math économie et gestion

1. Cours : Mathématiques 1
Tronc commun :Gestion
S1

2. Plan
1 Fonction numérique d’une variable réelle
2 Fonctions à deux variables
3 Calcul intégral
4 Calcul matriciel

3. Ensemble des nombres réels
Ordre et opérations algébriques
L’ensemble R muni de la relation "inférieur ou égal (≤) " est un ensemble totalement
ordonné, i.e " ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x ≤ y ou y ≤ x00. De plus, on a les propriétés suivantes :
si x et y deux nombres réels, alors
x ≤ y ⇐⇒ x + z ≤ y + z, ∀z ∈ R
x ≤ y ⇐⇒ xz ≤ yz, ∀z ∈ R+
x ≤ y ⇐⇒ xz ≥ yz, ∀z ∈ R−

4. L’ensemble R
On appelle R l’ensemble R auquel on adjoint les deux symboles +∞ et −∞. i.e :
R = R ∪ {−∞, +∞}
On prolonge à R l’addition, la multiplication et la relation d’ordre de la façon suivante :
Pour a ∈ R on pose :
a + (+∞) = +∞, −(+∞) = −∞, (+∞) + (+∞) = +∞
a + (−∞) = −∞, −(−∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞

5. Pour a ∈ R∗ on pose :
a × (+∞) =
+∞ si a 0
−∞ si a 0
a × (−∞) =
−∞ si a 0
+∞ si a 0
(+∞) × (+∞) = +∞, (+∞) × (−∞) = −∞, (−∞) × (−∞) = +∞
Malgré tout, certaines expressions ne sont pas définies :
0 × (+∞), 0 × (−∞), (+∞) + (−∞)
Ces expressions sont appelées formes indéterminées.

6. Intervalle de R
Soient a et b deux éléments de R tels que a b. On appelle intervalle semi-ouvert à
droite (resp. à gauche) d’extrimités a et b le sous ensemble de R noté [a, b[( resp. ]a, b])
défini par :
[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x b} ( resp .]a, b] = {x ∈ R : a x ≤ b})
Soit a un nombre réel. On appelle intervalle ouvert de centre a toute intervalle de type
]a − ε, a + ε[
où ε désigne un nombre réel strictement positif. Enfin, on pose
[a, +∞[= {x ∈ R : x ≥ a}] − ∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}
]a, +∞[= {x ∈ R : x a}] − ∞, a[= {x ∈ R : x a}

7. Valeur absolue
Soit x un nombre réel. La valeur absolue de x est le nombre positif, noté |x|, défini par :
|x| = sup{x, −x}, ou
|x| =
x si x ≥ 0
−x si x 0
Soient x et y deux nombres réels et ε 0
|x| ≥ 0| − x| = |x|, |x| ≥ x
|xy| = |x||y|
|x + y| ≤ |x| + |y| (Inégalité triangulaire)
|x| ≤ ε ⇐⇒ −ε ≤ x ≤ ε
|x| ε ⇐⇒ −ε x ε
|x| ≥ ε ⇐⇒ x ≥ ε ou x ≤ −ε

8. Voisinages
Définition
Soit x0 un nombre réel. on appelle voisinage fondamental de x0 tout intervalle ouvert
non vide de centre x0
On note Vε (x0) le voisinage fondamental de x0 de rayon ε 0
Vε (x0) = {x ∈ R : x0 − ε x x0 + ε} = {x ∈ R : |x0 − x| ε}

9. Fonction numérique d’une variable réelle
Définition
Une fonction numérique d’une variable réelle est une relation de R dans R telle qu’à
tout élément de R est associé un élément au plus de R. on note f : R → R.
On définit souvent une telle fonction f en donnant l’expression, en fonction de x, de
l’image f(x) du réel x. on note f : x → f(x).
Définition
Soit f : E → F une fonction. on appelle domaine de définition de la fonction f (Df )la
partie de R constituée des éléments ayant (exactement) une image.

10. Sens de variation
Définition
Soit f une fonction réelle et I un intervalle, tels que I ⊂ Df
• On dit que f est croissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I2, x ≤ y =⇒ f(x) ≤ f(y)
• On dit que f est décroissante sur I si
: ∀(x, y) ∈ I2, x ≤ y =⇒ f(x) ≥ f(y)
• On dit que f est strictement croissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I2, x y =⇒
f(x) f(y)
• On dit que f est strictement décroissante sur I si
: ∀(x, y) ∈ I2, x y =⇒ f(x) f(y)

11. Limite en un point
Définition
On dit que f a pour limite l ∈ R en x0 si :
∀ε 0, ∃η 0, ∀x ∈ Df : |x − x0| η =⇒ |f(x) − l| ε.
On dit aussi que f converge vers l quand x tend vers x0. On note lim
x→x0
f(x) = l
Cette définition ne précise pas que si f est définie ou non en x0. Dans le cas où f est
définie en x0, l peut être différent de f (x0).

