Pages de remplacement que j'ai envoyées aux éditions Ellipses début avril mais qui n'ont malheureusement pas pu être substituées avant publication pour des raisons logistiques.

1. 308 Chapitre 26. Régularisation et approximation par convolution dans Lp
(Rn
)
26.3. Approximations de l’identité et suites
régularisantes
26.3.1. Approximations de l’identité
On appelle approximation de l’identité dans L1
(Rn
) toute suite (ϕj)j de
fonctions mesurables de Rn
telles que :
1. ∀j ∈ N∗
, ϕj 0 sur Rn
2.
Rn
ϕj(x)dx = 1
3. ∀ε > 0, lim
j→∞ x >ε
ϕj(x)dx = 0
Définition 26.10 (Approximations de l’identité dans L1
)
Soit (ϕj)j 1 une approximation de l’identité dans L1
(Rn
).
1. Soit p ∈ [1, +∞[. Si f ∈ Lp
(Rn
) alors (f ϕj)j converge vers f dans
Lp
(Rn
).
2. Si f est uniformément continue et bornée sur Rn
alors (f ϕj)j converge
uniformément vers f sur Rn
.
Théorème 26.11
Démonstration
1. |(f ϕj)(x) − f(x)| =
Rn
f(x − y) − f(y) ϕj(y)dy
Rn
|f(x − y) − f(y)| ϕj(y)dy
puis l’inégalité de Hölder appliquée à ϕj(y)1/p
|f(x − y) − f(y)| ϕj(y)1/p
donne :
Rn
|f(x − y) − f(y)| ϕj(y)dy
Rn
ϕj(y) |f(x − y) − f(y)|p
dy
1/p
Rn
ϕj(y)dy
1/p
ce qui se réécrit |(f ϕj)(x) − f(x)|p
Rn
ϕj(y) |f(x − y) − f(y)|p
dy (ou bien utili-
ser Jensen)
Puis en intégrant et en utilisant Fubini :
Rn
|(f ϕj)(x) − f(x)|p
dx
Rn Rn
|f(x − y) − f(y)|p
dx ϕj(y)dy i.e. f ϕj − f p
p
Rn
τyf − f p
p ϕj(y)dy
Il suffit donc de montrer que
Rn
τyf − f p
p ϕj(y)dy −→
j→∞
0

2. 26.3 Approximations de l’identité et suites régularisantes 309
Soit ε > 0. L’application y ∈ Rn
→ τyf ∈ Lp
étant continue d’après le lemme 26.12 :
il existe η > 0 tel que ∀y tel que y < η, τyf − f p
p ε
Par ailleurs (ϕj)j 1 étant une approximation de l’identité, ∃N tel que ∀j N,
y >η
ϕj(y)dy ε
Pour j N, on a ainsi
Rn
τyf − f p
p ϕj(y)dy =
y η
τyf − f p
p ϕj(y)dy +
y >η
τyf − f p
p ϕj(y)dy
ε · 1 + 2p
f p
p ε
= ε(1 + Cf,p)
où Cf,p est une constante ne dépendant que de f et de p cqfd.
2. Soit ε > 0. Pour tout j et tout x ∈ Rn
on a
|(f ϕj)(x) − f(x))| =
Rn
(f(x − y) − f(x))ϕj(y)dy
Rn
|f(x − y) − f(x)| ϕj(y)dy
Par uniforme continuité de f il existe η > 0 tel que x − y η ⇒ |f(x) − f(y)| < ε et
comme (ϕj)j est une approximation de l’identité, ∃N t.q. ∀j N,
y >η
ϕj(y)dy ε
ce qui donne pour j N :
|(f ϕj)(x) − f(x))
y η
|f(x − y) − f(x)| ϕj(y)dy +
y >η
|f(x − y) − f(x)| ϕj(y)dy
ε + 2 f ∞
y >η
ϕj(y)dy
ε(1 + 2 f ∞)
Cette inégalité étant vraie pour tout x, le deuxième point est ainsi établi.
Soit p ∈ [1, +∞], f ∈ Lp
(Rn
), h ∈ Rn
. L’application τh définie par
τh : Lp
(Rn
) −→ Lp
(Rn
)
f −→ x → f(x − h)
est une isométrie linéaire et pour tout p ∈ [1, +∞[, τhf − f p −→
h→0
0. a
a. En particulier, l’application τf : h ∈ Rn
→ τhf ∈ Lp
(Rn
) est continue.
Lemme 26.12 (Continuité de l’opérateur translation)

3. 27.2 L’espace des distributions tempérées S (Rn
) 315
L’espace des fonctions test D(Ω) est dense dans D (Ω).
Proposition 27.5
Démonstration Soit (Kn) une suite exhaustive de compacts de Ω et θn ∈ D(Ω) tel que
θn ≡ 1 sur Kn et supp(θn) ⊂ Kn+1. Soit (ρn) telle que supp(ρn)+Kn+1 ⊂ Ω. Soit T ∈ D (Ω)
et Tn = (θnT) ρn alors Tn ∈ D(Ω) et (Tn) converge vers T dans D (Ω) d’après 27.6. Donc
D(Ω) est séquentiellement dense dans D (Ω) et donc dense car D (Ω) est bornologique.
Soit T ∈ D (Rn
) et (ρn) une suite régularisante, alors T ρn −→ T dans D (Rn
).
Lemme 27.6
Démonstration Soit ϕ ∈ D(Rn
) alors T ρn, ϕ = T, ˜ρn ϕ et ˜ρn ϕ converge vers ϕ dans
D(Rn
). Comme T ρn est à support compact, E (Ω) est séquentiellement dense dans D (Ω).
27.2. L’espace des distributions tempérées S (Rn
)
27.2.1. Espace de Schwartz
On dit que ϕ ∈ C∞
(Rn
) est à décroissance rapide à tout ordre si le produit
de toute dérivée de ϕ par un polynôme quelconque est borné a
, autrement dit
si les quantités suivantes :
Np(ϕ) =
|α| p,|β| p
xα
∂β
ϕ(x) L∞
sont finies pour tout p. On appelle espace de Schwartz l’e.v. des fonctions
C∞
(Rn
) à décroissance rapide à tout ordre, et on le note S(Rn
). Muni des
normes Np, c’est un espace de Fréchet.
Par ailleurs on a :
∀p, ∃Cp, ∀ϕ ∈ S,
|α| p,|β| p
xα
∂β
ϕ(x) L1 CpNp+n+1(ϕ) (27.1)
a. En particulier les fonctions dans S sont sommables, et nulles à l’infini.
Définition et proposition 27.7 (Espace de Schwartz)
Démonstration Utiliser (1 + |xi|n+1
)xα
∂β
ϕ(x)
L∞
Np+n+1(ϕ).

4. 316 Chapitre 27. Espaces de distributions
Pour tout ϕ ∈ S(Rn
), il existe une suite ϕj ∈ C∞
c (Rn
) telle que pour tout p
on ait
lim
j→∞
Np(ϕ − ϕj) = 0
Théorème 27.8 (Densité de C∞
c dans S)
Démonstration Soit Φ ∈ C∞
c valant 1 sur la boule unité, et ϕj(x) = ϕ(x)Φ(x/j). Les
ϕj sont à support compact et coïncident avec ϕ sur B(0, j). En dérivant et en utilisant la
formule de Leibniz, on obtient :
∂β
(ϕ − ϕj)(x) = ∂β
ϕ(x) (1 − Φ(x/j)) +
1 |γ|,γ β
β
γ
−1
j
|γ|
∂β−γ
ϕ(x)∂γ
Φ(x/j)
Par conséquent, en multipliant par xα
, on a :
xα
∂β
(ϕ − ϕj) L∞
sup
|x| j
xα
∂β
ϕ(x) +
C
j
γ β
xα
∂β−γ
ϕ L∞
Et les deux membres de droite de la dernière inégalité tendent vers 0 quand j tend vers
l’infini.
27.2.2. Espace des distributions tempérées
Le dual topologique de S(Rn
), noté S (Rn
), est appelé espace des distributions
tempérées. Muni de sa topologie forte, c’est un espace DF a
dont le dual
topologique s’identifie à S(Rn
). b
a. i.e. "dual d’un espace de Fréchet"
b. S(Rn
) est donc réflexif.
Définition 27.9 (Espace des distributions tempérées)
Une forme linéaire T sur S(Rn
) est continue s-si l’une des deux propriétés
suivantes équivalentes est vérifiée :
1. il existe un entier p et une constante C 0 tels que
∀ϕ ∈ S(Rn
), | T, ϕ | CNp(ϕ)
2. pour toute suite (ϕn) convergeant vers ϕ dans S(Rn
), T, ϕn −→ T, ϕ
En particulier toute distribution tempérée est d’ordre fini.
Proposition 27.10

