ
∂y1
(f (x)), ··· ,
∂ϕ
∂yd2
(f (x))


∂y1
∂x1
(x) ···
∂y1
∂xd1
(x)
...
...
∂yd2
∂x1
(x) ···
∂yd2
∂xd1
(x)


On recupère la i-ème colonne de ce produit et on obtient :
∂
∂xi
(ϕ ◦ f )(x) =
d2
j=1
∂ϕ
∂yj
(f (x))
∂yj
∂xi
(x)
Puisque (yj ◦ f )(x) = yj(x) on peut encore écrire (en oubliant l’argument
x) :
∂
∂xi
ϕ ◦ f =
d2
j=1
f ∗ ∂ϕ
∂yj
∂f ∗yj
∂xi
Cette même formule peut être vue comme les compositions des applica-
tions linéaires continues : ∂
∂xi
,Mαj
: E(Ω1) → E(Ω1) où Mαj
(ψ) =
∂f ∗yj
∂xi
ψ et
∂
∂yj
: E(Ω2) → E(Ω2), f ∗ : E(Ω2) → E(Ω1). Ainsi en oubliant encore ϕ on
peut écrire :
∂
∂xi
◦ f ∗
=
d2
j=1
Mαj
◦ f ∗
◦
∂
∂yj
Soit f∗ : E (Ω1) → E (Ω2) la transposée de f ∗, alors si on tranpose la for-
mule ci-dessus on obtient :
−f∗ ◦
∂
∂xi
=
d2
j=1
−
∂
∂yj
◦ f∗ ◦ M∗
αj
Ce qui nous donne la formule :
f∗
∂
∂xi
T =
d2
j=1
∂
∂yj
f∗
∂f ∗yj
∂xi
T ∀T ∈ E (Ω1) (2)
On peut aussi verifier cette formule à la main.
Si de plus f∗ (D(Ω1)) ⊂ D(Ω2) on peut tranposer encore une fois et calculer
24

25. la tirée en arrière f ∗ : D (Ω2) → D (Ω1) par f (attention ! on note aussi cette
transposée par f ∗ mais cette fois-ci elle agit sur les ϕ considéres comme
des distributions, tandis qu’au debut le f ∗ n’était pas le même car elle agis-
sait sur le fonctions lisses), ainsi en transposant la formule (2) on obtient
∂
∂xi
(f ∗
T ) =
d2
j=1
∂f ∗yj
∂xi
f ∗ ∂
∂yj
T ∀T ∈ D (Ω) (3)
3.6 Opérateur de Laplace
L’opérateur de Laplace est définit par ∆ =
d
i=1
∂
∂xi
2
sur E(Rd) (mais
deux fois différentiable suffirait pour l’appliquer). On cherche des solu-
tions de ∆g = 0 sur Rd {0} invariantes par rotations, i.e g(x) = f ( x )
où x 2 = d
i=1 x2
i . Donc, 2 x
∂ x
∂xi
= 2xi ⇒
∂ x
∂xi
=
xi
x
, ensuite
∂g
∂xi
=
f ( x )
∂ x
∂xi
= f ( x )
xi
x
, en derivant encore une fois
∂2g
∂x2
i
= f ( x )
x2
i
x 2
+
f ( x )
1
x
+f ( x )xi −
1
x 2
xi
x
, en sommant sur les i on a ∆g(x) = f ( x )+
f ( x )
d − 1
x
.
∆g = 0 ⇔ f (t) + f (t)
d − 1
d
= 0 t ∈ R>0. La solution général de cette
équation différentielle (par la méthode de variation de la constante) est
f (t) = C1
t2−d − 1
2 − d
+ C2, posons fd(t) =
t2−d − 1
2 − d
. Notons que lorsque t → 2,
f (t) → C1 log(t) + C2.
Remarque fd( x ) est localement intégrable sur Rd : Changement de va-
riable x = ( x ,ω) ∈ R>0×Sd−1 ⇒ dx = x d−1d x dω ⇒ fd( x )dx =
x 2−d − 1
2 − d
x d−1
d x dω =
x − x d−1
2 − d
d x dω et l’on peut donc intégrer sans problème dans un voi-
sinage de 0, ainsi fd( x ) définit un élément de D (Rd).
Question qu’elle est la distribution ∆fd( x ) ∈ D (Rd) ?
Théorème 3. ∆fd( x ) = cdδ(x) ∈ D (Rd) où cd =
Sd−1
dω.
25

26. Démonstration. On définit r : Rd {0} → R>0, alors dans un exemple on a
vu que r∗(D(Rd {0})) ⊂ D(R>0) et donc la tirée en arrière r∗ : D (R>0) →
D (Rd {0}) existe.
Notre but sera de calculer ∆fd comme une limite d’une famille de distribu-
tions d’élements T ∈ D (Rd {0}) ⊂ D (Rd) (cette inclusion continue est par
prolongement évident). On définit alors T par T ,ϕ =
x ≥
fd( x )ϕ(x)dx,
on on bien que T
→0
→ fd( x ) et donc ∆fd = lim →0 ∆T .
Remarque T = r∗S , S ∈ D (R>0) définie par une fonction localement
intégrable.
On pourrait donner la formule pour S mais on va plutôt la dériver :
Soit ϕ ∈ D(R>0) et ψ ∈ D(Rd {0}), alors d’une part r∗ϕ,ψ = ϕ,r∗ψ =
Rd{0}
ϕ(x)ψ( x )dx =
∞
0
ψ(t)td−1
Sd−1
ϕ(t,ω)dω dt. Notons par A l’opé-
rateur A : D(Rd {0}) → D(R>0) défini par (Aϕ)(t) =
Sd−1
ϕ(t,ω)dω, alors
r∗(ϕ)(t) = td−1(Aϕ)(t).
D’autre part r∗S ,ϕ = S ,r∗ϕ =
∞
0
S (t)(r∗ϕ)(t)dt et si on calcule T ,ϕ =
R>0×Sd−1
fd(t)ϕ(t,ω)dtdω =
t>
fd(t)td−1
Sd−1
ϕ(t,ω)dω dt
=
t>
fd(t)(r∗ϕ)(t)dt, donc en comparant T et r∗S on voit qu’il faut poser
S (t) = fd(t)θ(t − ).
On a ∆T = ∆r∗
S = r∗




∂
∂t
2
+
d − 1
t
∂
∂t

S (t)

 (utiliser deux fois la for-
mule (3)). Par la formule de Leibnitz pour les distributions :
∂
∂t
S (t) = fd (t)θ(t − ) + fd(t)δ(t − ) = fd (t)θ(t − ) + fd( )δ(t − )
Encore une fois :
∂
∂t
+
d − 1
t
(fd (t)θ(t − ) + fd( )δ(t − ) = fd (t)θ(t − ) + fd ( )δ(t − )
+fd( )δ (t − ) +
d − 1
t
fd (t)θ(t − ) +
(d − 1)fd( )
δ(t − ) =
26

27. fd ( ) +
(d − 1)fd( )
δ(t − ) + fd( )δ (t − ) +
=0
fd (t) +
d − 1
t
fd (t) θ (t − ) =:
˜S (t) ⇒ ∆T = r∗ ˜S . Ainsi ∆T ,ϕ = ˜S ,r∗ϕ = ˜S ,td−1Aϕ = td−1 ˜S ,Aϕ .
Calculons encore td−1 ˜S = d−1
fd ( ) +
(d − 1)fd( )
δ(t − )+
fd( )


∂
∂t
(td−1
δ(t − ))
d−1δ (t− )
−
∂
∂t
td−1
δ(t − )
(d−1) d−2δ(t− )