12. Limite à droite et limite à gauche
On dit que l est une limite à droite de f en x0 et on note lim
x→x+
0
f(x) = l si :
∀ε 0, ∃η 0, ∀x ∈ Df : x0 x x0 + η =⇒ |f(x) − l| ε
On dit que l est une limite à gauche de f en x0 et on note lim
x→x−
0
f(x) = l si :
∀ε 0, ∃η 0, ∀x ∈ Df : x0 − η x x0 =⇒ |f(x) − l| ε

13. Théorème
Soit f une fonction définie au voisinage de x0 ( sauf peut être en x0) et l ∈ R. On a
lim
x→x0
f(x) = l ⇐⇒ lim
x→x−
0
f(x) = lim
x→x+
0
f(x) = l

14. Théorème
(Unicité de la limite) Soit f une fonction réelle définie au voisinage de x0. Si f admet
une limite l en x0, cette limite est unique.

15. Limite infinie en x0
On dit que f tend vers +∞ lorsque x tend vers x0 et on note lim
x→x0
f(x) = +∞ si :
∀A 0, ∃η 0, ∀x ∈ Df : |x − x0| η =⇒ f(x) A.
On dit que f tend vers −∞ lorsque x tend vers x0 et on note lim
x→x0
f(x) = −∞ si :
∀A 0, ∃η 0, ∀x ∈ Df : |x − x0| η =⇒ f(x) −A.

16. Opérations sur les limites
Soit x0 un élément de R et f et g deux fonctions qui ont des limites lorsque x tend vers
x0
Proposition
1 lim
x→a
(f + g)(x) = l + k
2 ∀λ ∈ R, lim
x→a
λf(x) = λI
3 lim
x→a
|f(x)| = |I|
4 lim
x→a
(f × g)(x) = l × k
5 lim
x→a
1
f
(x) =
1
l
pourvu que l 6= 0
6 si ∀x ∈ I, f(x) ⩽ g(x) alors l ⩽ k
7 si lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = l et ∀x ∈ I, f(x) ⩽ h(x) ⩽ g(x) alors lim
x→a
h(x) = l

17. Opérations sur les limites
Théorème
Soient f, g deux fonctions et x0, l, l0 trois éléments de R tels que
− lim
x→x0
f(x) = l
− lim
x→l
g(x) = l0
Alors lim
x→x0
g ◦ f(x) = l0

18. Opérations sur les limites
Les autres résultats sont donnés dans les tableaux suivants
limite de f : limite de g : limite de f + g :
` +∞ +∞
` −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞ forme indéterminée
limite de |f| : limite de |g| : limite de |fg| :
` 6= 0 +∞ +∞
0 +∞ forme indéterminée
+∞ +∞ +∞

19. Opérations sur les limites
limite de |f| : limite de |g| :
f
g
a pour limite :
` 6= 0 0 +∞
0 0 forme indéterminée
` +∞ 0
+∞ ` +∞
+∞ +∞ forme indéterminée
Les autres formes indéterminés qu’on peut rencontrer sont :
+∞ − ∞,
∞
∞
, ∞0
, 00
, 1∞

20. Limites des fonctions usuelles
lim
x→+∞
ln x = +∞ lim
x→−∞
xex
= 0 lim
x→−∞
ex
= 0 lim
x→+∞
ex
= +∞
lim
x→−∞
xn
ex
= 0 lim
x→+∞
xn
e−x
= 0 lim
x→0
ln x = −∞ lim
x→0
x ln x = 0
lim
x→+∞
ln x
x
= 0 lim
x→0
tan x = 0 lim
x→0
sin x
x
= 1 lim
x→0
1 − cos x
x
= 0
lim
x→+∞
ex
x
= +∞ lim
x→+∞
ln x
xn
= 0 lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1 lim
x→0
ex − 1
x
= 1

21. Continuité
Définition
Une fonction f est continue en x0 si lim
x→x0
f(x) = f (x0)
• On dit que la fonction f est continue à droite en x0 si lim
x→x+
0
f(x) = f (x0)
• On dit que la fonction f est continue à gauche en x0 si
lim
x→x−
0
f(x) = f (x0)

22. Continuité
Proposition
f est continue en x0 si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en x0
Example 1
La fonction f définie par :
f(x) =
x − 1 si x ≥ 1
2x si x 1
est continue à droite en 1 mais n’est pas continue à gauche en 1.

23. Continuité
Théorème
Soient f et g deux fonctions continues en x0, et α un nombre réel. Alors,
• Les fonction f + g, f × g, et αf sont continues en x0.
• Si g (x0) 6= 0, les fonctions
1
g
et
f
g
sont aussi continues en x0.

24. Continuité sur un intervalle
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• Si I est un intervalle ouvert et si f est continue en tout point de I, on dit
que f est continue sur I.
• Si I = [a, b], ont dit que f est continue sur I lorsque f est continue sur
]a, b[,, continue à droite en a et continue à gauche en b.