5. 27.3 L’espace des distributions à support compact E (Ω) 317
Remarque. Toute distribution dans D (Ω) se prolonge en une distribution tempérée
s-si ∃ p ∈ N et une constante C 0 t.q. ∀ϕ ∈ D(Ω), | T, ϕ | CNp(ϕ)
Exemples. Les fonctions et distributions suivantes sont des distributions tempérées :
1. Les fonctions à croissance lente, i.e. les fonctions f ∈ OM (Rn
) où
OM (Rn
) = {f ∈ C∞
t.q. ∀β ∈ Nn
, ∃Cβ et mβ t.q. |∂β
f(x)| Cβ(1 + |x|)mβ
}
2. Les fonctions Lp
pour p ∈ [1, +∞[.
3. L’espace E des distributions à support compact.
27.3. L’espace des distributions à support compact
E (Ω)
Soit Ω ∈ Rn
. Pour toute distribution T ∈ D (Ω), il existe un plus grand ouvert sur le-
quel la distribution est nulle. Le complémentaire de cet ouvert est appelé support de T.
On note E(Ω) l’espace de Fréchet des fonctions infiniment dérivables sur Ω (ou encore
C∞
(Ω). L’inclusion D(Ω) ⊂ E(Ω) est continue, d’image dense et induit une injection
linéaire E (Ω) ⊂ D (Ω) continue d’image dense.
Le dual topologique de E(Ω), noté E (Ω), est le s.e.v. de D (Ω) constitué des
distributions à support compact dans Ω. Muni de sa topologie forte, c’est un
espace DF dont le dual topologique s’identifie à E(Ω). a
a. E(Ω) est donc un espace réflexif.
Définition et théorème 27.11
Démonstration La densité de E (Ω) dans D (Ω) provient de 27.6.
Une forme linéaire T sur E(Ω) est continue s-si l’une des deux propriétés
suivantes équivalentes est vérifiée :
1. il existe un entier p, un compact K ⊂ Ω et CK 0 tels que a
∀ϕ ∈ E(Ω), | T, ϕ | CK sup
|α| p,x∈K
|∂α
ϕ(x)|
2. pour toute suite (ϕn) convergeant vers ϕ dans E(Ω), T, ϕn −→ T, ϕ
En particulier toute distribution à support compact est d’ordre fini.
a. En particulier, on a nécessairement supp(T) ⊂ K, ce qui justifie la dénomination
distribution à support compact. On montre aussi que réciproquement tout élément de D (Ω)
à support compact se prolonge bien de façon unique en un élément de E (Ω) : par conséquent
les distributions à support compact sont bien les distributions à support compact...
Proposition 27.12

6. 318 Chapitre 27. Espaces de distributions
27.4. Opérations sur les distributions
27.4.1. Multiplication d’une distribution par une fonction C∞
Soit T ∈ D (Ω) et a ∈ C∞
(Ω). La forme linéaire aT sur D(Ω) définie par
∀ϕ ∈ D(Ω), aT, ϕ = T, aϕ
est continue, et est appelée distribution produit de a par T.
Définition 27.13 (Multiplication par une fonction C∞
)
Remarques. 1. L’application (a, T) → aT est une opération continue.
2. supp(aT) = supp(a) ∩ supp(T)
27.4.2. Dérivation des distributions
L’idée est d’introduire une notion de dérivation qui coïncide avec la dérivation usuelle
pour les fonctions de classe C1
(Ω). Pour f ∈ C1
(Ω) et ϕ ∈ C∞
c (Ω), on a :
∂f
∂xi
, ϕ =
Ω
∂f
∂xi
(x)ϕ(x)dx = −
Ω
f(x)
∂ϕ
∂xi
(x)dx = − f,
∂ϕ
∂xi
ce qui motive la définition suivante :
Soit T ∈ D (Ω). La forme linéaire ∂xi
T sur D(Ω) définie par
∀ϕ ∈ D(Ω), ∂xi
T, ϕ = − T,
∂ϕ
∂xi
est continue, et est appelée dérivée de T selon xi au sens des distributions.
Définition et théorème 27.14 (Dérivation des distributions)
Remarques. 1. Comme pour les fonctions C∞
, on note par extension,
pour α ∈ Nn
: ∂α
T =
∂α1
∂xα1
1
· · ·
∂αn
∂xαn
n
T.
2. supp(∂α
T) ⊂ supp(T)
3. L’opération de dérivation T → ∂xi T est stable dans D (Ω) (resp. E (Ω), S (Rn
))
et continue.

7. 27.5 Convolution 319
27.5. Convolution
27.5.1. Préliminaires
Soient T ∈ D (Rn
) et ϕ ∈ C∞
c (Rm+n
).
Alors l’application x → Ty, ϕ(x, y) est de classe C∞
(Rm
) et
∀α ∈ Nm
, ∀x ∈ Rm
, ∂α
x Ty, ϕ(x, y) = Ty, ∂α
x ϕ(x, y)
Proposition 27.15 (Dérivation sous le crochet)
Soient T ∈ D (Rn
) et ϕ ∈ C∞
c (Rn+m
).
Alors l’application x → Ty, ϕ(x, y) est de classe C∞
(Rm
) et
Rm
Ty, ϕ(x, y) dx = Ty,
Rm
ϕ(x, y)dx
Proposition 27.16 (Intégration sous le crochet)
27.5.2. Convolution
Soient F et G deux fermés de Rn
. On dit que F et G sont convolutifs si
∀R > 0, ∃ρ(R) t.q. (x ∈ F, y ∈ G, |x + y| R) ⇒ (|x| ρ(R), |y| ρ(R))
Définition 27.17 (Ensembles convolutifs)
Exemple. Soient F un fermé et G un compact de Rn
, alors F et G sont convolutifs.
Soit T ∈ D (Rn
) et ϕ ∈ C∞
(Rn
) à supports convolutifs. On définit leur
produit de convolution T ϕ ∈ C∞
(Rn
) par
(T ϕ)(x) = Ty, ϕ(x − y)
Définition 27.18 (Convolution par une fonction C∞
)
Remarque. L’opération de convolution (T, ϕ) → T ϕ, définie de D (Rn
) × C∞
c (Rn
)
dans C∞
(Rn
), est une opération continue.
La définition suivante est une généralisation de la précédente :

8. 320 Chapitre 27. Espaces de distributions
Soient T, S ∈ D (Rn
) à supports convolutifs, on définit leur produit de convo-
lution T S par :
∀ϕ ∈ C∞
c (Rn
), T S, ϕ = T, ˜S ϕ
où ˜S est définie par ˜S, ϕ = S, ˜ϕ , avec ∀x ∈ Rn
, ˜ϕ(x) = ϕ(−x)
Définition 27.19 (Convolution par une distribution)
Remarques. 1. L’opération de convolution (T, ϕ) → T ϕ, définie de
D (Rn
) × E (Rn
) dans D (Rn
), est une opération continue.
2. supp(T S) ⊂ supp(T) + supp(S)
3. Le produit de convolution est associatif, commutatif, d’élément neutre δ0.
4. ∀α ∈ Nn
, ∂α
(T S) = (∂α
T) S = T (∂α
S)

9. 28. Les espaces de Sobolev
Dans ce chapitre, Ω désigne un ouvert de Rn
et par ouvert suffisamment régulier, on
désigne tout ouvert de Rn
à frontière Lipschitzienne (certains des théorèmes étant
encore valables si Ω vérifie simplement la propriété du cône). En particulier, on ne
fait aucune hypothèse de bornitude pour Ω, sauf mention explicite du contraire.
28.1. Les espaces Wm,p
(Ω)
28.1.1. Définitions
Soit p ∈ [1, +∞] et m ∈ N.
1. L’espace de Sobolev Wm,p
est défini par
Wm,p
(Ω) = {u ∈ Lp
(Ω); ∀α ∈ Nn
t.q. |α| m, ∂α
u ∈ Lp
(Ω)}
Muni de la norme u W m,p =



|α| m
∂α
u
p
Lp
1/p
si p ∈ [1, +∞[
max
|α| m
∂α
u L∞ si p = +∞
,
c’est un espace de Banach.
2. Pour p = 2, on note Hm
(Ω) = Wm,2
(Ω) : c’est un espace de Hilbert.
Définition 28.1 (Espaces Wm,p
(Ω))
Remarque. 1. Les dérivées partielles ∂α
u sont à comprendre au sens des distri-
butions.
2. Wm,p
est réflexif pour 1 < p < +∞ et séparable pour 1 p < +∞.
3. Wm,p
(Ω) est bien strictement inclus dans Lp
(Ω). Considérer par exemple la
fonction de Heaviside sur Ω =] − 1, 1[, elle est dans Lp
(Ω), contrairement à sa
dérivée la fonction Dirac δ.

