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CHAPITRE 6 : Fonctions de référence
I ) Sens de variation – Fonction valeur absolue
1) Sens de variation d'une fonction :
Définitions :
Soit f, une fonction définie sur un intervalle I de ℝ.
• f est croissante sur l'intervalle I si, pour tous réels a et b de l'intervalle I
tels que a < b, on a f (a)⩽f (b) .
• f est décroissante sur l'intervalle I si, pour tous réels a et b de
l'intervalle I tels que a < b, on a f (a)⩾f (b) .
• f est monotone sur l'intervalle I si elle est croissante ou décroissante sur I.
A noter : Si l'on remplace f (a)⩽f (b) par f(a) < f(b) et f (a)⩾f (b) par f(a) > f(b), on dit
que la fonction est respectivement strictement croissante et strictement décroissante sur
I.
2) Variations des fonctions de référence :
Propriété : Fonction affine f : x ax+b
• Si a > 0, alors f est croissante sur ℝ.
• Si a < 0, alors f est décroissante sur ℝ.
• Si a = 0, alors f est constante sur ℝ.
Propriété : Fonction carré f : x x
2
• La fonction carré est décroissante sur ] −∞ ; 0].
• La fonction carré est croissante sur [0 ; +∞ [.
1S Chapitre 6– page 1/6
Propriété : Fonction inverse f : x
1
x
La fonction inverse est décroissante sur ] −∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞ [.
3) Fonction valeur absolue :
Définitions :
Soit x , un nombre réel. Sur une droite munie d'un repère normé (O, I), on
considère le point M d'abscisse x .
• On appelle valeur absolue de x la distance OM : ce nombre est noté | x |.
• La fonction valeur absolue est définie sur ℝpar f(x) = |x|
Propriétés algébriques :
• La valeur absolue d'un nombre est toujours un nombre positif ou nul.
• Les valeurs absolues de deux nombres opposés sont égales.
• Si x⩾0 , alors |x| = x et si x⩽0 alors |x| = -x
Exemples : |5| = 5 ; | 1−π | = π−1 ...
1S Chapitre 6– page 2/6
Propriétés :
• La fonction valeur absolue est définie sur ℝ. Elle est strictement décroissante
sur ] −∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞ [.
• La représentation de la fonction valeur absolue est
▪ Sur ] −∞ ; 0] , f (x)=−x
▪ Sur [0 ; +∞ [, f (x)=x .
II ) Étude de la fonction racine carrée
1) Fonction racine carrée :
Définition :
La fonction f telle que f : x √x est appelée « fonction racine carrée ».
Elle est définie sur [0 ; +∞ [.
Propriété :
La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +∞ [.
1S Chapitre 6– page 3/6
Démonstration :
Soit a et b, deux nombres réels tels que 0⩽a<b . On a alors b – a > 0. Comparons
alors f(a) et f(b) : f(b) – f(a) = √b – √a =
(√b–√a)(√b+√a)
√b+√a
=
b–a
√b+√a
> 0 et
donc f(a) < f(b). Ainsi, la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +∞ [.
2) Positions relatives des courbes des fonctions f(x) = x ; g(x) = x² et
h(x) = √x
• Voir activité 1 pour la démonstration (être capable de la refaire)
Propriété :
• Si 0⩽x⩽1 , alors x
2
⩽x⩽√x
• Si x⩾1 , alors √x⩽x⩽x
2
III. Opérations sur les fonctions
1) Fonctions u + k et u
• Voir activité 3
Définitions :
Soit u, une fonction définie sur l'intervalle I, k et  des constantes réelles avec 
non nul.
• La fonction notée u + k associe au réel x de l'intervalle I le réel u( x ) + k.
• La fonction notée u, associe au réel x de l'intervalle I le réel u( x ).
1S Chapitre 6– page 4/6
Propriétés :
• Les fonctions u et u + k ont le même sens de variations sur l'intervalle I.
• Si >0, les fonctions u et u ont le même sens de variations sur l'intervalle
I.
• Si <0, les fonctions u et u ont des sens de variations contraires sur
l'intervalle I.
u(x)=2 x
2
+3 x
2) Fonctions
1
u
et √u
• Voir activité 2
Propriété pour la fonction
1
u
:
• Soit u, une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x ,
u(x) est non nul et de signe constant.
• Soit v, une fonction définie sur l'intervalle I telle que v( x)=
1
u(x)
.
Les fonctions u et v varient en sens contraire sur l'intervalle I.
Démonstration : Soit deux nombres a et b dans l'intervalle I avec a < b.
On a : v(b)–v (a)=
1
u(a)
–
1
u(b)
=
u(a)–u(b)
u(a)×u(b)
.
Comme u est de signe constant, u(a)×u(b) est positif et donc v(b) – v(a) et
u(b) – u(a) sont de signes contraires et donc les fonctions u et v varient en sens
contraire sur I.
1S Chapitre 6– page 5/6
Propriété pour la fonction √u :
• Soit u, une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x ,
u(x) est positif.
• Soit v, une fonction définie sur l'intervalle I telle que v( x)=√u(x) .
Les fonctions u et v varient dans le même sens sur l'intervalle I.
Démonstration : Supposons tout d'abord que u est strictement croissante sur I.
Alors, si a < b alors u(a) < u(b). Comme la fonction racine carrée est strictement
croissante sur I, √u(a) < √u(b) et donc v(a) < v(b). On peut donc en conclure que
v est également strictement croissante sur I.
On démontre de manière analogue le cas où la fonction u est strictement
décroissante sur l'intervalle I.