25. Prolongement par continuité
Soit f une fonction définie au voisinage de x0 sauf peut être en x0 et admettant une
limite réelle l en x0. Alors la fonction e
f définie par
˜
f(x) =
f(x) si x 6= x0
l si x = x0
est continue en x0
Définition
La fonction e
f s’appelle prolongement par continuité de f en x0. On dira aussi que f est
prolongeable par continuité en x0

26. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle I = [a, b]. Alors pour tout valeur k
comprise entre f(a) et f(b), il existe au moins un c ∈ [a, b] tel que k = f(c).
Autrement dit, toute valeur intermédiaire aux images de deux points d’un intervalle où
f est continue est elle même une image et admet un antécédent intermédiaire à ces
deux points.
Corollaire
Si une fonction f est continue sur un intervalle fermé [a, b] et f(a)× f(b) 0 alors il
existe au moins c ∈]a, b[ tel que f(c) = 0.
Autrement dit, une fonction continue ne peut pas changer de signe sur un intervalle
qu’en s’annulant en un point de cet intervalle.

27. Dérivabilité
Définition
Soit f une fonction définie au voisinage de x0.
f est dite dérivable en x0 si son taux d’accroissement
f(x) − f (x0)
x − x0
entre x et x0
admet une limite lorsque x tend vers x0. Cette limite est appelée dérivée de f en x0 et
notée f0 (x0) :
f0
(x0) = lim
x→x0
f(x) − f (x0)
x − x0
Il est souvent pratique de se ramener à une limite en 0 : notons h = x − x0, donc
lorsque x tend vers x0, le nombre h tend vers 0 et par suite,
f0
(x0) = lim
x→x0
f(x) − f (x0)
x − x0
= lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0)
h

28. Dérivabilité
Définition
On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) en x0 si son taux d’accroissement
f(x) − f (x0)
x − x0
entre x et x0 admet une limite à droite (resp. à gauche) lorsque x tend
vers x0. Cette limite est appelée dérivée à droite (resp. à gauche) de f en x0 et notée
f0
d (x0) (resp. f0
g (x0) ) :
f0
d (x0) = lim
x→x+
0
f(x) − f (x0)
x − x0
, resp .f0
g (x0) = lim
x→x−
0
f(x) − f (x0)
x − x0
!

29. Dérivabilité
Example 2
La fonction f(x) =
√
x est dérivable sur I =]0, +∞ [. En effet ; soit x0 ∈ I,, on a :
√
x −
√
x0
x − x0
=
1
√
x +
√
x0
, et f0
(x0) = lim
x→x0
1
√
x +
√
x0
=
1
2
√
x0
.

30. Proposition
f dérivable en x0 si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en x0 et
f0
d (x0) = f0
g (x0).
Si f dérivable en x0, alors elle est continue en x0.

31. Fonction dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On suppose que tout x ∈ I, f
admet une dérivée f0(x).
Définition
On appelle fonction dérivée de f et on la note f0 la fonction qui à tout point x de I
associe le nombre f0(x).

32. Dérivées et Opérations
Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I et α ∈ R, alors
(αf)0
= α(f)0
, (f+g)0
= (f)0
+(g)0
, (fg)0
= (f)0
g+f(g)0
,
f
g
0
=
(f)0g − f(g)0
g2
(f ◦ g)0
= f0
◦ g
× g0
f−1
=
1
f0 ◦ f−1
(fn
)0
= nfn−1
f0
, n ∈ N
(fα
)0
= αfα−1
f0
, α ∈ Q.

33. Tableau des dérivées usuelles
f(x) f0(x) domaine de dérivabilité
k(k constante réelle ) 0 R
xp(p ∈ Z) pxp−1 R si p ≥ 0, R∗ si p 0
xα (α ∈ R∗) αxα−1 R+ si α ≥ 1, R∗
+ si α 1
sin x cos x R
cos x − sin x R
tan x
1
cos2 x
= 1 + tan2 x R −
nπ
2
+ kπ,0 k ∈ Z
o
ex ex R
ln x
1
x
R∗
+

34. Dérivées successives
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f0 est dérivable sur I, on note f00
ou f(2) la dérivée de f0, f00 s’appelle la dérivée second de f.
Par récurrence sur n ∈ N, n ≥ 2 on définit la dérivée nime de f, notée f(n), par
f(n) = f(n−1)
0
lorsque f(n−1)
est dérivable sur I.

35. Signe de la dérivée et sens de variations
Proposition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si on a f0(x) 0 (resp. f0(x) 0)
pour tout x ∈ I, alors f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I.

36. Extremum
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 ∈ I, on dit que f admet un
maximum (resp. minimum) local en x0 si il existe un intervalle ouvert J ⊂ I, de centre
x0
∀x ∈ J, f(x) ≤ f (x0) ( resp. f(x) ≥ f (x0)) .

37. Théorèmes fondamentales
Théorème des accroissements finis
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c ∈]a, b[ tel
que
f(a) − f(b) = f0
(c)(a − b).
Théorème de Rolle
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b), alors
il existe c ∈]a, b [ tel que f0(c) = 0.