10. 322 Chapitre 28. Les espaces de Sobolev
Soit p ∈ [1, +∞[.
1. Wm,p
0 (Ω) désigne la fermeture de C∞
c (Ω) dans Wm,p
(Ω).
2. Hm
0 (Ω) désigne la fermeture de C∞
c (Ω) dans Hm
(Ω).
Définition 28.2 (Espaces Wm,p
0 (Ω))
28.1.2. Densité des fonctions lisses dans Wm,p
(Ω)
Pour p ∈ [1, +∞[, C∞
(Ω) ∩ Wm,p
(Ω) est dense dans Wm,p
(Ω).
Théorème 28.3 (Théorème de Meyers-Serrin)
La question de la densité des fonctions lisses jusqu’au bord dans Wm,p
(Ω) (i.e. les
fonctions C∞
(Ω) qui admettent, ainsi que toutes leurs dérivées partielles à tous ordres,
un prolongement continu à Ω), dépend de la régularité de Ω, plus exactement on a :
Soit p ∈ [1, +∞[ et Ω un ouvert de Rn
suffisamment régulier.
Alors l’espace C∞
(Ω) est dense dans Wm,p
(Ω). a
a. En particulier, Wm,p
0 (Rn
) = Wm,p
(Rn
).
Proposition 28.4
Démonstration IL suffit de montrer que l’ensemble des restrictions à Ω des fonctions de
C∞
0 (Rn
) est dense dans Wm,p
(Ω). D’après le théorème 28.9, on peut prolonger u ∈ Wm,p
(Ω)
en Pu ∈ Wm,p
(Rn
), et en choisissant (ζn) une suite tronquante et (ρn) une suite régulari-
sante, la suite (un) définie par un = ζn(ρn Pu) ∈ D(Rn
) converge vers Pu dans Wm,p
(Rn
).
Donc (un|Ω
) ∈ D(Ω) converge vers u dans Wm,p
(Ω).

11. 28.1 Les espaces Wm,p
(Ω) 323
28.1.3. Injections de Sobolev
Soit Ω un ouvert de Rn
suffisamment régulier a
, m 1 et 1 p q < +∞.
Si m − n/p s − n/q, alors Wm,p
(Ω) ⊂ Ws,q
(Ω) et cette inclusions est
continue.
a. Les inclusions de Sobolev sont aussi vraies pour Wm,p
0 (Ω) sans aucune hypothèse
particulière de régularité concernant Ω.
Proposition 28.5 (Injections de Sobolev)
Soit Ω un ouvert de Rn
suffisamment régulier, m 1 et p ∈ [1, +∞[.
On pose
1
p∗
=
1
p
−
m
n
. Alors :
1. Si mp < n, alors Wm,p
(Ω) ⊂ Lq
(Ω) pour tout q ∈ [p, p∗
]
2. Si mp = n, alors Wm,p
(Ω) ⊂ Lq
(Ω) pour tout q ∈ [p, +∞[ a
3. Si mp > n, alors Wm,p
(Ω) ⊂ L∞
(Ω).
De plus, dans ce dernier cas, si m −
n
p
n’est pas entier, alors b
Wm,p
(Ω) ⊂ C ,θ
(Ω) avec = m −
n
p
et θ = m −
n
p
−
Et ces inclusions sont continues.
a. Et aussi pour q = +∞ si p = 1
b. On note C ,β
(Ω) l’ensemble des fonctions C (Ω) dont toutes les dérivées partielles à
tous ordres sont θ-Höldériennes, i.e. ∀ |α| , |∂α
u(x) − ∂α
u(y)| C |x − y|θ
p.p.
Corollaire 28.6
Dans le cas où Ω est borné, on a un résultat plus précis :
Soit Ω ouvert borné de Rn
suffisamment régulier, m 1 et 1 p q < +∞.
Si m − n/p > s − n/q, alors l’inclusion Wm,p
(Ω) ⊂ Ws,q
(Ω) est compacte.
Proposition 28.7 (Théorème de Rellich-Kondrachov)
Remarque. Si Ω ⊂ Rn
est un ouvert borné suffisamment régulier, les inclusions du
corollaire 28.6 sont compactes (pour q ∈ [p, p∗
[ si mp < n, pour q ∈ [p, +∞[ si mp = n
et pour tout 0 β < m −
n
p
− si mp > n).

12. 324 Chapitre 28. Les espaces de Sobolev
28.1.4. Inégalité de Poincaré
Soit p ∈ [1, +∞[ et Ω un ouvert de Rn
borné dans au moins une direction
de l’espace. Alors il existe une constante CΩ,p (dépendant de Ω et de p) telle
que
∀u ∈ W1,p
0 (Ω), u Lp CΩ,p u Lp
Par conséquent, u Lp définit une norme équivalente à la norme u W 1,p
sur W1,p
0 (Ω).
Théorème 28.8 (Inégalité de Poincaré)
Démonstration Il suffit de démontrer l’inégalité pour les fonctions de D(Ω) puisque l’on
sait que D(Ω) est dense dans W1,p
0 (Ω). On suppose donc que u ∈ D(Ω). On peut aussi suppo-
ser que Ω est borné dans la n-ième direction, i.e. Ω ⊂ {x = (x , xn) ∈ Rn−1
×R; a xn b}.
Notons ˜u le prolongement de u par 0 en dehors de Ω. Alors ˜u(x) =
xn
a
∂˜u
∂xn
(x , y)dy et
par conséquent, en utilisant l’inégalité de Hölder (on note p l’exposant conjugué de p) :
|˜u(x)|p
(xn − a)p/p
xn
a
∂˜u
∂xn
(x , y)
p
dy (xn − a)p/p
+∞
−∞
∂˜u
∂xn
(x , y)
p
dy.
En intégrant par rapport à x , on obtient
Rn−1
˜u(x , xn)
p
dx (xn −a)p/p
Rn
∂˜u
∂xn
p
dx.
En intégrant l’inégalité précédente par rapport à xn, on a :
Rn
|u(x)|p
dx =
Rn
|˜u(x)|p
dx =
b
a Rn−1
˜u(x , xn)
p
dx dxn C
Rn
∂˜u
∂xn
p
dy, et on
conclut en utilisant
Rn
∂˜u
∂xn
p
dy =
∂˜u
∂xn
p
Lp(Rn)
=
∂u
∂xn
p
Lp(Ω)
u p
Lp(Ω).
Remarque. Si Ω est borné, alors l’inégalité de Poincaré est fausse dans W1,p
(Ω) et
par ailleurs elle permet de montrer que dans ce cas, W1,p
0 (Ω) est strictement inclus
dans W1,p
(Ω). Considérer à cet effet la fonctions constante égale à 1 sur Ω.
28.1.5. Prolongements
Soit p ∈ [1, +∞[ et Ω un ouvert de Rn
suffisamment régulier. Alors il existe
un opérateur de prolongement linéaire continu
P : Wm,p
(Ω) → Wm,p
(Rn
)
i.e. P est tel que ∀u ∈ Wm,p
(Ω), Pu|Ω = u et Pu W m,p(Rn) C u W m,p(Ω).
Proposition 28.9 (Théorème de prolongement)

13. 28.1 Les espaces Wm,p
(Ω) 325
28.1.6. Opérateur trace
Le théorème qui suit permet de donner un sens à la restriction d’une fonction de
Wm,p
(Ω) sur ∂Ω (i.e. la frontière de Ω), restriction qui n’est a priori pas définie
puisque ∂Ω est de mesure nulle et une fonction de Wm,p
(Ω) n’est définie que presque
partout.
Soit p ∈ [1, +∞[ et Ω un ouvert de Rn
suffisamment régulier. L’opérateur
γ0 : C∞
(Ω) −→ Lp
(∂Ω)
u −→ u|∂Ω
est linéaire continu.
L’espace C∞
(Ω) étant dense dans Wm,p
(Ω), γ0 admet un unique prolonge-
ment linéaire continu, appelé opérateur trace :
γ0 : Wm,p
(Ω) −→ Lp
(∂Ω)
u −→ u|∂Ω
Définition et théorème 28.10 (Opérateur trace)
1. γ0 est continu surjectif de Wm,p
(Ω) dans Wm−1/p,p
(∂Ω) ⊂ Lp
(∂Ω). a
2. Le noyau de γ0 est Wm,p
0 (Ω).
a. Les espaces Wm−1/p,p
(∂Ω) sont appelés espaces de Besov.
Proposition 28.11 (Propriétés de l’opérateur trace)
Soit Ω un ouvert de Rn
suffisamment régulier. Alors
∀u, v ∈ W1,p
(Ω), ∀ 1 i n,
Ω
∂u
∂xi
vdx = −
Ω
u
∂v
∂xi
dx+
∂Ω
γ0(u)γ0(v)nidσ
où ni est la i-ième composante du vecteur normal sortant n(x) au point
x ∈ ∂Ω.
Théorème 28.12 (Formule d’intégration par parties)
Démonstration C’est une généralisation de la formule d’intégration par parties connue
pour u, v ∈ C1
(Ω), en utilisant la densité de C∞
(Ω) dans W1,p
(Ω).