= d−1
fd ( )
=1
δ(t− )+ d−1
fd( )δ (t − )
= δ(t − ) +
− d−1
2 − d
δ (t − ).
On continue les calculs ˜S ,td−1Aϕ = td−1
,Aϕ = (Aϕ)( )−
− d−1
2 − d
(Aϕ) ( ).
Soit maintenant ϕ ∈ D(Rd) :
lim
→0
∆T ,ϕ = (Aϕ)(0) − lim
→0
− d−1
2 − d
(Aϕ) ( )
=0
∀d ≥ 1.
Donc, ∆fd,ϕ = lim
→0
∆T ,ϕ = (Aϕ)(0) =
Sd−1
ϕ(0,ω)
ϕ(0)
dω = ϕ(0)
Sd−1
dω
cd
⇒ ∆fd = cdδ.
Petit calcul : On va déduire une formule de récurrence pour calculer cd.
Soit Bd(0,R) = {x ∈ Rd| x2
1 + ··· + x2
d < R}, alors V ol Bd
(0,R) =
x <R
dx =
R
0
td−1
dt
Sd−1
dω
cd
=
Rd
d
cd. A partir de cette formule on obtient : V ol Bd
(0,R) =
R
−R

 Bd−1 0, R2−x2
d
dx1 ···dxd−1


dxd
27

28. = 2
R
0
R2 − x2
d
d−1
d − 1
cd−1dxd =
cd−1
d − 1
2
R
0
R2 − x2
d
d−1
dxd
I
.
I = 2
t=1
t=0
R2
− R2
t2
d−1
2
d(tR) = R2
2
1
0
(1 − t2)
d−1
2
t
tdt =
s = t2
ds = 2dt
=
= Rd
1
0
(1 − s)
d−1
2 s−1
2 ds = Rd
1
0
(1 − s)
d−1
2 −1
s
1
2 −1
ds = Rd
· B
d + 1
2
,
1
2
= Rd
·
Γ d+1
2 Γ 1
2
Γ d
2 + 1
⇒
Rd
d
cd =
cd−1
d − 1
Rd
Γ d+1
2
√
π
Γ d
2 + 1
car Γ
1
2
=
√
π.
On en déduit la formule :
cd
cd−1
=
d
d − 1
·
Γ d+1
2
√
π
Γ d
2 + 1
(4)
On peut encore développer cette récurrence et obtenir :
cd =
2πd/2
Γ d
2
(5)
Dans la démostration du théorème 3 on a utilisé le fait que :
∆ ◦ r∗
= r∗
◦
∂2
∂t2
+
d − 1
t
∂
∂t
Cette formule se démontre à l’aide de la formule 3 sur la dérivée de la tirée
en arrière d’une distribution.
En effet, r : Rd {0} → R>0, (x1,··· ,xd) → x = t, soit donc T ∈ D (R>0)
⇒
∂
∂xi
(r∗
T ) =
∂t
∂xi
r∗ ∂
∂t
T =
xi
t
r∗ ∂
∂t
T d’après la formule 3. On dérive
encore une fois, et la règle de Leibnitz donne :
∂2
∂x2
i
(r∗
T ) =
1
t
−
x2
i
t3
r∗ ∂
∂t
T +
xi
t
∂
∂xi
r∗ ∂
∂t
T . On applique a nouveau la
formule 3 au second terme de l’inégalité à droite :
∂
∂xi
r∗ ∂
∂t
T =
xi
t
r∗ ∂2
∂t2
T . Finalement on somme sur les i pour récupérer
le Laplacien :
(∆ ◦ r∗
)T =
d
i=1
1
t
−
x2
i
t3
r∗ ∂
∂t
T +
x2
i
t2
r∗ ∂2
∂t2
T
28

29. (∆ ◦ r∗
)T =
d − 1
t
r∗ ∂
∂t
T + r∗ ∂2
∂t2
T = r∗
◦
d − 1
t
∂
∂t
+
∂2
∂t2
T , d’où le ré-
sultat.
Le cas d=2
f2(x,y) = lim
d→2
(x,y) 2−d − 1
2 − d
= lim
d→2
log (x,y) (−1) (x,x) 2−d
−1
= log x2 + y2
Si on change de coordonnées, par exemple pour z = x + iy et ¯z = x − iy, on
peut écrire f2(z) = 1
2 logz¯z. Rappelons que les opérateurs différentiels
∂
∂z
et
∂
∂¯z
sont définis par les formules suivantes :
∂
∂z
:=
1
2
∂
∂x
− i
∂
∂y
,
∂
∂¯z
:=
1
2
∂
∂x
+ i
∂
∂y
Une manière de retrouver ces formules est d’utiliser la règle de la dériva-
tion en chaîne :
∂
∂x
=
∂z
∂x
·
∂
∂z
+
∂¯z
∂x
·
∂
∂¯z
=
∂
∂z
+
∂
∂¯z
∂
∂y
=
∂z
∂y
·
∂
∂z
+
∂¯z
∂y
·
∂
∂¯z
= i
∂
∂z
− i
∂
∂¯z
et ensuite on résout ce système.
Ainsi
∂
∂z
∂
∂¯z
=
∂
∂¯z
∂
∂z
=
1
4


∂
∂x
2
− i
∂
∂y
2
 =
1
4


∂
∂x
2
+
∂
∂y
2
 =
∆
4
.
Notons par δ(z) la distribution de Dirac dans le plan, alors par le Théo-
rème 3 on a 4∆f2(z) = c2δ(z) qui est aussi 4∆f2(z) = 4
∂
∂z
∂
∂¯z
1
2
logz¯z =
4
∂
∂¯z
1
2z
= 2
∂
∂¯z
1
z
et puisque c2 = 2π on a :
∂
∂¯z
1
z
= πδ(z) (6)
L’équation 6 nous permet de déduire la formule de Cauchy de l’Analyse
Complexe :
D’abord un calcul formel avec les formes différentielles donne dx ∧ dy =
d
z + ¯z
2
∧ d
z − ¯z
2i
=
1
4i
(−dz ∧ d ¯z + d ¯z ∧ dz) =
1
2i
d ¯z ∧ dz. Soit maintenant
29

30. f (z) holomorphe dans le plan ou de manière équivalente
∂
∂¯z
f (z) = 0 (par
les équations de Cauchy- Riemann), alors :
πf (0) =
B(0,r)
f (z)πδ(z)dx ∧ dy =
B(0,r)
f (z)
∂
∂¯z
1
z
d ¯z ∧ dz
2i
Comme
∂
∂¯z
f (z) = 0 alors f (z)
∂
∂¯z
1
z
=
∂
∂¯z
f (z)
z
, donc si on continue les
calculs :
πf (0) =
B(0,r)
∂
∂¯z
f (z)
z
dz ∧ ¯z
2i
=
B(0,r)
d
f (z)dz
2iz
=
1
2i ∂B(0,r)
f (z)dz
z
pour la dernière égalité on a utilisé le Théorème de Stokes, donc on retrouve
la formule de Cauchy :
f (0) =
1
2πi ∂B(0,r)
f (z)
z
dz
3.7 Produit tensoriel de distributions
Soient Ω ⊂ Rd, Ω ⊂ Rd deux ouverts. On a une application :
D(Ω) × D(Ω )
⊗
→ D(Ω × Ω ), (ϕ ⊗ ψ)(x,y) := ϕ(x)ψ(y)
Cette application est bien définie car ϕ ⊗ ψ ∈ D(Ω × Ω ), en effet elle est
toujours C∞ sur Ω × Ω et aussi à support compact.
Théorème 4. Soient T ∈ D (Ω), S ∈ D (Ω ), il existe une unique distribution
sur Ω × Ω notée T ⊗ S appelée produit tensoriel de T et S, telle que ∀ϕ ∈
D(Ω), ∀ψ ∈ D(Ω ) T ⊗ S,ϕ ⊗ ψ = T ,ϕ S,ψ .
On va démontrer ce théorème en utilisant 3 lemmes préliminaires,
mais voyons d’abord un exemple d’application : le théorème dit donc que
si l’on prend δ(x,y) ∈ D(R2) (la distribution de Dirac dans le plan), alors
δ(x,y) = δ(x)δ(y) = (δ ⊗ δ)(x,y).
Avant d’ennocer le premier lemme, considérons ϕ ∈ D(Ω × Ω ) et x ∈ Ω.
On a une application lisse ix : Ω → Ω × Ω , y → (x,y), ce qui donne
i∗
x : E(Ω × Ω ) → E(Ω ), on peut vérifier que i∗
x(ϕ) ∈ D(Ω ) et on peut donc
définir une application :
ϕS Ω −→ C
x → S,i∗
x(ϕ)
30