38. Convexité
Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative
Définition
On dit f est convexe si et seulement si
∀x ∈ I, ∀y ∈ I, ∀t ∈ [0, 1], f((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f(x) + tf(y)
On dit f est concave si et seulement si
∀x ∈ I, ∀y ∈ I, ∀t ∈ [0, 1], f((1 − t)x + ty) ≥ (1 − t)f(x) + tf(y)

39. Fonctions convexes
Proposition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On a :
• f est convexe sur I ⇐⇒ f0 est croissante sur I.
• f est concave sur I ⇐⇒ f0 est décroissante sur I.
Si de plus on suppose que la fonction f a une dérivée seconde f00 sur l’intervalle I, on
obtient le résultat suivant :

40. Fonctions convexes
Proposition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On a :
• f est convexe sur I ⇐⇒ f00 ≥ 0 sur I.
• f est concave sur I ⇐⇒ f00 ≤ 0 sur I.
Points d’inflexion
Points d’inflexions Soit f une fonction deux fois dérivable en x0. Si f00 (x0) = 0 en
changeant de signe on dit que le point M0 (x0, f (x0)) est un point d’inflexion.

41. Fonctions à deux variables
La terminologie et les notations pour les fonctions de deux ou plusieurs variables est
similaire à celle introduite pour les fonctions d’une seule variable. On définit une
fonction à deux variables réelles comme suit :
f : R × R −→ R
(x, y) 7−→ f(x, y)
R × R s’écrit R2. f est donc une fonction à deux variables qui associée le couple
(x, y) ∈ R2 une image f(x, y) dans R.

42. Fonctions à deux variables
Définition
Soit f : R2 −→ R une fonction à deux variables. On appelle le domaine de définition de
f (qui est noté Df ) l’ensemble :
Df =
(x, y) ∈ R2
/f(x, y) existe

43. Limite
Définition
On dit que f tend vers la limite ` ∈ R quand (x, y) tend vers (a, b) si :
∀ε 0, ∃η 0, ∀(x, y) ∈ Df , k(x, y) − (a, b)k2 η ⇒ |f(x, y) − `| ε
On note
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = `

44. Limite
Soient f et g deux fonctions à deux variables,
Proposition
1 lim
(x,y)→(a,b)
λf(x, y) = λ lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)
2 lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y) + g(x, y)) = lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) + lim
(x,y)→(a,b)
g(x, y)
3 lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y) × g(x, y)) = lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) × lim
(x,y)→(a,b)
g(x, y)
4 lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)
g(x, y
=
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)
lim
(x,y)→(a,b)
g(x, y)
si lim
(x,y)→(a,b)
g(x, y) 6= 0

45. Continuité
Définition
Soit f : IR2 −→ IR une fonction à deux variables. On dit que f est continue en (a, b)
si :
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b)
f est dite continue su Df si elle est continue en tout point de Df .

46. Continuité
Proposition
Soient f et g deux fonctions à deux variables continues sur Df et Dg respectivement
alors :
1 λ f est continue sur Df pour tout λ ∈ R ;
2 f + g est continue sur Df ∩ Dg ;
3 f × g est continue sur Df ∩ Dg ;
4
f
g
est continue sur D = {Df ∩ Dg/(g(x, y) 6= 0}

47. Prolongement par continuité
Proposition
Soit f une fonction définie au voisinage de (x0, y0) sauf peut être en (x0, y0) et
admettant une limite réelle l en x0. Alors la fonction e
f définie par
˜
f(x, y) =
f(x, y) si (x, y) 6= (x0, y0)
l si (x, y) = (x0, y0)
est continue en (x0, y0).

48. Dérivées partielles
Soit f : Df ⊂ IR2 −→ IR une fonction à deux variables, on définit la dérivée partielle
de f par rapport à x au point (a, b) la fonction :
∂f
∂x
(a, b) = lim
h→0
f(a + h, b) − f(a, b)
h
∂f
∂x
veut dire la dérivée partielle de f par rapport à x, on la note f0
x De même on définit
la dérivée partielle de f par rapport à y au point ( a, b ) la fonction :
∂f
∂y
(a, b) = lim
h→0
f(a, b + h) − f(a, b)
h
∂f
∂y
veut dire la dérivée partielle de f par rapport à y, on la note f0
y

49. Dérivées partielles
Définition
Soit f : IR2
−→ IR une fonction à deux variables. Si f admet des dérivées partielles
∂f
∂x
et
∂f
∂y
et qu’ ils sont continues sur IR2, alors f est dite dérivable de classe C1.

50. Gradient
Définition
Si la fonction f admet des dérivées partielles d’ordre I en un point (x0, y0), le vecteur
grad f (x0, y0) défini par :
grad f (x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0) ,
∂f
∂y
(x0, y0)
est appelé gradient de f au point (x0, y0). Le gradient se note aussi par ∇f (x0, y0).