14. 326 Chapitre 28. Les espaces de Sobolev
28.1.7. Espace dual de W1,p
0 (Ω)
Soit p ∈ [1, +∞[. Le dual de W1,p
0 (Ω), que l’on note W−1,p
(Ω), s’identifie à
un sous-espace de D (Ω). Plus précisément, on a : a
W−1,p
(Ω) = {u ∈ D (Ω); u = f0 +
n
i=1
∂fi
∂xi
, fi ∈ Lp
(Ω), 0 i n}
et b
∀u ∈ W−1,p
(Ω), u = max fi Lp
a. p désignant l’exposant conjugué de p
b. si Ω est borné, on peut prendre f0 = 0.
Proposition 28.13
Démonstration Comme D(Ω) ⊂ W1,p
0 (Ω) on a W−1,p
(Ω) ⊂ D (Ω). Notons E l’espace de
droite dans la formule de la proposition et montrons que E = W−1,p
(Ω). Montrons d’abord
que W−1,p
(Ω) ⊂ E :
1. On munit l’espace (Lp
(Ω))n+1
de la norme u = u0
p
Lp +
n
i=1
ui
p
Lp
1/p
.
L’application T : v ∈ W1,p
0 → v,
∂v
∂x1
, · · · ,
∂v
∂xn
est une application linéaire isomé-
trique de W1,p
0 dans (Lp
(Ω))n+1
. Soit u ∈ W−1,p
(Ω), l’application
ψu : T(W1,p
0 ) −→ R
v,
∂v
∂x1
, · · · ,
∂v
∂xn
−→ u, v W −1,p,W
1,p
0
est par définition une forme linéaire continue sur T(W1,p
0 ).
2. D’après le théorème de Hahn-Banach, on peut prolonger ψu en une forme linéaire
continue sur (Lp
(Ω))n+1
, que l’on note Φu, telle que Φu = u W −1,p .
3. D’après le théorème de Riesz pour les espaces Lp
, il existe f0, · · · , fn ∈ Lp
(Ω) tels que :
∀h ∈ (Lp
(Ω))n+1
, Φu, h =
n
i=0 Ω
fihi et on vérifie alors facilement que
Φu = max fi Lp .
4. En particulier, ∀v ∈ W1,p
0 (Ω), u, v = f0, v +
n
i=1
fi,
∂v
∂xi
= f0, v −
n
i=1
∂fi
∂xi
v
donc W−1,p
(Ω) ⊂ E.
5. Montrons maintenant que E ⊂ W−1,p
(Ω). Soit u ∈ E et ϕ ∈ D(Ω). La forme li-
néaire u, ϕ = f0, ϕ −
n
i=1
fi,
∂ϕ
∂xi
est continue sur D(Ω), et plus précisément on a
| u, ϕ| (max fi ) ϕ W 1,p . Par densité de D(Ω) dans W1,p
0 (Ω), on peut la prolonger
en une forme linéaire continue sur W1,p
0 (Ω).

15. 28.2 Les espaces de Sobolev Hm
(Ω) 327
28.2. Les espaces de Sobolev Hm
(Ω)
28.2.1. Cas où Ω = Rn
Hm
(Rn
) = {u ∈ L2
(Rn
);
Rn
|u(ξ)|
2
(1 + |ξ|2
)m
dξ < +∞}
De plus, la norme u
2
∗ =
Rn
|u(ξ)|
2
(1 + |ξ|2
)m
dξ définit une norme
équivalente à la norme usuelle u Hm sur Hm
(Rn
).
Proposition 28.14 (Définition équivalente de Hm
(Rn
))
Démonstration
1. La transformation de Fourier étant (à une constante (2π)−n/2
près) une isométrie de
L2
(Rn
), on a l’équivalence suivante : ξα
Fu ∈ L2
(Rn
) s-si ∂α
u ∈ L2
(Rn
).
2. Par ailleurs, ∀m ∈ N, ∃Cm t.q. C−1
m (1+
|α| m
|ξ|α
)2
(1+|ξ|2
)m
Cm(1+
|α| m
|ξ|α
)2
3. Par conséquent ξ → |u(ξ)|
2
(1 + |ξ|2
)m
∈ L1
(Rn
) s-si ∀ |α| m, |u(ξ)| (1 + |ξ|α
) ∈
L2
(Rn
), i.e. s-si ∂α
u ∈ L2
(Rn
), et les normes sont équivalentes.
Les théorèmes qui suivent sont des cas particuliers des théorèmes précédents.
28.2.2. Un résultat de compacité
Soit Ω un ouvert borné de classe C1
. Alors l’injection canonique
H1
(Ω) −→ L2
(Ω) est compacte.
Théorème 28.15 (Théorème de Rellich)
28.2.3. Un théorème de régularité
Soit Ω un ouvert borné de Rn
de classe C1
. Alors on a Hm
(Ω) ⊂ Ck
(Ω) pour
m > k +
n
2
, et cette injection est compacte.
Proposition 28.16

16. 328 Chapitre 28. Les espaces de Sobolev
28.2.4. Cas de la dimension 1
Soient a < b. L’espace H1
(]a, b[) s’injecte de façon continue dans C0,1/2
([a, b]),
l’espace de fonctions 1/2-Hölderiennes sur [a, b].
Proposition 28.17
Remarque. Dans le cas de la dimension 1, on peut donc parler de façon univoque
des valeurs au bord u(a) et u(b) pour u ∈ H1
(]a, b[).

17. 360 Chapitre 31. Séries de Fourier
31.2. Critères généraux de convergence d’une série de
Fourier
31.2.1. Convergence en moyenne de Cesàro
Bien que les sommes partielles de la série de Fourier de f ne convergent pas en géné-
ral vers f, on a une version plus faible : elles convergent en moyenne de Cesàro dans
les espaces Lp
2π pour p ∈ [1, +∞[ et C2π, autrement dit dans ces espaces, on a bien
σN (f) −→
N→+∞
f.
On définit les sommes de Cesàro par σN (f) =
1
N
N−1
n=0
Sn(f) où les Sn(f) sont
définis par ∀n ∈ Z, Sn(f) =
n
k=−n
cn(f)en.
Définition 31.4 (Sommes De Cesàro)
1. Si f ∈ C2π, alors σN (f) − f ∞ −→ 0
2. Si f ∈ Lp
2π, 1 p < ∞ alors σN (f) − f p −→ 0
3. Si f ∈ L1
2π admet en un point x0 une limite à droite et une limite à
gauche, alors
σN (f)(x0) −→
N→∞
1
2
f(x+
0 ) + f(x−
0 )
et si f est continue, cette convergence est uniforme.
Théorème 31.5 (Théorème de Fejér)
Démonstration Cf. développement 42.1
Remarque. En particulier, si f ∈ L1
2π admet une limite à droite et une limite à
gauche en x0 et que sa série de Fourier converge en x0, alors elle converge nécessai-
rement vers
1
2
f(x+
0 ) + f(x−
0 ) .
31.2.2. Critères de convergence des sommes partielles d’une série
de Fourier
La question que l’on se pose à ce niveau de la lecture est le suivant : quelle hypothèse
peut-on rajouter sur f pour avoir tout de même convergence de (Sn(f))n dans C2π
ou Lp
? Une réponse avec ce théorème de Fejér taubérien :

