Slide pdf d’un cours sur l’optimisation.

1. Chapitre 3 : Optimisation
Vous vous promenez sur un chemin de montagne.
Vous désirez aller le plus haut possible,
Vous suivez le chemin indiqué.
à la fin de la journée, vous désirez savoir quel est le point de plus haute altitude ou de plus basse
altitude par lequel vous êtes passé.
L’altitude est une fonction h de deux variables, la position (x, y) sur la carte.
Dans le premier cas, vous cherchez
‘atrouver le maximum de la fonction h.
Dans le deuxième cas, le chemin est représenté par une contrainte entre x et y donnée par
une équation g(x, y) = 0. La question est donc de trouver les points (x0, y0) vérifiant
g(x0, y0) = 0 tels que h soit extrémale en (x0, y0) parmi les points vérifiant g(x, y) = 0.
Un problème d’optimisation étant donné, deux questions se posent :
existe-t-il des solutions ?
Comment calculer les solutions éventuelles ?
La théorie de l’optimisation affronte donc deux problèmes classiques en mathématiques : celui de
l’existence et celui des méthodes de recherche. A priori, un problème d’optimisation peut
n’admettre aucune solution ou en admettre au moins une. En toute généralité, aucun argument
mathématique ne garantit l’existence de solution(s). On dispose cependant d’une condition
suffisante grâce au théorème de Weirstrass, qui ne concerne que les fonctions continues sur un
sous-ensemble de Rn qui est fermé et borné.
1

2. 3.1 Fonctions de plusieurs variables
Objectif : Étudier la dépendance de grandeurs en fonctions de plusieurs paramètres.
La température T en un point
‘ala surface la terre à n’importe quel moment dépend de la longitude x et le la latitude y du
point. T peut donc être vue comme une fonction des deux variables x et y.
Surface d’un rectangle en fonction de sa longueur et sa largeur.
R2 −→ R
(x, y) −→ xy
Surface et volume d’un parrallépipède en fonction de sa longueur, sa largeur et sa hauteur :
R3 −→ R2
(x, y, z) −→ 2(xy + yz + xz), xyz
Coordonnées polaires d’un point du plan
R+ × [0, 2π[ −→ R2
(r, θ) −→ (r cos θ, r sin θ)
2

3. Coordonnées cylindriques d’un point de l’espace
R+ × [0, 2π[×R −→ R3
(r, θ, z) −→ (r cos θ, r sin θ, z)
Loi des gaz parfaits. En notant P, V et T les trois variables d’états (pression, volume,
température) de la thermodynamique, la loi s’écrit
PV = nRT,
o
‘u n désigne la quantité de matière contenue dans le volume V et R la constante des gaz
parfaits. En général, on recherche l’équation d’état d’un système qui s’écrit f (P, V , T) = 0, o
‘u f est une fonction des trois variables P, V et T. Ici, on a : f (P, V , T) = PV − nRT.
Équation d’état de Van der Waals, (Prix nobel de Physique, 1910). Pour une mole de gaz,
on a la relation
(P +
a
V 2
)(V − b) = RT,
o
‘u a et b désignent la pression de cohésion et le covolume. Cette relation traduit l’existence
de forces d’interaction entre les molécules de gaz. La fonction d’état s’écrit dans ce cas :
f (P, V , T) = (P + a
V 2 )(V − b) − RT.
3

4. Représentation graphique d’une fonction de deux variables
Soit f , une fonction de deux variables définie sur un domaine U ⊂ R2. L’ensemble des
points de coordonnées (x, y, z) avec z = f (x, y), pour (x, y) dans U est appelé surface
d’équation z = f (x, y).
Définition 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Z
−3
−2
−1
0
1
2
3 X
−3
−2
−1
0
1
2
3
Y
−1.0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Z −3
−2
−1
0
1
2
3
X
−3
−2
−1
0
1
2
3
Y
Fig : U = [−3, 3] × [−3, 3] ;
‘agauche f (x, y) = x2 + y2 et
‘adroite f (x, y) = sin(x) cos(y).
4