51. Dérivées partielles d’ordre 2
Soient f une fonction admettant des dérivées partielles en tout point (x, y) au
voisinage du point (x0, y0). Les fonctions dérivées partielles
∂f
∂x
et
∂f
∂y
sont elles-mêmes des fonctions de deux variables. En dérivant par rapport à x et par
rapport à y chacune des fonctions ci-dessus on obtient les dérivées partielles d’ordre 2.
On aura donc quatre dérivées d’ordre 2
Définition
Sous condition d’existence, on appelle dérivées partielles d’ordre 2 de f au point
(x0, y0) les dérivées partielles des fonctions f0
x et f0
y; on les note :
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
∂f
∂x
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
∂f
∂y
∂2f
∂y∂x
=
∂
∂y
∂f
∂x
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
∂f
∂y

52. Dérivées partielles d’ordre 2
Exemple
Soit la fonction f(x, y) = x3y4 + y3
∂f(x, y)
∂x
=
∂
∂x
x3
y4
+ y3
= 3x2
y4
+ 0 = 3x2
y4
∂f(x, y)
∂y
=
∂
∂y
x3
y4
+ y3
= 4x3
y3
+ 3y2
∂2f(x, y)
∂x∂y
=
∂
∂x
∂f(x, y)
∂y
=
∂
∂x
4x3
y3
+ 3y2
= 12x2
y3
+ 0 = 12x2
y3
∂2f(x, y)
∂y∂x
=
∂
∂y
∂f(x, y)
∂x
=
∂
∂y
3x2
y4
= 12x2
y3

53. Dérivées partielles d’ordre 2
Théorème(Schwarz)
Si les fonctions dérivées secondes
∂2f
∂x∂y
et
∂2f
∂y∂x
sont définies et continues alors :
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x

54. Dérivées partielles d’ordre 2
Théorème
Soit f une fonction définie au voisinage de M0 ∈ R2 et admettant des dérivées
partielles continues au voisinage de M0. Alors f est différentiable en M0 et
df (M0) =
∂f
∂x
(M0) dx +
∂f
∂y
(M0) dy.

55. Optimisation sans contrainte (libre)
Soit f : D ⊂ R2 −→ R une fonction à deux variables. D un ouvert de R2, f ∈ C1(D)
On s’intéresse aux problèmes :
f (x0, y0) = min(x,y)∈R2 f(x, y) · (x0, y0) est dit le minimum global de f
f (x0, y0) = max(x,y)∈R2 f(x, y) · (x0, y0) est dit le maximum global de f

56. Condition nécessaire de 1er
ordre
Théorème
Si (x0, y0) ∈ D est un extremum de f sur D Alors :
(
∂f
∂x (x0, y0) = 0
∂f
∂y (x0, y0) = 0
(x0, y0) est appelé un point critique, un point stationnaire ou candidat à l’optimalité.

57. Condition suffisante d’optimalité locale
Soit f : D ⊂ R2 −→ R une fonction à deux variables. f ∈ C2(D). Soit (x0, y0) un
point critique de f (
∂f
∂x (x0, y0) = 0
∂f
∂y (x0, y0) = 0

58. Condition suffisante d’optimalité locale
Soit la matrice Hessienne définie par :
Hf (x0, y0) =
∂2f
∂x2 (x0, y0) ∂2f
∂x∂y (x0, y0)
∂2f
∂y∂x(x0, y0) ∂2f
∂y2 (x0, y0)
!
det(H (x0, y0)) =
∂2f
∂x2
(x0, y0)
∂2f
∂y2
(x0, y0)
−
∂2f
∂x∂y
(x0, y0)
2

59. Condition suffisante d’optimalité locale
Théorème
Soit (x0, y0) un point critique et f une fonction définie au voisinage de (x0, y0).
Si det(H (x0, y0)) 0 alors f n’admet pas d’extremum en (x0, y0)
Si det(H (x0, y0)) 0 et ∂2f
∂x2 (x0, y0) 0 alors f admet un minimum en (x0, y0)
Si det(H (x0, y0)) et ∂2f
∂x2 (x0, y0) 0 alors f admet un maximum en (x0, y0)
Si det(H (x0, y0)) = 0 on ne peut pas conclure.

60. Définition
Soit f : D ⊂ I2 −→ IR une fonction à deux variables. f ∈ C2(D)
On dit que f est strictement convexe sur D si : ∀(x, y) ∈ D, on a :
det H(x, y) 0
Et
∂2f
∂x2
(x, y) 0
On dit que f est strictement concave sur D si : ∀(x, y) ∈ D, on a :
det H(x, y) 0
Et
∂2f
∂x2
(x, y) 0

61. Condition suffisante d’optimalité globale
Théorème
Soit f une fonction strictement convexe sur D 0 :
Si f admet un minimum local (x0, y0) sur D, alors (x0, y0) est unique et
représente le minimum global sur D.
Soit f une fonction strictement concave sur D :
Si f admet un maximum local (x0, y0) sur D alors (x0, y0) est unique et
représente le maximum global sur D

62. Optimisation sous contraintes d’égalité
En économie, il est fréquent que l’on cherche à maximiser une fonction sous des
contraintes (maximiser un profit ou une utilité compte tenu de contraintes budgétaires,
minimiser une dépense compte tenu d’un besoin à satisfaire). Mathématiquement, le
problème se pose sous la forme d’une optimisation d’une fonction f à deux variables,
sous la contrainte d’une autre fonction g :
minf(x, y) avec g(x, y) = 0
ou max f(x, y) avec g(x, y) = 0
On dit que c’est un problème d’optimisation sous contrainte d’égalité. La contrainte
est : g(x, y) = 0. Cette méthode d’optimisation fait appel à ce que l’on appelle le
Lagrangien L, qui est une fonction définies à l’aide de f et g.