18. 31.2 Critères généraux de convergence d’une série de Fourier 361
Soit f ∈ L1
2π. S’il existe M ∈ R+ tel que ∀n ∈ Z, |cn(f)|
M
|n|
,
alors le théorème de Fejér reste vrai en remplaçant σN (f) par SN (f), au-
quel cas f et sa série de Fourier sont égales (partout si f ∈ C2π, p.p. sinon).
Théorème 31.6 (Théorème de Fejér taubérien)
Démonstration C’est une conséquence du théorème de Hardy : si (un)n ∈ CN
est telle que
un = O
1
n
alors la série un converge si et seulement si elle converge au sens de Cesàro.
Le théorème de Dirichlet impose une condition moins forte sur f que le théorème de
Fejér taubérien dans le cas L1
pour assurer une convergence ponctuelle :
Si f ∈ L1
2π admet en un point x0 une limite à droite et une limite à gauche,
et si
ϕh := h →
1
h
f(x0 + h) + f(x0 − h) − f(x+
0 ) − f(x−
0 )
est bornée au voisinage de 0, a
alors SN (f)(x0) −→
N→∞
1
2
f(x+
0 ) + f(x−
0 )
a. par exemple si f admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite en x0.
Théorème 31.7 (Théorème de Dirichlet)
Démonstration SN (f)(x) = f DN (x) =
1
2π
2π
0
DN (t)f(x−t)dt =
1
2π
π
0
DN (t) f(x+
t) + f(x − t) dt d’où SN (f)(x) −
1
2
f(x+
0 ) + f(x−
0 ) =
1
2π
π
0
DN (t) f(x0 + t) + f(x0 −
t) − f(x+
0 ) − f(x−
0 ) dt en utilisant le fait que
1
π
π
0
DN (t)dt = 1. Puis comme DN (t) =
sin((n + 1
2
)t)
sin t
on obtient qu’une condition suffisante pour que cette intégrale converge en 0,
est que ϕh soit borné au voisinage de 0.
En fait le bon cadre de travail pour faire des séries de Fourier dans L1
2π est de se
restreindre aux fonctions à variation bornée (qui sont réglées donc ont une limite à
gauche et à droite en tout point) : 2
2. les fonctions continues ne sont pas nécessairement à variation bornée. Exemple : le brownien.

19. 362 Chapitre 31. Séries de Fourier
Soit f ∈ L1
2π. On suppose que f est à variation bornée.
1. Alors SN (f)(x) −→
N→+∞
1
2
f(x+
0 ) + f(x−
0 )
2. Si de plus f est continue a
, cette convergence est uniforme.
3. Et si de plus f ∈ L2
2π, cette convergence est normale.
a. On dit alors que f est absolument continue : on montre que c’est équivalent à dire
que f est dérivable p.p. et f intégrable. Si f n’est pas continue, la convergence n’est pas
uniforme : phénomène de Gibbs.
Théorème 31.8 (Théorème de Jordan-Dirichlet)
Démonstration Le lemme 31.9 combiné au théorème de Fejér taubérien démontre les pre-
mier et deuxième points. Pour le troisième point, on écrit cn(f) =
1
2π
2π
0
f(x)e−inx
dx =
1
2π
1
in
2π
0
f (x)e−inx
dx =
1
in
cn(f ) si n = 0. On a ainsi |cn(f)|
1
2
1
n2
+ cn(f )2
d’où la
convergence normale si f ∈ L2
2π puisque dans ce cas (cn(f ))n∈Z ∈ 2
donc de cette inégalité
on déduit que (cn(f))n∈Z ∈ 1
.
Soit f ∈ L1
2π à variation bornée. Alors ∀n ∈ Z, |cn(f)|
π
2
Var[0,2π](f)
|n|
.
Lemme 31.9
Démonstration
Etape 1 : ∀f ∈ L1
2π, ∀n ∈ Z, ∀a ∈ R, on a cn(τaf) =
1
2π
2π
0
f(x + a)e−inx
dx = eina
cn(f).
En particulier, en choisissant a = π/n, cela donne cn(τπ/nf) = −cn(f) donc cn(f) =
1
2
(cn(f) − cn(τπ/nf)) =
1
2
cn(f − τπ/nf) et par conséquent cn(f)
1
2
f − τπ/nf 1
.
Etape 2 : on écrit :
f − τπ/nf 1
=
2π
0
f(x) − f x +
π
n
dx =
2n
k=1
kπ/n
(k−1)π/n
f(x) − f x +
π
n
dx
=
2n
k=1
π/n
0
f x +
k − 1
n
− f x +
kπ
n
dx
π/n
0
Var[x,x+2π](f)dx =
π
n
Var[0,2π](f)
la dernière égalité étant obtenue d’après la périodicité de f.

20. 31.3 Séries de Fourier dans L2
2π 363
Soit f ∈ L1
2π. Dans les cas ci-dessous,
n∈Z
cn(f)einx
cvg normalt vers f :
1. Si f est continue et
n∈Z
|cn(f)| < +∞
2. Si f est absolument continue et f ∈ L2
2π.
3. Si f est continue et C1
par morceaux.
4. Si f est α-Hölderienne avec
1
2
< α 1.
Proposition 31.10 (Convergence normale d’une série de Fourier)
Démonstration
1. La convergence est normale par hypothèse et ne peut se faire que vers f car f est conti-
nue (utiliser le premier point de 31.8 ou bien l’argument suivant : soit
g(x) :=
∞
n=−∞
cn(f)einx
alors g est continue, de coefficients de Fourier cm(g) =
1
2π
2π
0
∞
n=−∞
cn(f)einx
e−imx
dx =
1
2π
∞
n=−∞
cn(f)
2π
0
ei(n−m)x
dx = cm(f),
donc par injectivité de γ, f = g p.p. puis par continuité de f, f = g).
2. Pour le deuxième point cf. 31.8.Le troisième point est une conséquence du deuxième.
Le dernier point est le théorème de Bernstein, cf. [2] p.200.
31.3. Séries de Fourier dans L2
2π
L2
2π est un bon espace pour faire des séries de Fourier, mais attention : une fonction
continue dans L2
et sa série de Fourier ne sont égales que presque partout.
On note en := x → einx
. Alors (en)n∈Z est une base hilbertienne de L2
2π : a
∀f ∈ L2
2π, f
L2
=
∞
n=−∞
< en, f > en
a. Par cette notation on signifie que la convergence de SN (f) vers f a lieu dans L2
.
Proposition 31.11
Démonstration vect ((en)n∈Z) est dense dans L2
d’après le théorème de Fejér pour p = 2.
Le caractère orthonormal de vect ((en)n∈Z) est immédiat. Par conséquent (en)n∈Z est une
base hilbertienne de L2
2π.

21. 364 Chapitre 31. Séries de Fourier
ζ(2) :=
+∞
n=1
1
n2
=
π2
6
Application 31.12 (Problème de Bâle)
Démonstration Soit f ∈ L2
2π la fonction 2π-périodique définie par f(x) := x sur [−π, π[. La
formule de Parseval appliquée à f donne f 2
2 =
+∞
n=−∞
| en, f |2
. Les égalités
f 2
2 =
1
2π
π
−π
x2
dx =
π2
3
et
+∞
n=−∞
| en, f |2
=
+∞
n=1
(−1)n
i
n
2
+
+∞
n=1
(−1)−n
i
−n
2
= 2
+∞
n=1
1
n2
fournissent le résultat attendu.
La convergence dans L2
2π de SN (f) vers f est aussi une convergence p-p.
Théorème 31.13 (Théorème de Carleson)
Remarques.
1. De façon générale, la convergence dans Lp
n’implique pas la convergence p.p.
(mais il existe par contre toujours une sous-suite qui converge p.p.), ni récipro-
quement d’ailleurs (cf. convergence dominée). On note alors fn
Lp
−→ f ou encore
lim fn
Lp
= f.
2. Par ailleurs, si f = g dans Lp
on a bien sûr f
p.p.
= g mais cette égalité est
cette fois une égalité de fonctions (et non pas de convergence de suite). On note
d’ailleurs plus souvent f = g p.p. avec le p.p. à droite.
Plus généralement, ce théorème reste vrai pour p ∈]1, +∞[ :
Soit p ∈]1, +∞[ et f ∈ Lp
2π. Alors SN (f)
p.p.
−→ f a b
a. Mais on n’a pas convergence dans Lp
2π en général, sauf si p = 2.
b. On note aussi f
p.p
=
+∞
n=−∞
cn(f)en pour signifier que la convergence a lieu presque
partout.
Théorème 31.14 (Théorème de Carleson-Hunt)
Démonstration La démonstration de ce théorème est difficile, on passera les détails (ceci
dit on a déjà facilement qu’il existe une sous suite de (Sn(f))n∈Z pour laquelle l’égalité est
vraie presque partout, résultat de la théorie de la mesure).