1S Chapitre 6– page 6/6

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Cours sur les fonctions de référence (chapitre 6)

  • 1. CHAPITRE 6 : Fonctions de référence I ) Sens de variation – Fonction valeur absolue 1) Sens de variation d'une fonction : Définitions : Soit f, une fonction définie sur un intervalle I de ℝ. • f est croissante sur l'intervalle I si, pour tous réels a et b de l'intervalle I tels que a < b, on a f (a)⩽f (b) . • f est décroissante sur l'intervalle I si, pour tous réels a et b de l'intervalle I tels que a < b, on a f (a)⩾f (b) . • f est monotone sur l'intervalle I si elle est croissante ou décroissante sur I. A noter : Si l'on remplace f (a)⩽f (b) par f(a) < f(b) et f (a)⩾f (b) par f(a) > f(b), on dit que la fonction est respectivement strictement croissante et strictement décroissante sur I. 2) Variations des fonctions de référence : Propriété : Fonction affine f : x ax+b • Si a > 0, alors f est croissante sur ℝ. • Si a < 0, alors f est décroissante sur ℝ. • Si a = 0, alors f est constante sur ℝ. Propriété : Fonction carré f : x x 2 • La fonction carré est décroissante sur ] −∞ ; 0]. • La fonction carré est croissante sur [0 ; +∞ [. 1S Chapitre 6– page 1/6
  • 2. Propriété : Fonction inverse f : x 1 x La fonction inverse est décroissante sur ] −∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞ [. 3) Fonction valeur absolue : Définitions : Soit x , un nombre réel. Sur une droite munie d'un repère normé (O, I), on considère le point M d'abscisse x . • On appelle valeur absolue de x la distance OM : ce nombre est noté | x |. • La fonction valeur absolue est définie sur ℝpar f(x) = |x| Propriétés algébriques : • La valeur absolue d'un nombre est toujours un nombre positif ou nul. • Les valeurs absolues de deux nombres opposés sont égales. • Si x⩾0 , alors |x| = x et si x⩽0 alors |x| = -x Exemples : |5| = 5 ; | 1−π | = π−1 ... 1S Chapitre 6– page 2/6
  • 3. Propriétés : • La fonction valeur absolue est définie sur ℝ. Elle est strictement décroissante sur ] −∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞ [. • La représentation de la fonction valeur absolue est ▪ Sur ] −∞ ; 0] , f (x)=−x ▪ Sur [0 ; +∞ [, f (x)=x . II ) Étude de la fonction racine carrée 1) Fonction racine carrée : Définition : La fonction f telle que f : x √x est appelée « fonction racine carrée ». Elle est définie sur [0 ; +∞ [. Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +∞ [. 1S Chapitre 6– page 3/6
  • 4. Démonstration : Soit a et b, deux nombres réels tels que 0⩽a<b . On a alors b – a > 0. Comparons alors f(a) et f(b) : f(b) – f(a) = √b – √a = (√b–√a)(√b+√a) √b+√a = b–a √b+√a > 0 et donc f(a) < f(b). Ainsi, la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +∞ [. 2) Positions relatives des courbes des fonctions f(x) = x ; g(x) = x² et h(x) = √x • Voir activité 1 pour la démonstration (être capable de la refaire) Propriété : • Si 0⩽x⩽1 , alors x 2 ⩽x⩽√x • Si x⩾1 , alors √x⩽x⩽x 2 III. Opérations sur les fonctions 1) Fonctions u + k et u • Voir activité 3 Définitions : Soit u, une fonction définie sur l'intervalle I, k et  des constantes réelles avec  non nul. • La fonction notée u + k associe au réel x de l'intervalle I le réel u( x ) + k. • La fonction notée u, associe au réel x de l'intervalle I le réel u( x ). 1S Chapitre 6– page 4/6
  • 5. Propriétés : • Les fonctions u et u + k ont le même sens de variations sur l'intervalle I. • Si >0, les fonctions u et u ont le même sens de variations sur l'intervalle I. • Si <0, les fonctions u et u ont des sens de variations contraires sur l'intervalle I. u(x)=2 x 2 +3 x 2) Fonctions 1 u et √u • Voir activité 2 Propriété pour la fonction 1 u : • Soit u, une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x , u(x) est non nul et de signe constant. • Soit v, une fonction définie sur l'intervalle I telle que v( x)= 1 u(x) . Les fonctions u et v varient en sens contraire sur l'intervalle I. Démonstration : Soit deux nombres a et b dans l'intervalle I avec a < b. On a : v(b)–v (a)= 1 u(a) – 1 u(b) = u(a)–u(b) u(a)×u(b) . Comme u est de signe constant, u(a)×u(b) est positif et donc v(b) – v(a) et u(b) – u(a) sont de signes contraires et donc les fonctions u et v varient en sens contraire sur I. 1S Chapitre 6– page 5/6
  • 6. Propriété pour la fonction √u : • Soit u, une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x , u(x) est positif. • Soit v, une fonction définie sur l'intervalle I telle que v( x)=√u(x) . Les fonctions u et v varient dans le même sens sur l'intervalle I. Démonstration : Supposons tout d'abord que u est strictement croissante sur I. Alors, si a < b alors u(a) < u(b). Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur I, √u(a) < √u(b) et donc v(a) < v(b). On peut donc en conclure que v est également strictement croissante sur I. On démontre de manière analogue le cas où la fonction u est strictement décroissante sur l'intervalle I. 1S Chapitre 6– page 6/6