63. Condition nécessaire d’optimisation d’ordre 1
Théorème
Si f admet un extremum local en (x0, y0) ∈ D, Alors il existe un réel λ ∈ IR tel que :
(
∂L
∂x (x0, y0) = ∂f
∂x (x0, y0) + λ∂g
∂x (x0, y0) = 0
∂L
∂y (x0, y0) = ∂f
∂y (x0, y0) + λ∂g
∂y (x0, y0) = 0
(x0, y0) est un point critique ou point candidat à l’optimalité.

64. Condition suffisante d’optimalité
Théorème
Soit (x0, y0) un point critique auquel correspond λ0. On considère :
H(L) =






∂2L
∂x2
(x0,y0,λ0)
∂2L
∂x∂y (x0,y0,λ0)
∂2L
∂x∂λ (x0,y0,λ0)
∂2L
∂y∂x (x0,y0,λ0)
∂2L
∂y2
(x0,y0,λ0)
∂2L
∂y∂λ (x0,y0,λ0)
∂2L
∂λ∂x (x0,y0,λ0)
∂2L
∂λ∂y (x0,y0,λ0)
∂2L
∂λ2
(x0,y0,λ0)






Alors on a :
1 si det(H(L)) 0 alors, en (x0, y0) , f atteint un maximum local sous la contrainte
g(x, y) = 0
2 si det(H(L)) 0 alors, en (x0, y0), f atteint un minimum local sous la contrainte
g(x, y) = 0
3 si det(H(L)) = 0 alors on ne peut rien dire.

65. Primitives
Définition
On appelle primitive d’une fonction réelle f sur un intervalle I toute fonction F
dérivable sur I dont la dérivée est f. Autrement dit, la fonction F est une primitive de f
sur I si F est dérivable sur I et ∀x ∈ I, F0(x) = f(x)
Théorème
Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, alors l’ensemble des primitives
de f est l’ensemble des fonctions de la forme φ = F + C, où C est une constante
arbitraire.

66. Primitives
Théorème
Si f admet des primitives sur l’intervalle I, il ya une seule primitive de f qui prend une
valeur donnée en un point fixé de I.
(Théorème d’existence)
Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur cette intervalle.
Notation : on note
R
f(x)dx l’une quelconque des primitives.

67. l’intégrale
Qu’est-ce qu’une intégrale ?
Considérons une fonction continue f de [a; b] dans R. Supposons pour le moment que
f est positive sur [a; b]. Son graphe Cf est donc situé au-dessus de l’axe des abscisses.
On voudrait définir et calculer l’aire A de la surface située entre Cf et l’axe des
abscisses, pour a ≤ x ≤ b.

68. l’intégrale
Définition
On dit que
R b
a f(x)dx est l’intégrale de f sur [a; b].

69. Propriétés des intégrales
Proposition
Linéarité de l’intégrale
Si f et g sont continues sur [a; b], et si λ ∈ R, alors :
1
R b
a [f(x) + g(x)]dx =
R b
a f(x)dx +
R b
a g(x)dx ;
2
R b
a [λ × f(x)]dx = λ ×
R b
a f(x)dx.
Si a b, alors on pose
R b
a f(x)dx = −
R a
b f(x)dx.
Si a ≤ b, et si f est continue et positive sur [a; b], alors
R b
a f(x)dx ≥ 0.

70. Propriétés des intégrales
Proposition
f et g deux fonctions continues sur [a; b], avec a ≤ b. Si f(x) ≤ g(x) pour tout
x ∈ [a; b], alors
R b
a f(x)dx ≤
R b
a g(x)dx.
Relation de Chasles
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, et considérons a, b et c trois
réels éléments de I. On a alors :
R b
a f(x)dx +
R c
b f(x)dx =
R c
a f(x)dx.