22. 32.1 Transformation de Fourier des fonctions L1
367
Exemples. 1. Pour a > 0, f(x) = 1[−a,a], on a f(x) =
2 sin(ax)
x
2. Pour f(x) = e−
|x−a|
λ , on a f(x) =
2λe−iax
1 + (λx)2
3. Pour a > 0, f(x) = e−a|x|2
, on a f(ξ) =
π
a
n/2
e−|ξ|2
/4a
Soit f ∈ L1
(Rn
). Si f ∈ L1
(Rn
) alors on a f = (2π)−n
F(f) où F désigne la
transformation de Fourier obtenue en remplaçant i par −i dans 32.1.
Proposition 32.3 (Inversion de Fourier)
Démonstration
Etape 1 : Pour pouvoir appliquer le théorème de Fubini, on doit avoir affaire à des fonctions
sommables et pour cela on multiplie l’intégrande par e−ε2
|ξ|2
/4
.
Soit donc Iε(x) = (2π)−n
ei(x−y)ξ
e−ε2
|ξ|2
/4
f(y)dydξ
On a donc, en appliquant Fubini, Iε(x) = (2π)−n
eixξ
e−ε2
|ξ|2
/4
f(ξ)dξ, puis
(continuité sous le signe intégral à x fixé) : lim
ε→0
Iε(x) = (2π)−n
eixξ
f(ξ)dξ
Donc les Iε convergent pour tout x vers (2π)−n
F(f), et comme les Iε sont sommables
et majorés en module par (2π)−n
f
1
, c’est aussi une convergence L1 par le théorème
de convergence dominée.
Etape 2 : Parallèlement, en posant Φε(z) = (2π)−n
eizξ
e−ε2
|ξ|2
/4
dξ = ε−n
Φ(z/ε) où
Φ(z) = π−n/2
e−|z|2
(transformation de Fourier des fonctions gaussiennes), on a
Iε(x) = Φε(x − y)f(y)dy = Φε f(x)
L1
−→ f La dernière convergence étant vraie
non seulement pour les approximations de l’identité, mais plus généralement aussi si
les Φε vérifient Φε = ε−n
Φ(z/ε), avec Φ sommable (non nécessairement positive, non
nécessairement à support compact).
Etape 3 : Par unicité de la limite dans L1
, le résultat s’en déduit.

23. 368 Chapitre 32. Analyse de Fourier
32.2. Espaces stables par transformation de Fourier
32.2.1. Transformation de Fourier dans l’espace des fonctions S
La transformation de Fourier F est un automorphisme bicontinu de S(Rn
),
d’inverse (2π)−n
F. En particulier, la continuité se traduit par :
∀p, ∃Kp, ∀ϕ ∈ S(Rn
), Np(ϕ) KpNp+n+1(ϕ) (32.2)
Théorème 32.4 (Stabilité de S par transformation de Fourier)
Démonstration
1. On utilise les identités bien connues suivantes : pour tout ϕ ∈ S, on a :
a) ϕ ∈ C1
et ∀j, ∂jφ = −iF (xjϕ(x)) (dérivation sous le signe intégral)
b) F(∂jϕ) = iξjϕ(ξ) (utiliser une intégration par parties et le théorème de Fubini)
Ces deux identités appliquées successivement donnent, pour tout α, β ∈ Nn
:
ξα
∂β
ξ ϕ(ξ) = F ∂α
x (xβ
ϕ(x)) donc :
Np(ϕ) =
|α| p,|β| p
ξα
∂β
ϕ(ξ) L∞
=
|α| p,|β| p
F ∂α
x (xβ
ϕ(x)) L∞
|α| p,|β| p
∂α
x (xβ
ϕ(x)) L1
Cp
|α | p,|β | p
xα
∂β
x ϕ
L1
KpNp+n+1(ϕ)
l’avant-dernière inégalité provenant de la formule de Leibniz et la dernière inégalité
provient de l’inégalité 27.1. En particulier, les Np(ϕ) sont finis pour tout p donc ϕ ∈ S.
2. Il reste à montrer que F est inversible, d’inverse (2π)−n
F, ce qui est une conséquence
de 32.3, puisque ϕ et ϕ sont dans S, donc sont sommables.
32.2.2. Transformation de Fourier dans l’espace des distributions
tempérées
La transformation de Fourier F définie pour tout S ∈ S (Rn
) par a
∀ϕ ∈ S(Rn
), S, ϕ = S, ϕ
est un automorphisme bicontinu de S (Rn
) b
, d’inverse F−1
= (2π)−n
F.
a. Et cette opération est bien compatible avec la transformation de Fourier dans L1
.
b. En particulier, F est séquentiellement continue dans S .
Définition et théorème 32.5 (Stabilité de S par tf de Fourier)

24. 32.2 Espaces stables par transformation de Fourier 369
Démonstration
1. Comme S est tempérée, il existe p et C tels que pour tout ϕ ∈ S, on a | S, ϕ |
CNp(ϕ), puis en utilisant l’inégalité 32.2, on obtient | S, ϕ | C Np+n+1(ϕ), ce qui
prouve que S ∈ S et que F est continue de S dans lui-même.
2. Pour tout ϕ ∈ S, on a FFS, ϕ = FS, Fϕ = S, FFϕ = (2π)n
S, ϕ . Par consé-
quent, (2π)−n
FF = Id et de la même façon on montre que (2π)−n
FF = Id, donc F
est inversible, d’inverse (2π)−n
F.
La transformation de Fourier F définie pour tout T ∈ Oc(Rn
) par a b
∀ϕ ∈ S(Rn
), T, ϕ = T, ϕ
est un isomorphisme bicontinu de Oc(Rn
) vers OM (Rn
), d’inverse
F−1
= (2π)−n
F.
De plus, ∀ξ, T(ξ) = T, eξ , où eξ := x → e−ixξ
a. On note OM (Rn
) l’e.v. des fonctions C∞
à croissance lente ainsi que leurs dérivées.
b. On note Oc(Rn
) l’e.v. des distributions à décroissance rapide. C’est un s.e.v. de
S (Rn
) qui contient les distributions à support compact et les fonctions localement inté-
grables à décroissance rapide.
Définition et théorème 32.6 (TF de Fourier de Oc vers OM )
Démonstration
1. On note v(ξ) = T, eξ . Alors pour tout ϕ ∈ C∞
c (Rn
), on a
v, ϕ = v(ξ)ϕ(ξ)dξ = Tx, e−ixξ
ϕ(ξ) dξ = Tx, e−ixξ
ϕ(ξ)dξ = T, ϕ =
T, ϕ (où l’on a utilisé le théorème d’intégration sous le crochet pour les distribu-
tions à support compact). Donc v = T.
2. D’après le théorème de dérivations sous le crochet, T ∈ C∞
(Rn
) et
∀α, ∂α
T(ξ) = Tx, (−ix)α
e−ixξ
et comme T est à support compact, on peut écrire
pour tout compact K contenant supp(T) : ∂α
T(ξ) C sup
x∈K, |β| p
∂β
x (xα
e−ixξ
) où
p est l’ordre de T. Par conséquent, ∂α
T(ξ) Cα,K (1 + |ξ|)p
donc T ∈ OM .
Exemples. F(δ) = 1, F(∂α
δ) = i|α|
ξα
, F(δx) = e−ixξ