31. Remarque ϕS est continue.
Lemme 2. ϕS ∈ D(Ω).
Si le lemme 2 est vrai, on va poser T ⊗ S,ϕ := T ,ϕS et si ϕ = χ ⊗
ψ avec χ ∈ D(Ω) et ψ ∈ D(Ω ), on aura T ⊗ S,χ ⊗ ψ = T ,(χ ⊗ ψ)S =
T ,χ S,ψ car i∗
x(χ ⊗ ψ)(y) = (χ ⊗ ψ) ◦ ix(y) = (χ ⊗ ψ)(x,y) = χ(x)ψ(y) et
alors (χ ⊗ ψ)S(x) = S,i∗
x(χ ⊗ ψ) = S,χ · ψ = χ(x) S,ψ .
Démonstration. Soit ei = (0,··· ,1,··· ,0)t le vecteur de Rd avec 1 à la i-ème
coordonnée et zéros aux restantes, alors par définition :
lim
→0
ϕ(x + ei ,y) − ϕ(x,y)
=
∂
∂xi
ϕ(x,y)
en l’applicant S des deux côtés de l’inégalité en haut, et par continuité de
S :
lim
→0
ϕS(x + ei ) − ϕS(x)
=
∂ϕ
∂xi S
(x)
ce qui implique que
∂ϕS
∂xi
(x) existe et elle est égale à
∂ϕ
∂xi S
(x) ou de ma-
nière équivalente
∂
∂xi
S,i∗
x(ϕ) = S,i∗
x
∂ϕ
∂xi
, et on peut continuer de dé-
river ϕS. On a aussi que supp(ϕS) est compact car supp(ϕ) l’est (exer-
cice).
Lemme 3. Soient ϕ,ψ ∈ D(Rd), > 0, et x ∈ Rd. Posons g (x) = d
m∈Zd
ϕ(x −
m)ψ( m). Alors lim
→0
g = ϕ ∗ ψ dans D(Rd).
Démonstration. Remarquons d’abord que g est bien définie car la somme
est finie vu que supp(ϕ) et supp(ψ) sont compacts.
Sa dérivée donne
∂g
∂xi
(x) = d
m∈Zd
∂ϕ
∂xi
(x− m)ψ( m). Pour un x fixé le théo-
rème d’accroissements finis donne : |ϕ(x−y)ψ(y)−ϕ(x−y )ψ(y )| ≤ C y−y .
Partageons l’espace Rd en hypercubes d-dimensionels Qm =
m
i=1
[mi ,(mi + 1) ]
où m = (m1,··· ,md) ∈ Zd, l’intégral de convolution de ϕ et ψ peut donc
s’écrire :
(ϕ ∗ ψ)(x) =
Rd
ϕ(x − y)ψ(y)dy =
m∈Zd Qm
ϕ(x − y)ψ(y)dy
31

32. ainsi :
|(ϕ ∗ ψ)(x) − g (x)| ≤
m∈Zd Qm
|ϕ(x − y)ψ(y) − ϕ(x − m)ψ( m)|
≤C y− m
dy
Pour faire cette majoration on a écrit d =
Qm
dy. D’une part par le théo-
rème de Pythagore on a y − m ≤
√
d et d’autre part la compacité du
support de ψ nous dit que m ≤ N = max
y∈supp(ψ)
y , ce qui donne le majo-
rant 2 ·
N
+ 1
d
pour le nombre d’hypercubes qui interviennent dans la
somme, et on obtient finalment :
|(ϕ ∗ ψ)(x) − g (x)| ≤ 2 ·
N
+ 1
d
C d+1
√
d
→0
−→ 0
et pour toutes les dérivées de g et ϕ ∗ ψ on fait le même calcul car on
dérive juste ϕ, nos majorants ne changent pas sauf la constante C.
Lemme 4. L’espace vectoriel D(Ω)⊗D(Ω ) engendré par {ϕ⊗ψ|ϕ ∈ D(Ω),ψ ∈
D(Ω )} est dense dans D(Ω × Ω ).
Démonstration. La notion de suite régularisante a été déjà utilisé dans la
démonstration du théorème 1 d’approximation.
Une suite régularisante dans D(Rd) est une suite de fonctions (fn)n≥1 de
D(Rd) dans [0,+∞[ tel que ∀n ∈ Z>0 :
(1)
Rd
fn(x)dx = 1
(2) supp(fn) ⊂ B(0,rn) avec lim
n→∞
rn = 0
Soit maintenant χ ∈ D(Rd), χ ≥ 0 avec supp(χ) = B(0,1) et
Rd
χ(x)dx = 1,
alors χ définit une suite régularisante (χn)n≥1 de D(Rd) par les formules
χn(x) = ndχ(xd).
Soit χn et ˜χn des suites régularisantes dans Rd et Rd respectivement, alors
(exercice) χn ⊗ ˜χn est une suite régularisante dans Rd × Rd . Donc soit ϕ ∈
D(Ω × Ω ) arbitraire, on a que ϕ ∗ (χn ⊗ ˜χn) ∈ DK1×K1
(Ω × Ω ) où K,K1 ⊂ Ω,
K ,K1 ⊂ Ω sont des compacts tels que supp(ϕ) ⊂ K ×K et K ⊂ ˚K1,K ⊂ ˚K1.
On pose :
gn, (x,y) = d+d
m∈Zd, ˜m∈Zd
χn(x − m) ˜χn(y − ˜m)ϕ( m, ˜m) ∈ D(Ω) ⊗ D(Ω )
32