71. Tableau des primitives
Le tableau suivant contient des primitives usuelles
Fonction Intervalles de définition Primitive
xn(n 6= −1) ] 0, +∞[ xn+1
n+1
sin x R − cos x
cos x R sin x
1 + tg2 x π
2 + kπ, π
2 + kπ[, k ∈ Z tg x
ex R ex
1
x ]−∞, 0[ ou ]0, +∞[ log |x|

72. Méthodes d’intégration
Intégration directe
Il s’agit d’intégrales de fonctions de la forme u0f(u) où f est une fonction dont une
primitive est connue.
Exemple
Z 2
1
2x
x2 + 1
dx =
ln x2
+ 1
2
1
= ln(5) − ln(2)

73. Méthodes d’intégration
Intégration par partie
Si f et g sont deux fonctions de classe C1 sur [a, b], alors
Z b
a
u0
(t)v(t)dt = [u(t)v(t)]b
a −
Z b
a
u(t)v0
(t)dt
qui s’écrit en termes de primitives :
Z
u0
(t)v(t)dt = u(t)v(t) −
Z
u(t)v0
(t)dt

74. Intégration par partie
Exemple
Calcul de I =
R 1
0 x exp(x)dx On pose u(x) = x et v0(x) = exp(x). On a alors
u0(x) = 1 et on peut poser v(x) = exp(x). La formule d’intégration par parties donne
alors :
I = [x exp(x)]1
0 −
Z 1
0
exp(x)dx = exp(1) − [exp(x)]1
0 = e1
− e1
− e0
= e0
= 1

75. Méthodes d’intégration
Changement de variable
Si f une fonction continue sur [a, b] et si u est une fonction dérivable avec u0 continue
sur [α, β] telle que u([α, β]) ⊂ [a, b], alors
Z β
α
f(u(t))u0
(t)dt =
Z u(β)
u(α)
f(x)dx

76. Changement de variable
Exemple
- On veut calculer I =
R 1
0 2x x2 + 1
3
dx. Cette intégrale est bien du type
R β
α f(g(x)) · g0(x)dx, avec g(x) = x2 + 1 et g0(x) = 2x. On pose donc u = x2 + 1, ce
qui donne du = 2xdx. I =
R 2
1 u3du car x = 0 donne u = 1, et x = 1 donne u = 2.
I =
1
4
u4
2
1
=
16 − 1
4
=
15
4

77. Intégrales généralisées
Définition
Soit f une fonction continue sur [a; +∞[. Pour tout b ≥ a, on pose F(b) =
R b
a f(x)dx.
Si F(b) a une limite finie quand b tend vers +∞, alors on dit que
R +∞
a f(x)dx existe
(ou converge), et on définit :
Z +∞
a
f(x)dx = lim
b→+∞
Z b
a
f(x)dx.
Si F(b) n’a pas de limite finie, on dit que
R +∞
a f(x)dx n’existe pas, ou diverge.

78. Intégrales généralisées
Exemple
1 Soit f définie par f(x) = 1
x2 sur x ≥ 1.
Z b
1
1
x2
dx =
−
1
x
b
1
= −
1
b
+ 1 qui tend vers 1 si b → +∞
donc
R +∞
1
1
x2 dx existe et vaut
R +∞
1
1
x2 dx = limb→+∞
R b
1
1
x2 dx = 1.
2 Soit f définie par f(x) = 1
x sur x ≥ 2.
Z b
2
1
x
dx = [ln(x)]b
2 = ln(b) − ln(2) qui tend vers + ∞ si b → +∞
donc
R +∞
2
1
xdx diverge.

79. Intégration sur un rectangle
Définition
Soit D = [a, b] × [c, d] un rectangle de R2 et f une fonction continue sur D, à valeurs
réelles. On définit
ZZ
D
f(x, y)dxdy =
Z b
a
Z d
c
f(x, y)dy
dx
On admettra que l’on peut aussi écrire :
ZZ
D
f(x, y)dxdy =
Z d
c
Z b
a
f(x, y)dx
dy =
Z b
a
Z d
c
f(x, y)dy
dx

80. Intégration sur un domaine non rectangulaire
Définition
On étend aussi la définition précédente au cas où le domaine d’intégration D est de la
forme :
D =
(x, y) ∈ R2
| a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)
En posant :
ZZ
D
f(x, y)dxdy =
Z b
a
Z y2(x)
y1(x)
f(x, y)dy
#
dx

81. Définitions
Définition
Une matrice est un tableau constitué de nombres réels (ou complexes) disposés en
lignes et en colonnes
M =





a11 . . . a1p
a21 . . . a2p
.
.
.
.
.
.
an1 . . . anp





les nombres aij sont appelés éléments ( ou coefficients) de la matrice M. Une matrice
qui contient n lignes et p colonnes est dite d’ordre ou de type ou de taille ou encore de
dimensions (n, p). Une matrice qui contient un nombre égal de lignes et de colonnes i.e.
n = p est dite matrice carrée. Dans une matrice carrée M, la somme des éléments
diagonaux est appelée trace de la matrice notée tr ainsi tr(M) =
P
aii.

82. Définitions
Définition
Une matrice carrée du type





a1,1 a1,2 . . . a1,n
0 a2,2 . . . a2,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . an,n





où aij = 0 pour i j,
est appelée matrice triangulaire supérieure.
Une matrice carrée du type





a1,1 0 . . . 0
a2,1 a2,2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an,1 an,2 . . . an,n





où aij = 0 pour i j,
est appelée matrice triangulaire inférieure.