25. 370 Chapitre 32. Analyse de Fourier
32.2.3. Transformation de Fourier dans L2
La transformation de Fourier f → (2π)−n/2
Ff est une isométrie bijective de
L2
(Rn
), d’inverse (2π)−n/2
F.
Théorème 32.7 (Théorème de Fourier-Plancherel)
Démonstration
Etape 1 : La conservation du produit scalaire pour les éléments de S se vérifie aisément.
Pour la stabilité, soit f ∈ L2
, considérer une suite fj ∈ S qui converge vers f dans
L2
(S est dense dans L2
car contient C∞
c ). La suite fj est aussi de Cauchy (car les
éléments de S conservent la norme L2
), donc converge vers un élément g de L2
. A
fortiori fj converge vers g dans S . Comme fj → f dans S on a aussi fj → f dans
S , par continuité de F. Par unicité de la limite, f ∈ L2
.
Etape 2 : Par continuité de la norme et par densité de S dans L2
, l’isométrie f → (2π)−n/2
Ff
sur S est encore une isométrie sur L2
et est surjective car inversible, d’inverse (2π)−n/2
F.
32.3. Propriétés
Dans S et dans S , on peut convoler par une distribution de Oc et multiplier
par une fonction de OM . a
On a alors les propriétés suivantes :
1. Soit T ∈ Oc(Rn
) et f ∈ S(Rn
). Alors T f ∈ S(Rn
) et T f = Tf.
2. Soit T ∈ Oc(Rn
) et S ∈ S (Rn
). Alors T S ∈ S (Rn
) et T S = TS. b
a. Oc est appelé espace des convoleurs et OM espace des multiplicateurs.
b. A fortiori, ce résultat est encore vrai si f, g ∈ L1
(Rn
), auquel cas on a f g = fg.
Proposition 32.8 (TF de Fourier d’un produit de convolution)
Soit S ∈ S a
et f ∈ OM . Alors
1. ∂αS = i|α|
ξα
S
2. τaS = e−iaξ
S
3. xαS = i|α|
∂α
S
4. fS = (2π)−n
f S
a. A fortiori ces résultats sont encore vrais si S ∈ S.
Corollaire 32.9

26. 35. Équations aux dérivées partielles
35.1. Problèmes elliptiques linéaires
35.1.1. Problème du Laplacien avec conditions aux limites de
Dirichlet homogènes
Généralités
Soit Ω un ouvert de Rn
. On cherche les fonctions u satisfaisant les critères
suivants :
−∆u = f sur Ω
u = 0 sur ∂Ω
(35.1)
où f est une fonction donnée sur Ω. Une solution u de 35.1 est dite :
— forte (ou classique) si u ∈ C2
(Ω) ∩ C(Ω)
— faible si u ∈ H1
0 (Ω)
Définition 35.1 (Pbm du Laplacien avec c.l. de Dirichlet hmg)
Remarques. 1. Toute solution classique est aussi une solution faible (cf. [9] p.175).
2. Si Ω est borné Lipschitzien et f ∈ C(Ω), on verra qu’il existe une unique solution
u au problème 35.1, mais si n 2, u n’est en général pas de classe C2
.
3. Lorsque Ω est suffisamment régulier (e.g. borné régulier de classe C1
), H1
0 (Ω)
coïncide avec les fonctions de H1
(Ω) qui s’annulent sur le bord ∂Ω, donc on ne
perd rien à chercher les u ∈ H1
0 (Ω). Par la suite on fait aussi peu d’hypothèses
que possible sur Ω mais on ne cherche que des solutions dans H1
0 (Ω).
Soit Ω un ouvert de Rn
et f ∈ H−1
(Ω). On appelle formulation variationnelle
au sens faible de 35.1 le problème consistant à chercher u ∈ H1
0 (Ω) tel que : a
∀v ∈ H1
0 (Ω),
Ω
u · vdx =
Ω
fvdx (35.2)
a. On peut de la même façon définir une formulation variationnelle au sens fort
(i.e. u, v ∈ C1
(Ω), f ∈ C(Ω)).
Définition 35.2 (Formulation variationnelle)

27. 400 Chapitre 35. Équations aux dérivées partielles
Remarque.
On rappelle que C∞
c (Ω) étant dense dans H1
0 (Ω), on peut identifier H1
0 (Ω) à un
sous-espace dense de D (Ω), que l’on note H−1
(Ω). On préfère en général cette iden-
tification à celle obtenue par le théorème de Riesz H1
0 (Ω) H1
0 (Ω) car elle permet
d’écrire D(Ω) → H1
0 (Ω) → L2
(Ω) → H−1
(Ω) → D (Ω) (alors que L2
(Ω) n’est pas
inclus dans H1
0 (Ω)...).
Soit Ω un ouvert de Rn
.
1. Si u ∈ H1
0 (Ω), f ∈ H−1
(Ω), alors u est solution faible de 35.1 s-si u est
solution faible de 35.2.
2. Si Ω est borné régulier de classe C1 a
, u ∈ C2
(Ω), f ∈ C(Ω), alors u est
solution forte de 35.1 s-si u est solution forte de 35.2.
a. Dans le sens fort, on fait cette hypothèse supplémentaire de façon à pouvoir appliquer
la formule de Green.
Proposition 35.3 (Equivalence des deux approches)
Démonstration
1. Sens fort : c’est une conséquence de la formule de Green.
2. Sens faible :
a) si u ∈ H1
0 (Ω) satisfait 35.2 alors ∀ϕ ∈ C∞
c (Ω),
Ω
u · ϕ =
Ω
fϕ. Or au sens
des distributions, on a
Ω
u · ϕ =
n
i=1
∂u
∂xi
∂ϕ
∂xi
= −
n
i=1
∂2
u
∂x2
i
ϕ = − ∆u, ϕ .
Par conséquent ∆u = −f. Par ailleurs, puisque u ∈ H1
0 (Ω), u est de trace nulle
sur ∂Ω, peu importe la régularité de Ω. Donc u satisfait 35.1.
b) Récip. si u ∈ H1
0 (Ω) satisfait 35.1 au sens des distributions, alors ∀ϕ ∈ C∞
c (Ω),
Ω
u · v =
Ω
fϕ donc par densité de C∞
c (Ω) dans H1
0 (Ω), u satisfait 35.2.
Cas où Ω est borné
Soit Ω un ouvert borné a
de Rn
et f ∈ H−1
(Ω). Alors
1. Il existe une unique solution u ∈ H1
0 (Ω) aux problèmes équivalents 35.1
et 35.2.
2. La solution u dépend continûment du paramètre f, i.e. il existe une
constante CΩ telle que u H1 CΩ f H−1
a. En fait, borné dans une direction est suffisant.
Proposition 35.4 (Exist. et unic. d’une sol. faible au pb variat.)

28. 35.1 Problèmes elliptiques linéaires 401
Démonstration Dans l’espace de Hilbert H1
0 (Ω), appliquer le théorème de Lax-Milgram à
la forme bilinéaire a : (u, v) →
Ω
u · v et à la forme linéaire L : v → f, v H−1,H1
0
:
1. a est continue, coercive : ça vient du fait que c’est en fait un produit scalaire, car Ω
étant borné, l’inégalité de Poincaré est vérifiée.
2. L est continue : par définition de H−1
(Ω), v → f, v H−1,H1
0
est continue.
Les hypothèses du théorème de Lax-Milgram sont vérifiées, donc il existe une unique solution
au problème 35.2 (en fait dans ce cas le théorème de Riesz-Fréchet suffit). Par ailleurs, comme
on a α u 2
H1 a(u, u) = L(u) f H−1 u H1 , on obtient ainsi u H1 α−1
f H−1 .
Remarques. 1. La raison pour laquelle le bon framework pour le problème 35.2
est de travailler dans H1
0 (Ω) et non dans X = {u ∈ C1
(Ω); u|∂Ω = 0} est
que l’espace X, muni du produit scalaire naturel pour ce problème (i.e. u, v =
Ω
u· v) n’est pas complet (ce n’est donc pas un espace de Hilbert). Les autres
conditions du théorème de Lax-Milgram étant réunies par ailleurs, il suffit donc
de travailler dans son complété, qui n’est autre que H1
0 (Ω).
2. Dans le cas où la condition sur ∂Ω est imposée par h = γ0(u0) avec u0 ∈ H1
(Ω)
(i.e. lorsque h ∈ L2
(Ω) est une trace d’un élément de H1
(Ω)), il suffit de poser
u = ˜u + u0, a(˜u, v) =
Ω
˜u · vdx et L(v) =
Ω
fvdx −
Ω
u0 · vdx, et on
résout le problème par le théorème de Lax-Milgram comme précédemment.
Soit Ω un ouvert borné de Rn
et f ∈ Hm
(Ω). Alors
u ∈ Hm+2
0 (Ω) et u Hm+2 C f Hm
en particulier, si m >
n
2
, alors u ∈ C2
(Ω). Si f ∈ C∞
(Ω) alors u ∈ C∞
(Ω).
Proposition 35.5 (Régularité des solutions faibles)
Démonstration On n’a pas besoin d’hypothèse supplémentaire sur la régularité de Ω car
les injections de Sobolev sont vraies pour Wm,p
0 (Ω) si Ω est quelconque. Si m = 0, i.e.
f ∈ L2
(Ω), alors au sens des distributions, on a ∆u = −f ∈ L2
(Ω) donc f ∈ H2
(Ω). Les
cas où m > 0 se démontrent de la même façon, et la régularité supplémentaire sur u lorsque
m > n/2 provient de la régularité des espaces de Sobolev en général pour m assez grand (cf.
injections de Sobolev 28.6).