5. Les courbes de niveaux d’une fonction f de R2 dans R sont les courbes d’équations
f (x, y) = k, avec k une constante.
Définition 2
Fig :
‘agauche, courbe de niveau d’altitude,
‘adroite courbe de niveau de la fonction f (x, y) = sin(x) cos(y).
5

6. Dans ce qui suit :
on munit Rd de la norme euclidienne i.e pour x = (x1, · · · , xd ) ∈ Rd , ∥x∥ =
qPd
i=1 x2
i ,
dans R2, U désignera le rectangle ]a, b[×]c, d[,
dans R3, U désignera le parallépipède ]a, b[×]c, d[×]e, f [.
3.2 Limites, continuité, différentiabilité
On se place dans Rd avec d = 2, 3 et on note f une fonction de U dans R.
1 f admet une limite en a s’il existe l ∈ R tel que
∀ε 0, ∃α 0, ∀x ∈ U, ∥x − a∥ α ⇒ |f (x) − l| ε.
2 Soit a ∈ U. Alors f est continue en a si
lim
x→a
f (x) = f (a).
Si f est continue en tout point de U, on dit que f est continue sur U.
Définition 3 (Limite et continuité)
6

7. 1 La somme et le produit de deux applications continues de Rd dans R sont
continues.
2 La composée d’une application continue de Rd dans R par une application
continue de R dans R est continue.
Proposition 1
On dit que f est différentiable en a ∈ Rd s’il existe une application linéaire ℓ de Rd dans
R t.q
∀h ∈ U, f (a + h) = f (a) + ℓ(h) + ϕ(h),
avec ∥ϕ(h)∥ = o(∥h∥) i.e. lim
h→0
∥ϕ(h)∥
∥h∥
= 0.
L’application ℓ, si elle existe, est unique et s’appelle différentielle de f en a, ou application
linéaire tangente de f en a.
Définition 4

8. Soit a = (x0, y0, z0) ∈ R3 et soit f : U −→ R.
La première application partielle de f en a est la fonction f1,a : t → f (t, y0, z0),
La deuxième application partielle de f en a est la fonction f2,a : t → f (x0, t, z0),
La troisième application partielle de f en a est la fonction f3,a : t → f (x0, y0, t).
Définition 5 (Applications partielles)
Si la première (resp. la deuxième, la troisième) application partielle de f en
a = (x0, y0, z0) est dérivable en x0 (resp. en y0, z0), on dit que f admet une
dérivée partielle par rapport
‘ax (resp y, z) en a. On la note
∂f
∂x
(a) (resp.
∂f
∂y
(a),
∂f
∂z
(a)).
Si f admet une dérivée partielle par rapport à x (resp. y, z) en tout point de U
alors on définit la fonction
∂f
∂x
: U −→ R, (resp. ∂f
∂y
: U −→ R, ∂f
∂z
: U −→ R).
Définition 6 (Dérivées partielles)
Notation : On note aussi la dérivée partielle par rapport
‘ax : ∂x .
Soit f une application définie sur U
‘avaleurs dans R. On dit que f est continûment différentiable sur U si ses dérivées
partielles vues comme des fonctions de Rd dans R sont continues en tout point de U.
Définition 7

9. Soit f : U → R une fonction différentiable en (x0, y0). L’équation du plan tangent au
graphe de la fonction f (x, y) en (x0, y0) est
L(x, y) = f (x0, y0) + (x − x0)∂x f (x0, y0) + (y − y0)∂y f (x0, y0).
Définition 8 (Plan tangent et linéarisation)
Si on approche une fonction f au voisinage d’un point (x0, y0)
‘al’aide d’une fonction affine, il est naturel de choisir une fonction dont le graphe est tangent au
graphe de la fonction f en (x0, y0). C’est ce qu’on appelle la linéarisation de f .
9

