Analyse 3: Suites et Séries de Fonctions

1. Module Analyse III
Chapitre 2
Suites et Séries de
Fonctions
Pr. Abdessamad KAMOUSS
2020-2021

2. Plan
1 Suites de fonctions
2 Séries de fonctions

3. I) Suites de fonctions
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies de I ⊂ R vers K = R
ou C et soit f une fonction définie de I vers K.
1) Convergence simple
Definition
On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si
∀x ∈ I : lim
n→+∞
fn(x) = f(x)
Autrement dit si :
∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃N ∈ N tq ∀n ≥ N : |fn(x) − f(x)| < ε

4. Exemples
a- fn(x) = xn
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N
...
...
b- fn(x) =
1
n
sin(nx) , x ∈ R et n ∈ N
...
...

5. 2) Convergence uniforme
Definition
On dit que (fn) converge uniformément vers f sur I si
lim
n→+∞
sup
x∈I
|fn(x) − f(x)| = 0
Autrement dit si :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀x ∈ I : |fn(x) − f(x)| < ε
Remarques
Si fn
CVU
−
−
−
→ f alors fn
CVS
−
−
→ f, la réciproque est fausse en
général.
Pour étudier la convergence uniforme de (fn), on détermine
d’abord sa limite simple.

6. Exemples
a- fn(x) = xn
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗
...
b- fn(x) =
1 + nx
x + n
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗
...

7. Théorème (Critère de Cauchy uniforme)
(fn) converge uniformément vers f sur I ssi :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀p, q ≥ N sup
x∈I
|fq(x) − fp(x)| < ε
Théorème
Si (fn) CVU vers f sur I alors pour toute suite (xn) de points de I,
on a lim
n→+∞
(fn(xn) − f(xn)) = 0
Preuve
........
Remarques
Pour montrer que (fn) ne converge pas uniformément vers f sur I,
il suffit de trouver une suite (xn) de points de I telle que
lim
n→+∞
(fn(xn) − f(xn)) 6= 0

8. Exemple
fn(x) =
2
3 + n2x2
, x ∈]0, +∞[ et n ∈ N
......
3) Théorème de continuité
Théorème
Si (fn) CVU vers f sur I et si les fonctions (fn) sont continue sur I,
alors f est continue sur I et on a :
∀x0 ∈ I : lim
n→+∞
lim
x→x0
fn(x) = lim
x→x0
lim
n→+∞
fn(x)
Remarque
On utiluse souvent la contraposée : si f n’est pas continue sur I
alors fn ne converge pas uniformément vers f sur I.
Exemple
fn(x) = xn
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗
......

9. 4) Théorème d’intégration
Théorème
Si (fn) CVU vers f sur [a, b] et si les fonctions (fn) sont integrables
sur [a, b], alors f est integrable sur [a, b] et on a :
lim
n→+∞
Z b
a
fn(x)dx =
Z b
a
lim
n→+∞
fn(x)dx
Remarques
Ce théorème montre qu’on peut échanger la limite et
l’intégrale si les fonctions intégrables (fn) CVU vers f sur
[a, b].
Si f ne CV pas uniformément vers f alors le théorème n’est
pas appliquable.

10. Exemple
fn(x) =
1 + nx
x + n
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗
......

11. 5) Théorème de dérivation
Théorème
Si (fn) CVS vers f sur I et si les fonctions (fn) sont dérivables sur I
et (f0
n) CVU sur I, alors f est dérivable sur I et on a :
lim
n→+∞
fn(x)
0
= lim
n→+∞
f0
n(x)
Remarque
La CVU de (fn) vers f sur I n’est pas suffisant pour la dérivabilité
de f sur I. La CVU de (f0
n) sur I est une condition nécessaire.
Exemple
fn(x) =
r
x2 +
1
n
, x ∈ R et n ∈ N∗
......

12. II) Séries de fonctions
1) Définitions et notations
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies de I ⊂ R vers K = R
ou C. Considérons la suite de fonctions (Sn)n∈N définie par :
Sn(x) = f0(x) + f1(x) + ... + fn(x) =
n
X
k=0
fk (x)
La suite de fonctions (Sn) est appelée la fonction des sommes
partielles de (fn)n∈N.
Definition
On appelle série de fonctions de terme général fn, et on note
X
n≥0
fn, la suite des sommes partielles (Sn).

13. 2) Convergence Simple et convergence uniforme
Definition
Si lim
n→+∞
Sn(x) = S(x), ∀x ∈ I,on dit que la série
X
n≥0
fn
converge simplement sur I. S est appelée la somme de la
série et on note
+∞
X
n=0
fn(x) = S(x), ∀x ∈ I.
On dit que la série
X
n≥0
fn converge uniformément sur I si la
suite de fonctions (Sn) CVU sur I.
Remarques
Pour étudier la CVS d’une série de fonctions on peut utiliser
les critères de CV des séries numériques.
Si
X
fn CVU sur I alors
X
fn CVS sur I.