29. 402 Chapitre 35. Équations aux dérivées partielles
35.1.2. Problème elliptique du 2è ordre avec condition aux limites
de Dirichlet homogène
Soit Ω un ouvert de Rn
. On cherche les fonctions u telles que :



−
n
i=1
n
j=1
∂
∂xi
aij(x)
∂u
∂xj
+
n
i=1
bi(x)
∂u
∂xi
+ a0(x)u = f sur Ω
u = 0 sur ∂Ω
(35.3)
où f, aij, bi, a0 sont des des fonctions données sur Ω.
Si de plus ∃C > 0 t.q. ∀x ∈ Ω p.p., ∀ξ ∈ Rn
,
n
i,j=1
aij(x)ξiξj C|ξ|2
, on dit
alors que le problème 35.3 est elliptique. Une solution u du problème 35.3 est
dite classique si u ∈ C2
(Ω), et faible si u ∈ H1
0 (Ω).
Définition 35.6 (Pbm elliptique du 2è ordre avec c.l.D. hmg)
Soit Ω un ouvert de Rn
, f ∈ H−1
(Ω) et aij, bi, a0 ∈ L∞
(Ω). On appelle
formulation variationnelle de 35.3 le pb consistant à chercher u ∈ H1
0 (Ω) :
∀v ∈ H1
0 (Ω), L(u, v) = f, v H−1,H1
0
(35.4)
où L(u, v) =
n
i=1
n
j=1 Ω
aij(x)
∂u
∂xi
∂v
∂xj
dx+
n
i=1 Ω
bi(x)
∂u
∂xi
vdx+
Ω
a0(x)uvdx
Définition 35.7 (Formulation variationnelle)
Soit Ω un ouvert borné de Rn
, f ∈ H−1
(Ω), aij, bi, a0 ∈ L∞
(Ω). Alors les
problèmes 35.3 et 35.4 sont équivalents et on a alors :
1. Si div(bi) 0 au sens des distributions et a0 0 p.p. sur Ω, alors le
problème 35.3 / 35.4 admet une unique solution u ∈ H1
0 (Ω).
2. Sinon il existe ε0 0 tel que dès que b L∞ + a0 L∞ ε0, le problème
35.3 / 35.4 admet une unique solution u ∈ H1
0 (Ω).
Proposition 35.8
Exemple. Le problème 35.3 peut donc avoir plusieurs solutions, ou n’en avoir aucune. Par
exemple, en dimension 1, le problème suivant admet {α sin(πx), α ∈ R} comme ensemble de
solutions.
−u − π2
u = 0 sur ]0, 1[
u(0) = u(1) = 0

30. 35.2 Problèmes d’évolution 403
Soit Ω un ouvert borné de Rn
, aij ∈ Cm+1
(Ω), bi, a0 ∈ Cm
(Ω), f ∈ Hm
(Ω)
satisfaisant les conditions de la proposition 35.8. Alors il existe une constante
CΩ telle que :
u ∈ Hm+2
0 (Ω) et u Hm+2 C f Hm
en particulier, si m >
n
2
, alors u ∈ C2
(Ω).
Si f, aij, bi, a0 ∈ C∞
(Ω) alors u ∈ C∞
(Ω).
Proposition 35.9 (Régularité des solutions faibles)
35.2. Problèmes d’évolution
35.2.1. Prototype de problème d’évolution parabolique : l’équation
de la chaleur
Soit Ω un ouvert de Rn
. On cherche à résoudre l’équation de la chaleur :



∂tu(x, t) = ∆u(x, t) sur Ω×]0, +∞[
u(x, 0) = u0(x) sur Ω en t = 0
u = 0 sur ∂Ω×]0, +∞[
(35.5)
sur (x, t) ∈ Ω × [0, +∞[ pour une condition initiale u0 donnée.
Définition 35.10 (Équation de la chaleur)
Soit Ω un ouvert de Rn
et u0 ∈ L2
(Ω). Alors il existe une unique solution de
l’équation de la chaleur 35.5 telle que
u ∈ C(R+; L2
(Ω)) ∩ C1
(R∗
+; L2
(Ω)) ∩ C(R∗
+; H2
(Ω) ∩ H1
0 (Ω))
De plus on a la régularisation parabolique suivante :
∀δ > 0, u ∈ C∞
(Ω × [δ, +∞[)
et la loi de conservation d’énergie :
∀T 0,
1
2
|u(T)|2
L2(Ω) +
T
0
| u(t)|2
L2(Ω)dt =
1
2
|u0|2
L2(Ω)
Théorème 35.11

31. 404 Chapitre 35. Équations aux dérivées partielles
Remarque. Utiliser Hille-Yosida, qui est plus puissant que l’analyse de Fourier qui
ne marche que si Ω est borné. Si Ω n’est pas borné, le spectre du laplacien est continu,
si Ω est borné, alors les vecteur propres de laplacien forment une base hilbertienne de
L2
(Ω).
35.2.2. Prototype de problème d’évolution hyperbolique :
l’équation des ondes
Soit Ω un ouvert de Rn
. On cherche à résoudre l’équation des ondes :



∂ttu(x, t) = ∆u(x, t) sur Ω
u(x, 0) = u0(x) sur Ω en t = 0
∂tu(x, 0) = v0(x) sur Ω en t = 0
u = 0 sur ∂Ω
(35.6)
sur (x, t) ∈ Ω × [0, +∞[ pour des conditions initiales u0 et v0 données.
Définition 35.12 (Équation des ondes)
Soit Ω un ouvert de Rn
, u0 ∈ H2
(Ω) ∩ H1
0 (Ω) et v0 ∈ H1
0 (Ω). Alors il existe
une unique solution de l’équation des ondes 35.6 telle que
u ∈ C(R+; H2
(Ω) ∩ H1
0 (Ω)) ∩ C1
(R+; H1
0 (Ω)) ∩ C2
(R+; L2
(Ω))
On a la loi de conservation d’énergie :
∀t 0,
∂u
∂t
(t)
2
L2(Ω)
+ | u(t)|2
L2(Ω) = |v0|2
L2(Ω) + | u0|2
L2(Ω)
Si de plus ∀k ∈ N, u0, v0 ∈ Hk
(Ω) et ∆k
u0 = ∆k
v0 = 0 sur ∂Ω, alors
u ∈ C∞
(Ω × [0, +∞[).
Théorème 35.13

32. 44.2 Prolongement de la fonction Gamma d’Euler 497
lim
N→+∞
N
n=1
wn − wn−1
n
−
wN
N + 1
= lim
N→+∞
N
n=1
an
Donc −a0 =
∞
n=1
an ce qui achève la démonstration du théorème.
Soit f ∈ C2
([0, 1[, R) telle que f(x) =
x→1−
o(1) et f (x) =
x→1−
O
1
(1 − x)2
.
Alors f (x) =
x→1−
o
1
1 − x
Lemme 44.6
Démonstration Soit x ∈ [0, 1[ et x = x + δ(1 − x) avec 0 < δ <
1
2
. D’après le théorème
de Taylor, il existe ξ tel que x < ξ < x tel que :
f(x ) = f(x) + δ(1 − x)f (x) +
1
2
δ2
(1 − x)2
f (ξ)
ce qui permet d’écrire
(1 − x)f (x) =
f(x ) − f(x)
δ
+
1
2
δ(1 − x)2
f (ξ)
=
x→1−
f(x ) − f(x)
δ
+ δO(1)
car f (ξ) =
x→1−
O
1
(1 − ξ)2
=
x→1−
O
1
(1 − x)2
En choisissant δ suffisamment petit, puis x suffisamment proche de x, on peut donc rendre
(1 − x)f (x) aussi petit que souhaité, donc (1 − x)f (x) =
x→1−
o(1).
44.2. Prolongement de la fonction Gamma d’Euler
Soit P = {z ∈ C; Re(z) > 0} et Γ(z) =
∞
0
e−t
tz−1
dt. La fonction Γ est
holomorphe sur P.
Théorème 44.7 (Fonction Gamma d’Euler)