10. 3.4 Dérivées d’ordre 2, gradient, laplacien
Soit f une application deux fois continûment différentiable sur U
‘avaleurs dans R. Pour tout i, j = 1, · · · , d on a
∂
∂xi
(
∂f
∂xj
) =
∂
∂xj
(
∂f
∂xi
).
Théorème 1 (de Schwarz)
On note
∂2f
∂xi ∂xj
la dérivée partielle seconde par rapport
‘a xi et xj .
On appelle matrice hessienne de l’application f : U → R
H =







∂2
f
∂x2
∂2
f
∂x∂y
∂2
f
∂x∂z
∂2
f
∂x∂y
∂2
f
∂y2
∂2
f
∂y∂z
∂2
f
∂x∂z
∂2
f
∂y∂z
∂2
f
∂z2







Définition 9
Si f : U → R admet des dérivées partielles continues jusqu’
‘al’ordre k ≥ 1, on dit que f est de classe Ck sur U.
Définition 10
10

11. Soit f : U → R une application deux fois continûment différentiable. On appelle
1 Gradient de f , le vecteur, noté ∇f ,
∇f =



∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z


 .
2 Laplacien de f , le réel, noté ∆f
∆f =
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
.
Définition 11
De nombreux phénomènes physiques se modélisent par des équations faisant intervenir les
dérivées partielles de la fonction solution de l’équation. De telles équations sont appelées
équations aux dérivées partielles.
L’équation de Laplace (1749-1827)
∆f = 0,
introduite pour décrire l’attraction de sphéroı̈de, est aujourd’hui utilisé pour décrire certains
phénomènes en astronomie, mécanique des fluides, électrostatiques, etc ... Les solutions de
cette équation sont appelées fonctions harmoniques.
Par exemple si l’on considère un corps homogène dans l’espace, en notant f (t, x, y, z) la
température au temps t au point de coordonnées (x, y, z), il a été établi que f doit être
solution de l’équation aux dérivées partielles suivante, appelée équation de la chaleur :
∂f
∂t
=
λ
ρ Cp
∆f ,
11

12. 3.5 Convexité
Un ensemble C est dit convexe lorsque, pour tous x et y de C, le segment [x, y] est
entièrement contenu dans C, c’est-à-dire :
∀x, y ∈ C ∀t ∈ [0, 1] tx + (1 − t) y ∈ C.
Définition 12
Soit D un sous-ensemble convexe de R2 et f : D → R une fonction.
f est convexe dans D si : ∀(x0, y0), (x1, y1) ∈ D et ∀t ∈ [0; 1],
f ((1 − t)(x0, y0) + t(x1, y1)) ≤ (1 − t)f (x0, y0) + tf (x1, y1),
f est strictement convexe dans D si ∀(x0, y0), (x1, y1) ∈ D et ∀t ∈ [0; 1],
f ((1 − t)(x0, y0) + t(x1, y1)) (1 − t)f (x0, y0) + tf (x1, y1),
Définition 13 (Fonction convexe)
Comme pour les fonctions d’une variable, la concavité et la convexité des fonctions de n variables
suffisamment régulières peuvent être caractérisées à l’aide des dérivées d’ordres 1 ou 2.
12