33. Par le lemme 3 on a que lim
→0
gn, = ϕ ∗ (χn ⊗ ˜χn) et puis comme la suite
(χn ⊗ ˜χn)n≥1 est régularisante, comme pour le théorème 1, ϕ ∗ (χn ⊗ ˜χn)
converge vers ϕ.
Finalement pour démontrer le théorème 4 il ne nous reste que montrer
la continuité de T ⊗ S
Démonstration. (continuité de T ⊗ S)
Par définition T ⊗ S,ϕ = T ,ϕS avec ϕS(x) = S,i∗
x(ϕ) . La proposition
1 nous dit qu’il faut montrer que pour tout compact K ⊂ Ω × Ω ∃C >
0,∃m ∈ Z≥0 tels que ∀ϕ ∈ DK(Ω × Ω ), alors | T ⊗ S,ϕ | ≤ C ϕ (m).
Soient K1 ⊂ Ω, K2 ⊂ Ω compacts tels que K ⊂ K1 × K2. Par continuité
de T et S il existent C1,C2 > 0 et m1,m2 ∈ Z≥0 tels que :
(1) ∀φ ∈ DK1
(Ω) | T ,φ | ≤ C1 φ (m1)
(2) ∀ψ ∈ DK2
(Ω ) | S,ψ | ≤ C2 ψ (m2)
Alors |ϕS(x)| = | S,i∗
x(ϕ) |
(2)
≤ C2 i∗
x(ϕ) (m2), en particulier |D
p
x ϕS(x)| = |D
p
x S,i∗
x(ϕ) | =
| S,D
p
x i∗
x(ϕ) |
(2)
≤ C2 D
p
x i∗
x(ϕ) (m2) ≤ ˜C2 ϕ (m2+|p|), puisque i∗
x(ϕ)(y) = ϕ(x,y).
Ensuite | T ⊗S,ϕ | = | T ,ϕS |
(1)
≤ C1 ϕS
(m1) = C1
|p|≤m1
D
p
x i∗
x(ϕ) ≤ C3 ϕ (m2+m1)
.
Propriétés
(1) supp(T ⊗ S) = supp(T ) × supp(S)
(2)
∂
∂xi
(T ⊗ S) =
∂T
∂xi
⊗ S.
(3)
∂
∂yj
(T ⊗ S) = T ⊗
∂S
∂yj
A titre d’exemple, on va prouver la propriété (1) :
Remarquons d’abord que si φ ∈ D(Ω × Ω ) est telle que supp(φ) ⊂ Ω ×
(Ω supp(S)), alors φS = 0. En effet supp(i∗
x(φ)) ⊂ Ω supp(S) car si y ∈
supp(i∗
x(φ)) ⇒ i∗
x(φ)(y) = φ(x,y) 0 donc (x,y) ∈ supp(φ) et alors y ∈ Ω
supp(S), ainsi par définition de supp(S), φS(x) = S,i∗
x(φ) = 0 ∀x ∈ Ω,
donc φS = 0. On en déduit que supp(T ⊗ S) ⊂ Ω × supp(S).
De même on montre que supp(T ⊗ S) ⊂ supp(T ) × Ω , pour ça on consi-
dère φ ∈ D(Ω × Ω ) avec supp(φ) ⊂ (Ω supp(T )) × Ω et on montre que
supp(φS) ⊂ Ω supp(T ) et comme avant on en déduit que supp(T ⊗ S) ⊂
33

34. supp(T ) × Ω .
Finalement on obtient que supp(T ⊗ S) ⊂ supp(T ) × supp(S).
Pour l’autre inclusion on prend (x,y) ∈ supp(T ) × supp(S) supp(T ⊗ S)
et on arrive a une contradiction.
3.8 Produit de convolution
Soit σ : Rd ×Rd → Rd, σ(x,y) = x+y, elle induit σ∗ : E(Rd) → E(Rd ×Rd)
et de plus σ∗ est continue, donc on a une application σ∗ : E (Rd × Rd) →
E (Rd).
Définition 12. Soient S,T ∈ E (Rd), le produit de convolution de S et T est
la distribution T ∗ S = σ∗(T ⊗ S) ∈ E (Rd)
Notons que T ∗ S est bien un élément de E (Rd) car supp(S ⊗ T ) =
supp(S) × supp(S) et par le théorème de Tychonov supp(S ⊗ T ) est com-
pact (rappelons que le Théorème 2 donne l’identification E (Ω) Dc(Ω))
et donc on peut appliquer σ∗ à T ⊗ S.
Remarques
(1) supp(T ∗ S) ⊂ supp(T ) + supp(S) (somme point par point)
(2) T ∗ (S ∗ R) = (T ∗ S) ∗ R
(3) T ∗ S = S ∗ T
(4) T ∗ δ = δ ∗ T = T
(5) ∂i(T ∗ S) = ∂iT ∗ S = T ∗ ∂iS
Ces propriétés se démontrent à la main (sauf la première qu’on peut trou-
ver facilement dans la literature) en utilisant les propriétés du produit
tensoriel des distributions et la commutativité de l’addition.
On peut prolonger le produit de convolution à toute paire (T ,S) ∈ D (Rd)×
D (Rd), mais avant on a besoin du lemme suivant :
Lemme 5. (i) Soit Ω ⊂ Rd un ouvert et soient T ∈ D (Ω), ϕ ∈ E(Ω) tels
que supp(T )∩supp(φ) est compact. Alors la quantité T ,ρφ ne dépend
pas de la fonction ρ ∈ D(Ω) telle que ρ = 1 sur un ouvert contenant
supp(T ) ∩ supp(φ).
(ii) Soient Ω ⊂ Rd, Ω ⊂ Rd deux ouverts, A ⊂ Ω un fermé et f : Ω → Ω
une application de classe C∞ propre sur A (c-à- d que ∀K ⊂ Ω compact,
l’ensemble A ∩ f −1(K) est compact). Alors la poussée en avant
f∗ : E (Ω) ∩ D (Ω)A → E (Ω )
34

35. où D (Ω)A = {T ∈ D (Ω)|supp(T ) ⊂ A} admet un unique prolongement
f∗ : D (Ω )A → D (Ω ).
Démonstration. (i) Soient ρ, ˜ρ ∈ D(Ω) telles que ρ = ˜ρ = 1 sur un ouvert U
contenant supp(T )∩supp(φ) (de tels fonctions existent car on suppose l’in-
tersection compact), alors on voit que supp(T ) ∩ supp(φ) ∩ supp(ρ − ˜ρ) = ∅
et donc supp((ρ − ˜ρ)φ) ⊂ Ω supp(T ) et par définition T ,(ρ − ˜ρ)φ = 0
⇔ T ,ρφ = T , ˜ρφ .
(ii) Soient T ∈ D (Ω)A et φ ∈ D(Ω ), alors φ ◦ f ∈ E(Ω). Comme f est
propre sur A et supp(T ) ⊂ A, et de plus f −1(supp(φ)) = supp(φ ◦ f ) alors
supp(φ◦f )∩supp(T ) =: K est compact (utiliser le fait que tout fermé dans
un compact est compact), donc par (i) on peut choisir n’importe quelle
ρ ∈ D(Ω) telle que ρ = 1 sur un ouvert U ⊃ K et donc on peut défi-
nir f∗(T ),φ := T ,ρ(φ ◦ f ) qui ne dépend pas de ρ. De plus c’est bien
un prolongement car si T ∈ E (Ω)A = {T ∈ E (Ω) | supp(T ) ⊂ A}, alors
T ,(ρ − 1)(φ ◦ f ) = 0 puisque supp(ρ−1) ⊂ ΩU ⊂ Ωsupp(T )∩supp(φ◦f )
et donc supp(ρ − 1)(φ ◦ f ) ⊂ (Ω supp(T ) ∩ supp(φ ◦ f )) ∩ supp(φ ◦ f ) ⊂
Ω supp(T ).
L’unicité (au sens du prolongement défini pour ˆT ) est laissée en exer-
cice.
Comme application de ce lemme prenons Ω = Rd × Rd , Ω = Rd, f =
σ où σ : Ω → Ω , (x,y) → x + y, le lemme dit alors que le produit de
convolution E Rd × E Rd → E (Rd) défini par T ∗ S = σ∗(T ⊗ S) peut
être prolongé à toute paire (T ,S) ∈ D (Rd)×D (Rd) de sorte que σ∗(T ⊗S) ∈
D (Rd) si σ est propre sur supp(T )×supp(S), ce qui est le cas si par exemple
S ∈ E (Rd). Au fait si on restreint σ à E×F où E,F ⊂ Rd sont des fermés tels
qu’au moins un des deux est compact, alors σ|E×F et propre et donc σ est
propre sur E × F (pour voir ça on utilise la caracterisation de la compacité
par des suites).
3.9 Dérivées/primitives fractionnaires
On définit D (R)+ = {T ∈ D (R) | ∃l ∈ R supp(T ) ⊂ [l,+∞[ }. Le pro-
duit de convolution est bien défini sur cet ensemble. En effet pour toutes
S,T ∈ D (R)+ on a que σ est propre sur supp(S)×supp(T ) ⊂ [l,+∞[×[m,+∞[
avec l,m ∈ R, et on se convaincre très facilement sur un dessin du fait que
σ−1 ([−a,a]) ∩ [l,+∞[ × [m,+∞[ est compact, donc pour toute paire (T ,S) ∈
D (R)+ par le lemme precédente on a que T ∗ S ∈ D (R) et par la propriété
supp(T ∗ S) ⊂ supp(T ) + supp(S) on a que T ∗ S ∈ D (R)+.
35

