exercices sur integrale

1. 1. Questions de cours
(a) Formule de Taylor avec reste int´gral
e
(b) Continuit´ et d´rivabilit´ d’une int´grale d´pendant d’un param`tre
e
e
e
e
e
e
(c) Sommes de Riemann d’une fonction continue
2. Soit
un une s´rie r´elle semi-convergente (ie convergente sans ˆtre absolument convergente). Soit l ∈ R.
e
e
e
Montrer qu’il existe une permutation ϕ : N → N telle que
uϕ(n) converge vers l.
1
1
3. Faire un d´veloppement asymptotique ` l’ordre 3 des nombres harmoniques Hn = 1 + 2 + . . . + n .
e
a
4. In´galit´ de Jensen
e
e
1
Soit ϕ : R → R une fonction convexe continue, f : [0,1] → R une fonction continue. Comparer 0 ϕ(f (t))dt
1
et ϕ( 0 f (t)dt).
b
5. Soit n ∈ N∗ et f ∈ C 0 ([a,b[,R) telle que : ∀k ∈ N, k ≤ n, on ait : a tk f (t)dt = 0. Montrer que f admet au
moins n + 1 z´ros sur ]a,b[.
e
6. Lemme d’Hadamard
Soit f ∈ C ∞ (R,R). On d´finit g par : ∀x ∈ R∗ , g(x) = f (x)−f (0) , g(0) = f (0). Montrer que g est de classe
e
x
C ∞ sur R, et pr´ciser les d´riv´ees successives en 0.
e
e e
7. Pour tout a ∈] − 1, + ∞[, calculer :
π
2
F (a) =
0
ln(1 + a cos x)
dx.
cos x
8. Irrationnalit´ de π 2
e
(a) Soit g : R → R une fonction polynˆme ` coefficients entiers. On consid`re la fonction polynˆme
o
a
e
o
n
g(x)
h : x → x n! . Montrer que : ∀k ∈ N, h(k) (0) est entier.
(b) On suppose que π 2 est rationnel, ie π 2 = a/b, o` a et b sont des entiers. On pose :
u
fn : [0,1] → R
n
n .
x → x (1−x)
n!
1
Pour tout n ∈ N∗ , montrer que In = πan 0 fn (x) sin(πx)dx est un entier. Conclure.
9. Etude d’une fonction d´finie par une int´grale
e
e
x2 dt
On pose f (x) = x ln t .
- Domaine de d´finition de f ?
e
- D´riv´e de f , sens de variation.
e e
- Etude au voisinage du point 1 : continuit´? d´rivabilit´?
e e
e
- Mˆme ´tude en 0.
e
e
- Limite de f en +∞.
- Graphe de la fonction f .
1

2. 10. Th´or`me de Weierstrass : une preuve par la convolution
e e
On note E l’ev des fonction continues de R dans R et nulles en dehors d’un compact. On munit E du produit
de convolution en d´finissant, pour tout (f,g) ∈ E 2 la convol´e :
e
e
f
g: R → R
+∞
x → −∞ f (x − t)g(t)dt
(on pourra remarquer que l’int´grale est en fait ` borne finies)
e
a
(a) Montrer que la loi est commutative, et distributive par rapport ` l’addition.
a
(b) Que dire de la r´gularit´ de f g si :
e
e
- f et g sont continues.
- Une des deux fonctions est continue, et l’autre est C k .
(c) On appelle approximation de l’identit´ toute suite (χn ) de fonctions de E positives v´rifiant :
e
e
+∞
χn (t)dt = 1, et ∀α > 0
−∞
Soit f ∈ E. Montrer que la suite de fonctions (f
(d) Pour tout n ∈ N, on pose :
lim
n→+∞
χn ) converge uniform´ment vers f sur R.
e
1
(1 − t2 )n dt, pn : R → R t →
an =
−1
χn (t)dt = 0.
|t|>α
(1 − t2 )n /an
0
si |t| < 1
sinon.
Montrer que pn est une approximation de l’identit´. Montrer que si f est nulle en dehors de I =
e
[−1/2,1/2], f pn est une fonction polynˆme sur I.
o
(e) En d´duire le th´or`me de Weierstrass : si J est un segment de R et si f : J → R est continue, alors f
e
e e
est limite uniforme sur J d’une suite de fonctions polynˆmes.
o
1
(f) Application : Soit f : [0,1] → R une fonction continue, telle que, ∀n ∈ N, 0 f (t)tn dt = 0. Montrer que
f est la fonction nulle.
(g) Que dire d’une fonction f qui serait limite uniforme d’une suite de fonctions polynˆmes sur R.
o
2