13. Soit D un sous-ensemble convexe de R2 et f : D → R une une fonction différentiable
dans D. Alors
1. f est convexe dans D si et seulement si : ∀(x0, y0), (x1, y1) ∈ D,
f (x1, y1) ≥ f (x0, y0) + (x1 − x0)∂xf (x0, y0) + (y1 − y0)∂y f (x0, y0);
Si, de plus, f ∈ C2(D), alors
1. f est convexe dans D si et seulement si ∀(x, y) ∈ D,
Hf (x, y) est semi-définie positive (i.e. det(Hf (x, y)) ≥ 0 et ∂xx f (x, y) ≥ 0);
2. Si pour tout (x, y) ∈ D, Hf (x, y) est définie négative (i.e. det(Hf (x, y)) 0 et
∂xx f (x, y) 0), alors f est strictement convexe dans D ;
Proposition 2
Les deux premiers énoncés expriment que tout plan tangent au graphe d’une fonction convexe se
trouve au-dessous de ce graphe. Les deux derniers, relatifs à la matrice hessienne, rappellent celui
qui fait référence au signe de la dérivée seconde d’une fonction d’une seule variable. De la même
manière, la condition stricte ne s’applique que dans un seul sens. Dès lors, une fonction peut être
strictement convexe sans que sa matrice hessienne soit définie positive
13

14. 3.6 Extrema
Objectif : Étudier les variations d’une fonction de Rn dans R et déterminer les éventuels points
de l’espace o
‘u elle atteint ses maxima et minima.
1 Soit U un ouvert de Rn, f une fonction définie sur U et a un point de U. On dit
que f admet un maximum (resp. un minimum) local en a si il existe un voisinage V
de a tel que
∀x ∈ U ∩ V, f (x) ≤ f (a) (resp f (x) ≥ f (a)).
2 On parlera de maximum (resp. minimum) strict si les définitions précédentes sont
vraies en remplaçant les inégalités larges par les inégalités strictes.
3 On dit que f admet un extremum local au point a si elle admet en ce point un
maximum ou un minimum local.
Définition 14
Supposons f continûment différentiable sur U. Soit a un point de U. Si f admet un
maximum local ou un minimum local en a alors
∇f (a) = 0.
Théorème 2 (Condition nécessaire.)
Remarque : Cette condition du premier ordre est une condition nécessaire mais, en général, elle
n’est pas suffisante ; un point candidat n’est pas forcément un extremum.
14

15. Les points du plan o
‘u le gradient de f s’annule sont appelés points critiques (ou stationnaires) de f .
Définition 15
Nature d’un point critique
La condition du premier ordre signifie géométriquement que le plan tangent
‘ala surface d’équation z = f (x, y) au point (x0, y0) de coordonnées (x0, y0, f (x0, y0)) est
horizontal. Après avoir déterminé un point critique x0, on peut alors déterminer sa nature en
étudiant le signe de la différence
d(h) = f (x0 + h) − f (x0).
Si cette différence est :
de signe constant pour h voisin de 0, il s’agit d’un extrémum local (un maximum si d 0,
un minimum si d 0),
sinon, il s’agit d’un point-col (ou point-selle),
si le signe est constant pour h quelconque, alors l’extrémum est global.
Calcul des extrema d’une fonction f continue dans l’ensemble Ū = [a, b] × [c, d]
fermé borné.
On calcul la valeur de f en les points critiques de f dans l’ouvert U,
on calcul la valeur de f en les points critiques de f sur le bord de Ū,
on calcul la valeur de f en les points de non dérivabilité (s’il en existe).
La plus grande valeur donne le maximum global, la plus petite le minimum global.
15

16. Soit f une fonction de classe C2 sur un ouvert U et (x0, y0) un point critique ; posons
det(Hf (x0, y0)) = ∂xx f (x0, y0)∂yy f (x0, y0) − ∂xy f (x0, y0)
2
,
Si det(Hf (x0, y0)) 0,alors f présente un extrémum local en (x0, y0) ; il s’agit
▶ d’un maximum si ∂xx f (x0, y0) 0
▶ d’un minimum si ∂xx f (x0, y0) 0 ;
si det(Hf (x0, y0)) 0, alors f présente un point-selle (ou point-col) en (x0, y0) ; ce
n’est pas un extrémum ;
si det(Hf (x0, y0)) = 0, on ne peut pas conclure
‘apartir des dérivées secondes.
En résumé, si ∂x f (x0, y0) = 0 et ∂y f (x0, y0) = 0, la nature du point critique (x0, y0) est
déterminée par le tableau suivant :
det(Hf (x0, y0)) ∂xx f (x0, y0) Nature de (x0, y0)
+ + minimum local
+ - maximum local
- point-selle
0 on ne peut pas conclure
Théorème 3 (Condition suffisante d’extrémum local dans un ouvert (cas de 2 variables))
16