36. Définition 13. On dit que S est un k-primitive de T si S(k) = T
Affirmation : S = χk
+ ∗ T est une k-primitive de T où χk
+(x) =
xk−1
(k − 1)!
θ(x)
Preuve de l’affirmation : En effet
d
dx
χk
+(x) =
(k − 1)
(k − 1)!
xk−2
θ(x) +
xk−1
(k − 1)!
δ(x)
0,car xδ(x)=0
=
χk−1
+ (x) si k > 1.
Par récurrence sur k :
dk
dxk
χk
+(x) = ··· =
d
dx
χ1
+(x) =
d
dx
θ(x) = δ(x). Finale-
ment :
dk
dxk
χk
+ ∗ T =
dk
dxk
χk
+ ∗ T = δ ∗ T = T .
En résumé chercher un k-ème dérivée d’une distribution est équivalent
à convoler avec χk
+, et de façon similaire par les propriétés de la dérivée
d’une convolution, calculer la k-ème dérivée d’une distribution est équi-
valente à convoler avec δ(k).
Pour a ∈ C on considère :
xa−1
Γ (a)
θ(x) =



e(a−1)logx
Γ (a)
x > 0
0 sinon
qui coïncide avec χk
+ pour a = k ∈ N∗.
Pour Re a > 0, on a une fonction localement intégrable qui définit une
distribution.
Sur C R− : Γ (a) est analytique sans zéro et alors 1
Γ (a)
est donc holomorphe
(analytique). En résumé, pour Re a > 0, a → xa−1
Γ (a)
est analytique.
Proposition 10. Soit k ∈ N tel que Re(a + k) > 0, la distribution :
dk
dxk
xa+k−1
Γ (a + k)
θ(x)
ne dépend pas de k.
Démonstration. Exercice.
On peut donc définir la distribution χa
+(x) :=
dk
dxk
xa+k−1
Γ (a + k)
θ(x) .
36

37. Propriétés
(1)
d
dx
χa
+ = χa−1
+
(2) supp(χa
+) ⊂ R+
(3) χk
+ = δ(k), k > 0
(4) χa
+ ∗ χb
+ = χa+b
+
(1) Si Re(a + 1) > 0, on prend k = 1 et alors χa
+ =
d
dx
xa
Γ (a + 1)
θ(x) , or on
peut prende k = 0 pour χa+1
+ et on voit donc que χa
+ =
d
dx
χa+1
+ . Pour
a ∈ C quelconque on prend k ∈ N tel que Re(a + k) > 0, et alors on voit que
χa
+ =
dk
dxk
χa+k
+ =
d
dx
dk−1
dxk−1
χ
(a+1)+(k−1)
+
χa+1
+
ce qui montre (1).
La fonction a → χa
+,φ est analytique pour tout φ ∈ D(R) si Re a > 0, de
plus χa
+,φ = (−1)k χa+k
+ ,φ(k) .
(2) Si Re a > 0 et supp(φ) ⊂ R∗
−, comme χa
+ est afféctée par la fonction de
Heaviside, χa
+,φ = 0 ⇒ supp(χa
+) ⊂ R+. Comme χa
+,φ = (−1)k χa+k
+ ,φ(k) ,
par prolongement analytique la même propriété tient pour tout a ∈ C.
(3) χ0
+ =
d
dx
χ1
+ = δ, et par récurrence χk
+ = δ(k).
(4) Pour Re a,Re b > 0 et x > 0 :
χa
+ ∗ χb
+(x) =
R
ya−1(x − y)b−1
Γ (a)Γ (b)
θ(x)θ(x − y)dy =
1
Γ (a)Γ (b)
x
0
ya−1
(x − y)b−1
dy
=
y=xt
1
Γ (a)Γ (b)
1
0
xa+b−1
ta−1
(1 − t)b−1
dt =
xa+b−1
Γ (a)Γ (b)
B(a,b) =
xa+b−1
Γ (a + b)
= χa+b
+ (x)
On fait un calcul similaire pour Re a,Re b < 0, la prolongation analytique
(d’abord on fixe b et ensuite a) donne le résultat pour a,b ∈ C quelcoques.
Avant de finir cette section, faisons quelques commentaires sur l’appli-
cation Ia
+ : D (R+) → D (R+), T → χa
+ ∗ T . On appelle Ia
+(T ) l’intégrale de
Riemann-Liuoville, on observe de plus que Ia
+ ∗ Ib
+ = Ia+b
+ (c.f propriété (4)
de χa
+) et I0
+ = δ, le produit de convolution munit donc les Ia
+ d’une estruc-
ture de groupe isomorphe à (C,+).
37

38. Sous certaines hypothèses Γ (a) χa
+,φ =
R
xa−1
θ(x)φ(x)dx =
R+
xa−1
φ(x)dx
est la transformation de Mellin (cf. Analyse Complexe, Ernst Hairer et Ge-
rhard Wanner pag. 58).
3.10 Équation d’onde
Dans Rn+1, on considère les coordonnées (t,x) = (t,x1,··· ,xn). On munit
Rn+1 de la forme quadratique q(t,x) = t2 − x 2 (avec la norme euclidienne)
provenant d’une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée pas définie
positive.
Le lieu de points où q(t,x) = 0 est un cône ∂C+∪∂C− avec C+ = {(t,x)| q(t,x) >
0,t > 0} et C− = {(t,x)| q(t,x) > 0,t < 0}.
On appelle groupe de Lorentz L le groupe de transformations A ∈ GLn+1 (R)
telles que A∗q = q.
On a 3 sous-groupes intéressants de L :
L↑ := {A ∈ L | A(C+) = C+} groupe de Lorentz orthocrone.
L+ := {A ∈ L | detA = ±1} grope de Lorentz propre.
L0 := L+ ∩ L↑ groupe de Lorentz orthocrone-propre.
L’opérateur d’onde où d’alembertien : := ∂2
t − ∆x, on cherche de solu-
tions de l’équation u = f .
Pour Rea > n − 1 on pose :
Ra
+(t,x) =
c(a)q(t,x)
a−n−1
2 si (t,x) ∈ C+
0 sinon
où c(a) =
Γ a+1
2
π
n
2 Γ (a)Γ a−n+1
2
, si Rea > n − 1 la fonction est localement inté-
grable et definit une distribution.
Lemme 6. Ra
+ ∗ Rb
+ = Ra+b
+
On admet sans démonstration le résultat suivant : Si f : Ω1 → Ω2 est
une immersion (la différentielle en tout point est injective) où Ω1 ⊂ Rd1 et
Ω2 ⊂ Rd2 sont des ouverts, alors la tirée en arrière f ∗ : D (Ω2) → D (Ω1)
existe (cf. Distributions, Duistermaat and Kolk, pag. 103).
On vérifie que q : Rn+1 {0} → R est une immersion et que :
q∗
χ
a−n+1
2
+ =
q(t,x)
a−n−1
2
Γ a−n+1
2
θ (q(t,x)) =
π
n
2 Γ (a)
Γ a+1
2
Ra
+(t,x)
38