83. Définitions
Définition
Une matrice carrée du type





a1,1 0 . . . 0
0 a2,2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . an,n





où aij = 0 pour i 6= j,
est appelée matrice diagonale.
La matrice diagonale particulière





1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1





, est appelée la matrice
identité notée In.

84. Opérations sur les matrices
Addition de matrices
Soient A = (aij)1≤i≤n
1≤j≤p
et B = (bij)1≤i≤n
1≤j≤p
deux matrices de même type (de mêmes
dimensions) (n, p). La somme A + B est aussi une matrice de type (n, p), définie par
A + B = (aij + bij)1≤i≤n
1≤j≤p

85. Opérations sur les matrices
Multiplication par un scalaire
Soient A = (aij)1≤i≤n
1≤j≤p
et λ un nombre réel (ou complexe) donné, alors :
λ · A = (λaij)1≤i≤n
1≤j≤p

86. Opérations sur les matrices
Produit de matrices
Soit A = (aik)1≤i≤n
1≤k≤p
une matrice de type (n, p), et soit B = (bkj) 1≤k≤p
1≤j≤m
une matrice de
type (p, m), alors le produit C = AB est une matrice de type (n, m), définie par
C = (cij) 1≤i≤n
1≤j≤m
où
cij =
p
X
k=1
aikbkj
Remarque :
Pour que le produit de deux matrices existe, il est nécessaire que le nombre de colonnes
de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.

87. Matrice transposée
Soit A = (aij)1≤i≤n
1≤j≤p
une matrice de type (n, p) donnée, on appelle matrice transposée
de A, ou plus simplement transposée de A, la matrice de type (p, n) notée tA définie
par :
t
A = (aji)1≤j≤p .
Proposition
1 t tA
= A
2 t(αA) = αtA
3 t(A + B) = tA + tB
4 t(AB) = tBtA

88. Calcul de déterminants
Il est très important, avant même de définir ce qu’est un déterminant, de signaler qu’on
ne parle de déterminant que pour des matrices carrées. Une matrice qui n’est pas carrée
n’a pas de déterminant.
Cas d’une matrice carrée d’ordre 2
Soit A =
a11 a12
a21 a22
, alors le déterminant de A, noté det(A) ou
a11 a12
a21 a22
est donné par :
det(A) =
a11 a12
a21 a22
= a11 × a22 − a21 × a12.

89. Calcul de déterminants
Cas d’une matrice carrée d’ordre 3
Soit A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

, alors le déterminant de A est donné par :
det(A) =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 ×
a22 a23
a32 a33
− a21
a12 a13
a32 a33
+ a31
a12 a13
a22 a23

90. Calcul de déterminants
Proposition
Soient A et B deux matrices carrées de type (n, n).
1 det(A) = det tA
2 det(αA) = αn det(A)
3 det(AB) = det(BA) = det(A) × det(B)
4 Si dans une matrice deux lignes (ou deux colonnes) coïncident ou sont
proportionnelles l’une à l’autre, alors son déterminant est nul.
5 Le déterminant d’une matrice triangulaire (ou diagonale) est égal au produit de ses
éléments diagonaux.

91. Matrice inverse
Il est très important, avant même de définir ce qu’est une matrice inverse, de signaler
qu’on ne parle d’inverse que pour des matrices carrées. Une matrice qui n’est pas carrée
n’a pas de matrice inverse.
Définition
Soit A une matrice carrée de type (n, n). On dira que A est inversible, s’il existe une
matrice B carrée de même type (n, n), telle que
AB = BA = In
et dans ce cas, B sera appelée matrice inverse de A ( ou plus simplement l’inverse de
A). La matrice B sera notée B = A−1.

92. Matrice inverse
Proposition
Soit A une matrice carrée de type (n, n),
A est inversible ⇔ det(A) 6= 0
Ainsi, on ne parle d’inverse que pour les matrices carrées, et parmi les matrices carrées,
seules celles avec un déterminant non nul possèdent une matrice inverse.

93. Méthode de calcul
Soit A une matrice carrée de type (n, n), pour calculer l’inverse de A on suivra les étapes
suivantes :
Étape 1 : Calculer le déterminant de A, si det(A) 6= 0 alors A−1
existe et on passe à l’étape 2.
Par contre si det(A) = 0, alors A ne possède pas d’inverse.
Étape 2 : Calculer les cofacteurs. Chaque élément aij de la matrice A possède un cofacteur
noté cij, donné par la formule cij = (−1)i+j
det (Aij) où Aij est la matrice A dont laquelle on
aoté la i-ème ligne et la j-ème colonne.
Étape 3 : La comatrice de A, est la matrice dont les éléments sont les cofacteurs, on la note
Com(A) ainsi
Com(A) = (cij)1≤i≤n
1≤j≤n
Étape 4 : Calcul de A−1
. L’inverse de la matrice A est donné par la formule
A−1
=
1
det(A)
× t
(Com(A)).