17. Extrema liés
Questions : Parmi les parallépipèdes de surface fixée, lesquels ont un volume maximal ?
Il s’agit de la recherche d’extrema liés, également appelé extrema sous contrainte.
En économie, l’optimisation sous contraintes permet de déterminer une situation optimale :
comment
maximiser le profit,
minimiser les dépenses,
maximiser le bien-être, ...
sous une certaine contrainte :
budget limité,
bien-être minimum requis, ....
Quelle quantité de chaque bien vais-je acheter pour maximiser mon bien-être, étant donné ma
contrainte budgétaire ?
Considérons par exemple un consommateur qui a a le choix entre deux biens (pommes et
bananes) : il peut acheter c pommes et/ou h bananes. Sachant qu’une banane coûte ph = 4
euros et une pomme coûte pc = 2 euros et que notre consommateur a un budget de 16 euros par
jour pour manger (i.e. cpc + hph ≤ 16), il a donc le choix entre diverses combinaisons.
Pour trouver quelle est la consommation optimale pour lui, notre consommateur va essayer de
mesurer le bien-être (ce que l’on appelle en économie la fonction utilité u : R2 → R qui est une
fonction des deux biens c et h) des options possibles et choisir l’option (i.e. c0 et h0) qui
maximise son bien-être (i.e. la valeur u(c0, h0)) tout en respectant sa contrainte de budget.
17

18. Le bien-être procuré par chaque dose supplémentaire d’un bien consommé va en diminuant et
devient nul à partir d’un certain seuil appelé point de satiété.
Cette relation non-linéaire du bien-être permet d’introduire ce que l’on appelle les courbes
d’indifférence, qui représentent toutes les combinaisons de deux biens apportant le même
bien-être final (i.e. les courbes de niveau de la fonction utilité u).
Problèmatique : Déterminer les extrema d’une fonction de n variables, notée f (x),
mathématiquement définie dans un domaine ouvert U ⊂ Rn, mais dont
les variables sont soumises aux m contraintes g1(x) = 0, g2(x) = 0, · · · , gm(x) = 0, où les
fonctions gj sont également définies dans U. Ces contraintes délimitent le sous-ensemble C de
U dans lequel l’optimum est recherché.

19. La fonction f , appelée fonction objectif, admet en x0 ∈ C un maximum lié (resp. un
minimum lié) sous les contraintes g1(x) = 0, g2(x) = 0, · · · , gm(x) = 0, si en ce point
elle admet un maximum libre (resp. un minimum libre) dans le domaine
C = {x ∈ U, g1(x) = · · · = gm(x) = 0}.
Définition 16 (Optimisation liée)
On définit la fonction lagrangien par :
L : U × Rm −→ R
(x, λ) −→ f (x) −
m
X
i=1
λi gi (x).
Définition 17
Les réels λ1, · · · , λk sont appelés multiplicateurs de Lagrange.
Définition 18
Dans ce qui suit nous ne considérerons que le cas de deux variables (n = 2) et d’une seule
contrainte (m = 1).
19