39. sur Rn+1 C−, car si Re a > n − 1 alors Re a−n+1
2 > 0 et on peut utiliser la
définition simple pour χ
a−n+1
2
+ et calculer sa tirée en arrière par q. Si on pose
d(a) =
Γ a+1
2
πn/2Γ (a)
, on peut écrire :
Ra
+ = d(a)q∗
χ
a−n+1
2
+ sur Rn+1
C−
Soit y la coordonnée sur R de q : Rn+1 → R, comme on l’avait déjà fait pour
le Laplacien, en utilisant la formule 3 pour la dérivée de la tirée en arrière
d’une distribution, on trouve :
◦ q∗
= q∗
◦ 2(n + 1)
∂
∂y
+ 4y
∂2
∂y2
(7)
Notre but est de définir Ra
+ pour tout a ∈ C en s’inspirant de la défini-
tion qu’on a donnée pour χa
+, pour ça on calcule Ra
+ et on montre que
Ra
+ = Ra−2
+ :
χa
+ est homogène de degré a − 1, c-à-d x
d
dx
χa
+ = (a − 1)χa
+, posons v =
χ
a−n+1
2
+ , alors v = χ
a−n−1
2
+ , et v est homogène de degré a−n−3
2 , donc yv =
a − n − 3
2
v ⇒ 2(n + 1)v + 4yv = (2a − 4)v , finalement on met tout ça dans
la formule 7 et on obtient :
Ra
+ = d(a)(2a − 4)q∗
χ
a−n−1
2
+ =
d(a)(2a − 4)
d(a − 2)
Ra−2
+ = Ra−2
+
puisque Γ a+1
2 = a−1
2 Γ a−1
2 et Γ (a) = (a − 1)(a − 2)Γ (a − 2).
Définition 14. Pour a ∈ C on définit Ra
+ := kRa+2k
+ pour k ∈ N tel que Re(a+
2k) > n − 1.
Remarque Comme dans la définition de χa
+, cette définition ne dépend
pas de k ∈ N tel que Re(a + 2k) > 0, on a Ra
+ ∈ D (Rn+1) telle que :
(1) Ra
+ = d(a)q∗ χ
a−n+1
2
+
(2) supp(Ra
+) ⊂ C+
(3) Ra
+ = Ra−2
+
(4) Ra
+ ∗ Rb
+ = Ra+b
+
39

40. Les 3 dernières propriétés sont des extensions de celles qu’on connaît déjà
pour χa
+. Pour montrer ces propriétés on se sert à nouveau de la prolon-
gation analytique (la fonction a → Ra
+(φ) est analytique pour tout φ ∈
D(Rn+1)), pour (4) il faudra attendre la preuve dans le cas Re a,Re b > n−1,
qu’on donnera plus tard.
Définition 15. Une solution fondamental de est une distribution E ∈
D (Rn+1) telle que E = δ.
Utilité : (E ∗ f ) = E ∗ f = δ ∗ f = f c-à-d u = E ∗ f est solution de
u = f .
Théorème 5. les trois propriétés suivantes sont vérifiées :
(a) R0
+ = δ
(b) E+ := R2
+ est une solution fondamentale.
(c) supp(E+) =
C+ si n = 1 ou n ≡ 0(2)
∂C+ n ≡ 1(2),n > 1
Démonstration. (a) La propriété (1) de Ra
+ et le fait que 1
Γ (a)
= 0, Γ a+1
2 0
en a = 0 nous dit que R0
+ = 0 sur Rn+1 C−, ceci plus la propriété (2)
impliquent que supp(R0
+) = {0}, donc (cf. Distributions, Duistermaat and
Kolk pag. 77-78) R0
+ =
|α|≤m
cαDα
δ. Par le calcul, on vérifie que Ra
+ est ho-
mogène de degré a − n − 1, c-à-d


n
j=1
xy∂j + t∂t


Ra
+ = (a − n − 1)Ra
+ et on
particulier R0
+ est homogène de degré −n − 1. Par le calcul à nouveau, on
montre que Dαδ est homogène de degré −n − 1 − |α|, donc :
0 =


n
j=1
xj∂j + t∂t + n + 1


R0
+ = −
|α|≤m
|α|cαDα
δ
Considérons la fonction test y → yβ où y = (t,x) et β un multi-indice, en la
testant dans l’équation ci-dessus on montre que les {Dαδ}α sont linéaire-
ment indépendants dans D (Rn+1) et alors cα = 0 ∀α 0. Donc R0
+ = cδ, et
par (4) Ra
+ = Ra
+ ∗ R0
+ = cRa
+ ∗ δ = cRa
+ ⇒ c = 1.
(b) C’est une conséquence de (3) et (a).
(c) Omise (cf. Duistermaat ad Kolk pag. 162).
40

41. Si n = 3, on peut montrer que E+,ϕ =
1
4π R3
φ( x ,x)
x
d3
x, comme u =
E+∗f ça nous donnera comme solution u(t,x) =
1
4π R3
f (t − x − x ,x )
x − x
d3
x
(potencial retardé).
Démontrons maintenant la propriété (4) de Ra
+ :
Lemme 7. Supposons Re a,Re b > n − 1, alors Ra
+ ∗ Rb
+ = Ra+b
+ . Pour a,b ∈ C
quelconques, l’égalité reste vraie par prolongement analytique de a → Ra
+,φ
qui est analytique pour tout φ ∈ D (Rn+1).
Démonstration. Pour calculer la fonction R := Ra
+ ∗ Rb
+ en y = (t,x) il faut
intégrer Ra
+ (t − τ,x − ξ)Rb
+ (τ,ξ) sur η = (τ,ξ) ∈ C+. Ces deux conditions
disent que ξ < τ < t, ce qui signifie que le domaine d’intégration est
uniformément borné si t varie sur un domaine borné. Ensuite, comme
y − η ∈ C+ et η ∈ C+, on voit donc que y ∈ C+ et alors supp(R) ⊂ C+.
Finalement, on observe que si on change de variables dans l’intégral de
convolution et on pose η = ρζ avec ρ > 0, alors R(ρy) = ρ2mR(y) où 2m =
(a−n−1)+(b−n−1)+n+1 = a+b−n−1, c-à-d R est une fonction homogène
de degré a + b − n − 1.
Le groupe orthocrone L0 est l’ensemble des transformations A ∈ GLn+1R
telles que A(C+) = C+ et detA = 1, par définition de la fonction Ra
+ on
voit qu’elle est invariante par l’acction de L0. Réciproquement, si f est
une fonction homogène de degré 2m invariante par l’action de L0, alors
elle est de la forme f = cqm avec c constante. En effet, f est constante sur
toutes les orbites {Ay | A ∈ L0} des y ∈ C+ par l’action de L0. Il est connu
que (regarder la literature) les orbites de C+ par l’action de L0 sont égales
aux surfaces de niveau de q(t,x) dans C+ : {y ∈ C+ | q(y) = constant}. Cela
implique l’existence d’une fonction g sur R>0 tel que f (y) = g(q(y)) pour
tout y ∈ C+, on en déduit qu’elle doit être homogène de degré m car q l’est
de dégré 2.
Pour chaque A ∈ L0 le changement de variable η = Aζ donne dans l’in-
tégrale R(Ay) = R(y) (par l’invariance de q par A et puisque le Jacobien du
changement de variable vaut 1), c-à-d R est invariante par l’acction de L0,
et alors la caractérisation précédente nous dit qu’il existe une constante
c = c(a,b) telle que :
Ra
+ ∗ Rb
+ = c(a,b)Ra+b
+ (8)
Pour calculer c(a,b) on va tester l’égalité (8) des deux côtés par (t,x) → e−t,
cette fonction décroît sur C+ ce qui assure la convergence des intégrales.
41