14. Exemples
a) fn(x) =
x
x2 + n2
, x ∈ R+
et n ∈ N∗
. On a
n
3
2 fn(x) =
x
√
n
x2
n2 + 1
−→
n→+∞
0
donc la série
+∞
X
n=1
fn(x) converge simplement sur R+
b) fn(x) = nx2
e−nx
, x ∈ R et n ∈ N∗
Si x = 0, on a fn(0) = 0 donc
X
fn(0) CVS.
Si x 6= 0, on a
fn+1(x)
fn(x)
=
n + 1
n
e−x
−→
n→+∞
e−x
et e−x
1 ssi x 0. Donc
X
fn(x) CVS sur ]0, +∞[
Alors la série
X
fn(x) CVS sur R+

15. Proposition (Critère de Cauchy uniforme)
La série
P
fn CVU sur I si et seulement si
∀ε 0, ∃N ∈ N, ∀q p ≥ N : sup
x∈I

21. q
X
k=p+1
fk (x)

27. ε

28. 3) Convergence normale
Definition
On dit que la série
P
fn converge normalement sur I s’il existe
une suite (un) tq :
|fn(x)| ≤ un, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0.
La série
X
un est convergente.
Exemples
a) fn(x) =
x
(n + 1)2
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N
On a |fn(x)| ≤
1
(n + 1)2
, ∀x ∈ [0, 1]
et la série
X 1
(n + 1)2
converge
donc
X x
(n + 1)2
CVN sur [0, 1]

29. b) fn(x) = xn
e−nx
, x ∈ R+
et n ∈ N∗
à partir du tableau de variation de fn, on montre que
|fn(x)| ≤ e−n
, ∀x ≥ 0
et la série
X
e−n
converge
donc
X
xn
e−nx
CVN sur R+

30. Théorème
Si
P
fn CVN sur I alors
P
fn CVU sur I.
Preuve
Exercice (Montrer que la série
P
fn vérifie le critère de Cauchy
uniforme)
% CVU
CVN CVS
CVA %

31. 4) Théorème de continuité
Théorème
Si la série
P
fn CVU sur I et si les fonctions (fn) sont continue sur
I, alors la fonction f =
+∞
X
n=0
fn est continue sur I et on a :
lim
x→x0
+∞
X
n=0
fn(x) =
+∞
X
n=0
lim
x→x0
fn(x), ∀x0 ∈ I
Preuve
Il suffit d’appliquer le théorème de continuité des suites de
fonctions.

32. Exemple
Soit fn(x) =
e−nx
1 + n2
, x ∈ R+
et n ∈ N
On a |fn(x)| =

36. e−nx
1 + n2

40. ≤
1
n2
, ∀x ∈ R+
et la série
X 1
n2
converge
donc
P
fn CVN donc CVU sur R+
et puisque les fonctions (fn) sont continue sur R+
donc la fonction f(x) =
+∞
X
n=0
fn(x) est continue sur R+
.

41. 5) Théorème d’intégration
Théorème
Si la série
P
fn CVU sur [a, b] et si les fonctions (fn) sont
integrables sur [a, b], alors la fonction f =
+∞
X
n=0
fn est integrable sur
[a, b] et on a :
+∞
X
n=0
Z b
a
fn(x)dx =
Z b
a
+∞
X
n=0
fn(x)
!
dx
Preuve
Il suffit d’appliquer le théorème d’intégration des suites de
fonctions.

42. Exemple
Considérons la série
+∞
X
n=1
xn
n
avec x ∈]0, 1[. On a
+∞
X
n=1
xn
n
=
+∞
X
n=1
Z x
0
tn−1
dt =
+∞
X
n=0
Z x
0
tn
dt
La série
+∞
X
n=0
tn
CVU sur ]0, x[ et la fonction t 7→ tn
est continue
donc intégrable sur ]0, x[. Donc
+∞
X
n=0
Z x
0
tn
dt =
Z x
0
+∞
X
n=0
tn
!
dt =
Z x
0
1
1 − t
dt = − ln(1 − x)
Par suite
+∞
X
n=1
xn
n
= − ln(1 − x) , ∀x ∈]0, 1[

43. 6) Théorème de dérivation
Théorème
Si la série
P
fn CVS sur I et si les fonctions (fn) sont dérivables
sur I et la série
P
f0
n CVU sur I, alors la fonction f =
+∞
X
n=0
fn est
dérivable sur I et on a :
+∞
X
n=0
fn(x)
!0
=
+∞
X
n=0
f0
n(x), ∀x ∈ I
Remarques
Si (fn) est de C1
(I) alors f est de C1
(I).
Le théorème s’applique aussi si la série
+∞
X
n=0
f0
n CVU sur tout
intervalle [a, b] ⊂ I.

44. Exemple
Reprenons l’exemple fn(x) =
e−nx
1 + n2
, x ∈ R+
et n ∈ N
P
fn CVU donc CVS sur R+
.
fn est de classe C1
sur R+
, ∀n ∈ N.
|f0
n(x)| =

48. −
n
1 + n2
e−nx

52. ≤ e−na
, sur [a, +∞[ , ∀a 0
donc
P
f0
n CVN donc CVU sur [a, +∞[.
Donc la fonction f(x) =
+∞
X
n=0
fn(x) est de C1
sur [a, +∞[, ∀a 0.
Donc elle est de C1
sur ]0, +∞[ et on a :
f0
(x) = −
+∞
X
n=0
n
1 + n2
e−nx
∀x 0