20. Cas d’une seule contrainte : C = {x ∈ U, g1(x, y) = 0}.
Soient f et g deux fonctions continûment différentiable sur leur domaine de définition.
Soit P0 = (x0, y0) un point intérieur à Df et Dg . Si P0 est un point d’extremum local
de f sur C = {(x, y) ; g1(x, y) = 0}, et ∇g1(x0, y0) ̸= (0, 0)T alors il existe un scalaire
λ0 ∈ R tel que :
∇f (x0, y0) = λ0∇g1(x0, y0)
P0 est appelé point stationnaire de f sur C et λ0 est appelé multiplicateur de Lagrange
associé.
Théorème 4 (Condition nécessaires du premier ordre.)
Demonstrations. Démontrons dans le cas particulier où g1(x, y) = ax + by + c. Ainsi ∇g1(x0, y0) = (a, b)T
et
g1(x, y) = 0 ssi y = − a
b x − c. On a ainsi écrit y comme une fonction de x, ce qui permet de définir la fonction
d’une seule variable ˜
f (x) = f (x, y(x)). On a alors
˜
f
′
(x) =
df (x, y(x))
dx
= ∂x f (x, y(x)) + ∂y f (x, y(x))y
′
(x) = ∂x f (x, y(x)) −
a
b
∂y f (x, y(x)).
Donc ˜
f ′
(x) = 0 équivaut
‘a 1
a ∂x f (x, y(x)) = 1
b ∂y f (x, y(x)). En remarquant que a = ∂x g1(x, y) et que b = ∂y g1(x, y) et en notant
λ := 1
a ∂x f (x, y(x)) = 1
b ∂y f (x, y(x)), on obtient
∂x f (x, y(x)) − aλ = ∂x f (x, y(x)) − a∂x g1(x, y) = 0
∂y f (x, y(x)) − bλ = ∂x f (x, y(x)) − b∂y g1(x, y) = 0
Autrement dit, ∇f (x, y) = λ∇g1(x, y).
20

21. Soient f et g deux fonctions continûment différentiable sur leur domaine de définition.
Soit V un voisinage d’un point stationnaire de P0 = (x0, y0) de f sous la contrainte
C = {(x, y) ; g1(x, y) = 0} associé au multiplicateur de Lagrange λ0. Posons L0(x, y) =
f (x, y) − λ0g1(x, y).
1. si P0 est un minimum local libre de L0 alors P0 est un minimum local sur C de la
fonction f ,
2. si P0 est un maximum local libre de L0 alors P0 est un maximum local sur C de la
fonction f ,
3. sinon on ne peut rien dire...
Proposition 3
Démonstration. Supposons que P0 = (x0, y0) soit un maximum local libre de L0 (Démonstration analogue si
P0 minimum local). Il existe donc un voisinage V de (x0, y0) tel que : pour tout
(x, y) ∈ V, L0(x, y) ≤ L0(x0, y0). Notons que pour tout point (x, y) sur la contrainte, et tout λ ∈ R,
L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) = f (x, y).
Considérons maintenant un point (x, y) ∈ V et vérifiant la contrainte g(x, y) = 0. Par la remarque précédente,
L0(x, y) = L(x, y, λ0) = f (x, y) et comme (x0, y0) est sur la contrainte,
L0(x0, y0) = L(x0, y0, λ0) = f (x0, y0), or L0(x, y) ≤ L0(x0, y0), donc f (x, y) ≤ f (x0, y0).
21

22. Soient f et g de classe C2 dans un ouvert U de R2 et soient (x0, y0, λ0) un point critique
du lagrangien L. On pose
∆(x0, y0, λ0) = ∂xx L(x0, y0, λ0)∂yy L(x0, y0, λ0) − ∂xy L(x0, y0, λ0)
2
.
Si ∆(x0, y0, λ0) 0, ∂xx L(x0, y0, λ0) 0 et ∂yy L(x0, y0, , λ0) 0 on a un
maximum local en (x0, y0) ;
si ∆(x0, y0, λ0) 0, ∂xx L(x0, y0, λ0) 0 et ∂yy L(x0, y0, , λ0) 0 on a un
minimum local en (x0, y0) ;
si ∆(x0, y0, λ0) = 0 on ne peut pas conclure directement.
En résumé :
det(∆(x0, y0, λ0)) ∂xx f (x0, y0, λ0) ∂yy f (x0, y0, λ0) Nature de (x0, y0)
+ + + minimum local
+ - - maximum local
0 on ne peut pas conclure
Théorème 5 (Condition du second ordre)
Lorsque ∆(x0, y0, λ0) = 0 on étudie le signe de la différence
d(h, k) = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0), avec h et k liés par la relation g(x0 + h, y0 + k) = 0.
Si cette différence est de signe constant pour (h, k) voisin de (0, 0), il s’agit d’un extremum local
(un maximum si d 0, un minimum si d 0). Sinon, f ne présente pas d’extremum local en
(x0, y0).
22