42. Posons T (a) =
R Rn
e−t
Ra
+(t,x)dxdt, en écrivant et = et−τeτ et testons dans
(8) on trouve :
T (a)T (b) = c(a,b)T (a + b)
T (a)
c(a)
=
R+
e−t
x <t
t2
− x 2
a−n−1
2
dxdt, avec les changements de variables
x = r = t
√
s et la notation cn pour le volume de la sphère unité Sn−1 on a :
T (a)
c(a)
= cn
R+
e−t
1
0
(t2
− r2
)
a−n−1
2 rn−1
drdt
=
cn
2 R+
e−t
ta−1
dt
1
0
(1 − s)
a−n−1
2 s
n−2
2 drdt
=
cn
2
Γ (a)B
n
2
,
a − n + 1
2
=
cn
2
Γ (a)
Γ n
2 Γ a−n+1
2
Γ a+1
2
=
1
c(a)
Le mêmes calcules donnent T (b) = T (a + b) = 1 donc c(a,b) = 1 et alors
Ra
+ ∗ Rb
+ = Ra+b
+ .
4 Solutions fondamentales et distributions tem-
pérées
On avait déjà introduit la notion de solution fondamental dans le cadre
de l’opérateur = ∂t − ∆x, cette notion se généralise naturellement.
4.1 Solutions fondamentales
Soit P =
|p|≤m
cpDp
, p ∈ Zd
≥0 un opérateur différentiel à coefficients constants
cp ∈ C, alors :
Définition 16. Une solution fondamental de P est une distribution E telle
que P E = δ.
42

43. Exemples
(1) E(x) =
x 2−d − 1
(2 − d)cd
est une solution fondamental de ∆ =
d
i=1
∂2
i dans
D (Rd).
(2)
1
πz
=
1
pi(x + iy)
est une solution fondamental de
∂
∂¯z
=
1
2
∂
∂x
+ i
∂
∂y
dans D (R2).
(3) θ(x) est une solution fondamental de
∂
∂x
dans D (R).
Proposition 11. Soit E une solution fondamental de P un opérateur différen-
tiel. Alors ∀S ∈ E (Rd) on a :
(1) P (E ∗ S) = S
(2) E ∗ (P S) = S
Démonstration. (1) P (E ∗ S) = (P E) ∗ S = δ ∗ S = S.
(2) E ∗ (P S) = P (E ∗ S) = (P E) ∗ S = δ ∗ S = S.
Remarques
(1) Soit P U = S une équations aux dérivées partielles de u, alors u = E ∗ S
en est une solution. De plus si S ∈ E (Rd), indépendament de E la solution
est bien définie (c.f lemme 5).
(2) Supposons que u dans (1) est telle que u ∈ E (Rd) (c-à-d supp(u) com-
pact), alors u est unique : supposons que ˜u ∈ E (Rd) est une autre solution,
alors P ˜u = S ⇒ E ∗(P ˜u) = E ∗S (la convolution à gauche est bien définie car
les dérivées ne changent pas le support de ˜u) mais ˜u = E ∗ (P ˜u) = E ∗ S et
donc forcément toute solution est de la forme E ∗ S et elle ne dépend pas
de la solution fondamental E choisit, puisque si E est autre autre solution
fondamental, alors E∗S = (δ∗E)∗S = (P E ∗E)∗S = P (E ∗E)∗S = (E ∗P E)∗S =
E ∗ S.
(3) Si E est une solution fondamental. Alors ˜E = E + F est une solution
fondamental si P F = 0.
On observe que P (E ∗ S) = S ⇔ (P ◦ E∗)(S) = S et que E ∗ (P S) = S ⇔
((E∗) ◦ P )(S) = S, donc une question naturelle se pose : est-ce que E∗ = P −1 ?
La réponse est non, et ça est du au domaine de définition des distributions :
si S ∈ E (Rd) alors P S ∈ E (Rd) car l’opérateur différentiel ne change pas le
43

44. support de S, mais par contre E ∗S E (Rd) en générale, on peut juste dire
que E ∗ S ∈ D (Rd). De même P D (Rd) E (Rd).
Exemple ∆(x1 + ix2)n = 0 dans Rd. L’opérateur ∆ n’est pas injectif car les
x → (x1 + ix2)n
pour tout n ∈ Z≥0 sont harmoniques dans Rd.
4.2 Distributions tempérées
Espace de Schwartz
Définition 17. On dit qu’une fonction f : Rd → C est de décroissance rapide
si xpf (x)
x →∞
−→ 0 pour tout multi-indice p ∈ Zd
≥0.
Définition 18. On dit qu’une fonction f : Rd → C est une fonction de
Schwartz si f ∈ E(Rd) et si Dpf est de décroissance rapide ∀p ∈ Zd
≥0. On
écrit f ∈ S(Rd).
Donc si f ∈ S(Rd), alors sup
x∈Rd
|xp
Dq
f (x)| < ∞. Pour m,n ≥ 0 entiers on
définit :
f (m,n)
:=
|p|≤m,|q|≤n
xq
Dp
f ∞
On dit qu’une suite (ϕn)n≥1 ⊂ S(Rd) converge vers ϕ ∈ S(Rd) si par défini-
tion ϕ − ϕn
(a,b) n→∞
−→ 0 pour tous a,b ∈ Z≥0.
Définition 19. Une distribution tempérée est un élément de S (Rd) = {T | T :
S(Rd) → C linéaire continue}.
Nous avons les inclusions :
D(Rd
) ⊂ S(Rd
) ⊂ E(Rd
)
Remarque Ce sont des inclusions continues (par rapport à la conver-
gence dans chaque espace). La dualisation donne donc :
E (Rd
) ⊂ S (Rd
) ⊂ D (Rd
)
44

45. Remarque L’opérateur dérivation est intérieur dans S (Rd). Par défini-
tion on montre sans peine que Dp S(Rd) ⊂ S(Rd) ⇒ Dp S (Rd) ⊂ S (Rd)
puisque Dp : S(Rd) → S(Rd) est continue (exercice). Donc comme pour les
distributions usuelles, on peut dériver les distributions tempérées autant
de fois que l’on veut.
De même pour l’opérateur (Mpϕ)(x) := xpϕ(x). On voit clairement que
Mpϕ ∈ S(Rd) pour toute ϕ ∈ S(Rd). Nous avons aussi que Mp est un opé-
rateur continu, donc on peut tranposer Mp, et on obtient une application
de S (Rd) dans lui même, que l’on notera encore par Mp.
Exemple S (Rd) ∅ car si f (x) est un polynôme, alors Tf ∈ S (Rd). En
effet, l’intégrale Tf ,ϕ =
Rd
f (x)ϕ(x)dx converge absolument pour toute
ϕ ∈ S(Rd).
Par contre ex S (Rd).
4.3 La transformation de Fourier
Soit f ∈ S(Rd). On définit sa transformée de Fourier par la formule :
(F f )(x) :=
Rd
e−2πix·y
f (y)dy
où x · y = x1y1 + ··· + xdyd. Pour tout x ∈ Rd, cette intégrale converge car
|(F f )(x)| ≤
Rd
|f (y)|dy < +∞ grâce à la décroissance rapide de f .
Proposition 12. F f ∈ S(Rd) pour tout f ∈ S(Rd).
Démonstration. Supposons que xk 0 pour un k ∈ {1,2,··· ,d}, alors :
(F f )(x) =
Rd−1
e
−2πi d
j=1,j k xjyj
+∞
−∞
e−2πixkyk f (y)dyk
I
dd−1
y
On intègre I par parties :
I =
e−2πixkyk
−2πixk
f (y)
yk=+∞
yk=−∞
=0
−
+∞
−∞
e−2πixkyk
−2πixk
∂kf (y)dyk
45