23. Exemple I
Déterminer les extrema de la fonction f : R2
→ R définie par f (x, y) = 4x2
+ y2
dans le disque {x2
+ y2
≤ 4}.
1. Étude de f dans l’ouvert, i.e. l’ensemble {(x, y) ∈ R2
, x2
+ y2
4} :
Recherche des points critiques de f
∇f (x, y) =
8x
2y
donc
∇f (x, y) =
0
0
⇐⇒
x = 0
y = 0
L’unique point critique de f est le point (x0, y0) = (0, 0).
Étude de la nature du point critique par matrice Hessienne
∂xx f (x, y) = 8 0, ∂yy f (x, y) = 2 0, ∂xy f (x, y) = 0 donc
Hf (x0, y0) =
8 0
0 2
, et det(Hf (x0, y0)) = 16 0.
Conclusion : le point (0, 0) est un minimum local de f .
Autre méthode : Étude directe de la nature du point critique. On étudie le signe de la différence au
voisinage du point critique :
d(h, k) := f (x0+h, y0+k)−f (x0, y0) = 4(x0+h)
2
+(y0+k)
2
−4x
2
−y
2
0 = 4h
2
+k
2
≥ 0, pour (h, k) ≈ (0, 0).
Puisque d(h, k) ≥ 0, on conclut que le point (x0, y0) est un minimum local de f .
Conclusion : (0, 0) est un minimum local de f et f (0, 0) = 0 ; comme f (x, y) 0 = f (0, 0) pour tout
(x, y) ̸= (0, 0), on conclut que (0, 0) est point en lequel f atteint un minimum global.
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24. Exemple II
2. Étude de f sur le bord, i.e. dans l’ensemble {(x, y) ∈ R2
, x2
+ y2
= 4}.
On pose g(x, y) = x2
+ y2
− 4 et on définit le lagrangien par
L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) = 4x2
+ y2
− λ(x2+
y2
− 4).
Recherche des points critiques de L
∇L(x, y, λ) =


8x − 2λx
2y − 2λy
4 − x2
− y2

 , donc ∇L(x, y, λ) =


0
0
0

 , ⇐⇒



2x(4 − λ) = 0
2y(1 − λ) = 0
x2
+ y4
= 4
Les points critiques de L sont les points
(x1, y1, λ1) = (2, 0, 4), (x2, y2, λ2) = (−2, 0, 4), (x3, y3, λ3) = (0, 2, 1), (x4, y4, λ4) = (0, −2, 1).
Étude de la nature des points critiques : On a
On pose ∆(x, y, λ) = ∂xx L(x, y, λ) × ∂yy L(x, y, λ) − (∂xy L(x, y, λ))2
.
On obtient pour tout i = 1, · · · , 4 que ∆(xi , yi , λi ) = 0.
Conclusion : la méthode du lagrangien permet seulement de trouver les candidats extrema de f sous la
contrainte g mais ne permet pas de conclure s’ils sont effectivement des extrema.
Étude directe de la nature des points critiques Il suffit d’étudier le signe de la fonction
di (h, k) = f (xi + h, yi + k) − f (xi , yi ), i = 1, 2, 3, 4,
pour (h, k) ≈ (0, 0), et g(xi + h, yi + k) = 0.
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