46. Donc (F f )(x) =
F (∂k)(x)
2πixk
⇒ 2πixk (F f )(x) = F (∂kf )(x), cette dernière for-
mule s’étend à xk = 0 par continuité. En répétant ce procédé on a la géné-
ralisation suivante :
(2πi)|p|
xp
(F f )(x) = (F (Dp
f ))(x) ∀p ∈ Zd
≥0 (9)
Remarques
(1) xkf ∈ S(Rd) (utiliser la formule de Leibnitz).
(2) f ∈ S(Rd) ⇔ f (m,n) < +∞ ∀m,n ∈ Z≥0.
Par convergence absolue de l’intégrale :
∂k(F f )(x) =
Rd
∂
∂xk
e−2πix·y
f (y)dy = −2πi (F (xkf ))(x)
et donc la transformée est infiniment dérivable.
Comme avant, cette formule se généralise :
Dp
(F f )(x) = (−2πi)|p|
(F (xp
f ))(x) ∀p ∈ Zd
≥0 (10)
Ainsi en multipliant (10) par xp, grâce à (9) on obtient :
xq
Dp
(F f )(x) = (−2πi)|p|
xq
(F (xp
f ))(x) = (−2πi)|p|
(2πi)−|q|
(F (Dp
xp
f ))(x)
Ce qui permet de majorer :
|xp
Dp
(F f )(x)| ≤ (2π)|p|−|q|
Rd
|D
p
y yp
f (y)|dy < +∞
par décroissance rapide. Donc xqDp(F f ) ∞ < +∞ ⇒ F f (m,n) < +∞ ∀(m,n) ∈
Z2
≥0 ⇒ F f ∈ S(Rd) d’après la remarque (2).
Ainsi F : S(Rd) → S(Rd), et il est facile a voir qu’elle est linéraire et en plus
continue (exercice, pensez aux formules (10) et (9)), donc elle induit une
application au niveau des distributions tempérées F ∗ : S (Rd) → S (Rd).
On écrira encore F ≡ F ∗ qui est par définition F T ,ϕ = T ,F ϕ ∀ϕ ∈
S(Rd).
46

47. 4.4 L’inverse de la transformation de Fourier
Pour cette discusion, prenons d = 1. Soit f ∈ S(R), alors :
F f (x) =
R
e−2πixy
f (y)dy =
m∈Z
m+1
m
e−2πixy
f (y)dy = {y → y + m} =
m∈Z
1
0
f (y + m)e−2πix(y+m)
dy =
1
0 m∈Z
f (y + m)e−2πix(y+m)
dy
où l’échange de l’intégrale avec la somme est une conséquence de la dé-
croissence rapide de f . On définit ˜f (x,y) :=
m∈Z
f (x + m)e−2πiym
(bien défi-
nie grâce à la décroissance rapide de f ), ainsi par le calcul ci-dessus :
F f (x) =
1
0
˜f (y,x)e−2πixy
Remarques
(1) ˜f (x,y + 1) = ˜f (y,x), c-à-d ˜f est périodique au deuxième argument.
(2) ˜f (x+1,y) =
m∈Z
f (x+1+m)e−2πiym
=
m∈Z
f (x+m)e−2πiy(m−1)
= ˜f (x,y)e2πiy.
On dit parfois que ˜f est quasi-périodique au premier argument.
Si on intègre ˜f en y de 0 jusqu’à 1, on obtient f (x) =
1
0
˜f (x,y)dy, donc
˜f est une transformation inversible.
On définit ˆf (x,y) = ˜f (x,y)e−2πixy, avec cette notation F f (x) =
1
0
ˆf (y,x)dy.
Il en resulte que ˆf est périodique au premier argument : ˆf (x + 1,y) =
e2πiy ˜f (x,y)e−2πi(x+1)y = ˆf (x,y), donc ˆf est périodique au premier argu-
ment, mais elle devient quasi-périodique au deuxième argument : ˆf (x,y +
1) = ˜f (x,y + 1)e−2πix(y+1) = e−2πix ˆf (x,y).
Comme ˆf (x,y) est périodique en x, alors sa série de Fourier donne ˆf (y,x) =
m∈Z
cm(x)e2πimy
avec cm(x) =
1
0
ˆf (y,x)e−2πimy
dy, d’où c0(x) = F f (x).
Si on itère la quasi-périodicité de ˆf au deuxième argument, on a ˆf (y,x + m) =
e−2πimy ˆf (y,x), donc les coefficients de Fourier s’écrivent :
cm(x) =
1
0
ˆf (y,x + m)dy = (F f )(x + m)
47

48. Donc d’une part :
ˆf (y,x) =
m∈Z
(F f )(x + m)e2πimy
et d’autre part :
ˆf (y,x) = e−2πixy
m∈Z
f (y + m)e−2πimx
D’où :
m∈Z
f (y + m)e−2πimx
= e2πixy
m∈Z
(F f )(x + m)e2πimy
En intégrant des deux côtés en x entre 0 et 1 :
f (y) =
1
0
e2πixy
m∈Z
(F f )(x + m)e2πimy
dx
f (y) =
m∈Z
1
0
(F f )(x + m)e2πimy(x+m)
dx =
+∞
−∞
(F f )(x)e2πixy
dx
et donc on pose F −1
f (y) :=
+∞
−∞
f (x)e2πixy
dx = (F f )(−y).
Remarque
˜f (x,y) =
m∈Z
f (x + m)e2πimy
s’appelle la transformation de Zack.
4.5 Quelques formules
Considérons les deux opérateurs suivantes sur S(Rd) :
∂j = Dj : S(Rd
) → S(Rd
),(Djf )(x) =
∂f
∂xj
(x)
Mj : S(Rd
) → S(Rd
),(Mjf )(x) = xjf (x)
alors
(F Djf )(x) =
Rd
(Djf )(y)e−2πix·y
dy =
Rd
∂f
∂yj
(y)e−2πix·y
dy
= −
Rd
f (y)
∂e−2πix·y
∂yj
dy = 2πixj(F f )(x) = (2πiMjF f )(x)
48

49. où la trosième égalité est une conséquence d’une intégration par parties et
de la décroissance rapide de f . En oubliant f et son argument on obtient
donc
F ◦ Dj = 2πiMj ◦ F
On peut répéter le calcul ci-dessus, et trouver pour un multi-indice p la
formule généralisée
F ◦ Dp
= (2πi)|p|
Mp
◦ F (11)
Faisons un autre calcul
(Dj(F f ))(x) = Dj
Rd
f (y)e−2πix·y
dy =
∂
∂xj Rd
f (y)e−2πix·y
dy
=
Rd
f (y)(−2πiyj)e−2πix·y
dy = (F (−2πiMj)f )(x) ⇒ Dj ◦ F = −2πiF ◦ Mj
Et en répétant, on obtient la formule généralisée
Dp
◦ F = (−2πi)|p|
F ◦ Mp
(12)
Notice Ces notes correspondent au cours de Théorie des Distributions
donné par Rinat Kashaev pendant le semestre de Printemps 2013, elles
ne sont pas complètes car il manque(ra) les scéances du 8,15, et 22 mai.
Je tiens à vous dire que ce document n’a pas été révisé par le professeur
Kashaev, et il ne fait pas l’objet d’un polycopié officiel.
Pour toute correction, fautes de frappe ou français pas compréhensible
veuillez m’écrire à medrand0@etu.unige.ch
49